2.6 HDG KHỐI ĐA DIỆN CẮT RA TỪ MỘT KHỐI CHÓP

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 CHỦ ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP DẠNG 6: KHỐI ĐA DIỆN CẮT RA TỪ MỘT KHỐI CHÓP SA ⊥ ( ABCD ) Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA = a Gọi M trung điểm SB , N điểm thuộc cạnh SD cho SN = ND Tính thể tích V tứ diện ACMN a3 a3 a3 a3 V= V= V= V= 12 36 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A SM SN = , = M trung điểm SB , N điểm thuộc cạnh SD cho SN = ND nên SB SD V = 2VO AMN = ( VS ABD − VS AMN − VM AOB − VN AOD ) Ta có: C AMN Lại có: a3 a3 a3 VS ABCD = SA AB AD = ⇒ VS ABD = , VS AOB = VS AOD = 3 12 VS AMN SM SN 1 a = = = ⇒ VS AMN = VS ABD = VS ABD SB SD 3 18 VM AOB MB 1 a3 = = ⇒ VM AOB = VS AOB = VS AOB SB 2 24 VN AOD ND 1 a3 = = ⇒ VN AOD = VS AOD = VS AOD SD 3 36 VC AMN = 2VO AMN Do đó:  a3 a3 a a3  a3 =  − − − ÷=  18 24 36  12 Trang 1/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với cạnh AD = 2CD Biết hai mặt phẳng ( SAC ) , ( SBD ) vng góc với mặt đáy đoạn BD = ; góc ( SCD ) mặt đáy 60° Hai điểm M , N trung điểm SA, SB Thể tích khối đa diện ABCDMN 108 15 A 25 128 15 B 15 16 15 C 15 Hướng dẫn giải 18 15 D Chọn D ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Gọi O = AC ∩ BD Do 12 ⇔ 5CD = 62 ⇔ CD = AD = 2 Theo tính chất hình chữ nhật: AD + CD = BD 72 S ABCD = AD.CD = Khi diện tích đáy: CD ⊥ SO, CD ⊥ OI ⇒ CD ⊥ ( SOI ) ⇒ CD ⊥ SI Gọi I trung điểm CD Do · ⇒ ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( SI , OI ) = SIO = 60° AD · OI = = , SIO = 60° SO = OI tan 60° = 5 Trong tam giác SOI vng O , có: 1 72 144 15 V = S ABCD SO = = 3 25 Thể tích S ABCD là: Ta có Do VS ABD = VS BCD = S ∆SMN = V 1 S∆SAB ⇒ VSMND = VSABD = V 4 Do N trung điểm SB ⇒ d ( N , ( SCD ) ) = 1 d ( B, ( SCD ) ) ⇒ VSCDN = VSBCD = V 2 18 15 VS CDMN = VSMND + VSCDN = V ⇒ VABCDMN = V − V = V = 8 Ta có: Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng thay đổi song song với đáy cắt cạnh bên SA , SB , SC , SD M , N , P , Q Gọi M ′ , N ′ , P′ , Q′ hình chiếu vng góc M , N , P , Q lên mặt phẳng ( ABCD ) Tính tỉ số SM SA để thể tích khối đa diện MNPQ.M ′N ′P′Q′ đạt giá trị lớn 1 A B C D Trang 2/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Hướng dẫn giải Chọn A SM =k k ∈ [ 0;1] Đặt SA với MN SM = =k ⇒ MN = k AB SA Xét tam giác SAB có MN //AB nên AB MQ SM = =k ⇒ MQ = k AD Xét tam giác SAD có MQ //AD nên AD SA Kẻ đường cao SH hình chóp Xét tam giác SAH có: MM ′ AM SA − SM SM = = = 1− = − k ⇒ MM ′ = ( − k ) SH ′ MM //SH nên SH SA SA SA Ta có VMNPQ.M ′N ′P′Q′ = MN MQ.MM ′ = AB AD.SH k ( − k ) VS ABCD = SH AB AD ⇒ V MNPQ M ′N ′P′Q ′ = 3.VS ABCD k ( − k ) Mà V k ( − k ) Thể tích khối chóp khơng đổi nên MNPQ.M ′N ′P′Q′ đạt giá trị lớn lớn ( − k ) k k  − k + k + k  k ( k − 1) = ≤  ÷ ⇒ k ( k − 1) ≤ 2  27 Ta có 2( 1− k ) = k ⇔ k = Đẳng thức xảy khi: SM = Vậy SA Câu Cho khối hộp ABCD.A ¢B¢C ¢ D ¢ Tính A B tỉ số thể tích khối hộp khối tứ diện C ACB¢D ¢ D Hướng dẫn giải Chọn D Trang 3/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 1 1 VACB′D′ = V − VAA′B′D′ − VCADD′ − VACBB′ = V − V − V − V = V Gọi , ta có V = 2VACB′D′ Nên ABCD A′B′C ′D′ Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông cân A , cạnh BC = a ( AB′C ) mặt phẳng ( BCC ′B′) 60° Tính thể tích khối đa diện Góc mặt phẳng AB′CA′C ′ a3 3 3a a3 3 A B C D a Hướng dẫn giải Chọn D V = VABCD A′B ′C ′D ′  AI ⊥ BC a ⇒ AI ⊥ ( BB′C ′C )  AI = ′ AI ⊥ CC (trung tuyến Gọi I trung điểm BC , ta có  tam giác vng nửa cạnh huyền) Kẻ IH ⊥ B′C mà AI ⊥ B′C suy AH ⊥ B′C ( AB′C ) mặt phẳng ( BCC ′B′) ·AHI = 60° Vậy góc mặt phẳng AI a IH = = 2 tan 60° ; CH = CI − IH = a Ta có IH CH IH CB ⇒ = ⇒ BB′ = =a ′ B′B CB CH Mặt khác ∆CIH : ∆CB B Trang 4/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 1 a VAB′CA′C ′ = VABB′C′C = AI S BCC ′B′ = a 3.a = a 3 3 Câu Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA = 3SM , SN = NB , (α ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu ( H1 ) ( H ) khối ( H1 ) đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng (α ) , đó, chứa điểm S , V1 (H2 ) V V (H ) (H2 ) chứa điểm A ; thể tích Tính tỉ số V2 25 A 47 25 B 48 35 C 45 Hướng dẫn giải D Chọn A Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P , Q giao điểm (α ) với (H ) đường thẳng BC , AC Ta có NP //MQ //SC Khi chia khối mặt phẳng (QNC ) , ta hai khối chóp N SMQC N QPC Với khối chóp N.SMQC: NS 2 = VN SMQC = VB.SMQC Vì BS AM = ⇒ S AMQ = S SAC ⇒ S SMQC = S SAC 16 16 Lại có: AS VN SMQC = VS ABC 24 Vậy Với khối chóp N.QPC: SCPQ CP CQ 1 = = = S CB CA CBA Vì 1 VN PQC = VN ABC = VSABC 18 Do V1 V V 25 25 25 47 = + = ⇒ = 1− = ⇒ = V 24 18 72 VSABC 72 72 V2 47 Như vậy: SABC S ABCD Câu 7.Cho hình chóp có đáy hình bình hành tích Gọi M , N trung điểm cạnh AB , AD Tính thể tích khối tứ diện SCMN Trang 5/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A B Khối Đa Diện - Hình Học 12 C Hướng dẫn giải D Chọn B Cách 1: 1 3 3 SCMN = CK MN = CH BD = CH BD = S BCD = S ABCD 2 2 4 3 VSCMN = VS ABCD = = 8 Vậy Cách 2: 1 1 1 S AMN = S ABD = S ABCD S NCD = S ACD = S ABCD S BMC = S ABC = S ABCD 4 Ta thấy ; ;  1 1 S MNC = 1 − − − ÷S ABCD = S ABCD  4 Do đó, VSCMN = VS ABCD = Vậy ′ ′ ′ ABC A B C Câu Cho lăng trụ có đáy tam giác vuông cân A , AB = a Gọi G trọng tâm tam ( ABC ) A′B tạo với đáy góc 45° Tính giác ABC Biết A′G vng góc với mặt phẳng thể tích khối chóp A′.BCC ′B′ a3 A a3 B a3 C Hướng dẫn giải a3 D Chọn D Trang 6/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 2 a a BG = a + ÷ = = A′G ° ·A′BG = 45 3   Ta có: ; a a a 2 = VA′BCC ′B′ = VABCA′B′C ′ = S ABC A′G = 3 3 Câu Cho hình chóp S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA = SM , SN = NB , ( α ) mặt phẳng qua MN song song với SC Mặt phẳng ( α ) chia khối chóp S ABC thành hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) với ( H1 ) khối đa diện chứa điểm S , ( H ) V1 V V ( H1 ) ( H ) Tính tỉ số V2 khối đa diện chứa điểm A Gọi thể tích A B C Hướng dẫn giải D Chọn B Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC ( α ) với đường thẳng BC , AC Gọi P , Q giao điểm Ta có NP // MQ // SC Khi chia khối ( H1 ) mặt phẳng ( QNC ) , ta hai khối chóp N SMQC N QPC Trang 7/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A VN SMQC V Ta có B ASC d ( N , ( SAC ) ) d ( B, ( SAC ) ) VN SMQC = = d ( N , ( SAC ) ) S SMQC × d ( B, ( SAC ) ) S SAC NS = BS S AMQ ; S ASC 10 = × = 27 = Khối Đa Diện - Hình Học 12 S SMQC AM AQ  AM  = = ÷ = ⇒ AS AC  AS  S ASC Do VB ASC VN QPC d ( N , ( QPC ) ) SQPC NB  CQ CP    = × = × × ÷ = × × ÷ = VS ABC d ( S , ( ABC ) ) S ABC SB  CA CB   3  27 V1 V V1 VN SMQC VN QPC 10 = ⇒ = = + = + = ⇒ V1 + V2 ⇒ 5V1 = 4V2 V2 VB ASC VS ABC 27 27 Do V o · Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thoi cạnh a ABC = 60 Biết SA = SC , SB = SD ( SAB ) ⊥ ( SBC ) G trọng tâm tam giác ( SAD ) Tính thể tích V tứ diện GSAC A V= a3 96 B V= a3 48 V= C Hướng dẫn giải a3 24 D V= a3 12 Chọn B VGSAC = d ( G, ( SAC ) ) S ∆SAC Ta có S * Tính ∆SAC ?  SA = SC ⇒ SO ⊥ AC ⇒ SO ⊥ ( ABCD )  SB = SD ⇒ SO ⊥ BD Gọi O = AC ∩ BD ,  Kẻ OH ⊥ SB , AC ⊥ ( SBD ) nên SB ⊥ ( AHC ) o · ) ( )] [( Suy SAB , SBC = ( AH , CH ) = AHC = 90 Do OH ⊥ AC OH trung tuyến nên tam giác AHC vuông cân H Trang 8/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khi OH = Khối Đa Diện - Hình Học 12 a a OB = AC = 2 1 a = + ⇒ SO = 2 OS OB Mà tam giác SOB vng O có đường cao OH nên OH 1 a a2 S ∆SAC = SO AC = a = 2 Vậy ( ) * Tính d ( E , SAC ) ? d ( G, ( SAC ) ) SG = = ( ) Gọi E trung điểm AD d ( E , SAC ) SE a ⇒ d ( E , ( SAC ) ) = EF = OD = ( ) Gọi F trung điểm OA EF ⊥ SAC 2 a a d ( G , ( SAC ) ) = d ( E , ( SAC ) ) = = 3 Suy 1 a a2 2a VG SAC = d ( G , ( SAC ) ) S ∆SAC = = 3 48 Vậy Câu 11 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ tích V Gọi M điểm thuộc cạnh CC ′ cho CM = 3C ′M Tính thể tích V khối chóp M ABC V V 3V V A B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn B A′ C′ M B′ A C H K B Trang 9/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 ( ABC ) Gọi H , K hình chiếu vng góc C ′ M lên mặt phẳng MK CM ⇒ = = ′ C H // MK CC ′ CC ′ Ta có 1 V VM ABC = MK S ABC ⇔ VM ABC = CC ′.S ABC = 3 4 Khi Câu 12 Tính thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh tứ diện cạnh a a3 a3 a3 a3 V= V= V= V= 24 12 16 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A a Đa diện khối bát diện cạnh Vì thể tích khối đa diện là:  a  a a3 V =  ÷ = 2 24 Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi E điểm ( α ) mặt phẳng chứa đường thẳng AE song song với đường cạnh SC cho EC = ES , ( α ) cắt hai cạnh SB, SD hai điểm M , N Tính theo V thể tích khối chóp thẳng BD , S AMEN V A V B 12 V C Hướng dẫn giải V D 27 Trang 10/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Câu 19 Cho hình chóp S.ABC có đáy cạnh a , góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC ) 60° Gọi A′, B′, C ′ tương ứng điểm đối xứng A, B, C qua S Thể tích khối bát diện có mặt ABC , A′B′C ′, A′BC , B′CA, C ′AB , AB′C ′, BA′C ′, CA′B′ 3a 3 A B 3a C Hướng dẫn giải 3a 3a 3 D Chọn C Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( ABC ) Vì SA = SB = SC suy SI vng góc với mặt phẳng ·SA, ABC = ·SA, IA = SAI ( )) ( ) · = 60° ( Và Tam giác SAI vng I, có Thể tích khối chóp S.ABC SI a ⇒ SI = tan 60° =a AI a = SI S ∆ABC = 12 · tan SAI = VS ABC V = 6.VS ABC a3 = Vậy thể tích khối chóp cần tính Câu 20 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với nhau, AB = 6a, AC = a, AD = a Gọi M , N , P tương ứng trung điểm cạnh BC , CD , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 V = a3 V = a3 3 A V = 7a B V = 14a C D Hướng dẫn giải Chọn A Trang 15/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: S MNP = Khối Đa Diện - Hình Học 12 S ABC ⇒ VAMNP = VABCD = 7a ( P ) chứa cạnh BC cắt cạnh AD E Biết góc Câu 21 Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt phẳng tan α = P BCD ( ) ( ) có số đo α thỏa mãn Gọi thể tích hai tứ hai mặt phẳng V1 V V diện ABCE tứ diện BCDE Tính tỉ số V2 A B C Hướng dẫn giải D Chọn B ( BCD ) Khi H , Gọi H , I hình chiếu vng góc A , E mặt phẳng I ∈ DM với M trung điểm BC a a a AH = DH = MH = , , Ta tính Ta có góc ( P) với ( BCD ) ⇒ ( ( P ) , ( BCD ) ) · = EMD =α Khi tan α = EI = MI  a x  DE AH =x =  EI =  AD a ⇒ a  x  DE.DH x DE EI DI ⇒ = =  DI = AD = a =  AD AH DH Gọi DE = x a x MI = DM − DI = − Khi x ⇔ = EI a x − tan α = = ⇔x= a MI Vậy Trang 16/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 VDBCE DE V = = ⇒ ABCE = VBCDE Khi đó: VABCD AD Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA , N ( R ) chứa MN cắt đoạn SD Q cắt điểm đoạn SB cho SN = NB Mặt phẳng VS MNPQ đoạn SC P Tỉ số VS ABCD lớn 1 A B C Hướng dẫn giải Chọn C D 1 SP SM SP SN SQ SQ  =x + = + ⇒ = +x− = x− x > ÷ 6 < x ≤ Ta có SA SC SB SD SC  Đặt SC V = 2VS ABC = 2VS ACD Mặt khác ABCD hình bình hành nên có S ABCD VS MNP SM SN SP VS MPQ SM SP SQ  1 = = x = = x x − ÷ VS ABC SA SB SC ; VS ACD SA SC SD  6 VS MNPQ = V VS MNP 1  1 1 + S MPQ = x + x  x − ÷ = x + x 2VS ABC 2VS ACD  6 Suy VS ABCD 1 1  1 f ( x ) = x2 + x < x ≤ f ′ ( x ) = x + = ⇔ x = − ∉  ;1 6  với Xét ; Bảng biến thiên: max f ( x ) = Từ BBT ta có 1   ;1 6  VS MNPQ V Vậy S ABCD đạt giá trị lớn Trang 17/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Câu 23 Cho tứ diện ABCD điểm M , N , P thuộc cạnh BC , BD , AC cho BC = BM , AC = AP , BD = BN Tính tỉ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD mp ( MNP ) phân chia 7 8 A 13 B 15 C 15 D 13 Hướng dẫn giải Chọn A ( MNP ) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện Gọi E = MN ∩ CD , Q = EQ ∩ AD , mặt phẳng tứ giác MNQP NI = BC NI = MC , BC = BM nên suy Bởi Gọi I trung điểm CD NI PCB EN EI NI = = = EM EC MC EI ED = = Từ I trung điểm CD EC suy EC EK KD ED = = = Kẻ DK P AC với K ∈ EP , ta có EP AC EC Mặt khác AC = AP nên suy QD QK KD KD = = = = AP Do QA QP AP QK EK EQ = = = Từ QP EP suy EP V V Gọi V thể tích khối tứ diện ABCD , thể tích khối đa diện ABMNQP , thể tích khối đa diện CDMNQP S ∆CMP CM CP 1 = = = ⇒ S∆CMP = S ∆CAB CB CA 2 Ta có S ∆CAB ED = d ( E; ( ABC ) ) = d ( D; ( ABC ) ) Vì EC nên Do : 1 3 VE CMP = S∆CMP d ( E ; ( ABC ) ) = S ∆CAB d ( D; ( ABC ) ) = S ∆CAB d ( D; ( ABC ) ) = V 3 2 4 Trang 18/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A VE DNQ Khối Đa Diện - Hình Học 12 ED EN EQ 2 = = VE DNQ = VE CMP = V = V VE CMP EC EM EP 3 15 , nên suy 15 15 10 13 V2 = VE CMP − VE DNQ = V − V = V 10 20 Từ ta có 13 V1 = V − V2 = V − V = V 20 20 Và V1 = V Như : 13 = Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD O Biết OA = 2, OB = 1, OS = 2 Gọi M trung điểm cạnh SC , mặt phẳng ( ABM ) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S ABMN 2 V= V= V =2 B C D V = A Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 1 VS ABMN = VS ABN + VS BMN = VS , ABD + VS DBC 2 V V 3V = + = 2 VS ABCD = V với Ta có 1 1 4.2 V = ×S ABCD SO = × AC BD.SO = × ×2 = 3 3 ⇒ VS ABMN = × = Câu 25 Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P , Q trung điểm AC , AD , BD , BC Thể tích khối chóp AMNPQ V A V B V C Hướng dẫn giải V D Chọn D Trang 19/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 ⇒ VAPMQ = VBPMQ (do MNPQ hình thoi), AB // MQ d ( P, ( ABC ) ) = d ( D , ( ABC ) ) Mặt khác P trung điểm BD nên , đồng thời 1 1 S BQM = S ABC ⇒ VBPMQ = d ( P, ( ABC ) ) S BQM = d ( D, ( ABC ) ) S ABC 1 V V = d ( D, ( ABC ) ) S ABC = ⇒ VAMNPQ = 8 Câu 26 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích 48 Gọi M , N , P điểm thuộc cạnh AB , CD , SC cho MA = MB, NC = ND , SP = PC Tính Ta có VAMNPQ = 2VAPMQ thể tích V khối chóp P.MBCN A V = 28 B V = 40 C V = 14 Hướng dẫn giải D V = 20 Chọn C Đặt CD = a h độ dài đường cao hạ từ A xuống CD S = a.h Diện tích hình bình hành ABCD là: ABCD S BMNC = 1 a 2a 7 ( BM + CN ) h =  + ÷h = ah = S ABCD 2  12 12 Diện tích hình thành BMNC là: 1 7 VP.MNCB = S MNCB d( P ,( MNCP ) ) = S ABCD d( S ,( ABCD ) ) = VS ABCD = 48 = 14 3 12 24 24 Suy ra: Trang 20/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC Một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB SD M N Gọi V1 thể tích V1 khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ V ? 1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A SM SN y= SB , SD , ( < x, y ≤ 1) Đặt V1 VS AMP + VS ANP = VS AMP + VS ANP =  SM SP + SN SP  = = ( x + y) 2VS ABC 2VS ADC  SB SC SD SC ÷  V Ta có V (1) V1 VS AMN + VS PMN = VS AMN + VS PMN =  SM SN + SM SN SP  = = xy 2VS ABD 2VS CBD  SB SD SB SD SC ÷  V Lại có V (2) x= x x ≤1 ( x + y ) = xy ⇒ x + y = 3xy ⇒ y = < y ≤ x − Từ điều kiện Suy , ta có x − , hay x≥ V1 x = Thay vào (2) ta tỉ số thể tích V 3x − x 1  f ( x) = , x ∈  ;1 3x −   , ta có Đặt 3x − x f ′( x) = ( 3x − 1)  x = (loaïi) ′ f ( x) = ⇔   x = (nhaä n)  , V 1 2 = f ( x ) = f   = f  ÷ = f ( 1) = f  ÷=  ÷ V x∈ ;1 ,   ,  2 3 2  Câu 28 Cho tứ diện ABCD điểm M , N , P thuộc cạnh BC , BD , AC cho BC = BM , AC = AP , BD = BN Tính tỉ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD phân chia mặt phẳng A 15 ( MNP ) B 13 C 13 D 15 Trang 21/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Hướng dẫn giải Chọn C ( DBC ) ( ACD ) Trong mặt phẳng Trong mặt phẳng vẽ MN cắt CD K vẽ PK cắt AD Q KC ND MB =1 Theo định lý Mennelaus cho tam giác ∆BCD cát tuyến MNK ta có KD NB MC KC ⇒ =3 KD KC QD PA =1 PKQ KD QA PC ∆ ACD Theo định lý Mennelaus cho tam giác cát tuyến ta có QA = ⇒ QA = QD AD V = VABCD Đặt , ta có VB APQ S APQ AP AQ 1 = = = ⇒V VB ACD ⇒ VB.PQDC = V B APQ = V S AC AD 5 ACD • B ACD VP.BMN S BMN BM BN VP.BCD SCPD CP = = = = ⇒V = = = V P BMN S ACD CA BC BD V 12 • VP.BCD S BCD VQ.PBN S PBN VBQPD S DQP S DQP S ADP = = = = = ⇒ V = V QPBN V SPBD S ACD S DAP S ACD 15 15 • Q.PBD V V V +V + VQ.PBN ⇒ VAB.MNPQ = ⇒ AB.MNPQ = A.BPQ P BNM = VCD.MNPQ 13 V V 20 ⇒ Câu 29 Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SC , mặt ( P ) chứa AM song song BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, đặt V1 thể tích phẳng V2 V khối đa diện có chứa đỉnh S thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD Tỉ số V1 là: V2 =2 V A V2 =1 V B V2 = V C Hướng dẫn giải V2 =3 V D Trang 22/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Chọn A V =V Đặt S ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi I giao điểm SO AM ( P ) //BD nên ( P ) cắt mặt phẳng ( SBD ) theo giao tuyến NP qua I song song với BD ; Do ( N ∈ SB; P ∈ SD ) Xét tam giác SAC có I giao điểm hai trung tuyến nên I trọng tâm VS APN SP.SN 2 4 = = = ⇒ VS APN = VS ADB = V = V V SD SB 3 9 9 Ta có S ADB VS PMN SP.SM SN 2 2 1 = = ⇒ VS PMN = VS DCB = V = V V SD SC SB 9 Tương tự S DCB =3 V2 =2 = V V1 = VS APN + VS PMN V Từ Do S ABCD ABCD Câu 30 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh a , SA = a SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm SB , N điểm thuộc cạnh SD cho SN = ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 V= a V = a3 V = a3 V = a3 36 12 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D a3 VS ABCD = SA.S ABCD = 3 Cách Ta có VNDAC = 1   a3 NH S ∆DAC = a  a ÷ = 3   18 1 a   a3 VMABC = MK S∆ABC =  a ÷ = 3   12 a3 d ( A, ( SMN ) ) S ∆SMN = 18 1  a  a3 VNSAM = NL.S∆SAM = a  a ÷ = 3  2  18 Suy Trang 23/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 1 a3 VC SMN = d ( C , ( SMN ) ) S∆SMN = d ( A, ( SMN ) ) S ∆SMN = 3 18 Mặt khác 3 a a a a3 a3 V = VS ABCD − VNSAM − VNADC − VMABC − VSCMN = − 18 − 18 − 12 − 18 = 12 a Vậy ACMN Cách Gọi O giao điểm AC BD a3 VS ABCD = SA.S ABCD = 3 Vì OM //SD nên SD // ( AMC ) Ta có Do d ( N ; ( AMC ) ) = d ( D; ( AMC ) ) = d ( B; ( AMC ) ) a3 ⇒ VACMN = VN MAC = VD.MAC = VB.MAC = VM BAC = VS ABCD = 12 Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác đều, mặt bên SCD tam giác vuông cân S Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho BM vng góc với SA Tính thể tích V khối chóp S BDM A V= a3 32 B V= a3 48 V= C Hướng dẫn giải a3 16 D V= a3 24 Chọn B Gọi I , J trung điểm AB CD a a SI = SJ = , , IJ = a Gọi H hình chiếu S lên IJ Ta có 2 Khi SI + SJ = IJ suy tam giác SIJ vuông S Trang 24/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A SH = SI SJ = Khối Đa Diện - Hình Học 12 3a 13 a ⇒ HI = SI − SH = AH = SA2 − SH = a 4 SI + SJ Ta có  AB ⊥ SI   AB ⊥ IJ ⇒ AB ⊥ ( SIJ ) ⇒ AB ⊥ SH  SH ⊥ AB  ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( BDM ) Do  SH ⊥ IJ BM ⊥ SA   Gọi E = AH ∩ BM Ta có  BM ⊥ SH ⇒ BM ⊥ AH 2 AE AB = $ µ µ Ta có ∆ABE đồng dạng với ∆AHI ( I = E = 90° A chung) nên ta có AI AH AB AI 2a ⇒ AE = = AH 13 AB AE = à ả Ta cú ABE ng dạng với ∆BMC ( C = E = 90° B = M ) nên ta có BM BC AB.BC 13a = AE a2 3a = = a − a a S ∆BMD = S∆BMC − S∆BDC 2 3 a a = a V = SH S ∆BMD = 4 48 Thể tích V khối chóp S BDM Câu 32 Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N hai điểm thay đổi thuộc cạnh BC , BD cho ( AMN ) ln vng góc với mặt phẳng ( BCD ) Gọi V1 , V2 giá trị lớn V +V giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện ABMN Tính ⇒ BM = A 12 17 B 216 17 C 72 Hướng dẫn giải 17 D 144 Chọn B Trang 25/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 AH ⊥ ( BCD ) ( AMN ) ⊥ ( BCD ) nên AH ⊂ ( AMN ) Gọi H tâm tam giác BCD , ta có , mà hay MN qua H = 1− = BH = 2 3 ⇒ AH = AB − BH Ta có BM BN sin 60° = BM BN V = AH S BMN = 3 12 Thể tích khối chóp ABMN Do MN qua H M chạy BC nên BM BN lớn M ≡ C N ≡ D V1 = 24 + BM BN nhỏ MN //CD 17 V1 + V2 = 216 Vậy BM = BN = 2 ⇒ V2 = 27 ( α ) qua A , B trung Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Mặt phẳng ( α ) chia khối chóp cho thành hai phần tích V1 điểm M SC Mặt phẳng V1 , V2 với V1 < V2 Tính V2 V1 = V A V1 = V B V1 = V C Hướng dẫn giải V1 = V D Chọn B S M N B C A D Trang 26/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12   AB ⊂ ( α ) ⇒ ( α ) ∩ ( SCD ) = MN // AB // CD  AB // CD   Ta có ⇒ (α ) cắt hình chóp theo thiết diện hình thang ABMN ( ABMN ) chia hình chóp thành hai đa diện S ABMN ABCDNM tích lần Khi lượt V1 V2 Lại có VSABM 1 = ⇒V = VSABC = VSABCD SABM  VSABC VSAMN 1 = ⇒V VSABC = VSABCD SAMN = V 4  SACD V1 = VSABM + VSAMN = VSABCD V2 = VSABCD − VSABMN = VSABCD 8 Mà V1 = V Vậy Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M di động cạnh SC , đặt MC =k MS Mặt phẳng qua A , M song song với BD cắt SB , SD thứ tự N , P Thể tích khối chóp C APMN lớn A k = B k = C k = Hướng dẫn giải D k = Chọn C ( α ) qua A , M song song với BD nên ( α ) ∩ ( SBD ) = PN //BD suy Giả sử mặt phẳng SP SN = = x V =V S ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo BD AC , I giao điểm SD SB ; SO NP AM ∩ SO = { I } Trong tam giác SAC với trung tuyến SO , ta chứng minh SA SC SO + =2 SA SM SI Trang 27/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 BD ∩ SO = { I } Trong tam giác SBD với trung tuyến SO , ta chứng minh SB SD SO + =2 SN SP SI SA SC SB SD 2 + = + + ( k + 1) = ⇒ x = ⇒ SA SM SN SP ⇔ x k +2 SM SN VS APMN = 2VS AMN = VS ABC = x.V = ( k + 1) ( k + ) V SC SB k +1 Ta có VS APMN MS = = V MC k ⇒ VC APMN = k VS APMN C APMN mà 2k 2V 2V ⇒ VC APMN = V = ≤ 2 ( k + 1) ( k + ) k + +3 2 +3 ⇔k= ⇔k= k k Dấu " = " xảy Câu 35 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có tất cạnh a Gọi M , N ( A′MN ) cắt cạnh BC P Thể tích khối đa trung điểm cạnh AB B′C ′ Mặt phẳng diện MBP A′B′N 3a 3a 3a 3a A 96 B 68 C 32 D 32 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi Q trung điểm BC Suy AQ //A′N Suy MP //AQ ⇒ P trung điểm BQ Ta có BB′ , A′M , NP đồng quy S B trung điểm B′S ⇒ SB′ = 2a a2 a3 S A′B′N = ⇒ VS A′B ′N = VS MBP = VS A′B′N 12 ; Trang 28/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ⇒ VMBP A′B′N Khối Đa Diện - Hình Học 12 7 3a3 = VS A′B′N = 96 Trang 29/29 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 29 ... Tính thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh tứ diện cạnh a a3 a3 a3 a3 V= V= V= V= 24 12 16 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A a Đa diện khối bát diện cạnh Vì thể tích khối đa diện là: ... Câu 29 Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SC , mặt ( P ) chứa AM song song BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, đặt V1 thể tích phẳng V2 V khối đa diện có... tứ diện có cạnh Trên cạnh AB CD lấy điểm M uuur uuur r uuur uuur N cho MA + MB = NC = −2 ND Mặt phẳng ( P ) chứa MN song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện