Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế khối 12 THPT Năm học 20072008 môn Toán47939

Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Kỳ thi chän häc sinh giái tØnh Khèi 12 THPT - Năm học 2007-2008 Đề thi thức Moõn : TOAN Thời gian làm : 180 phút Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình : sin x  cos x  (x  ฀ ) Bài 2: (4 điểm) x3   x  R  a) Chứng minh rằng:  3x 1  b) Giải bất phương trình: 33 x  x 1   3x 1 ( x  ฀ ) 3 Bài 3: (4 điểm) Tìm tất giá trị thực m để phương trình sau có số lẻ nghiệm thực: (3 x  14 x  14)  4(3 x  7)( x  1)( x  2)( x  4)  m Bài 4: (4,5 điểm) Cho ABC tam giác nhọn có trọng tâm G trực tâm H không trùng Chứng minh đường thẳng GH song song với đường thẳng BC : tgB + tgC = 2tgA Bài 5: (4,5 điểm) a) Cho a, b số thực khơng âm tùy ý có tổng nhỏ Chứng minh : 1 a 1 b 1 a  b   1 1 a 1 b 1 a  b b) Xét số thực không âm thay đổi x, y, z thỏa điều kiện: x  y  z  Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn của: S 1 x 1 y 1 z   1 x 1 y 1 z Hết DeThiMau.vn Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Kỳ thi chän häc sinh giái tØnh Khèi 12 THPT - Năm học 2007-2008 Moõn : TOAN ẹAP AN - THANG ÑIEÅM Bài (3đ) NỘI DUNG ĐIỂM sin x  cos x  Giải phương trình: (x  ฀ ) Viết lại: sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  cos x  sin x 1  sin x   cos x 1  cos x   (*) Chú ý: sin x 1  sin x   cos x 1  cos x   0,5 Do đó: (*)  sin x 1  sin x   cos x 1  cos x    sinx = hay sinx = Nghiệm phương trình cho : x = k  ; x = NỘI DUNG Bài (4đ) Giải bất phương trình :  33 x  x 1   3x 1 ĐIỂM (x  ฀ ) x 2 + 2k  (k  Z ) a) Ta có: 2+ 3x 1 =1+1+ 3x 1  3 1.1.3x Dấu đẳng thức xảy x = 3 1 =3 (BĐT Côsi,  x  ฀ ) Nhận xét x  nghiệm Ta chứng tỏ với x  thì: 3 x  x 1 < 2+ x3 1 (1) x3  Ta có: 2+ 3x 1 > (câu a/ x  ) và: x +2 –3(3x-x -1) = x3+3x2-9x+5 = (x-1)(x2+4x-5) = (x-1)2(x+5) Bài (4đ) x3  Với x  5 x  3 < + 3x 1 Với x  5 33 x  x 1 < 30 < + 3x 1 Từ (1) với x  Vậy bất phương trình cho có nghiệm x = NỘI DUNG Tìm tất giá trị thực m để phương trình sau có số lẻ nghiệm thực: x  x 1 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0.5 ĐIỂM (3 x  14 x  14)  4(3 x  7)( x  1)( x  2)( x  4)  m Đặt: f ( x)   x  1 x   x    x3  x  14 x  g ( x)   x  14 x  14    x   f ( x) g(x) đa thức bậc với hệ số x4 -3 Ta lập bảng biến thiên g(x) f '( x)  x  14 x  14; g '( x)   x  14 x  14   x  14   12 f ( x)   x   f '( x)  12 f ( x) DeThiMau.vn g '( x)   x  1; x  2; x  g (1)  9; g (2)  4; g (4)  36 - x g’(x) + - + - 36 g(x) - Bài (4,5đ) + - Từ bảng biến thiên cho thấy phương trình g ( x)  m có số lẻ nghiệm khi: m  4; m  9; m  36 NỘI DUNG Cho ABC tam giác nhọn có trọng tâm G trực tâm H không trùng Chứng minh đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi: tgB + tgC = 2tgA q A -r r p x O B -s C Do O, G, H thẳng hàng nên GH//BC yG   q  s  (3) Với tam giác ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC Do : tgB + tgC = 2tgA  tgB.tgC = (4) qs qs (q  s)2 (q  s)2 Ta có: tgB = ; tgC =  ; tgB.tgC = = 2 (do(2)) pr pr r  p2 q s qs Hay: tgB.tgC = (5) qs Nếu GH//BC từ (3) cho q = 2s Từ (5) suy tgB.tgC = Do (4) mà tgB + tgC = 2tgA Nếu tgB + tgC = 2tgA từ (4) (5) cho q = 2s Do (3) mà GH//BC BÀI NỘI DUNG Câu a 1 a 1 b 1 a  b   1 (*) với a, b  a + b  (1,5đ) Chứng minh : 1 a 1 b 1 a  b DeThiMau.vn ĐIỂM y Chọn hệ trục Oxy hình vẽ : A(p,q) , B(-r,-s), C(r,-s) (r>0; s>0;q>0)  p q  2s  Ta có : G  ; )  3 p2+q2 = r2+s2 (2) 0,5 1 0,5 0,5 ĐIỂM Bình phương vế (*) ta được: 0,5  ab  (a  b) 2(1  ab) +2  +  ( a  b)  ab  a  b  ab  a  b 1 a  b 1 a  b  1 u  v 1 v u (2  v)  (với u = ab; v = a + b) 1 u  v  v (1  v)(1  v  u )   1 u  v 1 u  v 1 v u (2  v) 1 v       u  v  v (1  v)(1  v  u )   u  v  v    1 u  v 2uv u (2  v) 1 v      (1  u  v)(1  v) (1  v)(1  v  u )   u  v  v  0,5 Nếu u = ab = (*) có dấu đẳng thức Xét u >0 Lúc (*) bất đẳng thức: 2v 1 u  v 1 v  + (**) 2v 1 u  v 1 v 1 v 1 v 2 >2 = 1   1  = 1 v 1 v 1 v 1 2v 2 Ngoài ra: = < (Do < v = a + b  < ) Từ (**) bất 2v 1 v đẳng thức Xét số thực không âm thay đổi x,y,z thỏa điều kiện: x+ y + z = Ta có: Câu b (3đ) 0,5 1 u  v + 1 u  v Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn của: S   x   y   z 1 x 1 y 1 z Tìm MinS : Từ x + y + z = x, y, z không âm, suy x, y, z thuộc đoạn [0;1] 1 x 1 x   x Dấu đẳng Vì 1  x 1  x    x  nên:  (1  x) hay: 1 x 1 x thức xảy trường hợp x = x = Do đó: S   x   y   z   x   y   z hay S  1 x 1 y 0,5 1 z Khi x = y = y = S = Vậy: MinS = Tìm MaxS: Có thể giả sử:  x  y  z  Lúc đó: z  ; x  y   3 Dùng câu a/, ta có: z 1 x 1 y 1 z  ( x  y) 1 z 1 z  1+ + =1 + + S   2 z 1 x 1 y 1 z 1 x  y 1 z 1 z 0,5 z 1 z + Ta tìm giá trị lớn h(z) đoạn 2 z 1 z 0,5 Đặt h(z) = DeThiMau.vn 1   ; 1 h '( z )   z  Vì : S   1   Maxf(z)=Max h   ; h(1); h        3 1 x 1 y 1 z    1 1 x 1 y 1 z Khi x = y  z  2 S   Vậy: MaxS = + 3 DeThiMau.vn 0,5 ...Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thi? ?n Huế Kỳ thi chän häc sinh giái tØnh Khèi 12 THPT - Năm học 2007-2008 Moõn : TOAN ẹAP AN - THANG ÑIEÅM Bài (3đ) NỘI DUNG... bậc với hệ số x4 -3 Ta lập bảng biến thi? ?n g(x) f '( x)  x  14 x  14; g '( x)   x  14 x  14   x  14   12 f ( x)   x   f '( x)  ? ?12 f ( x) DeThiMau.vn g '( x)   x  1; x  2;...  g (1)  9; g (2)  4; g (4)  36 - x g’(x) + - + - 36 g(x) - Bài (4,5đ) + - Từ bảng biến thi? ?n cho thấy phương trình g ( x)  m có số lẻ nghiệm khi: m  4; m  9; m  36 NỘI DUNG Cho ABC