Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Kỳ thi chän häc sinh giái tØnh Khèi 12 THPT - Năm học 2005-2006 Đề thi thức Moõn : TOAN ( Vòng 1) Thời gian làm : 150 phút, không kể thời gian phát đề BÀI 1: Gọi (C) đồ thị hàm số :y = x3 – 2005x M1 điểm (C) có hoành độ x1=1 Tiếp tuyến (C) điểm M1 cắt (C) thêm điểm M2 khác M1 Tiếp tuyến (C) điểm M2 cắt (C) thêm điểm M3 khác M2, Tiếp tuyến (C) điểm Mn-1 cắt (C) thêm điểm Mn khác Mn-1.(n =3,4, ) Gọi (xn;yn) tọa độ điểm Mn Tìm n để đẳng thức sau : 2005xn + yn + 22007 = BÀI 2: Cho hình vuông EFGH Gọi (T) đường tròn qua trung điểm cạnh tam giác EFG Nhận xét: Điểm H thoả mãn đồng thời hai tính chất sau : a/ Các hình chiếu vuông góc lên đường thẳng : EF ,FG, GE nằm đường thẳng d b/ Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (T) Hãy tìm tập hợp tất điểm N mặt phẳng chứa hình vuông EFGH cho N thoả mãn đồng thời hai tính chất a/ b/ BÀI 3: Gọi R bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cạnh ngắn bán kính R có diện tích nhỏ R2 : - Heát - DeThiMau.vn sinA + sinB + sinC 3 Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiªn HuÕ Kú thi chän häc sinh giái tØnh Khèi 12 THPT - Năm học 2005-2006 Đề thi thức Môn : TOÁN ( Vòng 2) Thời gian làm : 150 phút, không kể thời gian phát đề BAØI 1: Với số thực a, kí hiệu [a] số nguyên k lớn mà k a Giải phương trình : [lg x ] + x + [ x ] = [ x ] + [ 2x ] BÀI 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD,có đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SAC M điểm thay đổi miền hình bình hành ABCD Tia MG cắt mặt bên hình chóp S.ABCD điểm N Đặt : Q = MG NG NG MG 1/ Tìm tất vị trí điểm M cho Q đạt giá trị nhỏ 2/ Tìm giá trị lớn Q BÀI 3: Với số nguyên dương n ,hãy tìm tất đa thức P(x) thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau : a/ Các hệ số P(x) khác đôi thuộc tập {0;1; ;n} b/ P(x) có n nghiệm thực phân biệt DeThiMau.vn Heát -Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Đề thi thức Kỳ thi chän häc sinh giái tØnh Khèi 12 THPT - Năm học 2005-2006 Moõn : TOAN ( Voứng 1) ẹAP ÁN - THANG ĐIỂM Nội dung Bài + Phương trình tiếp tuyến (C) Mk (xk;yk): y - yk = y’(xk)(x- xk) y = (3x 2k -2005)(x- xk)+ x 3k -2005xk Điểm ( 6đ) 1,0 1,0 + Xét phương trình : x3 – 2005x = (3x 2k -2005)(x- xk)+ x 3k -2005xk (x- xk) (x2+ xk.x-2 x ) = x= xk ; x = - 2xk k + Vaäy xk+1 = - 2xk 1,0 + x1 =1 , x2 = -2 , x3 = , xn = (-2) n-1 n= 1,2, + yn = x 3n -2005xn , 2005xn + yn + 2007 = x 3n = - 2007 (-2) 3n-3 = - 2007 1,0 3n-3 lẻ 3n -3 = 2007 n= 670 2,0 + Điểm N thoả tính chất a/ N đường tròn qua E,F,G 7,0 + Chứng minh: Chọn hệ trục Oxy với O tâm hình vuông EFGH vec tơ đơn vị trục : i OG ; j OF Ta coù E(-1;0) , F(0;1) , G(1;0) 2 Phương trình EF : x –y + = ; FG : x + y -1 = ,đường tròn(EFG): x +y =1 Gọi N(X;Y) Toạ độ hình chiếu N lên EG, EF, FG là: N1 (X;0) , N2 ( (X+Y-1); 1 (X+Y+1)) , N3 ( (X-Y+1); (-X+Y+1)) 2 1 N N ( ( X Y 1); ( X Y 1)) N N (1 Y ; X ) 2 2 N1, N2 , N3 thẳng hàng khi:(-X+Y-1)(-X)-(1-Y)(X+Y+1)=0 X +Y =1(1) DeThiMau.vn 2,0 + Tìm thêm điều kiện để N thoả tính chất b/ Chỉ cần xét N(X;Y) khác F(0;1) Với điều kiện (1) ,dường thẳng d có phương trình : X(x-X) +(1-Y)(y-0)=0 Tâm (T) I(0; 2,0 1 ) Bán kính (T) : 2 + d tiếp xúc (T) chæ : X (0 X ) (1 Y )( ) X (1 Y ) 2 (2 X Y 1) X Y 2Y (2) + Giaûi hệ (1) và(2) Rút X từ (1) thay vào (2): 2 2 (2Y -Y-1) =2(1-Y) (Y-1) (2Y+1) =2(1-Y).Đang xét Y nên :(Y-1)(2Y+1) = -2 4Y3-3Y+1= (Y+1)(4Y2-4Y+1) = Y= -1 ; Y= + Với Y=-1 ta có điểm N(0;-1), H 3 1 Với Y= , ta có thêm hai điểm N : ( ; ) vaø (; ) 2 2 Tập hợp phải tìm ba đỉnh tam giác nội tiếp đường tròn (EFGH) mà đỉnh H + Tam giác có : A = 90 , B=60 , C=30 có dấu đẳng thức + Có thể giả sử : sinA sinB sinC Ta chứng minh : sinA+sinB+sinC u+v+w với u =1 , v = ,w= 2 abc + S= =2R2sinAsinBsinC 4R R2 3 + S sinAsinBsinC sinAsinBsinC uvw (1) 0 1,0 1,0 7,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 c R 3 = vaø sinAsinB sinAsinB sinAsinB uv.(2) 2R 2R sin C sinA sinA u (3) + sinC= + Ta coù : u+v+w = sinC( 2,0 u v w u v u + + )+(sinB-sinC)( + )+(sinA-sinB) sin A sin B sin C sin A sin B sin A Suy ra: uvw uv ) +(sinB-sinC)(2 ) + (sinA-sinB) u sin A sin B sin C sin A sin B sin A Do (1) ,(2) ,(3) neân : u+v+w 3sinC +2(sinB-sinC)+ (sinA-sinB) = sinA+sinB+sinC Dấu đẳng thức xảy trường hợp tam giác ABC nửa tam giác u+v+w sinC(3 DeThiMau.vn Së Gi¸o dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Đề thi thøc Kú thi chän häc sinh giái tØnh Khèi 12 THPT - Năm học 2005-2006 Moõn : TOAN ( Voứng 2) ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Nội dung Bài Điể m 6,0 1,0 + Biểu thức lgx xác định x > x 2x x + Neáu x nghiệm : x = [ ] + [ ]- [ ] - [lg x ] nên x số nguyên dương 1,0 + Đặt x = 6q + r ,với q r số tự nhiên , r 2,0 x 2x x r 2r r r 2r r [ ] +[ ] - [ ] = [ 3q + ]+ [4q+ ] – [q+ ]= 6q + [ ]+ [ ]- [ ] 6 r 2r r Phương trình trở thaønh : 6q + r = 6q +[ ]+[ ]-[ ] -[lg x ] r 2r r [lg x ]= [ ]+ [ ]- [ ] - r với r {0;1;2;3;4;5} + Ta coù : [ r 1 r 2r r ]+[ ]-[ ]-r = r 0;2;3;4;5 +Do x nên [lgx] Không xét trường hợp r=1 Với r 1,ta coù : [lgx]= lgx < x < 10 Ta chọn số nguyên x thoả x < 10 x chia cho có dư số khác Nghiệm phương trình : x {2;3;4;5;6;8;9} 1,0 1,0 7,0 Câu 1/ (Hình vẽ trang cuối) MG NG MG NG Daáu : = =1 +Q= NG MG NG MG + SG cắt mp(ABCD) tâm O hình bình hành ABCD Gọi K trung điểm SG Từ K dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt SA,SB,SC,SD A1 ,B1 ,C1 ,D1 Từ N dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt SG N’ NG N ' G NG Ta có: = ; =1 N’trùng K N thuộc cạnh hình bình hành MG OG MG A1B1C1D1 Nối NK cắt cạnh hình bình hành A1B1C1D1 P, ta có : PM // SG ' ' ' ' + Từ : Q=2 M thuộc cạnh hình bình hành A1 B1C1 D1 A1' B1' C1' D1' hình chiếu song song củahình bình hành A1B1C1D1 lên mp(ABCD) theo phương SG DeThiMau.vn 1,0 1,0 1,0 Câu 2/ 2,0 +Miền hình bình hành ABCD hợp miền tam giác OAB,OBC,OCD,ODA M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc bốn miền tam giác Chẳng hạn M thuộc miền OAB M A N C’; M B N D’; M O N S Do N thuộc miền SC’D’ N’ thuộc đoạn SH ,với C’,D’ H trung điểm SC,SD SO HG N ' G SG NG hay Do : HG N’G SG Vì : OG OG OG MG + Đặt x = NG MG Ta có : Q = Q’= x ( ;2) x = + Giá trị lớn Q : 1,0 + x với x [ ;2] x MaxQ = Max{Q( );Q(2);Q(1)}= Đạt M trùng với O đỉnh A,B,C,D + Điều kiện a/ cho thấy bậc P(x) n ,điều kiện b/ cho thấy bậc P(x) n Vậy bậc P(x) n P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 với (a0, a1, , an) hoán vị {0,1, ,n} an + Ta coù : x > P(x) > Do nghiệm xi P(x) không dương + Với n=1 ,ta có đa thức thoả toán : P(x) = 1.x + + Với n=2 ,nếu P(x) = a2x2 +a1x + a0 thoả toán theo định lí Víet : a a x1 + x2 = - ; x1.x2 = :{ a0, a1, a2}={0,1,2}, a2 a2 a2 1,0 7,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Do x1 , x2 , x1 x2 neân , a1 Suy : a0= Các đa thức : P(x) = 1.x2 + 2.x + , P(x) = 2.x2 + 1.x + thoả toán + Với n=3 ,nếu P(x) = a3x3 +a2x2 +a1x + a0 thoả toán theo định lí Víet : x1 + x2 + x3 = - a ; x1x2 +x2x3 + x3x1 = a1 ; x1x2x2 = - a0 a3 a3 a3 : { a0, a1, a2 ,a3}={0,1,2, 3}, a3 Do x1 , x2 ,x3 0, x1 x2 x1 x3 x2 x3 nên a1 a2 Suy ra: a0= Ta coù :P(x)= a3x3 +a2x2 +a1x= x(a3x2 +a2x +a1) ;{ a1, a2 ,a3}={1,2, 3}, a 4a3 a1 Các đa thức : P(x)=1.x3+3.x2+2.x+0 , P(x)=2x3+3x2+1.x+0 DeThiMau.vn thoả toán 1,0 + Với n>3,nếu P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 thoả toán theo định a x1 x x n n 1 an a lí Víet : x1 x .x n 1 x x3 x n x n x1 x n (1) n 1 an a x1 x x n (1) n an với (a0, a1, ,an) hoán vị {0,1, ,n} an Do xi không dương khác đôi nên phải có a0= Vậy P(x) có nghiệm n-1 nghiệm lại khác đôi âm Có thể giả sử xn= Lúc x1 , x2 , , xn-1 nghiệm âm : Q(x)= anxn-1+ an-1xn-2 + + a2x +a1 với (a1,a2, , an) hoán vị của{1,2, ,n},an Đặt ui = - xi (i=1,2, ,n-1) Ta có ui > vaø : a a u1+ u2+ + un-1= n 1 (1) ; u1u2 un-2+ u2u3 un-1+ + un-1u1 un-3 = (2) an an a a 1 u1u2 un-1 = (3) Từ (2) vaø (3) cho : + + + = (4) an u1 u u n 1 a1 1 Theo bất đẳng thức Côsi : (u1+ u2+ .+ un-1)( + + + ) (n-1) u1 u u n 1 a a a a n(n 1) Dùng (1) (4) suy : n 1 (n-1) Nhöng n 1 neân : a n a1 a n a1 1.2 n(n 1) (n-1) n , mâu thuẩn với n > 1.2 Các đa thức thoả toán : P(x) = x , P(x) = x2 + 2x , P(x) = 2x2 + x , P(x) = x3+3x2+2x , P(x) = 2x3+3x2+x s N D' C' N' H G D A O C M B Hình vẽ DeThiMau.vn 2,0 DeThiMau.vn ... nghiệm thực phân biệt DeThiMau.vn Heát -Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thi? ?n Huế Đề thi thức Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Khối 12 THPT - Năm học 2005-2006 Môn : TOÁN ( Vòng 1) ĐÁP ÁN -... ABC nửa tam giác u+v+w sinC(3 DeThiMau.vn Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thi? ?n Huế Đề thi thức Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Khối 12 THPT - Năm häc 2005-2006 Môn : TOÁN ( Vòng 2) ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM... Giáo dục Đào tạo Thừa Thi? ?n Huế Kỳ thi chän häc sinh giái tØnh Khèi 12 THPT - Năm học 2005-2006 Đề thi thức Moõn : TOAN ( Vòng 2) Thời gian làm : 150 phút, không kể thời gian phát đề