-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy -Hình chóp có m[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH PhÇn ThÓ tÝch khèi ®a diÖn A Lý thuyÕt Kh¸i niÖm thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn (Sgk hh 12) C¸c c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn a) ThÓ tÝch khèi hép ch÷ nhËt V = abc với a, b, c là kích thước khối hộp chữ nhật b) ThÓ tÝch cña khèi chãp V= Sđáy h ; h: Chiều cao khối chóp c) ThÓ tÝch cña khèi l¨ng trô V= Sđáy h ; h: Chiều cao khối lăng trụ B C¸c d¹ng bµi tËp D¹ng TÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn *Phương pháp: Để tính thể tích khối đa diện ta có thể: +¸p dông trùc tiÕp c¸c c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch +Chia khối đa diện thành các khối nhỏ mà thể tích các khối đó tÝnh ®îc +Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để khối đa diện có thể tÝnh thÓ tÝch b»ng c«ng thøc vµ phÇn bï vµo còng tÝnh ®îc thÓ tÝch *C¸c bµi tËp 1)VÒ thÓ tÝch cña khèi chãp +Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và áp dụng công thức :V= Sđáy h Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC các trường hợp sau: a) Cạnh đáy a, góc ABC = 60o b) AB = a, SA = l c) SA = l, góc mặt bên và mặt đáy α gi¶i: Lop12.net (2) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH a) Gọi O là tâm ∆ABC S ⇒ SO ⊥(ABC) SABC a a2 = a = C A ∆ABC cã SA = SB; ABC = 60o ⇒ SA = AB = SB = a O a B SO ⊥ OA ( v× SO ⊥ (ABC) ) Tam gi¸c vu«ng SOA cã: SO2 = SA2 - ⇒ SO = a OA2 = a2 a2 2 ) =a a 3 -( a 3 VËy VSABC = S∆ABC SO = b) Tương tự câu a đáp số: SABC = V a2 a2 l a l a3 a2 c) Gäi O lµ t©m ∆ABC Gäi A’ lµ trung ®iÓm BC DÔ thÊy ((SBC), (ABC)) = gãc SA’O = α Tam gi¸c vu«ng SOA cã: SO2 = l2 - OA2 = l2 - AA’2 Tam gi¸c vu«ng SOA’ cã: sin SO AA ' SO A AA'.sin (2) a Tõ (1) (2) ta cã: AA' sin 94 AA'.sin l AA’2(sin2 α + 4) = 9l2 AA' S∆ABC = 3l sin AA'.BC 12 3l sin Lop12.net 3l sin 3l 2 (sin ) C O A' B (3) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH SO 13 3l sin ⇒VSABC = sin l sin sin l sin (sin ) sin S∆ABC SO = Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a H×nh chiÕu vu«ng gãc cña A’ trªn (ABC) lµ trung ®iÓm BC TÝnh VA’ABC theo a? Gi¶i -Gäi H lµ trung ®iÓm BC C' ⇒A’H ⊥ (ABC) (gt) -Ta cã S∆ABC = AB AC 12 a -V× A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H Tam gi¸c vu«ng A’HA cã: A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 ⊥ - AH B .(a2 + 3a2) hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a ⇒VA’ABC = A' 2a S∆ABC A’H = H a a 3.a 1 a C a2 Bµi H×nh chãp SABCD cã SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ABC vu«ng c©n cã AB = BC =a B’ lµ trung ®iÓm SB C’ lµ ch©n ®êng cao h¹ tõ A cña ∆SAC a) tÝnh VSABC b) Chøng minh r»ng AB ⊥ (AB’C’) TÝnh VSAB’C’ Gi¶i Lop12.net (4) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH a) S∆ABC = 12 BA.BC 12 a ; SA =a ⇒ VSABC = S∆ABC SA = C' a3 a B' A C a a B b) ∆SAB cã AB = SA = a ⇒∆SAB c©n t¹i A ⇒ AB’ B’S = B’B BC⊥ AB ⇒ BC BC⊥ SA ⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⊥ (SAB) SB ⇒ BC ⊥ AB’ AB’ ⊥ SA ⇒ ⊥ ⇒SC AC’ ⊥ SC ⊥ (AB’C’) C¸ch AB' 12 SB 2a a V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ SC ' SA SC ⇒V∆AB’C’ = C¸ch SB ' SB VSAB ' C ' VSABC a2 B' C ' AB'.B' C ' 12 a2 a3 a2 24 SC ' SC SA AC 3a a B’C’2 = SB’2 - SC’2 = ⇒S∆AB’C’ = ⊥ B’C’ SC = a a SA ' SB ' SC ' SA SB SC a a a2 a3 36 a a VSA ' B ' C ' Lop12.net 1 6 a3 a3 36 (5) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Bµi H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iÓm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β TÝnh VSABC Gi¶i DÔ thÊy S (SB, (ABC)) = α = SBA (SB, (SAD)) = β = BSD ⇒ AD ∆ABC c©n DB = DC ∆SAB cã cos α = AB SB ⊥ BC (1) A BC ⊥ AD C a BC ⊥ SA (v× SA⊥ (ABC) ⇒ BC B ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD BD SB Tam gi¸c vu«ng SB cã sinβ = Tõ (1) (2) ⇒ AB cos (2) AB a sin BD sin ⇒ AB cos Sin cos SA = AB tan α = ⇒ VSABC = sin AD AB cos a cos cos2 sin AB a sin cos sin ⇒ AB2(sin2 β – cos2 α) = -a2cos2 α ⇒ AB = S∆SAB =BD.AD = D a cos a sin cos2 sin a sin cos sin SA.S∆ABC = a sin a sin 2 cos sin 2 cos sin = a sin cos cos sin Bµi Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a c¸c nöa ®êng th¼ng Ax, Cy ⊥ (ABCD) vµ cùng phía với mặt phẳng đó Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N kh«ng trïng víi C trªn Cy §Æt AM = m, CN = n TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp BAMNC Gi¶i Lop12.net (6) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD x Ta cã BD ⊥ AC (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) M (Ax, Cy) ⊥ (ABCD) ⇒ BD m ⊥ (AMNC) ⇒ BI ⊥ (AMNC) BI = BD a 2 n D A DiÖn tÝch h×nh thang AMNC lµ S = VAMNC = 13 S AMNC BI N ( mn) a ( AM CN ) a 22 a2 AC C B ( mn) a 2 ( m n) *Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đường cao trên đáy Ta cã mét sè nhËn xÐt sau: -Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng trên đáy các cạnh bên thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy -Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng trên đáy có các đường cao các mặt bên xuất phát từ đỉnh thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy -Hình chóp có mặt bên mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao hình chóp là đường cao mặt bên mặt chéo đó -Nếu có đường thẳng vuông góc với mặt đáy khối chóp thì đường cao khối chóp song song nằm trờn với đường thẳng đó -Nếu đường thẳng nằm đáy khối chóp vuông góc vuông góc với mặt phẳng chứa đỉnh khối chóp thì đường cao khối chóp là đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói trên *Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân A, BC =a, ABC = α, các cạnh bên nghiêng trên đáy góc α Tính VSABC Gi¶i Lop12.net (7) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH S C B a H A - Gäi H lµ h×nh chiÕu cña S lªn (ABC) - Vì các cạnh bên nghiêng trên đáy ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC - Ta cã: ∆ABC = AB AC sin mµ BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α = 2AB2(1-cos α) = a2 ⇒ AB = a ⇒ S∆ABC = 12 AB sin HA = R = BC sin a sin 2 1 cos a2 cos 2 ⇒ SH = a sin a sin Tan gi¸c vu«ng cã tan α = SH AH ⇒VSABC = 13 S ABC SH 13 a4 cot 2 cosa tan 1 cos a cos a cot 2 24 cos Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = và góc đường chéo = 60o các cạnh bên nghiêng trên đáy góc 45o Tính VSABCD Gi¶i D C O A B -H¹ SO ⊥ (ABCD) Lop12.net (8) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH - Vì khối chóp có các bên nghiêng trên đáy ⇒ O là tâm đường tròn qua đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC ∩ BD - §Æt AC = BD =x Ta cã ShcnABCD = 2 AC.BD.sin60o = x x ⇒ x=3 - (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ∆ASC vu«ng c©n t¹i S ⇒ SO = 12 AC ⇒ VSABCD = 3.1 3 Bµi 8: SABC cã SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o a) Chøng minh r»ng ∆ABC vu«ng b) TÝnh VSABC Gi¶i a) S a A C H B SA SB ⇒ AB = a o ASB 60 -Tam gi¸c vu«ng SBC cã BC2 = SB2 + SC2 = 2a2 -∆SAC cã AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(- ) =3a2 -∆ABC cã AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vu«ng t¹i B b) H¹ SH ⊥ (ABC) V× SA = SB = SL HA = HB = HC ∆ABC vu«ng t¹i B Tam gi¸c vu«ng SHB cã SB = a BH = AC ⇒ H lµ trung ®iÓm AC ⇒ SH2 = SB2 - BH2 = a (Hoặc ∆SAC là nửa tam giác ⇒ SH = ⇒VSABC = a2 SA a2 ) S ABC SH 13 12 AB.BC.SH 16 a.a Lop12.net a a3 12 SH a (9) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC và ∆SBD là các tam giác có cạnh = TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD §¸p sè: VSABCD = Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông A và D, ∆SAD cạnh = 2a, BC = 3a Các mặt bên lập với đáy các góc Tính VSABCD Gi¶i D C K 2a 3a H - H¹ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD) - Vì các mặt bên lập với đáy các góc nên dễ dàng chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp đáy - Gäi K lµ h×nh chiÕu cña H lªn AD - Ta cã HK = AD a - Tam gi¸c vu«ng SHK cã HK = a SK = 2a ⇒SH = a (vì ∆SAD đều) 3a a a V× ⋄ABCD ngo¹i tiÕp nªn: AB + CD = AD + BC = 5a ⇒SABCD = ( AB CD ) AD ⇒VSABCD = a a 5a S ABCD SH 13 5a a 5a3 Bµi 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a, SB = a , (SAB) (ABCD) M, N là trung ®iÓm AB, BC TÝnh VSBMDN Gi¶i Lop12.net (10) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH S D A H M B N C ∆SAB h¹ SH b AB (SAB) b (ABCD) ⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN) S∆CDN = S∆MDA = S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = S⋄ABCD = 2a.2a = 2a2 ∆SAB cã AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vu«ng t¹i S ⇒ SH SA SB a2 ⇒VSBMDN = S⋄BMDN.SH = 3a1 3a ⇒ SH = 2a a a3 a 3 Bµi 12: SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD = AD ∆SBD vuông S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy SB = 8a, SD = 15a TÝnh VSABCD Gi¶i S 15a 8a A D H C B -Trong ∆SBD kÎ SH b BD V× (SBD) b (ABCD) ⇒SH b (ABCD) 10 Lop12.net (11) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH SH 64 a -Tam gi¸c vu«ng SBD cã hay SH hay SH 14400 289 SH 225 a SD1 .a 120 17 a -V× h×nh thang cã AB = BC = CD = AD ⇒ Aˆ Dˆ = 60o, B = C = 120o -∆SBD cã BD2 = SB2 +SD2 =289a2 ⇒ BD = 17a ∆CBD cã BD2 =2BC2(1+ ) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = o 289 S∆BCD = BC sin 120 a S⋄ABCD = 3S∆BCD = 17 a 289 3a 12 289 3a 12 ⇒VSABCD = S⋄ABCD.SH = 289 3a 120 a 12 17 = 170 a3 Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân S và nằm mÆt ph¼ng (ABCD) ∆SAB cã SA = a, ASB = α vµ n»m mÆt ph¼ng lËp víi (SCD) mét gãc α TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD Gi¶i S A D K H B C Trong ∆SCD h¹ SH CD V× ∆SCD c©n t¹i S ⇒ H lµ trung ®iÓm CD SH CD (SCD) (ABCD ⇒ SH (ABCD) Gäi K lµ trung ®iÓm AB Ta cã HK AB AB SH (v× SH (ABD)) ⇒AB (SKH) ⇒ AB SK ⇒ ∆SAB c©n t¹i S 11 Lop12.net (12) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α ∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α ∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos2 α KH = SKsinα = asinαcosα SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα 2 = 2a2sin2αcosα ⇒VSABCD = SH S ABCD a sin α Bµi 14: H×nh chãp SABCD cã ∆ABC vu«ng t¹i B, SA b (ABC) ACB =60o, BC = a, SA = a , M lµ trung ®iÓm SB TÝnh thÓ tÝch MABC Gi¶i M A C H a B C¸ch SA b (ABC) Tõ M kÎ MH // AS c¾t AB t¹i H ⇒ MH b (ABC) V× M trung ®iÓm SB H- trung ®iÓm MH= 12 SA a S∆ABC = 12 AB.BC 12 a tan 60 o.a 12 a VMABC = C¸ch VMABC V ASABC S ABC MH 13 12 a a SM SB VMABC = a3 VSABC mµ VSABC = 3 SA.S∆ABC = 13 a 12 a 12 a ⇒Vmabc = a3 Bµi 15: H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O, SA (ABCD), AB = a, SA = a H, K là hình chiếu vuông góc A trên SB, SD Chøng minh r»ng: SC (AHK) vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp OAHK 12 Lop12.net (13) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Gi¶i S a F E K H N a A B a O C D y x AH SB (gt) (1) BC AB (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) BC SA (v× SA (ABCD)) ⇒BC (SAB) BC AH (2) Tõ (1) (2) ⇒AH (SBC ⇒AH SC (3) Chứng minh tương tự ta có: SC AK (4) Tõ (3) (4) ⇒ SC (AKH) Gäi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF KÐo dµi AF c¾t SC t¹i N Trong (SAC) kÎ ®êng th¼ng qua O//SC c¾t AN t¹i E ⇒ OE (AHK) V× OA = OC; OE//CN OE = CN Tam gi¸c vu«ng SAD cã DÔ thÊy AH = a 23 ∆AKH c©n t¹i A DÔ thÊy ∆SBD cã SK SD SD = a 2a ⇒ KH BD 3a AK KH BD AS AD 2 BD = OF = SO ⇒ OF SF AS AD AS AD a a 3a mµ SK = SA2 AK 2a 23 a a3 SF SO a HK = ⇒ AK = 13 Lop12.net a (14) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH ∆SAC cã : OA = OC ⇒ OE OF 1 ⇒OE = SN = a SN SF 2 2 S∆AHK = KH AK ⇒ V = OE.S AHK HK = 2a 2 2a 27 * Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK sau: Chọn hệ toạ độ hình vẽ.Ta có: a a , 0) 2 A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a ) , O( , ∆SKA ∆ SAD ⇒ ⇒K(0, a , SK SA ⇒ SA SD SK= 2a a ) ∆ABS cã AS SB.SH ⇒ SH= 2a a ) a ) Ta cã AH ( a,0, 3 ⇒H( a ,0, a AK (0, a, ) 3 a a AO ( , ,0) 2 2 a 2 a 4a , , ) 9 ⇒ VOAHK= |[ AH , AK ] AO |= a 27 [ AH , AK ] =( Bµi 16: H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, AB = a, AD = a , SA = a, SA (ABCD) M, N là trung điểm AD và SC {I} = BM ∩ AC TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp ANIB Gi¶i 14 Lop12.net (15) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH a K N a A a I D O B C SA (ABCD) Gäi {O} = AC ∩ BD Trong ∆SAC cã ON // SA ⇒ON (ABCD) ⇒ NO (AIB) Ta cã NO = 12 SA a2 TÝnh S∆AIB = ? ABD sã I lµ träng t©m ⇒S∆ABI = S∆ABO = S⋄ABCD = 3 ⇒ SANIB = NO.S∆AIB = a.a = a a a2 a3 36 Bài 17 Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD) (ABCD), ∆SAD Gọi M, N, P là trung điểm SB, BC, CD TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp CMNP Gi¶i z S M A B F E D a P y 15 Lop12.net N C x (16) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH - Gäi E lµ trung ®iÓm AD (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD (SAD) (ABCD) ⇒SE (ABCD) - Gäi F lµ h×nh chiÕu cña M lªn (ABCD) ⇒ MF // SE DÔ thÊy F ∈ EB vµ F lµ trung ®iÓm EB Ta cã MF = S∆CNP = SE = a 23 a S CBD 18 S ABCD 18 a 2 1 a2 a 43 a3 96 VCMNP = S∆NCP.MF = Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O 0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy chiÒu cao b»ng a Trªn ®êng trßn t©m O lÊy A, Trªn ®êng trßn t©m O’ lÊy B cho AB = 2a TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp OO’AB Gi¶i O' A' H D B A O Kẻ đường sinh AA’ Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu B trên A’D Ta cã BH A’D BH A’A ⇒ BH (AOO’A’) ⇒BH lµ ®êng cao cña tø diÖn BAOO’ SAOO’ = a2 , A’B = AB AA' a ∆A’BD vu«ng ë B ⇒ BD=a 16 Lop12.net (17) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH ∆O’BD ⇒ BH= a ⇒VBAOO’ = BH SAOO’ = a2 12 Bµi 19: Cho h×nh chãp cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt; AB = a.AD = 2a; SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o §iÓm M thuéc c¹nh SA, AM = (BCM) ∩ SD ={ N} TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.BCMN Gi¶i S H M N A D B Ta cã a 3 C SAB=600 ∆SAB vu«ng t¹i A cã AM = a , AB = a ⇒ ABM = 300 KÎ SH⊥ BM th× SH lµ ®¬ng cao cña h×nh chãp S.BCMN ta cã SH=SB sin 300 = a BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ ⇒SBCMN = ( MN BC ).BM ⇒VSBCMN = SH SBCMN = SM MN SA AD 10a ⇒MN = AD.SM 4a SA 3 10 3a 27 Bµi 20: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh thang; BAD = ABC = 90o; AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N là trung điểm SA vµ SD Chøng minh r»ng BCMN lµ h×nh ch÷ nhËt vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.BCNM Gi¶i 17 Lop12.net (18) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH H S N M A D 2 Ta cã BC//AD ,BC= AD ,MN//AD , MN= AD ⇒BC = MN , BC// MN (1) BC ⊥AB BC ⊥SA ⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã BCNM lµ h×nh ch÷ nhËt KÎ SH ⊥BM thì SH⊥ (BCNM) 3 ⇒Vsbcnm= SBCNM.SH= BC.NM.SH= a3 Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông AB = AC = a; AA1 = a M lµ trung ®iÓm AA1 TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô MA1BC1 Hướng dẫn: a3 12 +Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = +Có thể dùng phương pháp toạ độ Bµi 22: Tø diÖn ABCD cã AB = x cã c¸c c¹nh cßn l¹i b»ng a.TÝnh thÓ tÝch tø diÖn theo x b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn Gi¶i 18 Lop12.net (19) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH a C H D B C C¸ch 1: Gäi H lµ H×nh chiÕu cña D lªn (ABC) v× DA = DC = DB = ⇒ H lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC mµ ∆ABC c©n H ∈ CC’ víi C’ lµ trung ®iÓm AB S∆ABC = 12 CC '.AB HC = R∆ABC = x sin C 4 .x x2 x sin C2 cos C2 ⇒Tam gi¸c vu«ng HCD cã ⇒ HD = 3 x 4 x ⇒VABCD = x x HD2 x 2x = 1 x4 CD2- 4 x DC2 = 4 x S ABC HD 13 14 x x 3 x 4 x2 C¸ch 2: A C' D B M Gäi M lµ trung ®iÓm CD ⇒ CD ABM Vì ∆ACD và ∆BCD ⇒ AM = BM = VABCD = 2VCBMA = 13 CM.S∆ABC = 19 Lop12.net .S ABM 3 x 4 x 12x x (20) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH S∆ABM = MC’.AB = VABCD = x x ( 23 ) ( 2x ) x x2 x 121 x x b) SACD= 3V 3 x x ⇒ d(B,(ACD))= ABCD = S ACD c) VABCD = 121 x x 3 x x 12 18 DÊu “=” x¶y ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x = vµ thÓ tÝch lín nhÊt lµ Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối nµy lµ lín nhÊt GI¶I S A D B H C M Ta cã BM SH (gt) BM SA (V× SA ( ABCD) ⇒BM AH 1 SABCD = a2 2 a2 Mµ SABM = AH.BM ⇒ AH= BM SABM = a2 a2 x2 ∆SAH vu«ng ë A cã SH= SA AH h 20 Lop12.net a2 a2 x2 (21)