Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng BDC' hợp với đáy ABCD một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.... Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com D'[r]
(1)Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I Ôn tập kiến thức bản: ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10 Hệ thức lượng tam giác vuông : cho DABC vuông A ta có : a) Định lý Pitago : BC = AB + AC A b) BA2 = BH BC; CA2 = CH CB b c) AB AC = BC AH c 1 = + d) 2 AH AB AC H M B e) BC = 2AM a b c b c f) sin B = , cosB = , tan B = , cot B = a a c b b b = g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = , sin B cos C b = c tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c = = = 2R * Định lý hàm số Sin: sin A sin B sin C Các công thức tính diện tích a/ Công thức tính diện tích tam giác: a.b.c a+b+c = p.r = p.( p - a )( p - b)( p - c) với p = S = a.ha = a.b sin C = 4R 2 C a S = S = AB AC Đặc biệt :* DABC vuông A : ,* DABC cạnh a: b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S = p R ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 http://book.mathvn.com Lop12.net (2) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: a Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song a/ /(P) ÛaÇ(P) =Æ với chúng (P) không có điểm nào chung II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt cùng song song với đường thẳng thì giao tuyến chúng song song với đường thẳng đó d ìd Ë (P) ï íd / /a Þ d / /(P) ïa Ì (P) î ìa/ /(P) ï Þ d / /a ía Ì (Q) ï(P) Ç (Q) = d î a (P) (Q) a d (P) ì(P) Ç (Q) = d ï Þ d / /a í(P)/ /a ï(Q)/ /a î d a Q P §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là song song với chúng không có điểm nào chung II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với (P)/ /(Q) Û(P) Ç(Q) =Æ P Q ìa,b Ì (P) ï Þ (P)/ /(Q) ía Ç b = I ïa/ /(Q),b / /(Q) î a P b I Q http://book.mathvn.com Lop12.net (3) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến chúng song song a ì(P) / /(Q) Þ a / /(Q) í îa Ì (P) P Q R ì(P) / /(Q) ï í(R) Ç (P) = a Þ a / / b ï(R) Ç (Q) = b î a P b Q B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng a gọi là vuông góc với a ^ mp(P) Û a ^ c,"c Ì (P) mặt phẳng nó vuông góc với đường thẳng c P nằm trên mặt phẳng đó II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt a và b cùng nằm mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P) ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ a trên (P) ìd ^ a ,d ^ b ï ía ,b Ì mp(P) Þd ^ mp(P) ïa,b caét î d P b a a a ^ mp(P),b Ì mp(P) b ^ a Ûb ^ a' P a' b §2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với góc chúng 900 http://book.mathvn.com Lop12.net (4) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com II Các định lý: ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với ìa ^ mp(P) Þ mp(Q) ^ mp(P) mặt phẳng khác thì hai í a Ì mp(Q) mặt phẳng đó vuông góc î với ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc ì(P) ^ (Q) với thì ï í(P) Ç(Q) = d Þa ^ (Q) đường thẳng a nào nằm ïa Ì (P),a ^ d (P), vuông góc với î giao tuyến (P) và (Q) vuông góc với mặt phẳng (Q) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông ì(P) ^ (Q) góc với và A là ï ïA Î (P) điểm (P) thì Þ a Ì (P) í đường thẳng a qua A Î a ï điểm A và vuông góc ïîa ^ (Q) với (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt và cùng ì(P) Ç (Q) = a vuông góc với mặt ï Þ a ^ (R) phẳng thứ ba thì giao í(P) ^ (R) tuyến chúng vuông ï(Q) ^ (R) góc với mặt phẳng thứ î ba Q a P P a Q d P a A Q P Q a R §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách hai điểm M và H, đó H là hình chiếu điểm M trên đường thẳng a ( trên mp(P)) O O a H P H d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH http://book.mathvn.com Lop12.net (5) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ điểm nào đó a đến mp(P) d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng đó d(a;b) = AB O a H P O P H Q A a b B §4.GÓC Góc hai đường thẳng a và b là góc hai đường thẳng a’ và b’ cùng qua điểm và cùng phương với a và b Góc đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc a và hình chiếu a’ nó trên mp(P) Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc đường thẳng a và mp(P) là 900 Góc hai mặt phẳng là góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó Hoặc là góc đường thẳng nằm mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến điểm a a' b' b a a' P a P b Q a P b Q http://book.mathvn.com Lop12.net (6) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích đa giác (H) mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) (H) trên mp(P’) thì S S' = Scos j A đó j là góc hai mặt phẳng (P),(P’) C j B ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các công thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h ì B : d ie än tíc h ñ a ùy î h : c h ie àu c a o h với í B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước a b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: c b a a a V= Bh h ìB : diện tích đáy với í î h : chieàu cao TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC VSA ' B ' C ' B S C' A' A SA SB SC = SA ' SB ' SC ' B' C B http://book.mathvn.com Lop12.net (7) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: ( A' ) h B + B'+ BB' ìB, B' : diện tích hai đáy với í î h : chieàu cao V= B' C' A B C Chú ý: 1/ Đường chéo hình vuông cạnh a là d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a là d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c là d = a + b2 + c , 2/ Đường cao tam giác cạnh a là h = a 3/ Hình chóp là hình chóp có đáy là đa giác và các cạnh bên ( có đáy là đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ là lăng trụ đứng có đáy là đa giác II/ Bài tập: Nội dung chính LOẠI 1: 1) Dạng 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ a Lời giải: Ta có VABC vuông cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng Þ AA' ^ AB VAA 'B Þ AA '2 = A'B2 - AB2 = 8a2 Þ AA ' = 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a và đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này ? http://book.mathvn.com Lop12.net (8) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Lời giải: ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 Þ BD = 3a 3a ABCD là hình vuông Þ AB = 2 9a Suy B = SABCD = Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 C' D' A' B' 4a 5a C D A B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác cạnh a = và biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I là trung điểm BC Ta có V ABC nên C' A' B' AI = A AB = & AI ^ BC Þ A 'I ^ BC(dl3 ^) 2S SA'BC = BC.A 'I Þ A 'I = A'BC = BC AA ' ^ (ABC) Þ AA ' ^ AI C VA 'AI Þ AA ' = A 'I2 - AI2 = Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= I B Ví dụ 4: Một bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông cạnh 12 cm gấp lại thành cái hộp chữ nhật không có nắp Tính thể tích cái hộp này C' D' D' D' D A' B' D C A' A B A A' Giải C' Theo đề bài, ta có C C' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm B B' Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800cm3 B' Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn http://book.mathvn.com Lop12.net (9) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp C' D' Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a và SABCD = 2SABD = B' A' a =a VDD'B Þ DD' = BD'2 - BD2 = a a3 Vậy V = SABCD.DD' = Theo đề bài BD' = AC = C D A a2 60 B Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác biết tất các cạnh lăng trụ a Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên lăng trụ a3 ĐS: V = ; S = 3a2 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác cạnh a biết BD' = a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt lăng trụ Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân A ,biết chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3 Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất các cạnh và biết tổng diện tích các mặt lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3 Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng các cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2888 Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt 24 m2 Tính thể tích khối lập phương Đs: V = m3 Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp là m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3 http://book.mathvn.com Lop12.net (10) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết các đường chéo các mặt là 5; 10; 13 Tính thể tích khối hộp này Đs: V = 2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng và mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ C' A' B' C A 60o B Lời giải: Ta có A 'A ^ (ABC) Þ A 'A ^ AB& AB là hình chiếu A'B trên đáy ABC Vậy góc[A 'B,(ABC)] = ¼ ABA ' = 60o VABA ' Þ AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a3 Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác ¼ = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 vuông A với AC = a , ACB Tính AC' và thể tích lăng trụ A' C' B' A 30o a o 60 B C Lời giải: VABC Þ AB = AC.tan60o = a Ta có: AB ^ AC;AB ^ AA' Þ AB ^ (AA'C'C) nên AC' là hình chiếu BC' trên (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ¼ BC'A = 30o AB VAC'B Þ AC' = = 3a t an30o V =B.h = SABC.AA' VAA 'C' Þ AA' = AC'2 - A 'C'2 = 2a a2 VABC là nửa tam giác nên SABC = Vậy V = a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 10 http://book.mathvn.com Lop12.net (11) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com và đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích và tổng diên tích các mặt bên lăng trụ Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: DD' ^ (ABCD) Þ DD' ^ BD và BD là hình chiếu BD' trên ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = ¼ DBD' = 300 a VBDD' Þ DD' = BD.tan 300 = 3 a 4a Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' = 3 B' C' A' D' o 30 C D B A a Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ¼ BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình hộp C' B' A' VABD cạnh a Þ SABD = D' o 30 A Giải C B 60 o D a a2 a2 VABB' vuông tạiB Þ BB' = ABt an30o = a 3a3 Vậy V = B.h = SABCD BB' = Þ SABCD = 2SABD = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ a3 ĐS: V = 16 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ a3 ĐS: V = Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 30o Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ ĐS: AB' = a ; V = a Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông A biết 11 http://book.mathvn.com Lop12.net (12) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com AC = a và ¼ ACB = 60o biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 30o 3a Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC' ĐS: V = a , S = Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 32a Tính thể tích lăng trụ ĐS: V = Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết A'C hợp với (ABCD) góc 30o và hợp với (ABB'A') góc 45o a3 Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông Gọi O là tâm ABCD và OA' = a Tính thể tích khối hộp khi: 1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương 2) OA' hợp với đáy ABCD góc 60o 3) A'B hợp với (AA'CC') góc 30o 2a a3 4a 3 Đs:1) V = ;2) V = ;3) V = 9 Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o a3 a3 2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) góc 30o Đs: 1)V = 2)V = 16 Bài 9: Chiều cao lăng trụ tứ giác a và góc đường chéo phát xuất từ đỉnh mặt bên kề là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt lăng trụ Đs: V = a3 và S = 6a2 Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' = AC' = CA' = a + b2 + c2 1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật 2) Gọi x,y,z là góc hợp đường chéo và mặt cùng qua đỉng thuộc đường chéo Chứng minh sin x + sin y + sin z = 3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ 12 http://book.mathvn.com Lop12.net (13) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com A' C' B' A C 60o B Lời giải: Ta có A 'A ^ (ABC)& BC ^ AB Þ BC ^ A 'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] = ¼ ABA ' = 60o VABA ' Þ AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a3 Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 và diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Giải: VABC Þ AI ^ BC mà AA' ^ (ABC) nên A'I ^ BC (đl ^ ) ¼ Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A 'IA = 30o C' A' 2x = x Ta có 2 AI x DA' AI : A' I = AI : cos 30 = = = 2x 3 Giả sử BI = x Þ AI = B' A 30o C B xI =x Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = Þ x = Do đó VABC.A’B’C’ = A’A = AI.tan 300 = x Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật 13 http://book.mathvn.com Lop12.net (14) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com D' C' A' B' C D 60 O A a B Gọi O là tâm ABCD Ta có ABCD là hình vuông nên OC ^ BD CC' ^ (ABCD) nên OC' ^ BD (đl ^ ) Vậy ¼ = 60o góc[(BDC');(ABCD)] = COC' Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD là hình vuông nên SABCD = a2 a VOCC' vuông nên CC' = OC.tan60o = a Vậy V = Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật D' A' C' B' 2a D A o 60 o 30 B C Ta có AA' ^ (ABCD) Þ AC là hình chiếu A'C trên (ABCD) Vậy góc[A'C,(ABCD)] = ¼ A 'CA = 30o BC ^ AB Þ BC ^ A'B (đl ^ ) Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = ¼ A 'BA = 60o VA 'AC Þ AC = AA'.cot30o = 2a 2a VA 'AB Þ AB = AA'.cot60o = 4a VABC Þ BC = AC2 - AB2 = 3 16a Vậy V = AB.BC.AA' = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 600 2a Tính thể tích hộp chữ nhật Đs: V = Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên a biết mặt (ABC'D') hợp với đáy góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V = a Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân A với AB = AC = a và ¼ BAC = 120o biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o a3 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 14 http://book.mathvn.com Lop12.net (15) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông B và BB' = AB = h biết (B'AC) hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích h3 lăng trụ Đs: V = Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 60o 2) A'B hợp với đáy ABC góc 45o 3) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ a3 Đs: 1) V = a 3 ; 2) V = ; V = a3 Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau đây: 1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 45o 2) BD' hợp với đáy ABCD góc 600 3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a 16a Đs: 1) V = 16a3 2) V = 12a3 3) V = Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau đây: 1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o 2)Tam giác BDC' là tam giác 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450 a3 Đs: 1) V = ; 2) V = a ; V = a 2 Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60o Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau đây: 1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o a 2)Khoảng cách từ C đến (BDC') 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 45 3a 3 3a 3a V = Đs: 1) ; 2) V = ;V= Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a Tính thể tích khối hộp các trường hợp sau đây: 1) AB = a 2) BD' hợp với AA'D'D góc 30o 3) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 300 Đs: 1) V = 8a ; 2) V = 5a 11 ; V = 16a 4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 15 http://book.mathvn.com Lop12.net (16) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com cạnh a , biết cạnh bên là a và hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ A' Lời giải: Ta có C'H ^ (ABC) Þ CH là hình chiếu CC' trên (ABC) Vậy góc[CC',(ABC)] = ¼ C'CH = 60o 3a VCHC' Þ C'H = CC'.sin 600 = 2 a 3a 3 SABC = = Vậy V = SABC.C'H = C' B' o 60 C A H B a Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 1) Chứng minh BB'C'C là hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ A' C' B' A 60o C a O H B Lời giải: 1) Ta có A 'O ^ (ABC) Þ OA là hình chiếu AA' trên (ABC) ¼' = 60o Vậy góc[AA ',(ABC)] = OAA Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên lăng trụ) AO ^ BC trung điểm H BC nên BC ^ A 'H (đl ^ ) Þ BC ^ (AA 'H) Þ BC ^ AA ' mà AA'//BB' nên BC ^ BB' Vậy BB'CC' là hình chữ nhật 2a a 2) VABC nên AO = AH = = 3 VAOA ' Þ A 'O = AO t an60o = a a3 Vậy V = SABC.A'O = Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với 16 http://book.mathvn.com Lop12.net (17) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com AB = AD = Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 và 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên D' C' ¼ = 60o Þ¼ A'MH = 45o ,A'NH A' Đặt A’H = x Khi đó 2x A’N = x : sin 600 = B' D C N A H M Lời giải: Kẻ A’H ^ ( ABCD ) ,HM ^ AB , HN ^ AD Þ A' M ^ AB, A' N ^ AD (đl ^ ) B AN = AA' - A' N = - 4x = HM Mà HM = x.cot 450 = x - 4x Þx= Nghĩa là x = Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x =3 = 7 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V = a Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =336 Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và ¼ BAD = 30o và o biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC góc 60 Tính thể tích lăng trụ Bài : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a và 2a a3 điểm A' cách A,B,C biết AA' = Tính thể tích lăng trụ Đs: V = Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH tam giác ABC biết mặt bêb BB'C'C hợp vớio đáy ABC góc 60o 1) Chứng minh BB'C'C là hình chữ nhật 3a 3 2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Đs: V = Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O 1) Chứng minh AA'B'B là hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B a2 3a 3 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' Đs: 1) S = 2) V = 17 http://book.mathvn.com Lop12.net (18) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm BC và AA' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ a3 2) Tính thể tích lăng trụ Đs: 1) 30o 2) V = Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác với tâm O Hình chiếu C' trên (ABC) là O.Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' là a và mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với góc 90o 27a Đs: V = Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc A' trên(ABCD) nằm hình thoi,các cạnh xuất phát từ A hộp đôi tạo với góc 60o 1) Chứng minh H nằm trên đường chéo AC ABCD 2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B' a3 3) Tính thể tích hộp Đs: 2) SACC'A' = a 2;SBDD'B' = a 3) V = Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy biết BB' = a 1)Tìm góc hợp cạnh bên và đáy 2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên hình hộp 3a o Đs: 1) 60 2) V = &S = a 15 LOẠI 2: 1) Dạng 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp A a_ B C / / \ S Lời giải: Ta có ìï(ABC) ^ (SBC) Þ AC ^ (SBC) í ïî (ASC) ^ (SBC) 1 a2 a3 Do đó V = SSBC AC = a= 3 12 18 http://book.mathvn.com Lop12.net (19) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy góc 60o 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông 2)Tính thể tích hình chóp S C a A 60o B Lời giải: 1) SA ^ (ABC) Þ SA ^ AB &SA ^ AC mà BC ^ AB Þ BC ^ SB ( đl ^ ) Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông 2) Ta có SA ^ (ABC) Þ AB là hình chiếu SB trên (ABC) Vậy góc[SB,(ABC)] = ¼ SAB = 60o a VABC vuông cân nên BA = BC = 2 a SABC = BA.BC = a VSAB Þ SA = AB.t an60o = 2 1 a a a3 Vậy V = SABC SA = = 34 24 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp S C A 60 o a M B Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác ABC nên AM ^ BC Þ SA ^ BC (đl3 ^ ) Vậy góc[(SBC);(ABC)] = ¼ SMA = 60o 1 Ta có V = B.h = SABC SA 3 3a VSAM Þ SA = AM tan 60o = 1 a3 Vậy V = B.h = SABC SA = 3 Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o 1) Tính thể tích hình chóp SABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) 19 http://book.mathvn.com Lop12.net (20) Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com S H 60 A B a C o D Lời giải: 1)Ta có SA ^ (ABC) và CD ^ AD Þ CD ^ SD ( đl ^ ).(1) ¼ = 60o Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA VSAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 1 a3 Vậy V = SABCD SA = a2a = 3 2) Ta dựng AH ^ SD ,vì CD ^ (SAD) (do (1) ) nên CD ^ AH Þ AH ^ (SCD) Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD) 1 1 VSAD Þ = + = 2+ 2= 2 2 AH SA AD 3a a 3a a Vậy AH = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) góc 30o a3 Tính thể tích hình chóp Đs: V = Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết tam giác ABC và mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30o Tính thể h3 tích khối chóp SABC Đs: V = Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) góc 60o Chứng minh SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp a3 Đs: V = 27 Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD ^ (ABC) biết AC = AD = cm,AB = cm, BC = cm 1) Tính thể tích ABCD Đs: V = cm3 12 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Đs: d = 34 Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân A với BC = 2a , góc ¼ BAC = 120o , biết SA ^ (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy góc 45o a3 Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V = Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA ^ (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp a3 Đs: V = 48 Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết 20 http://book.mathvn.com Lop12.net (21)