Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
29
Dung lượng
1,36 MB
Nội dung
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 15 BÀI TỐN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DẠNG TỐN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 102 2018) Ông A dự định sử dụng hết 6, 7m kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm trịn đến hàng phần trăm) A 1, 23m3 B 2, 48m3 C 1, 57m D 1,11m3 Lời giải Chọn C Gọi x chiều rộng, ta có chiều dài 2x Do diện tích đáy mặt bên 6, 7m nên có chiều cao h ta có h nên x 6, x , 6x 6, Thể tích bể cá V x 6, 6, x x 6, x V x 0 x 3 Bảng biến thiên Bể cá có dung tích lớn 1, 57m Câu (Mã 104 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5, m kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)?: A 1, 40 m3 B 1, 01 m3 C 1, 51 m D 1,17 m3 Lời giải Chọn D Gọi x, x, h chiều rộng, dài, cao bể cá Ta có x xh xh 5,5 h Thể tích bể cá V x 5,5 5,5 x ( Điều kiện x ) 6x 5, x (5, x x ) 6x 5,5 V / (5,5 x ) V / x Lập BBT suy Vmax Câu 11 33 1,17 m3 54 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Người ta cần xây dựng bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật tích 125m Đáy bể bơi hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Tính Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 chiều rộng đáy bể bơi để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu (kết làm tròn đến hai chữ số thập phân)? A 3,12 m B 3,82m C 3, 62m D 3, 42m Lời giải Chọn B Gọi chiều rộng hình hộp a suy chiều dài 3a , chiều cao h V a.3a.h 3a h h V 125 2 3a 3a Diện tích thi cơng Stc a.3a a.h 3a.h 3a 2ah 6ah 3a 2a Áp dụng BĐT Cosi ta có 3a 125 125 1000 6a 3a 3a 3a 3a 1000 500 500 500 500 750000 3a 3 3a 3a 3a 3a 3a 3a 500 500 500 9a3 500 a 3, 82 3a 3a Ghi chú: Chúng ta dung Phương pháp hàm số để tìm tốn Diện tích thi cơng nhỏ 3a Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích 72 dm , chiều cao 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước a, b (đơn vị dm ) hình vẽ Tính a, b để bể cá tốn nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể A a 24 dm ; b 24 dm B a dm ; b 4dm C a dm ; b dm D a dm ; b 6dm Lời giải 72 24 Thể tích bế cá: V 3ab 72dm3 b , với a, b 3a a Diện tích kính để làm bể cá hình vẽ: S 3.3a 2.3b ab 9a 144 144 24 24 9a 24 9a 24 S 96 a a a a a 144 a 4b6 a Vậy để bể cá tốn ngun liệu a 4dm ; b 6dm S 96 9a Câu (Mã 110 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x 14 B x C x Lời giải D x Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi M , N trung điểm CD AB CD MB CD MN CD MAB CD MA CD AB Tam giác MAB cân M nên MN AB 1 VABCD AB.CD.d AB, CD sin AB, CD x.2 3.MN sin 90 6 Ta có 2 3 x 36 x x 3 x.2 32 x 36 x 6 2 Dấu " " xảy x 36 x x Câu (Sở Vĩnh Phúc 2019) Xét khối chóp S ABC có đáy tam giác vng cân A , SA vng góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Gọi góc hai mặt phẳng SBC ABC , giá trị cos thể tích khối chóp S ABC nhỏ A B 3 Lời giải C D Đặt SA h, AB AC a Ta có d A; SBC AH 3; 1 1 1 1 2 3 a2h 2 AH SA AB AC a a h ah SBC , ABC SMA Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VS ABC a h Thể tích nhỏ a h SM a cos Câu AM a 2 SM a 3 (Chuyên Lê Thánh Tơng 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB x , AD Biết góc đường thẳng AC mặt phẳng ABBA 30 Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối hộp ABCD ABC D A Vmax Ta có 3 B Vmax C Vmax Lời giải D Vmax BC BB CB ABBA AB hình chiếu vng góc AC mặt phẳng BC AB ABBA góc đường thẳng C (vì AC mặt phẳng ABBA góc AB, AC BA C nhọn BAC vuông B ) Vậy BA C 30 BA BC Ta có AB ; AA AB AB x tan 30 tan BA C VABCD ABC D AB AD AA x x x2 3 x2 Dấu xảy x x x x x (vì x ) Vậy Vmax Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Nhân ngày quốc tế Phụ nữ – năm 2019 Ông A mua tặng vợ quà đặt hộp chữ nhật tích 32 (đvtt) có đáy hình vng khơng nắp Để quà trở nên đặc biệt xứng tầm với giá trị nó, ơng định mạ vàng hộp, biết độ dày lớp mạ điểm hộp không đổi Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi chiều cao cạnh đáy hộp h x Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị h x là? A h , x ,x B h C h , x D h , x Lời giải 32 x2 32 256 Phần mạ vàng hộp: S x xh x x 2x x x Cách Ta tích hộp: V x h 32 (đvtt), với x, h Suy h 128 128 128 128 256 x2 3 x2 96 (BĐT AM-GM) x x x x x 128 Đẳng thức xảy 2x hay x , h x Cách 256 Xét hàm số f x x với x x Ta có 2x Ta có f x x 256 x3 256 , f x x3 256 x ; f 96 2 x x BBT x f x f x 96 Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN x , h Vậy phương án A Câu (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Xét tứ diện ABCD có cạnh AB BC CD DA AC , BD thay đổi Giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD A 27 B 27 Lời giải C D Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M , N trung điểm BD , AC Đặt BD x , AC y x, y 0 Ta có CM BD, AM BD BD AMC Ta có MA MC x , MN x y , S AMC VABCD 1 2 DB.S AMC x y x y x y x2 y 3 3 VABCD x y2 x2 y2 27 Dấu đẳng thức xảy x y 27 Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD Câu 10 1 MN AC y x y 2 27 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp SABC có SA x, SB y , AB AC SB SC Thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn tổng x y A B Lời giải D C Chọn C Gọi M , N trung điểm SA, BC đặt a x, 2b y BC AN , BC SN BC SAN VSABC VBSAN VCSAN 2VBSAN BC.S SAN AB AC BC b MN AN MA2 b a 2 S SAN SA.NM a a b 2 AN VSABC 1 a2 b2 a2 b2 2ab a b V SABC 4a 2b a b 9 V SABC 243 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dấu xảy a b a b a b x y x y 3 Câu 11 2 (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có tổng diện tích tất mặt 36, độ dài đường chéo AC ' Hỏi thể tích khối hộp lớn bao nhiêu? B 6 A C 24 Lời giải D 16 Chọn A +) Gọi độ dài AB a, AD b AA c Ta có tổng diện tích tất mặt 36 nên 2ab 2bc 2ca 36 ab bc ca 18 1 Do độ dài đường chéo AC ' nên a2 b2 c 36 +) Thể tích khối hộp V abc Ta có a b c a2 b2 c ab bc ca 72 a b c Từ 1 ab 18 c a b 18 c c c2 2c 18 Nên V abc c3 2c2 18c f c , c 0;6 c Ta có f c 3c 12 2c 18 c Lập bảng biến thiên ta Max V f 0;6 Câu 12 2 8 (Chun Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có SC x x a , cạnh lại a Biết thể tích khối chóp S ABCD lớn x Mệnh đề sau đúng? A m 2n 10 B m n 30 C 2n 3m 15 Lời giải a m n m, n * D 4m n2 20 S x a a a I A D a O B a C Gọi I trung điểm SC , O AC BD BI SC BD SC Ta có DI SC Mà ABCD hình thoi nên BD AC Khi đó, BD SAC VS ABCD 2VS ABC 2VB.SAC AO AB BO AB BI OI AB SB SI OI x2 a2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AC AO x a SA2 SC SAC vuông S BO AB AO 3a x 1 3a x ax 3a x VS ABCD 2VB.SAC BO SA SC a x Ta có x 3a x x 3a x x 3a x 3a 2 VS ABCD a a Dấu “=” xảy x 3a x x Vậy, thể tích khối chóp S ABCD lớn x a m 6; n 2 m 2n 10 Câu 13 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho tứ diện ABCD có AB x , CD y , tất cạnh lại Khi thể tích tứ diện ABCD lớn tính xy 16 A B C 3 D Lời giải Gọi M , N trung điểm AB, CD Tam giác ADB, CAB hai tam giác cân cạnh đáy AB nên DM AB CM AB Suy AB MCD 1 x VABCD VB MCD VA MCD BM SMCD AM SMCD SMCD 3 Tam giác ABC ABD c.c.c nên CM DM MN CD 1 1 x2 y2 SMCD CD.MN y MC CN y BC BM CN y 2 2 4 y 16 x y xy xy VABCD 16 x y 16 xy xy xy 16 xy 12 12 12 3 xy xy 16 xy 16 12 12 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x y x y Dấu xảy 16 xy 16 xy xy 16 Vậy thể tích ABCD đạt giá trị lớn xy Câu 14 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp S.AMPN Giá trị lớn V1 V thuộc khoảng sau đây? 1 5 A 0; 1 1 3 B ; 1 1 3 2 C ; 1 2 D ;1 Lời giải Gọi O AC BD , G AP SO, suy G trọng tâm tam giác SAC Gọi P mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N P SBD MN Dễ thấy: P SAC AP MN , AP , SO đồng quy hay SBD SAC SO SM SN Đặt: x x 1 y y 1 SD SB V1 VS AMP VS ANP V VS ADC VS ABP Từ tỷ lệ: M , N , G thẳng hàng SA SM SP SA SN SP x y SA SD SC SA SB SC S SMN S SMG S SNG SM SN SM SG SN SG SM SN S SBD S SDO S SBO SD SB SD SO SB SO SD SB x y Lại có: x 1 y 1 xy x y 3 V Từ suy ra: x y hay x y Vậy lớn V xy Câu 15 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong thi làm đồ dùng học tập trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác cách lấy mảnh tơn hình vng ABCD có cạnh 5cm (tham khảo hình vẽ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AEB, BFC , CGD , DHA sau gị tam giác AEH , BEF , CFG , DGH cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng tạo thành khối chóp tứ giác Cắt mảnh tơn theo tam giác cân Thể tích lớn khối chóp tứ giác tạo thành A 10 B 10 10 C D 10 Lời giải Gọi K trung điểm AD, đặt HK x, x 2 5 5 Ta có EF FG GH HE x ; HD x 2 2 2 5 5 Suy SO SH OH HD OH x x 2 2 5 Ta có V x 2 2 2 2 2 5 5 5 x x x 5x 2 x 5 5 V 2 x x x , V 5x x Bảng biến thiên Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do qua A , P , M , N nên bốn điểm đồng phẳng Áp dụng công thức VS AMNP a b c d SA SC SD SB a, c, d, b thỏa mãn với VS ABCD 4.a.b.c.d SA SP SM SN ac bd SA SC SD SB 1, đặt d 0, b 0 SA SP SM SN V 1 b d Khi đó: với b d b d V 4.1.2.b.d V 1 b d V 1 V Vậy ta có: V 4.1.2.b.d V 4.2.b.d V 4bd Theo đề ta có: b d Theo bất đẳng thức bản: bd V 3 suy V 4bd bd V Vậy có giá trị nhỏ V Dấu “=” xảy b d b d Câu 20 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , AB 2a góc tạo hai mặt phẳng ABC ABC 60 Gọi M , N trung điểm AC BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ A 3a 24 B 6a 6a 24 Lời giải C D 3a3 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi I trung điểm AB , suy AB CIC nên góc C AB ABC góc CI , C I , IC 60 suy C AB IC tan 60 a Tam giác C IC vuông C nên C C CI tan C Diện tích tam giác ABC S ABC AB CI a Thể tích khối lăng trụ V CC S ABC a a a 3 Trong ACC A , kéo dài AM cắt CC O Suy C M đường trung bình OAC , OC 2CC 2a 1 1 Thể tích khối chóp VO ACN S ACN OC S ABC 2CC V 3 1 1 Thể tích khối chóp VO.C ME SC ME OC S ABC OC V 3 24 1 7 3a3 Do VC EM CAN VO ACN VO.C ME V V V a3 24 24 24 24 Vậy phần thể tích nhỏ VCEM CAN Câu 21 3a 24 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhôm lại để hộp khơng nắp( tham khảo hình vẽ bên) Tìm x để hộp nhận tích lớn (giả thiết bề dày tôn không đáng kể) Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A x B x C x Lời giải D x Chọn A Hình hộp có đáy hình vng cạnh 12 2x , chiều cao x x Điều kiện x 12 –2x 2 Thể tích khối hộp V 12 x x x x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x x x 6 x 6 x 2x x x x 43 x x 2.43 V 128 (hằng số) Dấu xảy x 2x x Vây thể tích khối hộp lớn x Câu 22 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S.ABC tích Mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt phẳng (ABC) cắt cạnh SA, SB, SC M, N, P Qua M, N, P kẻ đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (ABC) M’, N’, P’ Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M’N’P’ 1 A B C D 27 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 SM SN SP x x 1 x SA SB SC S MNP NM NP.sin MNP NM NP x2 S ABC BA BC BA.BC.sin ABC S MNP x S ABC Gọi Gọi chiều cao hình chóp SH , chiều cao lăng trụ MH : MH AM x MH ' 1 x SH SH AS VS ABC SH S ABC SH SABC 3 VMNP.M ' N ' P ' MH '.SMNP 1 x SH x SABC x 1 x SH SABC = x 1 x Xét hàm số: f x 3x 3x3 với x 0;1 x (loai ) f ' x 6x 9x f ' x x Bảng biến thiên: x f'(x) + - f(x) Vậy: maxVMNP M ' N ' P ' Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 23 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình vng ABCD cạnh a Trên đường thẳng vng góc với ABCD A lấy điểm S di động khơng trùng với A Hình chiếu vng góc A lên SB, SD H , K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK A a3 32 B a3 a3 16 Lời giải C D a3 12 Chọn C Cách 1: a2 x Ta có VS ABD S ABD SA Lại có VS AHK SH SK SA VS ABD SB SD SB VS AHK x4 x a 2 VS ABD 2 x4 SA SD x a a x5 x2 a2 Gọi O AC BD, G SO HK , I AG SC BC AB Ta có BC SAB BC AH , AH SAB BC SA AH SB Lại có AH SBC AH SC AH BC Chứng minh tương tự ta có AK SC SC AK Vì SC AHK , AI AHK SC AI SC AH Xét tam giác SAC vuông A , đặt SA x có AC a , AI SC IC AC 2a 2a CI SI IS AS x2 x2 1 2a 2a a4 x3 VACHK S AHK CI S AHK SI VS AHK 3 x x x a 2 Ta lại có x a 2 x2 x2 x2 a2 3 AM GM 16 x 3a x3 3 (Dấu “=” xảy 2 3 x a 16a x a ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy VACHK a4 3 a3 VACHK 16a 16 Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK a3 x SA a 16 Cách 2: a2 x a2 x VS ABD VS ABCD Gọi O AC BD O trung điểm AC d A, HOK d C , HOK Đặt SA x, x VS ABCD VAHOK VCHOK VACHK 2VAHOK Xét tam giác SAB vng A, có AH SB Tương tự tam giác SAD ta có Lại có SH SA2 x2 SB SB x a2 SK x2 SD x a VS AHK SH SK x4 x4 a x5 V V S AHK S ABD 2 VS ABD SB SD x a 2 x2 a2 x2 a2 Mặt khác d H , ABCD d S , ABCD Mà S ABO BH a2 a2 x d H , ABCD BS x a x2 a a2 1 a4 x S ABD VH ABO S ABO d H , ABO 12 x a Tương tự, ta có VK ADO a4 x 12 x a a x a x5 a4 x VACHK 2VAOHK VS ABD VS AHK VHABO VKADO 6 x a 2 x a VACHK a4 x3 x a 2 Xét hàm số f x Ta có f x x3 x2 a2 x 3a x x2 a2 khoảng 0; ; f x x a Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bảng biến thiên Quan sát bảng biến thiên, ta thấy f x đạt giá trị lớn x a 3 a 3 a a 3 a Vậy giá trị lớn VACHK Câu 24 2 a3 SA a 16 (Sở Hưng Yên - 2020) Khối chóp có đáy hình bình hành, cạnh đáy a cạnh bên a Thể tích khối chóp có giá trị lớn A 6a a Lời giải B 8a C D 7a3 12 Chọn D Gọi AC BD O SO AC SO ABCD Ta có SA SB SC SD a SO BD O tâm đường trịn ngoại tiếp hình bình hành ABCD ABCD hình chữ nhật Khơng tính tổng qt, giả sử AD a đặt AB x, x OA x a2 x2 a2 SO 7a x Xét SOA vuông O , ta có SO SA OA 2a 2 Lại có S ABCD a.x nên VS ABCD 2 1 S ABCD SO a.x a x Dấu “=” xảy x AM GM 2 a x 7a x 7a3 12 a 14 Vậy thể tích lớn khối chóp cho 7a 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 25 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC , BD thỏa mãn AC BD 16 cạnh lại Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A 32 B 16 C 16 D 32 Lời giải Chọn B Gọi I , K trung điểm AC , BD Ta có: AC IB , AC ID AC BID VABCD 2.VABID VABID 1 1 AI S IBD AC IK BD (Do IB ID nên tam giác IBD cân I ) 3 2 BD 16 AC ; AC IK IB2 ID2 BD2 BD2 AC BD2 ID2 AD2 32 IK 2 4 4 2 AC.4 16 AC AC 16 AC , AC 12 Đặt t AC , (0 t 4) VABCD Xét f (t ) t 16 t , (0 t 4) Ta có: 16 Tìm giá trị lớn thể tích, ta dùng cách khác sau: Áp dụng BĐT Cauchy cho số: AC 16 AC Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn Ta có: AC 16 AC AC 16 AC AC 16 AC Đẳng thức xảy AC 16 AC AC 2 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn Câu 26 16 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác ABC có AB BC , AC BC , hình chiếu S lên ABC trung điểm O cạnh AC Khoảng cách từ A đến SBC Mặt phẳng SBC hợp với mặt phẳng ABC góc thay đổi Biết giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC Tổng a b A B C a , a, b * , a số nguyên tố b D Lời giải Áp dụng định lý Hê-rông tam giác ABC ta diện tích S ABC BC Từ O kẻ OI BC I , suy góc tạo SBC ABC SIO Từ O kẻ OH SI H d A, SBC 2d O, SBC OH OH OH sin sin OH Tam giác SOI vuông O nên SO OI tan tan sin cos Mà diện tích 2S S ABC BC 2OI d A, BC ABC BC OI BC S ABC OI BC sin 1 1 Thể tích khối chóp V S ABC SO 3 sin cos Tam giác OHI vuông H nên OI Xét hàm số f x 1 x x x x 0;1 , f x 3x , f x x Bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy f x , x 0;1 1 1 V cos cos 3 Vậy a 3, b a b Do 1 cos x cos x Câu 27 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Xét khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A , SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Gọi góc hai mặt phẳng SBC ABC , tính cos để thể tích khối chóp S ABC nhỏ A cos B cos C cos Lời giải D cos Chọn A Gọi H trung điểm BC AH BC (vì tam giác ABC vng cân A ) AH BC cmt BC SAH BC SH Ta có SA BC SA ABC ABC SBC BC Ta có AH BC ABC , SBC AH , SH SHA SH BC Kẻ AK SH , với K SH AK SH gt AK SBC d A , SBC AK Ta có AK BC BC SAH AK Tam giác SHK vng K có AH sin sin Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 AK Tam giác SAK vuông K có SA sin 90 cos Tam giác ABC vng cân A có H trung điểm BC BC AH sin BC 2 sin 1 6 Vậy S ABC AB AC 2 sin sin sin 1 9 VS ABC S ABC SA 3 sin cos 1 cos cos AB AC Xét hàm số y 1 cos cos với 0; 2 Đặt t cos t 0;1 y 1 t t t t 0;1 t Suy y 3t 0;1 t 3 Ta có y , y 1 , y 3 cos (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , Vậy để thể tích khối chóp nhỏ 1 cos cos lớn Câu 28 y vng góc với mặt đáy ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M x a Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S ABCM , biết x y a cạnh bên SA y đặt AM x A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn C 1 AM BC AB x a a 2 1 a Vậy thể tích khối chóp S ABCM V SA.S ABCM y ax a xy ay 3 Ta có: S ABCM Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 V2 a2 36 2 y x a V a2 x2 x a 36 a Xét hàm số f x a x x a khoảng 0;a 2 Ta có: f x 2 x x a a x x a x a a x f x x a (Vì x ) Bảng biến thiên a2 a 27a a Từ bảng biến thiên suy ra: max f x f a a 0;a 16 2 a2 a 27a a 3 max f x 36 0; a 36 16 Câu 29 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt cạnh SB , SD M N Gọi V1 , V theo thứ tự thể tích khối chóp S AMKN khối chóp S ABCD Giá trị nhỏ tỉ Vậy Vmax số V1 V2 A B Lời giải C D Chọn C Giả sử x SM SN , y SB SD 1 Ta có ABCD hình bình hành nên VS ABC VS ACD VS ABCD V 2 SM SK SK SN 1 1 VS AMKN VS AMK VS AKN VS ABC VS ACD x V y V V x y SB SC SC SD 2 2 V1 x y V Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SM SN SK SM SN VS ABD VS ABC Mặt khác, VS AMKN VS AMN VS KMN SB SD SC SB SD 1 3xy V 3xy V1 xy.V xy V V 1 2 V Do x y xy x y 3xy 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 3xy x y xy xy xy V 3 Do xy V 4 x y xy Dấu " " xảy x y x y V1 V Vậy giá trị nhỏ Câu 30 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi góc BC mặt phẳng ABC Khi sin đạt giá trị lớn nhất, tính thể tích khối lăng trụ cho? A 6a 12a Lời giải 3a B 4 C D 27a Chọn D Đặt AA' x x Gọi h d A, A' BC d C ' , A'BC Dựng AM BC , AE A' M h d A, A' BC Khi ta có h a 3x x 3a d C ' , A' BC AE A' A.MA A' A2 AM BC ' a x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có sin h BC ' a 3x x 3a x a a x2 3a2 x2 a2 x2 x 3a x a Ta có sin lớn nhỏ x2 x 3a x a 3a Mà x2 a 4a x Dấu x x 3a x2 x a4 a 27 a3 , thể tích khối lăng trụ 4 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 ... giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD Câu 10 1 MN AC y x y 2 27 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp SABC có SA x, SB y , AB AC SB SC Thể tích khối chóp SABC đạt giá trị. .. t , (0 t 4) Ta có: 16 Tìm giá trị lớn thể tích, ta dùng cách khác sau: Áp dụng BĐT Cauchy cho số: AC 16 AC Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn Ta có: AC 16 AC AC 16... Suy C M đường trung bình OAC , OC 2CC 2a 1 1 Thể tích khối chóp VO ACN S ACN OC S ABC 2CC V 3 1 1 Thể tích khối chóp VO.C ME SC ME OC S ABC OC