Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Kỳ thi chän häc sinh giái tØnh Khèi 12 THPT - Năm học 2006-2007 Đề thi thức Moõn : TOAN ( Vòng 1) Thời gian làm : 150 phút BÀI 1:(5 điểm) Với tham số thực m, p (m ≠ 0), xét đồ thị : x2 − m2 (Hm ) : y = vaø (Cp) : y = x − (2 p − 1) x x a/ Tìm điều kiện m p để đồ thị (Hm ) và(Cp) tiếp xúc b/ Chứng tỏ đồ thị (Hm ) và(Cp) tiếp xúc tiếp điểm chúng nằm đồ thị : y = x - x3 BÀI 2:(3 điểm) Chứng minh tam giác ABC có góc 450 : 2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = BÀI :(6 điểm) Trên mặt phẳng, xét hình vuông ABCD tam giác EFG cắt tạo thành thất giác lồi MBNPQRS hình G D Q P C R N E S A M B F a/ Chứng minh : “ Nếu SM = NP = QR MB = PQ BN = RS ” b/ Chứng minh : “ Nếu MB = PQ BN = RS SM = NP = QR ” BÀI 4:(6 điểm) Xét số thực thay đổi x,y thỏa điều kiện : x2 - xy + y2 = a/ Tìm giá trị lớn T = x2y - xy2 b/ Tìm tất cặp (x; y) để T đạt giá trị nhỏ - Heát - Së Giáo dục Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Đề thi thức Khối 12 THPT - Năm học 2006-2007 Moõn : TOAN BAỉI Câu a (3đ) Câu b (2đ) BÀI (3đ) ( Vòng 1) ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM NỘI DUNG (Hm ) và(Cp) tiếp xúc hệ sau có nghiệm: ĐIỂM x2 − m2 = x − (2 p − 1) x x + m = x − (2 p − 1) x2 x − m = x − (2 p − 1) x ⇔ (x ≠0) x + m = x − (2 p − 1) x x4 = m2 ⇔ Với m ≠ x ≠ m = px 0,5 x2 = m ⇔ (m ≠ ) m = p m Điều kiện để (Hm ) và(Cp) tiếp xúc : p = m 0,5 Tọa độ tiếp điểm thỏa : x4 = m2 vaø y = 0,5 x2 − m2 x (m ≠ ) (m ≠ ) x2 − x4 Do : y = = x - x3 Tiếp điểm đồ thị: y = x - x3 x NOÄI DUNG Cho tam giác ABC có góc bằng45 chứng tỏ: 2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = (1) Chẳng hạn A= 450,vế trái (1) : (sinB.sinC-cosB.cosC)= - cos(B+C)= cosA=1 Giả sử (1) Ta co:ù (1) ⇔ sinA[cos(B-C) -cos(B+C)] -cosA[cos(B-C) +cos(B+C)] = ⇔ cos(B-C)[sinA-cosA]+sinAcosA +cos2A = ⇔ (sinA-cosA)[cos(B-C) -sinA] = ⇔ sin(A-450)[cos(B-C) -cos(900-(B+C))] = ⇔ sin(A-450)sin(B-450)sin(C-450) = (2) Do A,B,C góc tam giác nên từ (2) suy tam giác ABC có góc 450 0,5 1 ĐIỂM 1,5 0,5 BÀI Câu a (3đ) NỘI DUNG Chọn hệ trục Axy hình vẽ : Gọi a cạnh hình vuông ABCD A(0,0) , B(a,0), C(a,a), D(0,a) M(m,0), N(a,n) ,P(p,a),Q(q,a),R(0,r), S(0,s) MB= a-m; PQ= p-q; BN= n ; RS= r-s ÑIEÅM y G D Q P C R N E S A M B x F Câu b (3đ) Nếu SM = NP = QR kết hợp với EF = FG = GE ,ta coù: SM = k EF ; SM NP = k FG ; QR = k GE với k = EF Nhưng : EF + FG + GE = O neân : SM + NP + QR = O Do SM + NP + QR = (m+p-a-q; -s -n +r ) neân: m+p-a-q = ; -s -n +r = Hay a-m = p-q n = r-s ,tức :MB = PQ BN = RS Nếu MB = PQ BN = RS MB + PQ = O , BN + RS = O 0,5 Kết hợp với SM + MB + BN + NP + PQ + QR + RS = O , 0,5 ta coù: SM + NP + QR = O BÀI Câu a (3,5đ) Nhưng : SM = x EF ; NP = y FG ; QR = z GE SM NP QR ;y= ;z= với x = EF FG GE nên : x EF + y FG +z GE = O ⇔ (x-z) EF = (z-y) FG ⇔ x-z = z-y = (vì EF FG không phương ) Từ x = y = z EF = FG = GE suy : SM = NP = QR NOÄI DUNG 2 2 x - xy + y = ⇒ x + y = xy+ T = x2y - xy2 = xy(x-y) ⇒ T2 = (xy)2(x2 + y2 - 2xy) = t2(t+3-2t) = 3t2 - t3 với t = xy Do x2 + y2 = xy+ vaø x2 + y2 ≥ xy nên t+3 ≥ t Vì t ∈ [ -1 ; 3] 0,5 Giá trị lớn f(t) = 3t -t đọan [ -1 ; 3] laø Max{f(-1); f(3), f(0), f(2)} = (do : f’(t) = 6t-3t2 = 3t(2-t); f(-1) = = f(2); f(3) = = f(0) ) Vaäy: T2 ≤ 0,5 ĐIỂM 0,5 T2 ≤ ⇔ -2 ≤ T ≤ Với x = -1, y=1 x2 - xy + y2 = T=2 Vậy giá trị lớn T Câu b (2,5đ) T ≥ -2 ; T = -2 trừơng hợp sau : x y − xy = −2 x y − xy = −2 xy = −1 (II) xy = (I) x − xy + y = x − xy + y = Giải hệ (I) : x =1; y= -1 Giải hệ (II) : x = -2; y= -1 hay x = 1; y= T đạt giá trị nhỏ trường hợp : (x,y) ∈ { (1; -1) , (1; 2) , (-2; -1) } 1 0,5 0,5 0,5 Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiªn HuÕ Kú thi chän häc sinh giái tØnh Khèi 12 THPT - Năm học 2006-2007 Đề thi thức Môn : TOÁN ( Vòng 2) Thời gian làm : 150 phút BÀI 1: (3 điểm) 6 x + y − xy − x + y + = Giải hệ phương trình : x − y = ln( x + 2) − ln( y + 2) BAØI 2: (6 điểm) Cho lăng trụ tứ giác (L) tùy y Giả sử bên (L) có hình cầu (S) bán kính R tiếp xúc với tất mặt (L) a/ Gọi Sđ diện tích mặt đáy (L), Sxq tổng diện tích mặt bên (L) Chứng tỏ : Sxq = 4Sđ b/ Chứng minh tổng tất diện tích mặt (L) lớn 24R2 BÀI 3:(5 điểm) Cho dãy số (un) xác định : u1 = 2; u2 = với n ≥ : un = nun −1 − (n − 2)un − − 2n + a/ Tìm n để un − 2007 có giá trị nhỏ b/ Tìm số dư chia u2007 cho 2006 BÀI 4:(6 điểm) Xét phương trình hàm : f ( xy ) − f ( x) ⋅ f ( y ) = [ f ( x + y ) − xy − 1] với số thực x, y a/ Tìm hàm số chẵn thỏa mãn phương trình hàm b/ Tìm tất hàm số thỏa mãn phương trình hàm - Heát - Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Đề thi thức Kỳ thi chän häc sinh giái tØnh Khèi 12 THPT - Năm học 2006-2007 Moõn : TOAN ( Voứng 2) ẹAP ÁN - THANG ĐIỂM BÀI (3đ) BÀI Câu a (2đ) Câu b (4đ) NỘI DUNG 6 x + y − xy − x + y + = (1) Điều kiện : x> -2 , y> -2 x− y ln( x ) ln( y ) ( ) = + − + Giải y theo x từ (1) : y2 + (3-5x)y + 6x2 - 7x + 2= ∆ y = (3-5x)2 - 4(6x2 - 7x + 2) = x2 - 2x + = (x-1)2 ; y = 3x - , y = 2x - 2 Viết lại (2) : x - 3ln(x+2) = y - 3ln(y+2) hay f(x) = f(y) với f(t) = t - 3ln(t+2) t −1 Sự biến thiên f(t) khỏang (-2;+ ∞ ): f’(t)= 1= t+2 t+2 f(t) nghịch biến khỏang (-2; 1) ; f(t) đồng biến khỏang (1; + ∞ ) Nếu x = y = (1; 1) nghịêm hệ Nếu x, y khỏang (-2; + ∞ ) thỏa (1) x ≠ 1,thì f(x) < f(y) Thaäy vaäy, y = 3x-2 hay y = 2x - neân y - x = 2(x-1) hay y - x = x - Với x > từ y = 3x-2 hay y = 2x - có y > x> Suy f(y) > f(x) Với x < từ y = 3x-2 hay y = 2x - có y < x f(x) Vậy nghiệm hệ : (x, y) =(1,1) NỘI DUNG Chiều cao (L) 2R Thể tích (L) : V= 2R.Sđ (*) Gọi I tâm hình cầu (S) Lăng trụ (L) hợp hình chóp có đỉnh I đáy mặt bên mặt đáy Các hình chóp có chiều cao R Vì có : V= R(Sxq +2Sđ ) (**) So sánh kết (*) (**) suy : Sxq = 4Sđ Diện tích tòan phần (L) : Stp = Sxq + 2Sđ = Sxq ; Stp ≥ 24R2 2 ⇔ Sxq ≥ 16R N Gọi d độ dài cạnh bên (L) Mặt phẳng qua I vuông góc với cạnh bên (L) R R cắt hình cầu (S) theo hình tròn (C ), tâm I bán kính R, m M I cắt cạnh bên điểm M, N, P, Q m R Tứ giác MNPQ ngọai tiếp (C ) R Ta có : Sxq = d(MN + NP + PQ + QM) ĐIỂM 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐIỂM 0.5 0,5 1 P Q Chú ý : d ≥ R Ta chứng minh thêm: MN + NP + PQ + QM ≥ 8R 0,5 · · · , 2q = PQM · Đặt : 2m = QMN , 2n = MNP , p = NPQ Ta coù: m, n, p, q ∈ (0, π ) vaø m + n + p + q = π ; MN + NP + PQ + QM = 2R(cotgm + cotgn + cotgp + cotgq) m+n cot g 1 [1 − cos(m - n)] ≥ Do: cot gm + cot gn - cot g (m + n) = sin m sin n 2 π với m, n ∈ 0; 2 neân : cotgm + cotgn ≥ 2cotg[ (m+n)] BAØI π (m + n + p + q)] = 4cotg = 4 0,5 Từ : MN + NP + PQ + QM ≥ 8R Sxq ≥ 16R Vì : Stp ≥ 24R Dấu trường hợp (L) hình lập phương cạnh 2R NỘI DUNG ĐIỂM (2ñ) (un): u1= ,u2= , un= nun-1- (n-2)un-2 - 2n + với n ≥ 0,5 un= nun-1 - (n-2)un-2 - 2n + = un-1 + (n-1)[un-1 - un-2] + [un-2- 2(n - 2)] với n ≥ Vậy giá trị 0,5 Suy :cotgm + cotgn + cotgp + cotgq ≥ 4cotg[ Caâu a u3 = 5, u4 =10, u5 = 29, u6 =126, u7 = 727, u8 = 5048 Dùng qui nạp, với n ≥ ta có: un> 2n un> un-1 Câu b (3đ) un - 2007 nhỏ trường hợp n = (un): u1 = 2, u2 = 3, un= nun-1- (n-2)un-2 - 2n + với n ≥ Đặt : un = vn+ n , ta coù : v1= , v2 = với n ≥ : vn+ n = n(vn-1 + n - 1) - (n - 2)(vn-2 + n - 2) - 2n + ⇔ vn- vn-1= (n -1)vn-1 - (n-2)vn-2 - v2= (vn- vn-1) + (vn-1- vn-2) + .+ (v4- v3) + (v3- v2) =[(n -1)vn-1- (n-2)vn-2] + [(n-2)vn-2 - (n - 3)vn-3] + + (3v3-2v2)+(2v2- 1v1) =(n -1)vn-1 - v1 Do : vn= (n -1)vn-1 với n ≥ Suy ra: vn= (n -1)vn-1 = (n -1)(n - 2)vn-2 = = (n -1)(n -2)(n -3) 1.v1 =(n -1)! vaø un = (n-1)! + n BÀI Từ : u2007 = 2006! + 2007 chia cho 2006 dö NỘI DUNG 0.5 0,5 ĐIỂM Câu a (2,5đ) Câu b (3,5đ) Ta có: f(xy) - f(x).f(y) = 3(f(x+y) -2xy -1) (*) với số thực x, y và: f(-x) = f(x) x x x2 x2 x y ta được: f( ) - f ( ) = 3(f(x) - 1) (1) Ở (*) thay x 2 2 x x x2 x x2 Ở (*) thay x y - ta : f( ) - f2( ) = 3(f(0) + - 1) (2) 2 2 Từ (1), (2) suy ra: f(x) = x2 + f(0) Tính f(0): Từ (*) ta coù: f(0) - f(x).f(0) = 3(f(x) -1) ⇔ ( f(0) +3)(f(x) -1) = , với x tùy ý Chú ý hàm số f(x) =1 không thỏa (*), nên tồn x mà f(x) ≠ Do f(0) = - Thử lại thấy hàm số chẵn f(x) = x2 - thỏa phương trình hàm (*) 1 Từ (*) ta có : f(x + y) = f(xy) - f(x).f(y) + 2xy + (4) với số thực x, y 3 Thay y = vào (4) ta có : f(x+1) = af(x) + 2x+1 (5) với x tùy ý a = (1 - f(1)) Thay x x + y vaøo (5) :f(x + y + 1) = af(x + y) + 2(x + y) +1 Duøng (4) ta được: 1 f(x + y + 1) = a[ f(xy) - f(x).f(y) + 2xy + 1] +2(x+ y) +1 (6) với x, y tùy y.ù 3 a a Thay y = -1 vaøo (6): f(x) = f(- x) - f(x) f(-1) +2(1 - a)x + a - (7) 3 Thay x = -1 vaøo (5) để ý f(0) = -3 ta có : af(-1) = -2 Vì (7) trở thành : 3f(x) = af(- x) +2f(x) + 6(1 - a)x + 3(a-1) hay: f(x) = af(- x) + 6(1 - a)x + 3(a-1) (8) với x tùy ý Thay x - x vaøo (8) : f(- x)= af(x) - 6(1 - a)x + 3(a-1) (9) Từ (8), (9) ta có: f(x) = a[af(x) - 6(1 - a)x + 3(a -1) ] + 6(1- a)x + 3(a-1) Hay : (1 - a2)f(x) = 6(1 - a)2x + 3(a2 - 1) (10) với x tùy ý Nếu a = -1 (10) dẫn đến mâu thuẩn Nếu a = (10) hiển nhiên, (9) trở thành: f(-x) = f(x) với x tùy ý Đã xét câu a/ 1− a Nếu a2 ≠ (10) dẫn đến : f(x) = x - (11) với x tùy ý 1+ a − 9a Thay x= vào (11) : f(1) = Kết hợp với a = (1 - f(1)) ,ta coù : 1+ a 3 − 9a ⇔ 3a2- 7a + =0 ⇔ a = ; a = - 3a = 1+ a 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ta coù: f(x) = 3x - 3 Thử lại thấy hàm số : f(x) = -2x -3 f(x) = 3x -3 thỏa phương trình hàm (*) Các nghiệm phương trình hàm (*) : f(x) = -2x - 3; f(x) = 3x - vaø f(x) = x2 -3 Thay a vào (11) : với a = ta có: f(x) = -2x - 3; với a= ... n(vn-1 + n - 1) - (n - 2)(vn-2 + n - 2) - 2n + ⇔ vn- vn-1= (n -1 )vn-1 - (n-2)vn-2 - v2= (vn- vn-1) + (vn- 1- vn-2) + .+ (v 4- v3) + (v 3- v2) =[(n -1 )vn- 1- (n-2)vn-2] + [(n-2)vn-2 - (n - 3)vn-3]... phương trình hàm - Heát - Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thi? ?n Huế Đề thi thức Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Khối 12 THPT - Năm học 200 6- 2007 Môn : TOÁN ( Vòng 2) ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM BÀI (3đ)... (3v 3-2 v2)+(2v 2- 1v1) =(n -1 )vn-1 - v1 Do : vn= (n -1 )vn-1 với n ≥ Suy ra: vn= (n -1 )vn-1 = (n -1 )(n - 2)vn-2 = = (n -1 )(n -2 )(n -3 ) 1.v1 =(n -1 )! vaø un = (n-1)! + n BÀI Từ : u2007 = 2006! + 2007