Tổ-11-Đ2-Đề-Thi-HSG-Toán-12-Tỉnh-Vĩnh-Phúc-Năm-2018-2019

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 12 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12 TỈNH VĨNH PHÚC- NĂM 2018-2019 Câu 1: Cho hàm số ( C) y = x − 14 x + 20 x + có đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến ∆ : y = −4 x + 15 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( C) Lời giải Tác giả: Hoa Mùi ; Fb: Hoa Mùi Ta có: Gọi y = x − 14 x + 20 x + ⇒ y′ = x − 28 x + 20 M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Tiếp tuyến song song với đường thẳng ⇒ hệ số góc tiếp tuyến là: ∆ : y = −4 x + 15 ktt = −4 ⇔ y′ ( x0 ) = −4  x0 = ⇒ y0 = 11  y′ ( x0 ) = −4 ⇔ x − 28 x0 + 20 = −4 ⇔ x − 28 x0 + 24 = ⇔  x0 = ⇒ y0 =  x0 = −3 ⇒ y0 = −101 Phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến M ( 1;11) M ( 2; ) Giải phương trình là: M ( −3; −101) Vậy tiếp tuyến thỏa yêu cầu là: Câu 2: là: y = −4 ( x − 1) + 11 = −4 x + 15 y = −4 ( x − ) + = −4 x + 12 là: (loại) (nhận) y = −4 ( x + 3) − 101 = −4 x − 113 (nhận) y = −4 x + 12 y = −4 x − 113 , ( cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) + sin x = sin x Lời giải Tác giả: Nguyễn Tường Lĩnh; Fb: Khoisx Bvkk Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 Ta có: ( cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) + sin x = sin x ⇔ ( 2cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin x − sin x ⇔ ( cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin x ( cos x − 1) ⇔ ( cos x − 1) ( sin x + cos x ) = π   x = + k 2π  π ⇔  x = − + k 2π   cos x =  cos x − =   ⇔ ⇔  x = − π + kπ cos x + sin x =  tan x = −1   Vậy tập nghiệm phương trình là: Câu π   x = + k 2π   x = − π + k 2π    x = − π + kπ  Tìm tất giá trị thực tham số ( −1; +∞ ) biến khoảng m ( k ∈¢) y= để hàm số 3 x + ( m + 1) x + 3mx − m đồng Lời giải Tác giả: Hoàng Văn Lâm; Fb: LamHoang Tập xác định: D=¡ y′ = x + ( m + 1) x + 3m y′ ≥ ∀x ∈ ( −1; +∞ ) ⇔ x + ( m + 1) x + 3m ≥ ∀x ∈ ( −1; +∞ ) Với x + > 0, ∀ x ∈ ( −1; +∞ ) ⇒ −3m ≤ x + 3x ∀x ∈ ( −1; +∞ ) x +1 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Xét hàm TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 x2 + 8x + x + 3x ′( x) = ⇒ f f ( x) = ∀x ∈ ( −1; +∞ ) ( x + 1) x +1  x = − (tm)  ⇔ f ′ ( x ) = ⇔ x + 8x + = ⇔   x = − (l )  Bảng biến thiên −3m ≤ −1 ⇔ m ≥ Vậy Câu Tìm tất giá trị thực tham số cực trị m y = x3 − x + m − để hàm số có năm điểm Lời giải Tác giả: Huỳnh Anh Kiệt ; Fb: Huỳnh Kiệt y = x3 − x + m − Hàm số y = x3 − 3x + m − có năm điểm cực trị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình x3 − x + m − = ( 1) có nghiệm phân biệt Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Ta có ( 1) ⇔ x3 − 3x = − m f ( x) = x − 3x Xét hàm số ta có x = f ′ ( x) = 3x − x = ⇔  x = Từ bảng biến thiên ta có phương trình −4 < − m < ⇔ < m < Câu TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 ( un ) Cho dãy số có số hạng tổng quát H = 2019.e e e u1 u2 ( 1) có nghiệm phân biệt   un = ln 1 − 2  ( n + 1)  , ( n∈¥ ) Tìm giá trị biểu thức u2018 Lời giải Tác giả: Lê Ngọc Hùng ; Fb: Hung Le Ta có:  n ( n + 2)  un = ln 1 − = ln 2 ( n + 1)  ( n + 1)  Do n n ∑ uk = ln ∏ i =1 k =1 k ( k + 2) ( k + 1) = ln 1.2.3 n ( + ) ( + ) ( n + ) ( n + 1) 2 2018 H = 2019.e e e u1 u2 u2018 = 2019.e ∑ uk k =1 = 2019.e ln 2018 + 2( 2018+1) = ln n!( n + ) ! ( n + 1) ! 2! = 2019 Suy Câu = ln n+2 ( n + 1) 2020 = 1010 2.2019 10 12 11 Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp , ba học sinh lớp ba học sinh lớp ngồi 10 10 vào hàng ngang gồm ghế đánh số từ đến Tính xác suất để khơng có hai học 12 sinh lớp ngồi cạnh Lời giải Tác giả: Hoàng Minh Thành ; Fb: Hoàng Minh Thành Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Số cách xếp Gọi A 10 học sinh là: TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 n(Ω) = 10! biến cố "Khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau" 10 6! 11 học sinh gồm lớp lớp : Vì học sinh xếp tạo 2 khoảng trống ( khoảng học sinh khoảng vị trí hai đầu) nên chọn vị A74 12 trí để xếp học sinh lớp có cách Số cách xếp Suy : n( A) = 6! A74 Xác suất biến cố A P( A) = : n( A) = n (Ω ) Vậy xác suất để hai học sinh lớp Câu 12 ngồi cạnh là: Ax, By AB Cho hai đường thẳng chéo nhau, vng góc nhận đoạn làm đoạn vng góc M,N Ax, By AM + BN = MN O chung Hai điểm di động cho Gọi trung OMN O AB điểm đoạn Chứng minh tam giác tam giác tù khoảng cách từ đến M,N Ax, By MN đường thẳng không đổi di động Lời giải Tác giả: Nguyễn Trần Vũ; Fb: Nguyễn Trần Vũ Dựng hình chữ nhật ABPM Ta có: MP / / AB mà  AB ⊥ BN ⇒ MP ⊥ NP  AB ⊥ BP  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019  BN ⊥ AB ⇒ BN ⊥ ( ABPM ) ⇒ BN ⊥ BP  BN ⊥ AM  Do đó: MN = MP + NP = MP + BP + BN = AB + AM + BN Theo đề ta có MN = AM + BN ⇒ MN = AM + BN + AM BM AM BN = Suy ra: AB Áp dụng hệ định lí cơsin cho tam giác OM + ON − MN · cos MON = 2OM ON 2 OMN uuu r uuuu r , ta có: uuur uuur ( OA + AM ) + ( OB + BN ) = 2 − ( AM + BN ) 2OM ON uuu r uuuur uuur uuur OA2 + 2OA AM + AM + OB + 2OB.BN + BN − AM − AM BN − BN = 2OM ON AB AB − 2 OA + OB − AM BN = − AB = = Mặt khác uuur EG = ( 2;0 ) ⇒ AB : x − = · KAG = 45° ⇒ ∆AKG Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! vuông cân nên KA = KG Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC y = ⇒ ( y A − 3) = ⇒  A  yA = Ta có , mà yA > TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 nên A ( 5;5) uuur uuur  x − = −6 AC = AG ⇒  C ⇒ C ( −1; −1)  yC − = −6 uuur uuur  x − = −6 AD = 3GE ⇒  D ⇒ D ( −1;5 )  yD − = uuu r uuur  x − = AB = DC ⇒  B ⇒ B ( 5; −1)  yB − = −6 Câu 10 Cho ba số thực x, y , z P= nhỏ biểu thức thuộc khoảng ( 0;3) thỏa mãn      − 1÷ − 1÷ − 1÷ =  x  y  z  Tìm giá trị x y z + + 16 Lời giải Tác giả: Dương Quang Hưng ; Fb: Dương Quang Hưng Đặt: x y z a= ,b= , c=  3  3 a ∈  0; ÷, b ∈ ( 0;1) , c ∈  0; ÷  2  4 Khi ta có P = a + b2 + c2 Từ: , thỏa mãn      − 1÷ − 1÷ − 1÷ =  a  b  c       − 1÷ − ÷ − 1÷ = ⇒ ab + bc + ca = 2abc + a + b + c −  a  b  c  Ta có:  a +b+c   ÷ ≥ abc   P = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) − ( a + b + c ) − 4abc + 2 Do đó: ≥− Đặt ( a + b + c) + ( a + b + c) − 2( a + b + c) + 27  13  t = a + b + c, t ∈  0; ÷  4 P≥− Khi đó: t + t − 2t + 27 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC f ( t) = − Xét hàm số Ta có: TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019  13  t + t − 2t + 2, t ∈  0; ÷ 27  4 f ′ ( t ) = − t + 2t − f ′( t ) = ⇔ t = ; t =3 Bảng biến thiên: t f ′( t ) + 13 − 0 + Từ bảng biến thiên suy t= Khi a=b=c= ta được: P = Do đó: f ( t ) ≥ , ∀t ∈ ( 0;3) suy 211 216 t= Dấu xảy x = 1, y = , z = 2 3 ⇔ x = 1, y = , z = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Mã đề X