Chuyên đề 15 bài toán cực trị thể tích khối đa diện đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 15 BÀI TỐN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DẠNG TỐN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 102 2018) Ông A dự định sử dụng hết 6, 7m kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm trịn đến hàng phần trăm) A 1, 23m3 B 2, 48m3 C 1, 57m D 1,11m3 Lời giải Chọn C Gọi x chiều rộng, ta có chiều dài 2x Do diện tích đáy mặt bên 6, 7m nên có chiều cao h  ta có h  nên x  6,  x , 6x 6, Thể tích bể cá V  x   6, 6, x  x 6,  x V   x   0  x 3 Bảng biến thiên Bể cá có dung tích lớn 1, 57m Câu (Mã 104 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5, m kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)?: A 1, 40 m3 B 1, 01 m3 C 1, 51 m D 1,17 m3 Lời giải Chọn D Gọi x, x, h chiều rộng, dài, cao bể cá Ta có x   xh  xh   5,5  h  Thể tích bể cá V  x 5,5 5,5  x ( Điều kiện  x  ) 6x 5,  x  (5, x  x ) 6x 5,5 V /  (5,5  x ) V /   x  Lập BBT suy Vmax  Câu 11 33  1,17 m3 54 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Người ta cần xây dựng bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật tích 125m Đáy bể bơi hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Tính Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 chiều rộng đáy bể bơi để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu (kết làm tròn đến hai chữ số thập phân)? A 3,12 m B 3,82m C 3, 62m D 3, 42m Lời giải Chọn B Gọi chiều rộng hình hộp a suy chiều dài 3a , chiều cao h V  a.3a.h  3a h  h  V 125  2 3a 3a Diện tích thi cơng Stc  a.3a   a.h    3a.h   3a  2ah  6ah  3a  2a Áp dụng BĐT Cosi ta có 3a  125 125 1000  6a  3a  3a 3a 3a 1000 500 500 500 500 750000  3a    3 3a  3a 3a 3a 3a 3a 500 500 500   9a3  500  a   3, 82 3a 3a Ghi chú: Chúng ta dung Phương pháp hàm số để tìm tốn Diện tích thi cơng nhỏ 3a  Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích 72 dm , chiều cao 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước a, b (đơn vị dm ) hình vẽ Tính a, b để bể cá tốn nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể A a  24 dm ; b  24 dm B a  dm ; b  4dm C a  dm ; b  dm D a  dm ; b  6dm Lời giải 72 24  Thể tích bế cá: V  3ab  72dm3  b  , với a, b  3a a Diện tích kính để làm bể cá hình vẽ: S  3.3a  2.3b  ab  9a  144 144 24 24  9a   24  9a  24  S  96  a a a a a 144  a 4b6 a Vậy để bể cá tốn ngun liệu a  4dm ; b  6dm S  96  9a  Câu (Mã 110 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB  x cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x  14 B x  C x  Lời giải D x  Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi M , N trung điểm CD AB CD  MB  CD  MN   CD   MAB    CD  MA  CD  AB Tam giác MAB cân M nên MN  AB 1 VABCD  AB.CD.d  AB, CD  sin  AB, CD   x.2 3.MN sin 90 6 Ta có  2 3  x   36  x    x  3 x.2 32     x 36  x   6  2   Dấu "  " xảy  x  36  x  x  Câu (Sở Vĩnh Phúc 2019) Xét khối chóp S ABC có đáy tam giác vng cân A , SA vng góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  , giá trị cos  thể tích khối chóp S ABC nhỏ A B 3 Lời giải C D Đặt SA  h, AB  AC  a Ta có d  A;  SBC    AH  3; 1 1 1 1  2       3  a2h  2 AH SA AB AC a a h ah    SBC  ,  ABC    SMA  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VS ABC  a h  Thể tích nhỏ a  h  SM  a  cos  Câu AM a 2   SM a 3 (Chuyên Lê Thánh Tơng 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  x , AD  Biết góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABBA  30 Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối hộp ABCD ABC D A Vmax  Ta có 3 B Vmax  C Vmax  Lời giải D Vmax  BC  BB   CB   ABBA   AB hình chiếu vng góc AC mặt phẳng BC  AB   ABBA   góc đường thẳng  C (vì AC mặt phẳng  ABBA  góc  AB, AC   BA   C nhọn BAC vuông B ) Vậy BA C  30 BA BC Ta có AB    ; AA  AB  AB   x  tan 30   tan BA C VABCD ABC D  AB AD AA  x  x  x2  3  x2  Dấu  xảy  x   x  x   x  x   (vì x  ) Vậy Vmax  Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Nhân ngày quốc tế Phụ nữ – năm 2019 Ông A mua tặng vợ quà đặt hộp chữ nhật tích 32 (đvtt) có đáy hình vng khơng nắp Để quà trở nên đặc biệt xứng tầm với giá trị nó, ơng định mạ vàng hộp, biết độ dày lớp mạ điểm hộp không đổi Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi chiều cao cạnh đáy hộp h x Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị h x là? A h  , x  ,x  B h  C h  , x  D h  , x  Lời giải 32 x2 32 256 Phần mạ vàng hộp: S  x  xh  x  x  2x  x x Cách Ta tích hộp: V  x h  32 (đvtt), với x, h  Suy h  128 128 128 128 256  x2    3 x2  96 (BĐT AM-GM) x x x x x 128 Đẳng thức xảy 2x  hay x  , h  x Cách 256 Xét hàm số f  x   x  với x  x Ta có 2x  Ta có f   x   x  256 x3  256  , f   x    x3  256  x  ; f    96 2 x x BBT x  f  x f  x     96 Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN x  , h  Vậy phương án A Câu (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Xét tứ diện ABCD có cạnh AB  BC  CD  DA  AC , BD thay đổi Giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD A 27 B 27 Lời giải C D Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M , N trung điểm BD , AC Đặt BD  x , AC  y  x, y  0 Ta có CM  BD, AM  BD  BD   AMC  Ta có MA  MC   x , MN   x  y , S AMC  VABCD 1 2  DB.S AMC  x y  x  y  x y  x2  y  3 3   VABCD   x  y2   x2  y2  27 Dấu đẳng thức xảy x  y  27 Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD Câu 10 1 MN AC  y  x  y 2 27 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp SABC có SA  x, SB  y , AB  AC  SB  SC  Thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn tổng x  y A B Lời giải D C Chọn C Gọi M , N trung điểm SA, BC đặt a  x, 2b  y BC  AN , BC  SN  BC   SAN  VSABC  VBSAN  VCSAN  2VBSAN  BC.S SAN AB  AC BC    b  MN  AN  MA2   b  a 2  S SAN  SA.NM  a  a  b 2 AN   VSABC 1  a2  b2   a2  b2   2ab  a  b  V SABC  4a 2b  a  b    9    V SABC    243 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dấu xảy  a  b   a  b  a  b  x y  x y  3 Câu 11 2 (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có tổng diện tích tất mặt 36, độ dài đường chéo AC ' Hỏi thể tích khối hộp lớn bao nhiêu? B 6 A C 24 Lời giải D 16 Chọn A +) Gọi độ dài AB  a, AD  b AA   c Ta có tổng diện tích tất mặt 36 nên 2ab  2bc  2ca  36  ab  bc  ca  18 1 Do độ dài đường chéo AC ' nên a2  b2  c  36   +) Thể tích khối hộp V  abc Ta có  a  b  c   a2  b2  c   ab  bc  ca   72  a  b  c    Từ 1  ab  18  c  a  b   18  c  c  c2  2c  18  Nên V  abc  c3  2c2  18c  f  c  , c  0;6  c  Ta có f   c   3c  12 2c  18    c  Lập bảng biến thiên ta Max V  f 0;6  Câu 12  2 8 (Chun Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có SC  x   x  a  , cạnh lại a Biết thể tích khối chóp S ABCD lớn x  Mệnh đề sau đúng? A m  2n  10 B m  n  30 C 2n  3m  15 Lời giải a m n  m, n    * D 4m  n2  20 S x a a a I A D a O B a C Gọi I trung điểm SC , O  AC  BD  BI  SC  BD  SC Ta có   DI  SC Mà ABCD hình thoi nên BD  AC Khi đó, BD   SAC  VS ABCD  2VS ABC  2VB.SAC AO  AB  BO  AB   BI  OI   AB   SB  SI   OI  x2  a2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  AC  AO  x  a  SA2  SC   SAC vuông S BO  AB  AO  3a  x 1 3a  x ax 3a  x  VS ABCD  2VB.SAC   BO  SA  SC  a x    Ta có x 3a  x  x 3a  x  x   3a  x   3a 2  VS ABCD  a a Dấu “=” xảy  x  3a  x  x  Vậy, thể tích khối chóp S ABCD lớn x  a  m  6; n  2  m  2n  10 Câu 13 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho tứ diện ABCD có AB  x , CD  y , tất cạnh lại Khi thể tích tứ diện ABCD lớn tính xy 16 A B C 3 D Lời giải Gọi M , N trung điểm AB, CD Tam giác ADB, CAB hai tam giác cân cạnh đáy AB nên DM  AB CM  AB Suy AB   MCD  1 x VABCD  VB MCD  VA MCD  BM SMCD  AM SMCD  SMCD 3 Tam giác ABC  ABD  c.c.c  nên CM  DM  MN  CD 1 1 x2 y2 SMCD  CD.MN  y MC  CN  y  BC  BM   CN  y   2 2 4  y 16   x  y  xy xy VABCD  16   x  y   16  xy  xy xy 16  xy  12 12 12 3  xy  xy  16  xy    16        12   12   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x  y x  y   Dấu xảy  16  xy  16  xy  xy  16 Vậy thể tích ABCD đạt giá trị lớn xy  Câu 14 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp S.AMPN Giá trị lớn V1 V thuộc khoảng sau đây?   1 5 A  0;  1 1  3 B  ;  1 1 3 2 C  ;  1  2  D  ;1  Lời giải Gọi O  AC  BD , G  AP  SO, suy G trọng tâm tam giác SAC Gọi  P  mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N  P    SBD   MN  Dễ thấy:  P    SAC   AP  MN , AP , SO đồng quy hay   SBD    SAC   SO SM SN Đặt: x    x  1 y    y  1 SD SB  V1  VS AMP VS ANP    V  VS ADC VS ABP Từ tỷ lệ: M , N , G thẳng hàng   SA SM SP SA SN SP       x  y   SA SD SC SA SB SC  S SMN  S SMG S SNG  SM SN  SM SG SN SG   SM SN           S SBD  S SDO S SBO  SD SB  SD SO SB SO   SD SB     x  y  Lại có:  x  1 y  1   xy   x  y    3 V Từ suy ra:   x  y    hay x  y  Vậy lớn V  xy  Câu 15 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong thi làm đồ dùng học tập trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác cách lấy mảnh tơn hình vng ABCD có cạnh 5cm (tham khảo hình vẽ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AEB, BFC , CGD , DHA sau gị tam giác AEH , BEF , CFG , DGH cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng tạo thành khối chóp tứ giác Cắt mảnh tơn theo tam giác cân Thể tích lớn khối chóp tứ giác tạo thành A 10 B 10 10 C D 10 Lời giải Gọi K trung điểm AD, đặt HK  x,  x  2 5  5 Ta có EF  FG  GH  HE    x  ; HD     x 2  2 2 5 5  Suy SO  SH  OH  HD  OH     x    x   2 2  5  Ta có V    x  2  2 2 2 2 5 5 5      x    x     x  5x 2        x    5  5   V   2   x  x    x  , V         5x  x   Bảng biến thiên Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do   qua A , P , M , N nên bốn điểm đồng phẳng Áp dụng công thức VS AMNP a  b  c  d SA SC SD SB   a, c, d,  b thỏa mãn với VS ABCD 4.a.b.c.d SA SP SM SN ac bd SA SC SD SB 1,  đặt  d  0, b 0 SA SP SM SN V  1  b  d  Khi đó: với   b  d  b  d  V 4.1.2.b.d V  1  b  d V  1  V      Vậy ta có: V 4.1.2.b.d V 4.2.b.d V 4bd Theo đề ta có: b  d  Theo bất đẳng thức bản: bd   V 3      suy V 4bd bd V Vậy có giá trị nhỏ V Dấu “=” xảy b  d  b  d  Câu 20 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông cân C , AB  2a góc tạo hai mặt phẳng  ABC    ABC  60 Gọi M , N trung điểm AC  BC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ A 3a 24 B 6a 6a 24 Lời giải C D 3a3 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi I trung điểm AB , suy AB   CIC   nên góc  C AB   ABC  góc  CI , C I  ,  IC  60 suy C AB  IC   tan 60  a Tam giác C IC vuông C nên C C  CI  tan C Diện tích tam giác ABC S ABC   AB  CI  a Thể tích khối lăng trụ V  CC   S ABC  a  a  a 3 Trong  ACC A  , kéo dài AM cắt CC  O Suy C M đường trung bình OAC , OC  2CC   2a 1 1 Thể tích khối chóp VO ACN   S ACN  OC    S ABC  2CC   V 3 1 1 Thể tích khối chóp VO.C ME   SC ME  OC    S ABC   OC   V 3 24 1 7 3a3 Do VC EM CAN  VO ACN  VO.C ME  V  V  V   a3  24 24 24 24 Vậy phần thể tích nhỏ VCEM CAN  Câu 21 3a 24 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhôm lại để hộp khơng nắp( tham khảo hình vẽ bên) Tìm x để hộp nhận tích lớn (giả thiết bề dày tôn không đáng kể) Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A x  B x  C x  Lời giải D x  Chọn A Hình hộp có đáy hình vng cạnh 12  2x , chiều cao x x Điều kiện  x  12 –2x 2 Thể tích khối hộp V  12  x  x    x  x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương   x   x  x  6  x  6  x  2x    x   x  x  43    x  x  2.43  V  128 (hằng số) Dấu  xảy   x  2x  x  Vây thể tích khối hộp lớn x  Câu 22 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S.ABC tích Mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt phẳng (ABC) cắt cạnh SA, SB, SC M, N, P Qua M, N, P kẻ đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (ABC) M’, N’, P’ Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M’N’P’ 1 A B C D 27 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 SM SN SP  x   x  1  x SA SB SC  S MNP NM NP.sin MNP NM NP     x2 S ABC BA BC BA.BC.sin  ABC  S MNP  x S ABC Gọi Gọi chiều cao hình chóp SH , chiều cao lăng trụ MH  : MH  AM    x  MH '  1  x  SH SH AS  VS ABC  SH S ABC   SH SABC  3   VMNP.M ' N ' P '  MH '.SMNP  1  x  SH x SABC  x 1  x  SH SABC = x 1  x  Xét hàm số: f  x   3x  3x3 với x   0;1  x  (loai )  f '  x   6x  9x  f '  x     x   Bảng biến thiên: x f'(x) + - f(x) Vậy: maxVMNP M ' N ' P '  Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 23 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình vng ABCD cạnh a Trên đường thẳng vng góc với  ABCD  A lấy điểm S di động khơng trùng với A Hình chiếu vng góc A lên SB, SD H , K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK A a3 32 B a3 a3 16 Lời giải C D a3 12 Chọn C Cách 1: a2 x Ta có VS ABD  S ABD SA  Lại có VS AHK SH SK  SA     VS ABD SB SD  SB   VS AHK  x4 x a 2  VS ABD  2 x4  SA      SD   x  a  a x5  x2  a2  Gọi O  AC  BD, G  SO  HK , I  AG  SC  BC  AB Ta có   BC   SAB   BC  AH ,  AH   SAB    BC  SA  AH  SB Lại có   AH   SBC   AH  SC  AH  BC Chứng minh tương tự ta có AK  SC  SC  AK Vì   SC   AHK  , AI   AHK   SC  AI  SC  AH Xét tam giác SAC vuông A , đặt SA  x  có AC  a , AI  SC  IC  AC  2a 2a    CI  SI  IS  AS  x2 x2 1 2a 2a a4 x3  VACHK  S AHK CI  S AHK SI  VS AHK  3 x x  x  a 2 Ta lại có  x  a 2   x2 x2 x2       a2   3  AM  GM  16 x 3a x3 3   (Dấu “=” xảy 2 3  x  a  16a x  a ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy VACHK  a4 3 a3  VACHK  16a 16 Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK a3 x  SA  a 16 Cách 2: a2 x a2 x  VS ABD  VS ABCD  Gọi O  AC  BD  O trung điểm AC  d  A,  HOK    d  C ,  HOK   Đặt SA  x, x   VS ABCD   VAHOK  VCHOK  VACHK  2VAHOK Xét tam giác SAB vng A, có AH  SB  Tương tự tam giác SAD ta có Lại có SH SA2 x2   SB SB x  a2 SK x2  SD x  a VS AHK SH SK x4 x4 a x5    V  V  S AHK S ABD 2 VS ABD SB SD  x  a 2  x2  a2   x2  a2  Mặt khác d  H ,  ABCD   d  S ,  ABCD   Mà S ABO   BH a2 a2 x   d H , ABCD      BS x  a x2  a a2 1 a4 x S ABD   VH ABO  S ABO d  H ,  ABO    12 x  a Tương tự, ta có VK ADO a4 x  12 x  a   a x a x5 a4 x   VACHK  2VAOHK  VS ABD  VS AHK  VHABO  VKADO       6  x  a 2 x  a     VACHK  a4 x3  x  a 2 Xét hàm số f  x   Ta có f   x   x3  x2  a2  x  3a  x   x2  a2  khoảng  0;   ; f  x   x  a Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bảng biến thiên Quan sát bảng biến thiên, ta thấy f  x  đạt giá trị lớn x  a 3 a 3 a  a 3  a    Vậy giá trị lớn VACHK Câu 24  2 a3 SA  a 16 (Sở Hưng Yên - 2020) Khối chóp có đáy hình bình hành, cạnh đáy a cạnh bên a Thể tích khối chóp có giá trị lớn A 6a a Lời giải B 8a C D 7a3 12 Chọn D Gọi AC  BD  O SO  AC  SO   ABCD  Ta có SA  SB  SC  SD  a   SO  BD  O tâm đường trịn ngoại tiếp hình bình hành ABCD  ABCD hình chữ nhật Khơng tính tổng qt, giả sử AD  a đặt AB  x,  x    OA  x  a2 x2  a2  SO  7a  x Xét SOA vuông O , ta có SO  SA  OA  2a  2 Lại có S ABCD  a.x nên VS ABCD 2 1  S ABCD SO  a.x a  x Dấu “=” xảy x  AM GM  2 a x   7a  x  7a3  12 a 14 Vậy thể tích lớn khối chóp cho 7a 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 25 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC , BD thỏa mãn AC  BD  16 cạnh lại Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A 32 B 16 C 16 D 32 Lời giải Chọn B Gọi I , K trung điểm AC , BD Ta có: AC  IB , AC  ID  AC   BID   VABCD  2.VABID VABID  1 1 AI S IBD  AC IK BD (Do IB  ID nên tam giác IBD cân I ) 3 2 BD  16  AC ;  AC  IK  IB2  ID2 BD2 BD2 AC BD2   ID2   AD2    32  IK  2 4 4 2 AC.4 16  AC  AC 16  AC ,   AC   12 Đặt t  AC , (0  t  4) VABCD  Xét f (t )  t 16  t , (0  t  4) Ta có: 16 Tìm giá trị lớn thể tích, ta dùng cách khác sau: Áp dụng BĐT Cauchy cho số: AC 16  AC Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn Ta có: AC  16  AC  AC 16  AC   AC 16  AC  Đẳng thức xảy  AC  16  AC  AC  2 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn Câu 26 16 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác ABC có AB  BC , AC  BC , hình chiếu S lên  ABC  trung điểm O cạnh AC Khoảng cách từ A đến  SBC  Mặt phẳng  SBC  hợp với mặt phẳng  ABC  góc  thay đổi Biết giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC Tổng a  b A B C a , a, b  * , a số nguyên tố b D Lời giải Áp dụng định lý Hê-rông tam giác ABC ta diện tích S ABC  BC   Từ O kẻ OI  BC I , suy góc tạo  SBC   ABC  SIO Từ O kẻ OH  SI H d  A,  SBC    2d  O,  SBC    OH  OH  OH  sin  sin  OH Tam giác SOI vuông O nên SO  OI  tan    tan   sin  cos  Mà diện tích 2S S ABC  BC  2OI  d  A, BC   ABC  BC  OI  BC  S ABC  OI  BC sin  1 1 Thể tích khối chóp V  S ABC  SO    3 sin  cos  Tam giác OHI vuông H nên OI  Xét hàm số f  x   1  x  x   x  x  0;1 , f   x   3x  , f   x    x  Bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy f  x   , x   0;1 1 1 V        cos  cos  3 Vậy a  3, b   a  b  Do 1  cos x  cos x  Câu 27 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Xét khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A , SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  , tính cos  để thể tích khối chóp S ABC nhỏ A cos   B cos   C cos   Lời giải D cos   Chọn A Gọi H trung điểm BC  AH  BC (vì tam giác ABC vng cân A )  AH  BC  cmt   BC   SAH   BC  SH Ta có  SA  BC SA  ABC       ABC    SBC   BC     Ta có  AH  BC    ABC  ,  SBC     AH , SH   SHA  SH  BC  Kẻ AK  SH , với K  SH  AK  SH  gt   AK   SBC   d  A ,  SBC    AK  Ta có   AK  BC  BC   SAH   AK Tam giác SHK vng K có AH   sin  sin  Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 AK  Tam giác SAK vuông K có SA  sin  90    cos  Tam giác ABC vng cân A có H trung điểm BC  BC  AH  sin  BC  2 sin  1 6 Vậy S ABC  AB AC   2 sin  sin  sin  1 9 VS ABC  S ABC SA   3 sin  cos  1  cos   cos  AB  AC    Xét hàm số y  1  cos   cos  với   0;   2 Đặt t  cos   t   0;1  y  1  t  t  t  t    0;1 t  Suy y    3t       0;1 t     3 Ta có y    , y 1  , y       3 cos   (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , Vậy để thể tích khối chóp nhỏ 1  cos   cos  lớn Câu 28  y   vng góc với mặt đáy  ABCD  Trên cạnh AD lấy điểm M   x  a  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S ABCM , biết x  y  a cạnh bên SA  y đặt AM  x A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn C 1  AM  BC  AB   x  a  a 2 1 a Vậy thể tích khối chóp S ABCM V  SA.S ABCM  y  ax  a    xy  ay  3 Ta có: S ABCM  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 V2  a2 36 2 y  x  a   V   a2  x2   x  a  36 a Xét hàm số f  x    a  x   x  a  khoảng  0;a  2 Ta có: f   x   2 x  x  a    a  x   x  a    x  a   a  x  f  x   x  a (Vì x  ) Bảng biến thiên a2   a 27a a   Từ bảng biến thiên suy ra: max f  x   f     a     a    0;a   16 2   a2 a 27a a 3 max f  x    36  0; a  36 16 Câu 29 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt cạnh SB , SD M N Gọi V1 , V theo thứ tự thể tích khối chóp S AMKN khối chóp S ABCD Giá trị nhỏ tỉ Vậy Vmax  số V1 V2 A B Lời giải C D Chọn C Giả sử x  SM SN , y SB SD 1 Ta có ABCD hình bình hành nên VS ABC  VS ACD  VS ABCD  V 2 SM SK SK SN 1 1 VS AMKN  VS AMK  VS AKN  VS ABC  VS ACD  x V  y V  V  x  y  SB SC SC SD 2 2 V1    x  y V Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SM SN SK SM SN VS ABD  VS ABC Mặt khác, VS AMKN  VS AMN  VS KMN  SB SD SC SB SD 1 3xy V 3xy  V1  xy.V  xy V  V  1 2 V Do  x  y   xy  x  y  3xy 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 3xy  x  y  xy  xy   xy  V 3 Do  xy   V 4  x  y  xy Dấu "  " xảy  x y x  y V1 V Vậy giá trị nhỏ Câu 30 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có độ dài cạnh đáy a Gọi  góc BC  mặt phẳng  ABC  Khi sin  đạt giá trị lớn nhất, tính thể tích khối lăng trụ cho? A 6a 12a Lời giải 3a B 4 C D 27a Chọn D Đặt AA'  x  x     Gọi h  d A, A' BC   d C ' ,  A'BC    Dựng AM  BC , AE  A' M  h  d A, A' BC Khi ta có h  a 3x x  3a     d C ' , A' BC   AE  A' A.MA A' A2  AM BC '  a  x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có sin   h BC '  a 3x x  3a x  a  a  x2  3a2  x2  a2  x2 x  3a  x  a   Ta có sin  lớn nhỏ x2 x  3a  x  a   3a Mà  x2   a  4a x Dấu x  x 3a x2  x  a4  a 27 a3 , thể tích khối lăng trụ 4 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 ... giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD Câu 10 1 MN AC  y  x  y 2 27 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp SABC có SA  x, SB  y , AB  AC  SB  SC  Thể tích khối chóp SABC đạt giá trị. ..  x  Vậy, thể tích khối chóp S ABCD lớn x  a  m  6; n  2  m  2n  10 Câu 13 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho tứ diện ABCD có AB  x , CD  y , tất cạnh cịn lại Khi thể tích tứ diện ABCD lớn... t , (0  t  4) Ta có: 16 Tìm giá trị lớn thể tích, ta dùng cách khác sau: Áp dụng BĐT Cauchy cho số: AC 16  AC Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn Ta có: AC  16  AC  AC 16