Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế lớp 9 THCS năm học 2005 2006 môn: Toán45176

UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ kú thi häc sinh giái tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2005 - 2006 Môn : Toán (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút Đề thức Bài 1: (8 điểm) Cho phương trình x 2mx  m   (1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thoả mÃn hệ thức x13  x23  Gi¶ sư phương trình (1) có hai nghiệm không âm Tìm giá trị m để nghiệm dương phương trình đạt giá trị lớn Bài 2: (4điểm) Giải phương trình: x  x   x x (2) Bài 3: (8 điểm) Cho tam gi¸c ABC cã ฀ ABC  600 ; BC  a ; AB  c ( a, c lµ hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ cã diƯn tÝch lín nhÊt TÝnh diƯn tÝch lín Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thước kẻ com-pa Tính diện tích hình vuông Hết DeThiMau.vn UBND TỉNH Thừa Thiªn H kú thi hoc sinh giái tØnh líp thCS năm học 2005 - 2006 Môn : toán (Vòng 1) Đáp án thang điểm: Sở Giáo dục đào tạo Bài 1 ý 1.1 1.2 Nội dung (2,0 điểm) Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, cần đủ là: '  m   m2   P  0    S m0   m 2   m   m2 m0 (3,0 điểm) Phương trình có nghiƯm ph©n biƯt   '   m   2  m  (*) 5 x13  x23    x1  x2   x1  x2   x1 x2     2  3(m  2)   m m2     m  6m     1  21 1  21 3  21 1  21    x2   2 Ta cã: 2  2 1  21  21 x3    2 vµ  x3    x3  2 1  21 Vậy: Có giá trị m thoả điều kiện toán: m 1; m (3,0 điểm) Phương trình có hai nghiệm không âm khi:  '   m   m2   P     m  (**)    S m0      m  1 m  m    m1  1; m2,3  1.3 DeThiMau.vn §iĨm 8,0 0.5 1.5 0,50 0,50 0,5 0,5 0,5 0,5 0,50 Khi ®ã nghiệm phương trình là: m  m2 m   m2 x1  ; x2    x1  x2 m  2; 2 Hai nghiệm đồng thời 0, nên nghiệm dương phương trình x2 m m2 Suy ra:  2 m  2m  m   m  m  m  x 4 Theo bất đẳng thức Cô-si: 2      0,50   m2   m2  m2  m2  m2  m2  0,50 0,50 Suy ra: x   x2  2 Dấu đẳng thức xảy khi: m   m  m    2;  VËy nghiƯm d­¬ng cđa ph­¬ng trình đạt giá trị lớn m  (4,0 ®iĨm)  x  x2  x  4x   4x  x   (2) 2  x  x   x  x t  x  x   0  t   t    x      (3) t  t    3  t  t Giải phương trình theo t, ta có: 1  13 1  13 t1   (lo¹i); t2  0 2 13  t2     t2  Suy nghiƯm cđa (3) lµ t2   13  x1   Giải phương trình x x t2  x  x  t2      x    13 2 Vậy: phương trình đà cho có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1,2     13  0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 DeThiMau.vn 8,0 + Đặt AM x (0  x  c) 3.1 Ta cã: MN AM ax   MN  BC AB c c  x MQ  BM sin 600  Suy diƯn tÝch cđa MNPQ lµ: ax  c  x  a S  x c  x 2c 2c 2,0 + Ta có bất đẳng thức: ab ab ab ab    (a  0, b  0)   c2  xcx ¸p dơng, ta cã: x(c  x)     c Dấu đẳng thức xảy khi: x  c  x  x  2 a c ac Suy ra: S    2c c ac VËy: S max  x  hay M lµ trung điểm cạnh AC DeThiMau.vn 2,0 3.2 + Giả sử đà dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC Nối BF, đoạn BF lấy điểm F' Dựng hình chữ nhật: E'F'G'H' ( E '  AB; G ', H '  BC ) Ta có: E'F'//EF F'G'//FG, nên: E ' F ' BE ' BF ' F ' G '    EF BE BF FG  E ' F '  F ' G ' Do ®ã E'F'G'H' hình vuông + Cách dựng chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC F Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tương tự trên, ta có EF = FG, suy EFGH hình vuông BH ' + Ta cã: ;  cot g 600  E'H ' ฀' BC  BG '  BH ' H ' G '  BH '    cot g F F 'G ' F 'G ' E'H ' Suy ra: Tia BF' cố định E' di động AB, cắt AC điểm F Trường hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' cạnh AC; G' H' cạnh BC, lý luận tương tự ta có tia CE' cố định, cắt AB E Vậy toán có nghiệm hình nhÊt 1,0 1,0 1,0 EF AE ax (c  x )   EF  ; HE   c  x  sin B  BC AB c 2 ax (c  x) c  x EFGH hình vuông, nên EF EH c 2a c + Đặt AE x Ta có Suy diện tích hình vuông EFGH lµ: S  EF  DeThiMau.vn 3a c  2a  c  1,0 UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ kú thi häc sinh giái tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2004 - 2005 Đề thức Môn : Toán (Vòng 2) Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (7 điểm) Giải hệ phương trình: x4   y   y   4x Chøng minh r»ng nÕu a, b, c số thoả mÃn bất đẳng thức: a2 b2 c2 c2 a2 b2 b2 c2 a2         ab bc ca ab bc ca ab bc ca Th× | a |  | b |  | c | Bµi 2: (6 điểm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh số nguyên diện tích số nguyên gồm chữ số, chữ số hàng đơn vị, hàng chục hàng trăm giống A, B, C nhóm ba người thân thc Cha cđa A thc nhãm ®ã, cịng vËy gái B người song sinh C nhóm Biết C người song sinh C hai người khác giới tính C B Hỏi ba người A, B, C người khác giới tính với hai người ? Bài 3: (7 điểm) Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đường kính AB CD vuông góc với Đường tròn (O1) nội tiếp tam giác ACD Đường tròn (O2) tiếp xúc với cạnh OB OD tam giác OBD tiếp xúc với đường tròn (O) Đường tròn (O3) tiếp xúc với cạnh OB OC tam giác OBC tiếp xúc với đường tròn (O) Đường tròn (O4) tiếp xúc với tia CA CD tiếp xúc với đường tròn (O1) Tính bán kính đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R HÕt DeThiMau.vn UBND TØNH Thõa Thiªn H kú thi chän hoc sinh giái tØnh líp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : toán (Vòng 2) Đáp án thang điểm: Sở Giáo dục đào tạo Bài ý 1.1 Nội dung Điểm 7,0 (4,0 ®iĨm) 0,5 x   (*)   y   x4   y  x4   y (a) Víi ®iỊu kiƯn (*), ta cã:   4  y   4x  x  y  4( x  y )  (b) (b)   x  y   x  y  x  y     x  y   x  y (v× x, y   nªn  x  y  x  y   ) Thay vµo (a): x   y  x  x    x    x  1   x4   y §iỊu kiƯn ®Ĩ hƯ cã nghiƯm lµ:   y   4x     1,0    1,0    x  1 x3  x  x     x  1 x  x    x  v× x  x    x  1   So víi ®iỊu kiƯn (*), ta cã: x  y   x Vậy hệ phương trình có nghiệm nhÊt :  y 1 1.2 1,5 (3,0 ®iĨm) §iỊu kiƯn: a  b; b  c; c  a 0,50 Ta cã  b2 a2 b2 c2 c2 a  a  b2 b2  c2 c2  a         ab bc ca  ab bc ca  ab bc ca   a  b  b  c    c  a   2 0,50 2 a b c b c a      ab bc ca ab bc ca a2 b2 c2 c2 a2 b2      Do ®ã: ab bc ca ab bc ca a c  a 2b  c 2b  a  b  c a  c2 b2  a c2  b2    0 0 ab bc ca  a  b  b  c  c  a  Suy ra:  DeThiMau.vn  1,0   a c  a b  2c b  a  b  c  a  b  b  c  c  a    0 a  2a c  c  a  2a 2b  b  b  2b c  c 0  a  b  b  c  c  a    a  b2   b 2  c2   c 2  a2  a  b     b2  c  c  a    a  b  c | a |  | b |  | c | 2.1 1,0 6,0 (4,0 điểm) Theo giả thiết diện tích hình vuông có dạng S abbb  k  k  0, k  Z  0,5 1000  k  9999  33  k 99 , nên k gồm chữ sè: k  xy  10 x  y k  100 x  20 xy  y   x  9;0  y   1,0 NÕu y lỴ: y  1;3;5;7;9  y  1;9; 25; 49;81  b  1;5;9 Khi 2xy có chữ số tận số chẵn, nên chữ số hàng chục k phải số chẵn khác với 1; 5; 9, S abbb Nếu y ch½n: y  0; 2; 4;6;8  y  0; 4;16;36;64  b  0; 4;6 Víi y = 0: k chØ cã thĨ lµ 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 không thoả điều kiện toán Với y = 2: k  100 x  40 x  Khi ®ã x chØ cã thể chữ số hàng chục k2 míi lµ 4, suy k  3600  244  3844  abbb Víi y = 4; 6: y  16;36 , ®ã 20xy cã chữ số hàng chục số chẵn, nên chữ số hàng chục k2 phải số lẻ, 6, nghĩa k  abbb Víi y = 8: y2 = 64; k  100 x  160 x  64 , x chữ số hàng chục k2 b»ng 4, suy k  382  1444 k 882 7744 (không thoả điều kiện toán) Vậy: toán có lời giải nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh k  38 vµ diƯn tÝch S  1444 2.2 1,0 0,5 0,5 0,5 (2,0 điểm) Theo giả thiết, cha A B C: Nếu B cha A C song sinh víi A, v× nÕu nh­ thÕ th× C B, trái giả thiết, C B song sinh khác giới tính (gt), nên C phái nữ Mặt khác, gái B C nên phải A, A phái nữ Vậy B khác giới tính với hai người lại A C (cùng phái nữ) Nếu C cha A C song sinh với B, theo giả thiết B phải phái nữ Mặt khác, gái B C (gt) nên phải A, suy C B vợ chồng song sinh, dẫn đến mâu DeThiMau.vn 1,0 0,5 thuÉn VËy chØ cã nhÊt tr­êng hợp B cha A B khác giới tính với hai người lại A C (cùng phái nữ) 0,5 7,0 + Gọi r độ dài bán kính đường tròn (O1) Ta có: S ACD  pr  R   AC  CD  r 2  R  R 1 r  r  R 1 1,0 + Đường tròn (O2) tiếp xúc với OB OD nên tâm O2 tia phân giác cđa ฀ gãc BOD , (O2) l¹i tiÕp xóc với (O) nên tiếp điểm T chúng đường thẳng nối tâm O O2, giao điểm tia phân giác góc BOD với (O) + Đường thẳng qua T vuông góc với OT cắt tia OB OD B' D' tiếp tuyến chung (O) (O2) Do (O2) đường tròn nội tiếp OB ' D ' + OB ' D ' có phân giác góc O vừa đường cao, nên tam giác vuông cân B ' D ' 2OT R, OB '  OD '  R , suy ra: OB ' D '  ACD R + Hai hình quạt OBC OBD đối xứng với qua AB nên (O3) R (O2), nên bán kính (O3) r  1 + VËy: B¸n kÝnh cđa (O2) cịng b»ng r  DeThiMau.vn 2,0 1,0 + §­êng tròn (O4) có hai trường hợp: a) Trường hợp 1: (O4) bên trái (O1): Kẻ tiếp chung (O4) (O1) tiếp điểm K cắt AC AD E F CO CA là tiÕp tun cđa (O1), nªn chu vi cđa ฀ CEF b»ng 2CO, suy nưa chu vi cđa nã lµ p = R Ta cã: CO1  R  r  CK  CO1  O1 K  R 42 R   1 1 KF O1O   tg 22030 '   KF  KC CO 1 S฀ CEF  CK  KF  R    2 1  1  R R  R 42 1    2 1 1   2 1 1   2 Suy b¸n kính đường tròn (O4) là: r4 DeThiMau.vn R    2 1 1   2,0 b) Tr­êng hỵp 2: (O'4) ë bên phải (O1): Khi đó: K' tiếp điểm đường tròn, tiếp tuyến chung cắt CA CD E' F', CD tiếp xúc với (O'4) H CK '  CO1  O1 K '  F ' H  K ' F '  CK ' tg 22 30 '  R  CK ' CO1 CK ' CO   CF '   CF ' CO1 CO CH  CF ' F ' H  CH  R  R     2 1  1  2 1 1    R  1    2 1 1    2 1    2 1 1   R R 42 R   1 1 42 2  R 42 2    2 1 1  2 Suy ra: Bán kính đường tròn (O'4) là: r4' O4' H CHtg 22030 '  R    2 1 1   2,0 DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... tích hình vuông EFGH là: S EF DeThiMau.vn 3a c  2a  c  1,0 UBND TØNH Thõa Thi? ?n HuÕ kú thi học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2004 - 2005 Đề thức Môn : Toán (Vòng 2) Thời... kính ®­êng trßn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R HÕt DeThiMau.vn UBND TØNH Thõa Thi? ?n HuÕ kú thi chän hoc sinh giỏi tỉnh lớp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : toán (Vòng 2) Đáp án thang điểm: Sở Giáo...UBND TØNH Thõa Thi? ?n HuÕ kú thi hoc sinh giái tỉnh lớp thCS năm học 2005 - 2006 Môn : toán (Vòng 1) Đáp án thang điểm: Sở Giáo dục đào tạo Bài