thể tích khối đa diện

TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020 TUYỂN CHỌN CÂU HỎI VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TRÊN CẢ NƯỚC NĂM 2020 56 CÂU HỎI VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO CHƯƠNG THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Câu (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Hai điểm M , N thuộc đoạn thẳng AB AD ( M N không trùng với AB AD A ) cho 3  Kí hiệu V , V1 thể tích khối chóp S ABCD AM AN V S.MBCDN Tìm giá trị lớn tỉ số V 13 11 A B C D 16 12 Lời giải Chọn A S D N A Ta có: C M B VSADB AD AB 2.VSADB AD AB    VSANM AN AM VSANM AN AM AD AB V1 AN AM    AD AB AD AB V AN AM AN AM x   3x   AD AB V Đặt x  2   x,   x   Khi   1 AN AM V x   3x  3x  x Đặt f  x    , 1  x   3x  x 6x  6x  4 13 Ta có: f   x     f  x       x   f    2 2 3 16    3x  8x   3x  x  V AD AB V  V1     V  V1 AN AM V Bảng biến thiên hàm số y  f  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dựa vào bảng biến thiên ta hàm số đạt giá trị lớn Vậy giá trị lớn tỉ số Câu 13 x  16 V1 13 V 16 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi P trung điểm SC Mặt phẳng   chứa AP cắt hai cạnh SD , SB M N Gọi V  thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị V nhỏ tỉ số V A B C D 3 Lời giải Chọn B Do   qua A , P , M , N nên bốn điểm đồng phẳng Áp dụng công thức VS AMNP a  b  c  d SA SC SD SB   a, c, d,  b thỏa mãn với VS ABCD 4.a.b.c.d SA SP SM SN ac bd SA SC SD SB 1,  đặt  d  0, b 0 SA SP SM SN V  1  b  d  Khi đó: với   b  d  b  d  V 4.1.2.b.d V  1  b  d V  1  V      Vậy ta có: V 4.1.2.b.d V 4.2.b.d V 4bd bd V 3     Theo bất đẳng thức bản: bd     suy V 4bd 4 bd Dấu “=” xảy b  d  b  d  V Vậy có giá trị nhỏ V Theo đề ta có: Câu (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy tam giác vuông   120 Gọi M trung điểm cạnh BB    90 , BAA A , AB  , AC  Góc CAA (tham khảo hình vẽ) Biết CM vng góc với AB , tính thể tích khối lăng trụ cho Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020   33 A V   B V    33  33 C V   D V   33 Lời giải Chọn C Do AC  AB , AC  AA nên AC   ABBA  Mà AB   ABBA  nên AC  AB Có AB  AC , AB  CM nên AB   AMC   AB  AM         Đặt AA  x  x   Ta có AB  AB  AA AM  AB  BM  AB  AA            1 Suy AB AM  AB  AA  AB  AA   AB  AA2  AB AA 2   1 1   22  x  2.x.cos120   x  x   AB  AA2  AB AA.cos BAA 2 2 2   1  33 Do AB  AM nên AB AM    x  x    x  2        33    33 sin120  Lại có S ABB A  AB AA.sin BAA (đvdt) 2  33  33 1 Do AC   ABBA  nên VC ABBA  AC.S ABB A   (đvtt) 3 2 Mà VC AB C   VABC AB C   VC ABB A  VABC AB C   VC AB C   VABC AB C  3   3  33  33 Vậy VABC AB C   VC ABB A   (đvtt) 2 Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông cân C , AB  2a góc tạo hai mặt phẳng  ABC    ABC  60 Gọi M , N lần Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 lượt trung điểm AC  BC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ 3a A B 24 6a C 6a 24 D 3a Lời giải Chọn A Gọi I trung điểm AB , suy AB   CIC   nên góc  C AB  IC  60  CI , C I  , suy C  IC  Tam giác C IC vuông C nên C C  CI  tan C  ABC  góc AB  tan 60  a Diện tích tam giác ABC S ABC   AB  CI  a Thể tích khối lăng trụ V  CC   S ABC  a  a  a3 Trong  ACC A , kéo dài AM cắt CC  O Suy C M đường trung bình OAC , OC  2CC   2a 1 1 Thể tích khối chóp VO ACN   S ACN  OC    S ABC  2CC   V 3 1 1 Thể tích khối chóp VO.C ME   SC ME  OC    S ABC   OC   V 3 24 1 7 3a Do VC EM CAN  VO ACN  VO.C ME  V  V  V   a 3  24 24 24 24 3a Vậy phần thể tích nhỏ VC EM CAN  24 Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R, S tâm mặt hình lập phương Thể tích khối bát diện tạo sáu đỉnh M , N , P, Q, R, S Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020 A a3 24 B a3 a3 12 Lời giải C D a3 Chọn D Ta có: dễ thấy MNPQRS bát giác nên V  VR.MNPQ  VS MNPQ  2VR.MNPQ Dễ thấy: RO  a Lại có hình chóp R.MNPQ có tất cạnh nên: MR  OR  a 2 a3  2VR.MNPQ  .MN OR  Câu (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có M , N , P trung điểm cạnh BC , C ' D ', DD ' (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối hộp 144 , thể tích khối tứ diện AMNP A 15 B 24 C 20 Lời giải D 18 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 NP  CD  E Đặt DC  2d , BC  2r S EMA  S ECBA  S EMC  S ABM  5dr  dr  dr  dr 2 1 5 VNEAM  S EMA d ( N , ( EMA))  S EMA CC '  4dr.CC '  VABCD A ' B ' C ' D '  30 3 24 24 VNPAM  VNEAM  15 Câu (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho khối chóp S ABCD có chiều cao đáy hình bình hành có diện tích 10 Gọi M , N , P Q trọng tâm mặt bên SAB , SBC , SCD SDA Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm M , N , P , Q, B D 50 25 A B C 30 D Lời giải Chọn B Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có đường thẳng BM , DQ, SA đồng quy trung điểm E SA Tương tự, đường thẳng BN , DP , SC đồng quy trung điểm F SC Ta phân chia khối đa diện lồi có đỉnh điểm M , N , P , Q , B D thành khối chóp B.MNPQ khối tứ diện BDPQ Cũng theo tính chất trọng tâm, ta có mặt phẳng  MNPQ  song song với mặt phẳng  ABCD  4 S XYZT  S ABCD  S ABCD (trong X , Y , Z , T trung điểm 9 AB, BC , CD, DA ) Hơn nữa, 1 d  B,  MNPQ    d  X ,  MNPQ    d  S ,  MNPQ    d  S ,  ABCD    d  S ,  ABCD   2 3 2 Do đó, VB MNPQ  VS ABCD  VS ABCD 1 27 Lại có S MNPQ  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020 4   VBDPQ  VBDEF  S DPQ  S DEF  9    2VODEF d  B,  DEF    2d O,  DEF   1    VSACD  SOEF  S SAC  4   1  VS ABCD = VS ABCD   9 đó, O tâm hình bình hành ABCD 50  1  1 Từ 1  2 , ta VMNPQBD     VS ABCD     9.10  (đvtt)  27   27   Câu  (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3, chiều cao Gọi M trung điểm SB , N điểm thuộc SD cho   SN  ND Thể tích tứ diện ACMN A V  B V  C V  18 D V  Lời giải Chọn B Ta có S ABCD   VS ABCD  9.8  24  VS ABD  VS ABCD  12;VS ABO  VS ADO    SM SN Vì M trung điểm SB , N điểm thuộc cạnh SD cho SN  ND   ,  SB SD V SM SN 1 +) S AMN     VS AMN  VS ABD  VS ABD SB SD 3 V MB 1 +) M AOB    VM AOB  VS AOB  VS AOB SB 2 VN AOD ND 1 +)    VN AOD  VS AOD  VS AOD SD 3 Ta có VC AMN  2VO AMN  VS ABD  VS AMN  VM AOB  VN AOD  Vậy VC AMN  2VO AMN  12      Câu (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có AA '  , đáy ABCD hình thoi với ABC tam giác cạnh Gọi M , N , P trung điểm B ' C ' , C ' D ' , DD ' Q thuộc cạnh BC cho QC  3QB Tính thể tích tứ diện MNPQ A 3 B 3 C D Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi O O ' tâm đáy ABCD A ' B ' C ' D ' ABC cạnh , O trung điểm BC  OB  , OC  Gắn hệ trục tọa độ Oxyz , tia Ox trùng tia OC , tia Oy trùng tia OB , tia Oz trùng tia OO '        Khi đó: C  2;0;0  , B 0; 3;0 , B ' 0; 3; , C '  2;0;2  , D 0; 2 3; , D ' 0; 2 3;    N trung điểm C ' D '  N 1;  3;  P trung điểm DD '  P  0; 2 3;1 M trung điểm B ' C '  M 1; 3;   xQ  x       Q      3   Q thuộc cạnh BC cho QC  3QB  CQ  CB   yQ      yQ  4    zQ     zQ        1 3  Suy Q  ; ;  2      Ta có: VMNPQ   MN , MP  MQ     MN  0; 2 3;0 , MP  1; 3 3; 1   MN , MP   3;0; 2            MQ    ; ; 2   2   VMNPQ  Câu 10 3  1      2  2   2  2   (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  Gọi D , E trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD  AE 21 21 21 21 A B C D 27 Lời giải Chọn D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020 S D E B A O C Gọi O tâm tam giác ABC Do S ABC hình chóp nên ta có SO   ABC            Ta có AE  SE  SA  SC  SA ; BD  SD  SB  SA  SB 2    Đật ASC  BSC  ASB             BD  AE  BD AE    SA  SB   SC  SA   2          SASC  SA  SB.SC  SA.SB  2  cos    cos   cos    cos   Áp dụng định lý hàm số côsin tam giác SAC , ta có: AC  SA2  SC  2SA.SC.cos    AC  3 Diện tích tam giác ABC S ABC  2 2 AO   ; SO  SA2  AO  3 3 1 21  Thể tích khối chóp S.ABC V  SO.S ABC  3 3 27 Câu 11 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh Gọi M , N , P, Q tâm hình vng ABBA, ABC D, ADDA CDDC Tính thể tích MNPR với R trung điểm BQ A 12 Chọn D B 24 12 Lời giải C D 24 z Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 y x Dựng hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ Tọa độ điểm sau: A  0;0;0  ; B  0;1;  ; C 1;1;  ; D 1; 0;  A  0;0;1 ; B  0;1;1 ; C  1;1;1 ; D 1;0;1 1  1 1 1  1 1  1 M  0; ;  ; N  ; ;1 ; P  ; 0;  ; Q 1; ;  ; R  ; ;  2  2 2 4  2 2     1    1    1  Ta có: MN   ;0;  ; MP   ;  ;0  ; MR   ; ;   2 2 2  2 4    1       MN , MP    ; ;     MN , MP  MR  4 4    Vậy VMNPR   MN , MP  MR  24 Câu 12 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hình hộp ABCD ABCD có cạnh 2a Biết  BAD  60 ,  AAB   AAD  120 Tính thể tích V khối hộp ABCD ABCD A 2a3 B 2a3 C 8a3 D 2a3 Lời giải Chọn A B' C' A' D' B A C H D Từ giả thuyết ta có tam giác ABD , AAD AAB tam giác Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi K  MN  SO , BK cắt SD E Kẻ OO / / BE Do MN đường trung bình SAC nên K trung điểm SO Suy VO BMEN  VS BMEN V V SM SE SE SN SE SE   Ta có: S BME  S BNE  VS BAD SA SD SD VS BCD SC SD SD SE Suy VS BMEN  VS BME  VS BNE  VS ABCD SD Vì OO / / BE  O trung điểm ED Mặt khác: KE / / OO  E trung điểm SO SE Do SE  EO  OD   SD Suy VS BMEN  VS ABCD Ta có: S ABCD  a 2 a 2 a  BD  Xét SOA vng O có: SO  SA  OA  SA       a       2 a3 Do đó: VS ABCD  S ABCD SO  a3 a  Vậy VS BMEN  6 36 Câu 43 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC , BD thỏa mãn AC  BD  16 cạnh lại Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn 32 16 16 32 A B C D 3 3 Lời giải Chọn B Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020 Gọi I , K trung điểm AC , BD Ta có: AC  IB , AC  ID  AC   BID   VABCD  2.VABID VABID  1 1 AI S IBD  AC IK BD (Do IB  ID nên tam giác IBD cân I ) 3 2 BD  16  AC ;  AC  IB  ID2 BD2 BD2 AC BD2 IK    ID2   AD2    32  IK  2 4 4 2 VABCD  AC.4 16  AC  AC 16  AC ,   AC   12 Đặt t  AC , (0  t  4) Xét f (t )  t 16  t , (0  t  4) Ta có: 16 Tìm giá trị lớn thể tích, ta dùng cách khác sau: Áp dụng BĐT Cauchy cho số: AC 16  AC Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn Ta có: AC  16  AC  AC 16  AC   AC 16  AC  Đẳng thức xảy  AC  16  AC  AC  2 Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn Câu 44 16 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a Mặt bên tạo với đáy góc 60o Mặt phẳng  P  chứa AB tạo với đáy góc 30o cắt SC , SD M N Tính thể tích V khối chóp S ABMN theo a a3 5a 3 a3 A V  B V  C V  48 D V  a3 16 Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi AC  BD  O  SO   ABCD  (vì S ABCD hình S chóp đều) Gọi I , J hình chiếu vng góc O DC, AB gọi SO   P    E    SDC  ,  ABCD    SOI  60 o   P  ,  ABCD    EJO  30 o N F Khi tam giác SIJ Mà E JO  30  SJI  JE phân giác góc SJI  F trung điểm SI 1 (với E o A J D 60o 30o I O JE  SI   F  ) Mặt khác C B CD //AB  CD //  P   CD //MN   M Từ 1   suy MN đường trung bình tam giác SBC  SM SN   SC SD 1 VS ABM SM    VS ABM  VS ABC  VS ABCD V SC 2  S ABC Khi ta có  1 VS AMN  SM SN    V VS ACD  VS ABCD S AMN   VS ACD SC SD 2 4 1  VS ABMN  VS ABM  VS AMN  VS ABCD  VS ABCD  VS ABCD * 8 a 1 a a3  VS ABCD  SO.S ABCD  a  Tam giác SIJ cạnh a  SO  3 3 a a  Thay  *  vào * ta VS ABMN  16 Câu 45  2* (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác ABC có AB  BC , AC  BC , hình chiếu S lên  ABC  trung điểm O cạnh AC Khoảng cách từ A đến  SBC  Mặt phẳng  SBC  hợp với mặt phẳng  ABC  góc  thay đổi Biết giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC a, b  * , a số nguyên tố Tổng a  b A B C D Lời giải Áp dụng định lý Hê-rơng tam giác ABC ta diện tích S ABC  BC Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a , b TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020   Từ O kẻ OI  BC I , suy góc tạo  SBC   ABC  SIO Từ O kẻ OH  SI H d  A,  SBC    2d  O,  SBC    OH  OH  OH  sin  sin  OH Tam giác SOI vuông O nên SO  OI  tan    tan   sin  cos  Mà diện tích 2S S ABC  BC  2OI  d  A, BC   ABC  BC  OI  BC  S ABC  OI  BC sin  1 1 Thể tích khối chóp V  S ABC  SO    3 sin  cos  Tam giác OHI vuông H nên OI  Xét hàm số f  x   1  x  x   x  x  0;1 , f   x   3x  , f   x    x  Bảng biến thiên , x   0;1 1 1 Do 1  cos x  cos x  V        cos  cos  3 Vậy a  3, b   a  b  Suy f  x   Câu 46 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Xét khối chóp S ABC có đáy tam giác vng cân A , SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  , tính cos  để thể tích khối chóp S.ABC nhỏ A cos   B cos   C cos   Lời giải D cos   Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi H trung điểm BC  AH  BC (vì tam giác ABC vng cân A )  AH  BC  cmt   BC   SAH   BC  SH Ta có   SA  BC  SA   ABC    ABC    SBC   BC     Ta có  AH  BC    ABC  ,  SBC     AH , SH   SHA  SH  BC  Kẻ AK  SH , với K  SH  AK  SH  gt   AK   SBC   d  A ,  SBC    AK  Ta có   AK  BC  BC   SAH   AK Tam giác SHK vuông K có AH   sin  sin  AK  Tam giác SAK vuông K có SA  sin  90    cos  Tam giác ABC vng cân A có H trung điểm BC  BC  AH  sin  BC  2 sin  1 6  Vậy S ABC  AB AC  2 sin  sin  sin  1 9 VS ABC  S ABC SA   3 sin  cos  1  cos   cos  AB  AC    Xét hàm số y  1  cos   cos  với    0;   2 Đặt t  cos   t   0;1  y  1  t  t  t  t    0;1 t   Suy y   3t      0;1 t     3 Ta có y    , y 1  , y      Vậy để thể tích khối chóp nhỏ 1  cos   cos  lớn Câu 47 3 cos   (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có chiều cao diện tích đáy 11 Gọi M trung điểm AA, N điểm cạnh BB  cho BN  3BN P điểm cạnh CC  cho 6CP  5CP Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh DD  Q Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B , C , D , M , N , P Q 88 220 A B 42 C 44 D 3 Lời giải Chọn B Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020  AM BN CP  Cho hình lăng trụ hình vẽ, VABC MNP      VABC ABC   AA BB CC   Chứng minh: VABC MNP  VN ACB  VN ACPM BN BN VN ACB  VB ' ACB  VABC ABC  BB BB VN ACPM S ACPM  CP  AM   CP AM        VB ACC A S ACC A AA  CC  AA   CP AM   VN ACPM     VABC ABC   CC  AA  Từ ta suy điều phải chứng minh Bây ta áp dụng vào giải toán  ADDA  //  BCC B   Ta có:  MQ   MNP    ADDA   NP //MQ , tương tự ta có MN //PQ Do MNPQ   NP   MNP    BCC B  hình bình hành Ta có OI đường trung bình hai hình thang AMPC BNQD suy MA PC BN DQ    2OI  MA  PC  DQ  NB  AA CC  BB DD Dựa vào hình vẽ ta chia khối lăng trụ làm hai phần cắt mặt phẳng  BDDB  Do VADB ADB  VBDC  BDC  44 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VABCD MNPQ  VABD.MNQ  VBCD NPQ  MA BN DQ   CP BN DQ      VABD ABD       VBCD BC D  AA BB DD   CC  BB DD   MA BN DQ CP BN DQ          VABC ABC   AA BB DD CC  BB DD    MA CP      VABC ABC  3.2   AA CC     MA CP      VABC ABC   AA CC   1      88  42  11   Câu 48 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, mặt bên  SAB  tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy  ABCD  có diện 27 (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB song song với mặt đáy  ABCD  chia khối chóp S ABCD thành hai phần, tính thể tích V phần chứa điểm S tích A V  B V  24 C V  36 Lời giải D V  12 Chọn D Gọi H trung điểm AB Do SAB  SAB    ABCD  nên SH   ABCD  AB 27 AB 3 3     AB  3  SH  4 2 2 1 81 (đvtt)  VS ABCD  S ABCD SH  AB SH  3  3 2 Gọi G trọng tâm tam giác SAB , qua G kẻ đường thẳng song song với AB , cắt SA SB M , N Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC P , qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD Q Suy  MNPQ  mặt phẳng qua G Ta có SSAB    song song với  ABCD  Khi SM SN SP SQ SG      SA SB SC SD SH 3 V SM SN SP   8 Có S MNP   VS MNP  VS ABC  VS ABCD  VS ABCD    VS ABC SA SB SC   27 27 27 27 Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020 VS MPQ SM SP SQ   8 Có  VS MPQ  VS ACD  VS ABCD  VS ABCD     27 27 27 VS ACD SA SC SD   27 4 8 81 Vậy VS MNPQ  VS MNP  VS MPQ  VS ABCD  VS ABCD  VS ABCD   12 (đvtt) 27 27 27 27 Câu 49 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hai hình chóp tam giác có chiều cao Biết đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy hình chóp kia, cạnh bên hình chóp cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên có độ dài a hình chóp thứ tạo với đường cao góc 300 , cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc 450 Tính thể tích phần chung hai hình chóp cho?  a3  a3  a3 27  a A B C D 64 32 64 64         Lời giải Chọn C B' D' A α C' M P H N B β D A' C Hai hình chóp A.BCD A.BC D hai hình chóp đều, có chung đường cao AA , A tâm tam giác BC D A tâm tam giác BCD    ;  AAB   Ta có:  BCD  //  BC D  ; AB  AC  AD  a ; BAA Do AB cắt AB M nên AB // AB Gọi N giao điểm AC AC  ; P giao điểm AD AD Tương tự ta có: AC  // AC , AD // AD Từ suy cạnh BCD BC D  song song với đôi  MB AB  MA  AB  MB NC  NC AC  Ta có:   MN // BC   MA NA  NA AC   AB  AC  ; AB  AC   Tương tự ta có: NP // CD MP // BD Suy ra: MNP tam giác Gọi H giao điểm OO  MNP  , H tâm tam giác MNP Trong tam giác AAD có: AA  AD.cos   a.cos  1 Đặt x  MH Hai tam giác AHM tam giác AHM vuông H cho: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  AH  MH cot   x.cot   AA  x  cot   cot    2   AH  MH cot   x.cot  a.cos  Từ 1  2 suy ra: a.cos   x  cot   cot    x  cot   cot  Tam giác MNP có cạnh MN  x nên: S MNP  MN 3 x 3 a cos    4  cot   cot  2 Phần chung hai hình chóp A.BCD A.BC D hai hình chóp đỉnh A A có chung mặt đáy tam giác MNP Do thể tích là: 1 a 3.cos3  V  S MNP  AH  AH   S MNP AA  3  cot   cot   Với   30   45 V  32 Câu 50     a3 9a   64 1 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  y  y   vng góc với mặt đáy  ABCD  Trên cạnh AD lấy điểm M đặt AM  x 2 0  x  a Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S ABCM , biết x y a A a3 B a3 C a3 D a3 Lời giải Chọn C 1  AM  BC  AB   x  a  a 2 1 a Vậy thể tích khối chóp S ABCM V  SA.S ABCM  y  ax  a    xy  ay  3 a 36 2 V2  y  x  a   V   a2  x2   x  a  36 a 2 Xét hàm số f  x    a  x   x  a  khoảng  0; a  Ta có: S ABCM  2 Ta có: f   x   2 x  x  a    a  x   x  a    x  a   a  x  f  x   x  a (Vì x  ) Bảng biến thiên Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020 2 27a  a   a  a  Từ bảng biến thiên suy ra: max f  x   f     a     a    0;a   16 2   Vậy Vmax  Câu 51 a2 a 27a a 3 max f  x    36  0; a  36 16 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hình chóp S ABC với điểm M , N thứ tự nằm cạnh BC , AC (khác A, B, C ) P giao điểm AM BN (hình vẽ minh họa) Biết thể tích khối chóp SABP , SAPN , SCNP thứ tự 30, 20,10 Thể tích khối chóp S ABC thuộc khoảng sau đây? A  72;75 B 65;69 C  69;72 D  75;78 Lời giải Chọn A Gọi h chiều cao hình chóp V 30 S BP Ta có S ABP   ABP    VS APN 20 S APN PN SCBP  BP  d  C ,  BP   V 3 Suy    S CBP   VS CBP   VS CPN   10  15 SCPN 2  PN  d  C , PN  VS CPN 2 Vậy VS ABC  VS ABP  VS APN  VS CNP  VS CBP  30  20  10  15  75 Câu 52 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt cạnh SB , SD M N Gọi V1 , V theo thứ tự thể tích khối chóp S AMKN khối chóp S ABCD Giá trị nhỏ V tỉ số V2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A B C D Lời giải Chọn C Giả sử x  SM SN , y SB SD 1 Ta có ABCD hình bình hành nên VS ABC  VS ACD  VS ABCD  V 2 SM SK SK SN 1 1 VS AMKN  VS AMK  VS AKN  VS ABC  VS ACD  x V  y V  V  x  y  SB SC SC SD 2 2 V1    x  y V SM SN SK SM SN VS ABD  VS ABC Mặt khác, VS AMKN  VS AMN  VS KMN  SB SD SC SB SD 1 3xy V 3xy  V1  xy.V  xy V  V  1 2 V Do  x  y   xy  x  y  3xy 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 3xy  x  y  xy  xy   xy  V1 3  xy   Do V 4  x  y  xy Dấu "  " xảy  x y x  y V Vậy giá trị nhỏ V Câu 53 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành có diện tích 12a ; khoảng cách từ S tới mặt phẳng  ABCD  4a Gọi L trọng tâm tam giác ACD ; gọi T V trung điểm cạnh SB SC Mặt phẳng  LTV  chia hình chóp thành hai khối đa diện, tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S A 20a B 8a C 28a D 32a3 Lời giải Chọn C Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020 V  VS ABCD  12a 4a  16a Mặt phẳng  LTV  cắt AB, CD M N cho MN / / BC / /TV Đặt V   VS ADNMTV  VS ABMN  VS TVMN Ta có : VS ADNM  V Xét khối chóp S.MNCB có đáy hình bình hành : SM SN SB SC a  1; b   1; c   2; d  2 SM SN ST SV V abcd Khi S TVMN    VS TVMN  V  V VS MNBC 4abcd 8 1 7 28 Do V   V  V  V  16a3  a 12 12 Câu 54 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích Gọi M trung điểm SA N điểm đối xứng của A qua D Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi ( H ) khối đa diện có chứa đỉnh Thể tích khối đa diện ( H ) A B C D 12 12 Lời giải Chọn A Gọi O tâm hình vng ABCD ta có SO chiều cao hình chóp Trong mặt phẳng ( SAD) gọi I giao điểm MN SD ta suy I trọng tâm tam SI NI giác SAN   SD NM Trong mặt phẳng ( ABCD ) gọi J giao điểm BN CD ta suy J trung điểm CD BN Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 SO suy VMABN  VS ABCD (1) 2  VS ABCD  VABM DJI (2) Ta có S ABN  S ABCD d ( M , ( ABCD ))  Từ giả thiết ta có V( H ) Xét khối chóp N ABM áp dụng cơng thức tính tỷ số thể tích ta có VNDJI NI ND NJ 1 5    VNDJI  VNABM VABM DJI  VNABM  VMABN (3) VNABM NM NA NB 6 6 Từ (1), (2) (3) ta tích ( H ) V( H )  VS ABCD  VS ABCD  12 Vậy thể tích khối đa diện ( H ) 12 Câu 55 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P , Q, R trung điểm cạnh AB, AD, AC , DC , BD G trọng tâm tam giác ABC (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG theo V A N M P B G D R Q C A V B V V Lời giải C D 2V Chọn C A N M P B G D R Q C Ta có VMNPQRG  VG.MPQR  VN MPQR VG.MPQR  VB.MPQR  VB PQR 3 2  VP BQR  VA.BQR 3 1  VA BCD  V 12 VN MPQR  2VN MPR  2.VP.MNR Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020 1  VC MNR  VC ABD  V 1 V Vậy VMNPQRG  V  V  12 Câu 56 (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho lăng trụ ABC ABC  tích Gọi M , N P điểm nằm cạnh AB , BC  BC cho M trung điểm AB , BN  BC  BP  BC Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB E đường thẳng 4 EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi AQPCAMNC ' 23 59 23 19 A B C D 12 Lời giải Chọn C EB EQ EP BP     EB EM EN BN 3 Suy d  E ,  ABC     d  B,  ABC    S BMN BN BM   Mà ta lại có S ABC  BC  BA Và VE MBN  d  E ,  MBN   S MBN  VABC ABC   16 V EQ EP EB  EB    Ta lại có E QPB   VE MNB EM EN EB  EB  27 26 Suy VBQP BMN  VE MBN  VEBQP  VE MBN 27 26 59 Vậy VAQPCAMNC   VABC ABC   VBQP.BMN    27 12 Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Ta có Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... Biết thể tích khối hộp 144 , thể tích khối tứ diện AMNP A 15 B 24 C 20 Lời giải D 18 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0 946 79 848 9... điểm đối xứng A qua BC ' Thể tích khối đa diện ABCSB ' C ' A a3 B a 3 C a3 D a3 Lời giải Chọn A Chia khối đa diện ABCSB ' C ' thành khối khối chóp A.BCC ' B ' khối chóp S.BCC ' B ' Trang... 24 24 24 24 3a Vậy phần thể tích nhỏ VC EM CAN  24 Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R, S tâm mặt hình lập phương Thể tích khối