6. HDG TOÁN THỰC TẾ KHỐI ĐA DIỆN

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 B – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Một người cắt bìa tơng đặt kích thước hình vẽ Sau bạn gấp theo đường a ( cm ) nét đứt thành hộp hình hộp chữ nhật Hình hộp có đáy hình vng cạnh , chiều cao h ( cm ) ( a + h) 6m diện tích tồn phần Tổng để thể tích hộp lớn A a + h = 2cm B a + h = 3cm a + h = 4cm C D a + h = 6cm Hướng dẫn giải Chọn A − 2a S = 4ah + 2a = ⇒ h = 4a Diện tích tồn phần − 2a 6a − 2a V = a.a.h = a = 4a Thể tích khối hộp chữ nhật: f ( a) = Khảo sát hàm Với Câu 2: a − 2a ( 0; ) , ta f ( a) lớn a = a = → h =  → a + h = 2cm Một người muốn xây bể chứa nước, dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 256 m3 , đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để 500000 m3 xây bể đồng/ Nếu người biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp Hỏi người trả chi phí thấp để th nhân cơng xây dựng bể bao nhiêu? A 48 triệu đồng B 47 triệu đồng C 96 triệu đồng D 46 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn A x ( m) 2x ( m ) h ( m) Gọi chiều rộng đáy bể, chiều dài đáy bể chiều cao bể Bể tích 256 256 128 m x2h = h= ⇒ 3 ⇔ 3x ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 128 256 = x + x = + x2 S = ( xh + xh ) + x 3x x Diện tích cần xây là: S ( x) = Xét hàm 256 256 + 2x2 , ( x > 0) ⇒ S ′ ( x ) = − + 4x = ⇔x=4 x x Lập bảng biến thiên suy S = S ( ) = 96 Chi phí th nhân cơng thấp diện tích xây dựng nhỏ Vậy giá thuê nhân công thấp 96.500000 = 48000000 S = 96 đồng Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Cơ si để tìm min, cụ thể S= Câu 3: 256 128 128 + x2 = + + 2x ≥ 3 1282.2 ⇔ S ≥ 96 ⇒ S = 96 x x x 128 = 2x ⇔ x=4 x Để thiết kế bể cá hình hộp chữ nhật khơng nắp có chiều cao 60cm, thể tích 96000cm3 Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng/m loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/m Tính chi phí thấp để hoàn thành bể cá A 68.800 đồng B 320.000 đồng C 32.000 đồng Hướng dẫn giải Chọn D Gọi x ( m) , y ( m) ( x > 0, y > ) chiều dài chiều rộng đáy bể 0, xy = 0, 096 ⇒ y = Theo giả thiết, ta có: 0,16 x D 83.200 đồng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Sday = xy = x Diện tích mặt đáy:  → giá tiền  → giá tiền ≥ 84000.2 x Câu 4: đồng 0,16   S xungquanh = x.0, + y.0, = 1,  x + ÷ x   0,16  0,16    1,  x + ÷.70000 = 84000  x + ÷ x  x    Suy tổng chi phí Cosi 0,16 = 0,16 x 0,16 ×100.000 = 16.000 Diện tích xung quanh: Khối Đa Diện - Hình Học 12 đồng 0,16   f ( x ) = 84000  x + ÷+ 16000 x   0,16 + 16000 = 83.200 x đồng Một hộp không nắp làm từ mảnh tơng theo hình vẽ Hộp có đáy hình vng x ( cm ) h ( cm ) x 500cm3 cạnh , chiều cao thể tích Tìm độ dài cạnh hình vng cho hộp làm tốn bìa tơng A x = 5cm B x = 10cm C x = 2cm Hướng dẫn giải Chọn B V = x.x.h = x h = 500 ⇒ h = Thể tích khối hộp 500 x2 D x = 3cm ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Để hộp làm tốn bìa tơng diện tích tồn phần hộp nhỏ Diện tích tồn phần hộp (khơng nắp) x + x Dấu S = Sday + S xung quanh = x.x + 4.hx = x + 4hx 500 2000 1000 1000 Cosi 2 = x + = x + + ≥ 10002 x x x x '' = '' ⇔ x2 = xảy 1000 1000 = ⇔ x3 = 1000 ⇔ x = 10 x x Chọn B f ( x) = x2 + Cách Xét hàm Câu 5: 2000 x với x>0 500 m Người ta muốn xây bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể 500000 m3 đồng/ Nếu biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp nhất, chi phí thấp A 80 triệu đồng B 75 triệu đồng C 70 triệu đồng D 85 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn B Gọi yếu tố hình vẽ, diện tích phần phải xây bể phần xung quanh đáy 500  500 250 250 co − si V = x h = 2 ⇒ S = x + = x + + ≥ 150  x x x  S = x + xh  Số chi phí thấp 150 × 500000 = 75 triệu ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 6: Khối Đa Diện - Hình Học 12 1152m Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn chiều cao cố định Người xây tường xung quanh bên để ngăn nhà xưởng thành ba phịng hình chữ nhật có kích thước (khơng kể trần nhà) Vậy cần phải xây phịng theo kích thước để tiết kiệm chi phí (bỏ qua độ dày tường) A 24m × 32m B 8m × 48m C 12m × 32m D 16m × 24m Hướng dẫn giải Chọn D Đặt x, y , h chiều dài, chiều rộng chiều cao phòng x.3 y = 1152  →y= Theo giả thiết, ta có 384 x Để tiết kiệm chi phí diện tích tồn phần nhỏ S = xh + yh + 3xy = xh + Ta có Vì h không đổi nên f ( x) = x + Khảo sát S 384 576   h + 1152 = 4h  x + ÷+ 1152 x x   f ( x) = x + nhỏ 576 x với x>0 , ta 576 x f ( x) (với x>0 nhỏ ) nhỏ x = 24  → y = 16 Chọn D x+ Cách BĐT Côsi 576 576 ≥ x = 48 x x Dấu '' = '' ⇔x= xảy 576 → x = 24 x ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 7: Khối Đa Diện - Hình Học 12 Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự 144 m 230 m tháp , đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài Các lối phòng 30% 10 T =5 bên chiếm thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá dựng kim tự tháp là: A 740600 B 76040 2,5.103 kg / m3 C 74060 Số lần vận chuyển đá để xây D 7406 Hướng dẫn giải: Chọn C Thể tích kim tự tháp 0.7V = 1777 440m V = c.day × c.cao = 2539 200m3 Thể tích khối đá cần vận chuyển x Gọi số lần vận chuyển Để đủ đá xây dựng kim tự tháp x.10.6000 = 1777440 ⇒ x = 74060 2,5.103 Câu 8: Người ta cần xây bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích 200 m3 300 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Chi phí để xây bể nghìn m đồng/ (chi phí tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy diện tích xung quanh, khơng tính chiều dày đáy diện tích xung quanh, khơng tính chiều dày đáy thành bể) Hãy xác định chi phí thấp để xây bể(làm tròn đến đơn vị triệu đồng) 36 46 triệu đồng A B 75 triệu đồng C Hướng dẫn giải Chọn D 51 triệu đồng D triệu đồng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 h x 2x Gọi x Gọi x chiều rộng đáy, h chiều cao đáy Thể tích khối hộp chữ nhật không nắp V = x.x.h = 200 cm3 ⇒ h = 100 x2 Diện tích bể nước 600 = ⇔ x = 150 x2 f Chi phí thấp để xây bể Câu 9: nên ta có S = x + xh = x + f ′ ( x) = 4x − 200 m ( 600 = f ( x) x M in f ( x ) = f Suy 150 ) 300.000 ≈ 51 ( 150 A ) B 2500 ( m ) C triệu đồng Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy hình vng cạnh 1,5 ( m ) Thể tích nước hồ 3750 ( m ) 50 ( m ) 1250 ( m ) Lượng nước hồ cao D 1875 ( m ) Hướng dẫn giải Chọn A Thể tích nước hồ V = 1,5.502 = 3750 ( m ) 0, 25 m Câu 10: Một khối gỗ có dạng lăng trụ, biết diện tích đáy chiều cao Mỗi mét khối gỗ trị giá triệu đồng Hỏi khối gỗ có giá tiền? A 750 000 đồng B 500 000 đồng C 1500 000 đồng D 3000 000 1, m đồng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Hướng dẫn giải Chọn C V = S h = 0, 25.1, = Thể tích khối gỗ V 5000000 = Vậy khối gỗ có giá : m3 ) ( 10 5000000 = 1500000 10 Câu 11: Một xưởng sản xuất thùng nhơm hình hộp chữ nhật khơng nắp có kích thước x, y, z ( dm ) x : y = 1: 18dm3 Biết tỉ số hai cạnh đáy , thể tích khối hộp Để tốn vật x+ y+z liệu tổng bằng: A 26 dm B 10dm C 19 dm D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có x : y = 1: ⇒ y = x xyz = 18 ⇒ z = Theo giả thiết, ta có x2 Tổng diện tích vật liệu (nhơm) cần dùng là: S = S day + S xungquanh (do hộp không nắp)  48  = xy + ( xz + yz ) = x.3 x +  x + 3x ÷ = x + x  x  x f ( x ) = 3x + Xét hàm x = → y = 6, z = Khi 48 x ( 0; +∞ ) , ta 19  → x + y + z = dm 2 f ( x) nhỏ Chọn B x = 26dm ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3x + Cách BĐT Côsi Dấu '' = '' ⇔ x2 = xảy Khối Đa Diện - Hình Học 12 48 8 8  =  x + + ÷ ≥ 3.3 x = 36 x x x x x  8 = → x = x x Câu 12: Ông An muốn xây bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích 288 m3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây 500000 m2 bể đồng/ Nếu ơng An biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp Hỏi ơng An trả chi phí thấp để xây dựng bể bao nhiêu? A 90 triệu đồng B 108 triệu đồng C 54 triệu đồng D 168 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn B Theo ta có để chi phí th nhân cơng thấp ta phải xây dựng bể cho tổng diện tích xung quanh diện tích đáy nhỏ a 2a c ( a ( m ) > 0, c ( m ) > ) Gọi ba kích thước bể , , S = 2a + 4ac + 2ac = 2a + 6ac Ta có diện tích cách mặt cần xây 144 V = a.2a.c = 2a 2c = 288 ⇒ c = a Thể tích bể 144 864 432 432 432 432 S = 2a + 6a = 2a + = 2a + + ≥ 3 2a = 216 a a a a a a Vậy S = 216 m Vậy 216 × 500000 = 108 Chi phí thấp triệu đồng Câu 13: Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngồi hộp dạng hình hộp đứng khơng nắp (nắp trên), có đáy hình vng Tìm chiều cao hộp để lượng vàng phải dùng để mạ nhất, biết lớp mạ nơi nhau, giao mặt không đáng kể thể tích hộp dm3 A dm B 0,5 dm C dm Hướng dẫn giải Chọn A Gọi x , y ( x, y > ) độ dài cạnh đáy, chiều cao hình hộp D 1,5 dm ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A V = x2 y ⇔ = x2 y ⇔ y = Thể tích khối hộp S = x + xy = x + Diện tích cần mạ vàng x = ⇔ x = ⇒ y =1 x x2 Khối Đa Diện - Hình Học 12 16 8 = x + + ≥ 3 64 x x x đạt giá trị nhỏ khi Câu 14: Người ta cần xây hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích 500 m Đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây hồ 500.000 /m đồng Khi đó, kích thước hồ nước cho chi phí th nhân cơng thấp là: A Chiều dài 10 m C Chiều dài 20m 30m chiều rộng chiều rộng 10m 15m chiều cao chiều cao m B Chiều dài 10 m 27 10m chiều rộng D Một đáp án khác Hướng dẫn giải Chọn B 2x ( m) ; x > y ( m) ; y > Gọi chiều dài , chiều cao 500 500 x2 y = y= 6x Ta có Suy Khi diện tích cần xây dựng 500 500 250 250 = x + x = 2x + = 2x + + 2 x + xy 6x x x x ≥ × 250 Dấu xảy 250 2x2 = ⇔ x=5 x 5m chiều cao ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A f '(θ ) = 90cosθ + Khối Đa Diện - Hình Học 12 90 2cos 2θ π   θ= cos θ =   f '(θ ) = ⇔ cos θ + cos 2θ = ⇔ cos θ + cos θ − = ⇔ ⇔    cos θ = −1 θ = π π  f (0) = f (π ) = 0; f  ÷ = 135 3 Vậy GTLN diện tích ABCD Vậy thể tích máng xối lớn 40500 3cm3 135 3cm2 ta cạnh CD tạo với BC góc 600 0,9m × 3m Câu 38: Để làm máng xối nước, từ tơn kích thước người ta gấp tơn hình vẽ Biết mặt cắt máng xối (bị cắt mặt phẳng song song với hai mặt đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ có chiều cao chiều dài tơn Hỏi x ( m) thể tích máng xối lớn nhất? x 3m 0,3m xm x 0,3m 0,9 m 3m (a) Tấm tôn A x = 0,5m 0,3m 0,3m (b) Máng xối B x = 0, 65m C x = 0, 4m (c) Mặt cắt D x = 0, 6m Hướng dẫn giải Chọn D Gọi h chiều cao lăng trụ Vì chiều cao lăng trụ chiều dài tơn nên thể tích máng xối lớn diện tích hình thang cân (mặt cắt) lớn S= Ta có BC = ⇒h= h ( x + 0,3) x − 0,3 ( x > 0,3) ( 0,3) ( x − 0,3) − ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ( 0,3) ( x − 0,3) − ĐK: Khối Đa Diện - Hình Học 12 > 0; ( 0,3 < x < 0,9 ) Khi đó: S= 2 ( x + 0,3) ( 0,3) − ( x − 0,3) Xét hàm số f ( x ) = ( x + 0,3) ( 0,3) − ( x − 0,3) ; ( 0,3 < x < 0,9 ) 2 −2 ( x − 0,3 ) ⇒ f ′ ( x ) = ( 0, ) − ( x − 0,3) + ( x + 0,3 ) ( 0,3) − ( x − 0,3) − ( x + 0,3) ( x − 0,3) = ( 0, 3) − ( x − 0,3) 0,36 − x ( x − 0,3) ( 0,3) − ( x − 0,3) 2 = ( 0,3) − ( x − 0,3 ) 2  x = −0,3 f ′ ( x ) = ⇔ − x + 0,3 x + 0,18 = ⇔   x = 0, x 0,3 0,6 f ′( x) + 0,9 − f ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x) Vậy thể tích máng xối lớn lớn x = 0, 6m x = 0, Câu 39: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm bể nước gạch có dạng hình hộp có đáy hình chữ d ( m) r ( m) h ( m) d = 2r nhật chiều dài chiều rộng với Chiều cao bể nước thể tích bể 2m Hỏi chiều cao bể nước chi phí xây dựng thấp nhất? A 3 ( m) 2 B ( m) 3 C ( m) Hướng dẫn giải D 2 ( m) 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Gọi x ( x > 0) Khối Đa Diện - Hình Học 12 chiều rộng đáy suy thể tích bể nước V = x h = ⇔ h = x2 Diện tích xung quanh hồ đáy bể S = x.h + x = f ( x) = Xét hàm số + 2x2 ( x > 0) x + 2x2 x với x > x= Hàm số đạt giá trị nhỏ h= Vậy chiều cao cần xây 3 1 2 = = ( m) 2 x 3 3  ÷ 2 Câu 40: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ A x =V B x= 3V C x =V D x= V Hướng dẫn giải Gọi a độ dài cạnh đáy, V = a2x ⇒ a = Khi đó, x độ dài đường cao thùng đựng đồ V V ⇒ Stp = 2a + 4ax = + Vx x x Để làm thùng hàng tốn ngun liệu f ( x) = Cách : Xét hàm số Ta có ( a, x > ) V + Vx x Stp ⇒2 nhỏ V + Vx x ( 0; +∞ ) −2V V f '( x) = + ; f '( x) = ⇔ x V = V x ⇔ x = V x x nhỏ V Để làm ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn nguyên liệu chiều cao thùng đựng đồ V Cách 2: ta có Dấu "=" V V + Vx = + Vx + Vx ≥ V x x xảy V = Vx ⇔ x = V ⇔ x = V x Chọn B Câu 41: Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ông A định mua tặng vợ quà đặt vào hộp tích 32 ( đvtt ) có đáy hình vng khơng có nắp Để q trở nên thật đặc biệt xứng đáng với giá trị ơng định mạ vàng cho hộp, biết độ dạy lớp mạ điểm hộp Gọi chiều cao cạnh đáy hộp h;x Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị h;x phải là? A x = 2;h = B x = 4;h = C x = 4; h = D x = 1; h = Hướng dẫn giải Chọn B ìï S = 4xh + x2 ïï 32 128 ïí Þ S = 4x + x2 = + x2 V 32 ïï V = x h ® h = = x x 2 ïïỵ x x Ta có , để lượng vàng cần dùng nhỏ Diện tích S phải nhỏ ta có S= 128 128 + x2 = f ( x) ® f' ( x) = 2x - = 0Þ x = x x , ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 10 ( m ) ABC Câu 42: Một ngơi nhà có dạng tam giác cạnh dài đặt song song cách mặt h ( m) ( ABC ) A, B, C A đất Nhà có trụ vng góc với Trên trụ người ta lấy hai điểm ( MBC ) ( NBC ) M, N AM = x, AN = y 90° cho góc để mái phần chứa đồ bên Xác định chiều cao thấp nhà A B 10 C 10 D 12 Hướng dẫn giải Đáp án B Để nhà có chiều cao thấp ta phải chọn NM = x + y Gọi I suy nằm mặt đất Chiều cao nhà ∆ABC BC trung điểm N ⇒ AI ⊥ BC Ta có  MI ⊥ BC · ⇒ BC ⊥ ( MNI ) ⇒  ⇒ MIN = 900 NI ⊥ BC  , MN ⊥ ( ABC ) ⇒ MN ⊥ BC , từ  10  ⇒ AM AN = AI ⇒ xy =  ÷ ÷ = 75   ∆IMN vuông I nhận Theo bất đẳng thức Côsi: AI đường cao nên x + y ≥ xy = 75 = 10 ⇔ x = y = Do chiều cao thấp nhà 10 Câu 43: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện tích tồn V phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thể tích xác định cho trước Khi diện tích toàn phần hộp sữa bé hai phương án A 2π V B 63 V C 3 6V Hướng dẫn giải Chọn D D 3 2π V ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ V = π R 2h ⇒ h = Thể tích khơng đổi V 2V , Stp = 2π R + 2π Rh = 2π R + πR R 2π R , Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương Stp = 2π R + Ta có V V V V + ≥ 3 2π R = 3 2π V R R R R V V , R R (*) Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật Thể tích khơng đổi V = abh ⇒ h = V V V V V  ; Stp = 2ab + ( a + b ) h = 2ab + 2a + 2b =  ab + + ÷ ab ab ab b a  ab; Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho ba số dương Ta có V V Stp ≥ 2.3 ab = V a b V V ; a b (**) Xét hai kết ta thấy (*) nhỏ Vậy diện tích tồn phần hộp sữa bé Stp = 3 2π V (đvdt) Câu 44: Một bác thợ gị hàn làm thùng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) tơn thể tích 665,5 dm3 x(dm) h(dm) Chiếc thùng có đáy hình vng cạnh , chiều cao Để làm x thùng, bác thợ phải cắt miếng tôn hình vẽ Tìm để bác thợ sử dụng ngun liệu A 10,5( dm) B 12(dm) C 11(dm) D 9(dm) ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 x x h h h h Hướng dẫn giải Chọn C V = x h = 665,5 ⇒ h = Ta tích hình hộp là: S = x + xh = x + Diện tích tồn phần Lập bảng biến thiên ta thấy x = 11 665,5 x2 2662 2662 ⇒ S ' = 2x − S ' = ⇔ x = 11 x x ; S đạt giá trị nhỏ Vậy để sử dụng nguyên liệu bác thợ xây phải cắt miếng tơn có đáy hình vng 11(dm) cạnh Câu 45: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ A x =V B x= 3V C x =V D x= V Hướng dẫn giải Gọi a độ dài cạnh đáy, x độ dài đường cao thùng đựng đồ ( a, x > ) V Để làm ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A V = a2 x ⇒ a = Khi đó, V V ⇒ Stp = 2a + 4ax = + Vx x x Để làm thùng hàng tốn ngun liệu f ( x) = Cách : Xét hàm số Ta có Khối Đa Diện - Hình Học 12 V + Vx x Stp ⇒2 nhỏ V + Vx x nhỏ ( 0; +∞ ) −2V V f '( x) = + ; f '( x) = ⇔ x V = V x ⇔ x = V x x Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn nguyên liệu chiều cao thùng đựng đồ V Cách 2: ta có Dấu "=" V V + Vx = + Vx + Vx ≥ V x x xảy V = Vx ⇔ x = V ⇔ x = V x Câu 46: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát khơng đáng kể) A 1180 viên, 8820 lít B 1180 viên, 8800 lít C 1182 viên, 8820 lít D 1180 viên, 8800 lít Hướng dẫn giải Phân tích: sử ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 * Theo mặt trước bể: x= Số viên gạch xếp theo chiều dài bể hàng Số viên gạch xếp theo chiều cao bể hàng là: 500 = 25 20 viên 200 = 40 Vậy tính theo chiều cao có 40 N = 25.40 = 1000 hàng gạch hàng 25 viên Khi theo mặt trước bể viên * Theo mặt bên bể: ta thấy, hàng mặt trước bể xây viên hoàn chỉnh đoạn nối hai mặt mặt bên viên gạch cịn lại cắt viên Tức mặt bên có 100 − 20 40 + 40 = 180 20 viên Vậy tổng số viên gạch 1180 viên Khi thể tích bờ tường xây 1180.2.1.0,5 = 1180 lít Vậy thể tích bốn chứa nước là: 50.10.20 − 1180 = 8820 lít Câu 47: Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác (như hình vẽ) Từ mảnh giấy hình vng khác có cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tam giác V1 ,V2 (như hình vẽ) Gọi thể tích lăng trụ tứ giác lăng trụ tam giác V1 V2 So sánh A V1 > V2 B V1 = V2 C V1 < V2 Hướng dẫn giải Ta có a a a3 V1 = a = 4 16 D Không so sánh ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A a a a3 V2 = a = 3 36 Do V1 > V2 Khối Đa Diện - Hình Học 12 Ta chọn phương án C Câu 48: Bên nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 m có nhện hay cãi vã nên phải sống riêng Mùa đơng đến, đói rét nên chúng đành định hợp tác với giăng lưới để bắt mồi Ba nhện tính tốn giăng mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi nhện đứng mép tường (có thể mép tường, tường với trần, tường với nền) phóng sợi tơ làm khung đến vị trí nhện cịn lại sau phóng tơ dính đan phần lưới bên Nhưng vốn có hiềm khích từ lâu, nên trước bắt đầu, chúng quy định để tránh xơ xát, khơng có nhện nằm mặt tường, trần nhà Tính chu vi nhỏ mảnh lưới giăng (biết sợi tơ khung căng không nhùn) A 15 mét B 30 mét C 12 10 mét D 10 mét Hướng dẫn giải Chọn A Bài toán ta giải cách ứng dụng phương pháp tọa độ không gian Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khơng tính tổng quát, dựa vào yêu cầu vị trí M , N, P nhện ta xác định điểm nằm cạnh Yêu cầu tốn cần tìm tọa độ điểm Đặt M ( x;10;0 ) , P ( 0;0; z ) , N ( 10; y;10 ) M , N, P A ' B ', CC ', AD hình vẽ để chu vi tam giác Chu vi tam giác MNP là: MNP nhỏ ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ( x − 10 ) MN + NP + PQ = = ( 10 − x ) 2 Khối Đa Diện - Hình Học 12 + ( y − 10 ) + 10 + 10 + y + ( z − 10 ) + x + 102 + z 2 + ( y − 10 ) + 102 + y + ( z − 10 ) + 102 + z + ( − x ) + 102 2 Áp dụng bất đẳng thức vecto : ⇒ MN + NP + PM ≥ ≥ ( 10 − x + y + z ) ( 10 − x + y ) + ( y + z − 20 ) + 20 + z + ( − x ) + 10 2 + ( y − 10 + z − 10 − x ) + ( 10 + 10 + 10 ) 2 = ( y + z − x − ) + 450 + ( 10 + 10 + 10 ) ≥ 15 Dấu xảy Vậy giá trị cần tìm  y + z − x =  y = z 10 − x y − 10 10  = = ⇔ 2 y − x = ⇔ x = y = z =  y z − 10 10   x + y = 10  10 − x + y y + z − 20 20 = =  z −x 10  15 Câu 49: Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ông A định mua tặng vợ quà đặt vào hộp tích 32 ( đvtt ) có đáy hình vng khơng có nắp Để quà trở nên thật đặc biệt xứng đáng với giá trị ơng định mạ vàng cho hộp, biết độ dạy lớp mạ điểm hộp Gọi chiều cao cạnh đáy hộp h;x Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị h;x phải là? A x = 2;h = B x = 4;h = C Hướng dẫn giải Chọn B x = 4;h = D x = 1;h = ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 ìï S = 4xh + x2 ïï 32 128 ïí Þ S = 4x + x2 = + x2 V 32 ïï V = x h ® h = = x x ï x2 x2 Ta có ïỵ , để lượng vàng cần dùng nhỏ Diện tích S phải nhỏ ta có S= 128 128 + x2 = f ( x) ® f' ( x) = 2x - = 0Þ x = x x , 60cm 96000cm3 Câu 50: Để thiết kế bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao , thể tích Người 70000 thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành VNĐ/m2 loại kính để làm mặt 100000 đáy có giá thành VNĐ/m2 Tính chi phí thấp để hoàn thành bể cá 320000 32000 832000 83200 A VNĐ B VNĐ C VNĐ D VNĐ Hướng dẫn giải Chọn D Gọi x, y ( m ) ( x > 0, y > ) 0, xy = 0, 096 ⇔ y = 0,16 x chiều dài chiều rộng đáy bể, theo đề ta suy Giá thành bể cá xác định theo hàm số sau: 0,16  0,16 0,16    f ( x ) = 2.0,  x + ⇔ f ( x ) = 84000  x + ÷.70000 + 100000 x ÷+ 16000 x  x x    (VNĐ)  0,16  f ′ ( x ) = 84000 1 − ÷, f ′ ( x ) = ⇔ x = 0, x   Ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên suy chi phí thấp để hồn thành bể cá f ( 0, ) = 83200 VNĐ Câu 51: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký l hiệu diện tích tiết diện ngang mương S, độ dài đường biên giới hạn tiết diện này, l - đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 l với S xác định, nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) x= S 4S , y = A x= C 4S , y = S x= 2S , y = S B S 2S , y = x= D Hướng dẫn giải Chọn D Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy; l = 2y + x = ' l ( x) 2S +x x Xét hàm số 2S +x l ( x) = x ⇔ x − 2S = ⇔ x = 2S =0 , y = ' Ta có S x l ( x) S = = −2S x2 +1= x2 − 2S x2 Dễ thấy với x, y mương có dạng thuỷ động học, kích thước mương x = 2S ,y= S mương có dạng thuỷ động học Câu 52: Một người thợ gò làm thùng đựng nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp tơn Biết đường chéo hình hộp 6dm sử dụng vừa đủ người thợ làm thùng tích lớn giá trị sau? 11,3 11, 32 A B - C Hướng dẫn giải Chọn C Vdm 36dm Giá trị 11,31 tôn.Với yêu cầu V gần giá trị D 11, 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Gọi kích thước khối hộp x, y , z ( x, y , z ≥ 0) Khối Đa Diện - Hình Học 12 theo ta có   x + y + z = 36  x + y + z = x + y = − z ⇒ ⇒   xy + yz + zx = 18  xy + yz + zx = 18  xy = 18 − − z z ( (6 2−z ) ( ) ) ≥ 72 − − z z ⇒ z ∈ 0;  Ta có xyz = z − z + 18 z = f ( z ) Thể tích: f '( z ) = z − 12 z + 18; f '( z ) = ⇔ z = 2; z = { } { } Max f ( x) = Max f (0), f ( 2), f (3 2), f (4 2) = f ( 2), f (4 2) = ≈ 11,31 0;4    Khi ≈ 11,31 ( x; y; z ) = ( 2; 2; 2) hốn vị Vậy thể tích lớn thùng x, y , z Câu 53: Gọi chiều dài, chiều rộng chiều cao thùng giấy dạng hình hộp chữ nhật khơng có S nắp (hình vẽ) tổng diện tích xung quanh đáy cịn lại Trong thùng có diện x+ y+ z S S tích , tìm tổng theo thùng tích lớn x+ y+ z = 3S A x+ y+ z = C 3S x+ y+z = 3S x+ y+z = 3S B D Hướng dẫn giải Chọn B S = xy + xz + yz Ta có Theo Cauchy xy + xz + yz 2 ⇒  S  ≥ x y z = 4V ⇒ V ≤  S  ≥ 4x y z  ÷  ÷ 3 3 Dấu “=” xảy xy = xz = yz ⇔ x = y = 2z = S S 3S ⇒ x+ y+z = = 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 ... đvtt Khối Đa Diện - Hình Học 12 D 64 đvtt Hướng dẫn giải Phân tích: Đây dạng toán ứng dụng thực thể kết hợp với phần tính thể tích khối đa diện hình học phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đa. .. 500 ⇒ h = Thể tích khối hộp 500 x2 D x = 3cm ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Để hộp làm tốn bìa tơng diện tích tồn phần hộp nhỏ Diện tích tồn phần... Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Thể tích hình cần tính thể tích khối lập phương ban đầu trừ khối hộp chữ nhật có đáy x− y cm y cm hình vng cạnh ,chiều cao ,rồi trừ thể tích khối lập phương