SƠ ̉ GIA ́ O DU ̣ C VA ̀ ĐA ̀ O TA ̣ O K THI CHN ĐI TUYN HC SINH GII THNH PH H CH MINH LP 12 THPT NĂM HO ̣ C 2012-2013 MÔN THI: TON Ngy thi: 19 - 10 - 2012 Đ CHNH THC Thơ ̀ i gian la ̀ m ba ̀ i: 180 pht. Bài 1. (4 điểm) Cho số nguyên dương n . Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau: 1 3 1 3 ( 1,2, , ) 0 i n i i n i i x i n xn x Bài 2. (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số :f R R thỏa mãn : 22 ( 2 ( )) 2( ( )) , , 2 y f x f y f x x y R Bài 3. (4 điểm) Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước dương là 12 , , , k d d d . Chứng minh rằng nếu 12 2 1 k d d d k n thì 2 n là số chính phương. Bài 4. (4 điểm) Cho ba đường tròn ()C , 1 ()C , 2 ()C trong đó 1 ()C và 2 ()C tiếp xúc trong với ()C tại ,BC và 1 ()C , 2 ()C tiếp xúc ngoài với nhau tại .D Tiếp tuyến chung trong của 1 ()C và 2 ()C cắt ()C tại hai điểm A và E . Đường thẳng AB cắt 1 ()C tại điểm thứ hai ,M đường thẳng AC cắt 2 ()C tại điểm thứ hai .N Chứng minh rằng: 1 1 2 DA DE MN Bài 5. (4 điểm) Cho một bảng ô vuông có 2012 2012 ô, mỗi ô đều điền vào một dấu + . Thực hiện phép biến đổi sau: đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng (+ thành – , – thành +). Hỏi sau một số lần thực hiện phép biến đổi, bảng có thể có đúng 18 dấu – được hay không ? HẾT www.VNMATH.com ĐP N VÒNG 2 Bài 1. (4 điểm) Cho số nguyên dương n . Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau: 1 3 1 3 ( 1,2, , ) 0 i n i i n i i x i n xn x Giải. Đặt 3 ( 1,2, , ) ii t x i n Ta có: 1 1 1 3 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 ( 1,2, , ) 0 ( 1,2, , ) 0 ( 1,2, , ) ( 3) 4 4 81 ( 3) 0 9 27 27 0 9 0 4 i i i n n n i i i i i i n n n n n n n i i i i i i i i i i i i i i t i n t i n t i n t n t n t n t t t t n t t t 1 1 2 1 0 ( 1,2, , ) 9 0 ( 1,2, , ) 2 4 4 9 ( ) 0 2 i ii n i n i i n i ii i t i n t t i n tn tn tt Gọi k là số các i t có giá trị bằng 0 và l là số các i t có giá trị bằng 9 2 . Khi đó, ta có: 8 9 4 9 2 9 n l ln n k l n k Khi n không chia hết cho 9 hệ vô nghiệm. Khi 9nm ( * mN ),ta có k = m, l = 8m, hệ có tập nghiệm: 12 ( , , , ) n S t t t trong đó m giá trị bằng 0 và 8m giá trị bằng 9 2 Hay 12 ( , , , ) n S x x x trong đó m giá trị bằng 3 và 8m giá trị bằng 3 2 Bài 2. (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số :f R R thỏa mãn : 22 ( 2 ( )) 2( ( )) , , 2 y f x f y f x x y R (*) Giải. Xét hàm số ( ) 2 ( ),g x f x x R www.VNMATH.com (*) 22 ( ( )) ( ( ))g x g y y g x (1) +) Từ (1) suy ra nếu 12 ( ) ( )g y g y thì 12 yy suy ra g là đơn ánh +) Từ (1) cho 0x suy ra 2 ( ( )) ( (0))g g y y g suy ra tập giá trị của g là R . Suy ra g là song ánh, nên tồn tại aR sao cho ( ) 0ga . Cho 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ( )) ( (0)) 0x y a g a a g a g g a a g (0) 0g Do đó ( ( )) ,g g x x x R Cho 22 0 ( ) ( ( )) ,y g x g x x R Suy ra 0x thì ( ) 0gx và ( ) 0 0g x x Cho x = 1 suy ra g(1) = 1 +) với 0,x y R , ta có 2 2 ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )g x y g x g g y g y g x g y g x Lấy x tùy ý thuộc R . Khi đó trong hai số ,xx luôn có số không âm, ta có: 0 ( ) ( ) ( )g x x g x g x ( ) ( ),g x g x x R +) với 0,x y R , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x y g x y g x g y g x g y Vậy ( ) ( ) ( ), ,g x y g x g y x y R Ta có g cộng tính trên Q và g(1) = 1 ( ) ,g x x x Q +) Cho xy khi đó 0g x y và g x g x y y g x y g y g y Suy ra g là hàm tăng thực sự Ta chứng minh ( ) , \g x x x R Q Giả sử tồn tại 0 \x R Q sao cho 00 ()g x x Trường hợp 00 ()x g x : tồn tại số hữu tỉ r sao cho 0 0 0 ( ) ( ) ( )x r g x g x g r r (vô lý) Trường hợp 00 ()x g x : tồn tại số hữu tỉ r sao cho 0 0 0 ( ) ( ) ( )x r g x g x g r r (vô lý) ( ) ,g x x x R Vậy ( ) , 2 x f x x R (thỏa mãn (*)). Bài 3. (4 điểm) Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước dương là 12 , , , k d d d . Chứng minh rằng nếu 12 2 1 k d d d k n thì 2 n là số chính phương. Giải. Gọi l 1 , l 2 , , l s là các ước lẻ của n và 2 m là lũy thừa lớn nhất của 2 trong khai triển của n (s ≥ 1, m ≥ 0) Từ đó các ước của n là l 1 , l 2 , , l s , 2l 1 , 2l 2 , , 2l s , , 2 m l 1 , 2 m l 2 , , 2 m l s Theo đề bài ta có: l 1 + l 2 + + l s + 2l 1 + 2l 2 + + 2l s + + 2 m l 1 + 2 m l 2 + + 2 m l s + (m +1)s = 2n+1 2 12 ( )(1 2 2 2 ) ( 1) 2 1 m s l l l m s n (l 1 + l 2 + + l s )(2 m+1 – 1) + (m + 1)s = 2n + 1 (*) + Nếu s chẵn thì vế trái (*) chẵn (vô lý), suy ra s lẻ. + Với s lẻ, nếu m chẵn thì vế trái (*) cũng chẵn (vô lý), suy ra m lẻ (m = 2t + 1) Suy ra 2 m n có số lẻ ước www.VNMATH.com Số 12 12 2 m k kk m m n p p p có số ước là 12 ( 1)( 1) ( 1) m k k k suy ra k i chẵn (i=1,2, ,m) 2 m n là số chính phương. 2 1 2 2 2 . (2 . ) 2 tt n n r r ( ,t r N ) Bài 4. (4 điểm) Cho ba đường tròn ()C , 1 ()C , 2 ()C trong đó 1 ()C và 2 ()C tiếp xúc trong với ()C tại ,BC và 1 ()C , 2 ()C tiếp xúc ngoài với nhau tại .D Tiếp tuyến chung trong của 1 ()C và 2 ()C cắt ()C tại hai điểm A và E . Đường thẳng AB cắt 1 ()C tại điểm thứ hai ,M đường thẳng AC cắt 2 ()C tại điểm thứ hai .N Chứng minh rằng: 1 1 2 DA DE MN F M N O O1 O2 A D E B C Giải. Cch 1: Do 2 AD AM AB AN AC nên phép nghịch đảo 2 AD A P biến 11 22 ( ) ( ) ( ) ( ) BM CN DD CC CC . Đường tròn (C) đi qua A, B, C biến thành đường thẳng MN. Do 1 ()C và 2 ()C tiếp xúc với ()C tại B,C nên MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn này. Gọi F là giao điểm của AE và MN. Suy ra F biến thành E và 2 MN FD FM FN Ta có : 2 . DE AD AD DF AD AF AF DE AF DF DA 1 . AF DE DF DA Vậy 1 1 1 1 2 . . . AF DF AF DA DA DE DA DF DA DA DF DA DF DF MN . Lưu ý: Nếu phép nghịch đảo cực O phương tích k biến A thành A’, B thành B’ thì '' . k AB AB OAOB . www.VNMATH.com Cch 2: Ta co ́ AM.AB = AN.AC AM AC AN AB AMN ~ ACB 1 OAB OBA OMB O 1 M // OA. Tương tư ̣ co ́ O 2 N // OA. Lại có: OAN MNA OCA ABC = OCA xCA = 90 0 . OA MN O 1 M MN, O 2 N MN MN la ̀ tiếp tuyến chung cu ̉ a (O 1 ) và (O 2 ) FD = FM = FN. ANF ABC AEC EFNC nô ̣ i tiếp AE.AF = AN.AC = AD 2 (AD + DE)AF = AD(AF + DF) DE.AF = AD.DF 1 . AF DE AD DF Do đo ́ : 1 1 1 1 2 . . . AF DF AF DA DA DE DA DF DA DA DF DA DF DF MN . Bài 5. (4 điểm) Cho một bảng ô vuông có 2012 2012 ô , mỗi ô đều điền vào một dấu + . Thực hiện phép biến đổi sau: đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng (+ thành – , – thành +). Hỏi sau một số lần thực hiện phép biến đổi, bảng có thể có đúng 18 dấu – được hay không ? Giải. Giả sử sau một số lần thực hiện phép biến đổi , bảng có đúng 18 dấu – . Gọi x i là số lần đổi dấu ở hàng thứ i (i = 1, 2,…,2012 , thứ tự các hàng tính từ trên xuống dưới ), y j là số lần đổi dấu ở cột thứ j (j = 1, 2, ,2012 , số thứ tự các cột tính từ trái sang phải) Gọi p là số các số lẻ trong các số x 1 , x 2 ,…, x 2012 , q là số các số lẻ trong các số y 1 , y 2 ,…, y 2012 , p, q {0, 1, 2,…,2012}. Ta có số lượng các dấu – trên bảng là p(2012 – q) + (2012 – p)q = 2012p + 2012q – 2pq Bảng có đúng 18 dấu – 2012p + 2012q – 2pq = 18 1006p + 1006q – pq = 9 (p –1006)(q –1006) = 1006 2 – 3 2 (p –1006)(q –1006) = 1003×1009 (1) (p –1006)(q –1006) chia hết cho 1009 Mà 1009 là số nguyên tố. Suy ra ta phải có p –1006 chia hết cho 1009 hoặc q –1006 chia hết cho 1009 (2) Ta có p –1006, q –1006 thuộc {–1006, –1005, …,1005, 1006} nên (2) p –1006 = 0 hoặc q –1006 = 0 : mâu thuẫn với (1) Kết luận : Bảng không thể có đúng 18 dấu – x F N M A E D O B C O 1 O 2 www.VNMATH.com . GIA ́ O DU ̣ C VA ̀ ĐA ̀ O TA ̣ O K THI CHN ĐI TUYN HC SINH GII THNH PH H CH MINH LP 12 THPT NĂM HO ̣ C 2 01 2- 2013 MÔN THI: TON Ngy thi: 19 - 10 - 2 012 Đ CHNH THC Thơ ̀ i gian. x 1 , x 2 ,…, x 2 012 , q là số các số lẻ trong các số y 1 , y 2 ,…, y 2 012 , p, q {0, 1, 2,…,2 012} . Ta có số lượng các dấu – trên bảng là p(2 012 – q) + (2 012 – p)q = 2012p + 2012q – 2pq . thẳng AC cắt 2 ()C tại điểm thứ hai .N Chứng minh rằng: 1 1 2 DA DE MN Bài 5. (4 điểm) Cho một bảng ô vuông có 2 012 2 012 ô, mỗi ô đều điền vào một dấu + . Thực hiện phép biến đổi