a.. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B.. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương.. Bài 9: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bì[r]
(1)SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số ngun. II TÍNH CHẤT:
1 Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7,
2 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn
3 Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n N)
4 Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + (n N)
5 Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục
Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho
Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16
III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. DẠNG1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương. Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z ⇒ x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A số phương
Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương. Gọi số tự nhiên, liên tiêp n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2
(2)Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chứng minh 4S + số phương
Ta có k(k+1)(k+2) = 14 k(k+1)(k+2).4 = 14 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] =
4 k(k+1)(k+2)(k+3) -
4 k(k+1)(k+2)(k-1)
⇒ S = 14 1.2.3.4 - 14 0.1.2.3 + 14 2.3.4.5 - 14 1.2.3.4 +…+ 14 k(k+1)(k+2) (k+3) -
4 k(k+1)(k+2)(k-1) =
4 k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) +
Theo kết ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + số ph ương
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + 1
n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số
= 10n−1
9 10
n + 10n−1
9 +
= 102n−4 10n+8 10n−8+9
9 =
4 102n+4 10n+1
9
= (2 10 n
+1
3 )
Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho n-1 chữ số
⇒ (2 10n+1
3 ) Z hay số có dạng 44…488…89 số phương
Bài 5: Chứng minh số sau số phương: A = 11…1 + 44…4 +
2n chữ số n chữ số 4
B = 11…1 + 11…1 + 66…6 +
2n chữ số n+1 chữ số n chữ số 6
C = 44…4 + 22…2 + 88…8 +
2n chữ số n+1 chữ số n chữ số 8
Kết quả: A =
2 10
3 n
; B =
2 10
3 n
; C =
2 2.10
3 n
2
(3)Bài 6: Chứng minh số sau số phương:
a A = 22499…9100…09
n-2 chữ số n chữ số 0 b B = 11…155…56
n chữ số n-1 chữ số 5 a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9 = 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + 9 = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9 = 225.102n – 90.10n + 9
= ( 15.10n – ) 2
⇒ A số phương
b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 +
n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số
= 10n−1
9 10
n + 10n−1
9 + =
102n−10n
+5 10n−5+9
9
=
102n+4 10n+4
9 =
2 10
3 n
số phương ( điều phải chứng minh)
Bài 7: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp số phương
Gọi số tự nhiên liên tiếp n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
Vì n2 tận n2+2 khơng thẻ chia hết cho 5 ⇒ 5.( n2+2) khơng số phương hay A khơng số phương
Bài 8: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n N n>1 khơng phải là số phương
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]
= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)
Với n N, n >1 n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2 n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2
(4)Bài 9: Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị đều Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số chính phương
Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho 1,3,5,7,9 tổng chúng + + + + = 25 = 52 số phương
Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a ⇒ a ⋮ ⇒ a2 ⋮
Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 ⇒ Ta có: + + + + = 25 = 52 số phương.
Bài 10: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương.
a b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N)
⇒ a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + 1 = 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Với t N)
Khơng có số phương có dạng 4t + (t N) a2 + b2 khơng thể số phương
Bài 11: Chứng minh p tích n số nguyên tố p-1 p+1 khơng thể là số phương.
Vì p tích n số nguyên tố nên p ⋮ p không chia hết cho (1) a Giả sử p+1 số phương Đặt p+1 = m2 (m N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ ⇒ m2 lẻ ⇒ m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + ⇒ p+1 = 4k2 + 4k + 1 ⇒ p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) ⋮ mâu thuẫn với (1)
⇒ p+1 số phương
b p = 2.3.5… số chia hết cho ⇒ p-1 có dạng 3k+2
Khơng có số phương có dạng 3k+2 ⇒ p-1 khơng số phương Vậy p tích n số ngun tố p-1 p+1 khơng số phương Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.
Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N 2N+1 số số chính phương.
a 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 –
Có 2N ⋮ ⇒ 2N-1 không chia hết cho 2N-1 = 3k+2 (k N) ⇒ 2N-1 khơng số phương.
b 2N = 2.1.3.5.7…2007
Vì N lẻ ⇒ N không chia hết cho 2N ⋮ 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư ⇒ 2N không số phương
(5)2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho
2N không chia hết 2N+1 không chia cho dư ⇒ 2N+1 không số phương.
Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05
2008 chữ số 2007 chữ số 0 Chứng minh √ab+1 số tự nhiên.
Cách 1: Ta có a = 11…1 = 102008−1
9 ; b = 100…05 = 100…0 + = 10
2008 + 5
2008 chữ số 2007 chữ số 2008 chữ số 0 ⇒ ab+1 = (102008−1)(102008+5)
9 + =
102008
¿2+4 102008−5+9
¿ ¿ ¿
= (102008+2
3 )
√ab+1 = √(10
2008
+2
3 ) =
102008
+2
3
Ta thấy 102008 + = 100…02 ⋮ nên 102008+2
3 N hay √ab+1 số tự nhiên.
2007 chữ số
Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6
2007 chữ số 2008 chữ số 2008 chữ số 9 ⇒ ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2
⇒ √ab+1 = 3a+1¿
2 ¿
√¿ = 3a + N
B. DẠNG 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương:
a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 ) c 13n + d n2 + n + 1589
Giải
a Vì n2 + 2n + 12 số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n+1)2 = 11 ⇔ (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 ⇔ k+n+1 = 11 ⇔ k =
k – n - = n =
b Đặt n(n+3) = a2 (n N) ⇒ n2 + 3n = a2 ⇔ 4n2 + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 ⇔ (2n + 3) ❑2 - 4a2 = 9
⇔ (2n + + 2a)(2n + – 2a) =
Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 ⇔ 2n + + 2a = ⇔ n =
2n + – 2a = a = c Đặt 13n + = y2 ( y N) ⇒ 13(n – 1) = y2 – 16
2
(6)⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
⇒ (y + 4)(y – 4) ⋮ 13 mà 13 số nguyên tố nên y + ⋮ 13 y – ⋮ 13 ⇒ y = 13k ± (Với k N)
⇒ 13(n – 1) = (13k ± )2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ n = 13k2 ± 8k + 1
Vậy n = 13k2 ± 8k + (Với k N) 13n + số phương. d Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
⇔ (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355
Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy n có giá trị sau: 1588; 316; 43; 28 Bài 2: Tìm a để số sau số phương:
a. a2 + a + 43 b. a2 + 81
c. a2 + 31a + 1984 Kết quả: a 2; 42; 13
b 0; 12; 40
c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728
Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương Với n = 1! = = 12 số phương
Với n = 1! + 2! = khơng số phương
Với n = 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 số phương
Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … + n! có tận chữ số nên khơng phải số phương
Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề n = 1; n = Bài 4: Tìm n N để số sau số phương:
a n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164)
b (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) c n2 + 4n + 97
d 2n + 15
Bài 5: Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m N) Từ suy m2 – n2 = 2006 ⇔ (m + n)(m - n) = 2006
Như số m n phải có số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) ⇒ m + n m – n số chẵn
(7)⇒ Điều giả sử sai
Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương.
Bài 6: Biết x N x>2 Tìm x chox x 1 x x1 x 2xx x 1 Đẳng thức cho viết lại sau:
2
x x x xx x 1
Do vế trái số phương nên vế phải số phương
Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1)
Do x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x N < x ≤ (2) Từ (1) (2) ⇒ x nhận giá trị 5; 6;
Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, 762 = 5776
Bài 7: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương. Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40
Bài 8: Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24.
Vì n+1 2n+1 số phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N) Ta có m số lẻ ⇒ m = 2a+1 ⇒ m2 = 4a (a+1) + 1
⇒ n = m2−1
2 =
4a(a+1)
2 = 2a(a+1)
⇒ n chẵn ⇒ n+1 lẻ ⇒ k lẻ ⇒ Đặt k = 2b+1 (Với b N) ⇒ k2 = 4b(b+1) +1
⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n ⋮ (1) Ta có k2 + m2 = 3n + (mod3)
Mặt khác k2 chia cho dư 1, m2 chia cho dư Nên để k2 + m2 (mod3) k2 (mod3)
m2 (mod3)
⇒ m2 – k2 ⋮ hay (2n+1) – (n+1) ⋮ ⇒ n ⋮ (2) Mà (8; 3) = (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ n ⋮ 24
Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N)
2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48)
2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n p > q ⇒ a+48 = 2p ⇒ 2p – 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q -1) = 25.3
a- 48 = 2q
(8)⇒ n = 5+7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B.
Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = a b c d 1 = m2 với k, m N 32 < k < m < 100 a, b, c, d N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ 9
⇒ Ta có A = abcd = k2 B = abcd+ 1111 = m2
⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m-k)(m+k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k m+k số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) viết (m-k)(m+k) = 11.101
Do m – k == 11 ⇔ m = 56 ⇔ A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136
Bài 2: Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm 2 chữ số sau đơn vị.
Đặt abcd = k2 ta có ab – cd k N, 32 ≤ k < 100
Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) ⇒ k +10 ⋮ 101 k-10 ⋮ 101 Mà (k-10; 101) = ⇒ k +10 ⋮ 101
Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 ⇒ k+10 = 101 ⇒ k = 91 ⇒ abcd = 912 = 8281
Bài 3: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống nhau.
Gọi số phương phải tìm aabb = n2 với a, b N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ 9 Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy aabb ⋮ 11 ⇒ a + b ⋮ 11
Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) 9a+1 số phương Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn ⇒ b = Số cần tìm 7744
Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương.
Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N
Vì y3 = x2 nên y số phương
(9)Bài 5: Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương.
Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên ≤ a ≤ ; ≤ b,c,d ≤
abcd phương ⇒ d { 0,1,4,5,6,9} d nguyên tố ⇒ d =
Đặt abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100
k số có hai chữ số mà k2 có tận ⇒ k tận 5 Tổng chữ số k số phương ⇒ k = 45
⇒ abcd = 2025 Vậy số phải tìm 2025
Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết số bởi hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương
Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm ab ( a,b N, ≤ a,b ≤ ) Số viết theo thứ tự ngược lại ba
Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) ⋮ 11 ⇒ a2 - b2 ⋮ 11 Hay ( a-b )(a+b ) ⋮ 11
Vì < a - b ≤ , ≤ a+b ≤ 18 nên a+b ⋮ 11 ⇒ a + b = 11 Khi ab ba = 32 112 (a - b)
Để ab ba số phương a - b phải số phương a-b = a - b =
Nếu a-b = kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 6, b = 5, ab = 65 Khi 652 – 562 = 1089 = 332
Nếu a - b = kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm 65
Bài 7: Cho số phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta một số phương Tìm số phương ban đầu
( Kết quả: 1156 )
Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số của
Gọi số phải tìm ab với a,b N ≤ a ≤ , ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3
⇔ (10a+b)2 = ( a + b )3
⇒ ab lập phương a+b số phương Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l 2 ( l N )
Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 ab = 64 Nếu ab = 27 ⇒ a + b = số phương
Nếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 không số phương ⇒ loại Vậy số cần tìm ab = 27
2
2
(10)Bài 9: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương số có chữ số giống nhau. Gọi số lẻ liên tiếp 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N)
Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11
Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ ≤ a ≤ 9 ⇒ 12n( n + ) = 11(101a – )
⇒ 101a – ⋮ ⇒ 2a – ⋮
Vì ≤ a ≤ nên ≤ 2a-1 ≤ 17 2a-1 lẻ nên 2a – { 3; 9; 15 } ⇒ a { 2; 5; }
Vì a lẻ ⇒ a = ⇒ n = 21 số càn tìm 41; 43; 45
Bài 10: Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số đó.
ab (a + b ) = a3 + b3
⇔ 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab ⇔ 3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) a + b a + b – nguyên tố a + b = 3a a + b – = 3a a + b – = + b a + b = + b ⇒ a = , b = a = , b = Vậy ab = 48 ab = 37
….……… Hết ……… Sè nguyªn tè
I Kiến thức cần nhớ: 1 Dịnh nghĩa:
* Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, chØ cã hai íc lµ vµ chÝnh nã * Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiỊu h¬n hai íc
2 TÝnh chÊt:
* NÕu sè nguyªn tè p chia hÕt cho sè nguyªn tè q th× p = q
* NÕu tÝch abc chia hết cho số nguyên tố p nhÊt mét thõa sè cña tÝch abc chia hÕt cho số nguyên tố p
* Nếu a b không chia hết cho số nguyên tố p tích ab không chia hết cho số nguyên tố p
3 Cách nhận biết số nguyên tố:
a) Chia số lần lợt cho số nguyên tố biết từ nhỏ đến lớn - Nếu có phép chia hết số khơng phải số nguyên tố
- Nếu chia lúc số thơng nhỏ số chia mà phép chia cịn số d ssó số ngun tố
b) Một số có ớc số lớn số khơng phải số ngun tố
4 Ph©n tÝch mét sè thõa sè nguyªn tè:
* Phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố viết số dới dạng tích thừa số ngun tố
- Dạng phân tích thừa số nguyên tố số ngun tố số - Mọi hợp số phân tích đợc thừa số nguyên tố
íi , , số nguyên tố , , , N , , ,
A a b c
V a b c l
(11)+1 1 ¶ sư
ới , , số nguyên tố , , , N vµ , , ,
1 Số ớc số A là: ( +1)( +1) ( +1)
a 1
2 Tæng ớc số A là:
1 1
Gi A a b c
V a b c l
b c
a b c
6 Sè nguyªn tè cïng nhau:
* Hai số nguyên tố hai số có ƯCLN Hai số a b nguyên tố ƯCLN(a, b) = Các số a, b, c nguyên tố ƯCLN(a, b, c) =
Các số a, b, c đôi nguyên tố ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1
II C¸c vÝ dơ:
VD1: Ta biÕt r»ng cã 25 sè nguyªn tè nhá 100 Tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay số lẻ
HD:
Trong 25 s nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố cịn lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn
VD2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố
HD:
Vì tổng số nguyên tố 1012, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số ngun tố
VD3: Tỉng cđa sè nguyªn tè cã thĨ b»ng 2003 hay không? Vì sao?
HD:
Vỡ tng ca số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số nguyên tố lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 khơng phải số ngun tố
VD4: T×m sè nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố
HD:
Giả sử p số nguyên tố
- Nếu p = p + = p + = số nguyên tố
- Nếu p số nguyên tố p có dạng: 3k, 3k + 1, 3k + với k N* +) Nếu p = 3k p = p + = p + = số nguyên tố
+) Nếu p = 3k +1 p + = 3k + = 3(k + 1) p + p + > Do p + hợp số
+) Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) p + p + > Do p + hợp số
VËy víi p = p + p + số nguyên tố
VD5: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số
HD:
Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) p + p + > Do
p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố)
- Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 3) p + p + > Do p + hợp số
VËy sè nguyªn tè p có dạng: p = 3k + p + hợp số
VD6: Chng minh rng mi số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n –
HD:
Mỗi số tự nhiên n chia cho có số d: 0; 1; 2; Do số tự nhiên n viết đợc dới dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k +
víi k N*
- NÕu n = 4k n4 n hợp số - Nếu n = 4k + n2 n hợp số
Vậy số nguyên tố lớn có dạng 4k + 4k – Hay số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n – với n N*
VD7: Tìm ssó ngun tố, biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số ngun tố
(12)¶ sư a, b, c, d, e số nguyên tố vµ d > e Theo bµi ra: a = b + c = d - e (*)
Tõ (*) a > a số nguyên tố lẻ b + c d - e số lẻ
Do b, d số nguyên tố b, d số lẻ c, e
Gi
số chẵn c = e = (do c, e số nguyên tè)
a = b + = d - d = b +
VËy ta cần tìm số nguyên tố b cho b + b + số nguyên tố
VD8: Tìm tất số nguyên tố x, y cho: x2 6y2 = 1.
HD:
2 2 2
2
2
2
ã: x 1 ( 1)( 1) 6 ( 1)( 1)
µ x - + x + = 2x x - vµ x + có tính chẵn lẻ x - x + hai số chẵn liên tiÕp
( 1)( 1) 8
2 2
Ta c y x y x x y
Do y x x
M
x x y y
y y y x
VD9: Cho p vµ p + lµ số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + 16
HD:
Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) p + p + > Do
p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) (1)
Do p số nguyên tố p > p lẻ k lẻ k + chẵn k + 12 (2) Tõ (1) vµ (2) p + 16
II Bµi tËp vËn dơng:
Bµi 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + vµ p + 10
b) p + 10 vµ p + 20 c) p + 10 vµ p + 14 d) p + 14 vµ p + 20 e) p + 2vµ p + f) p + vµ p + 14 g) p + vµ p + 10 h) p + vµ p + 10
Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14
b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16
Bµi 3:
a) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chøng minh r»ng: p + lµ hợp số b) Cho p 2p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + hợp số c) Cho p 10p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 5p + hợp số d) Cho p p + số nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: p + hợp số e) Cho p 4p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + hợp số f) Cho p 5p + số nguyên tố (p > 3) Chøng minh r»ng: 10p + lµ hợp số g) Cho p 8p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - hợp số h) Cho p 8p - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + hợp số i) Cho p 8p2 - số nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 8p2 + hợp số. j) Cho p 8p2 + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - hợp số.
Bài 4: Chøng minh r»ng:
NÕu p vµ q lµ hai số nguyên tố lớn p2 q2 24.
Bµi 5:
(13)b) Mét sè nguyªn tè chia cho 30 cã sè d r T×m sè d r biÕt r»ng r không số nguyên tố
Bi 6: Hai s nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho
Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trớc d đơn vị Chứng minh d chia hết cho
Bài 8: Tìm số ngun tố có ba chữ số, biết viết số theo thứ tự ngợc lại ta đợc số lập phơng số tự nhiên
Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết đợc dới dạng tích số nguyên tố liên tiếp
Bài 10: Tìm số nguyên tố lẻ liên tiếp số nguyên tố
Bµi 11: Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p2 + q2 + r2 cịng lµ sè nguyên tố.
Bài 12: Tìm tất ba sè nguyªn tè a, b, c cho a.b.c < a.b + b.c + c.a
Bài 13: Tìm sè nguyªn tè p, q, r cho pq + qp = r.
Bài 14: Tìm số nguyên tố x, y, z thoả mÃn xy + = z.
Bài 15: Tìm số nguyên tố
2
, số nguyên tố b
abcd cho ab ac l cd b c
B i 16:à Cho c¸c sè p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) số nguyªn tè Chøng minh r»ng sè p, q, r cã Ýt nhÊt hai sè b»ng
Bµi 17: Tìm tất số nguyên tố x, y cho: a) x2 – 12y2 = 1.
b) 3x2 + = 19y2. c) 5x2 – 11y2 = 1. d) 7x2 – 3y2 = 1. e) 13x2 – y2 = 3. f) x2 = 8y + 1.
Bài 18: Tìm số ngun tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Chuyên đề tìm chữ số tận cùng
I Tìm chữ số tận cùng
Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi
b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận vẫn không thay đổi
c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận cùng
d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận cùng
e) Tích số tự nhiên có chữ số tận với số tự nhiên lẻ cho ta số có chữ số tận 5.
Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận cùng khơng thay đổi
Tính chất 3: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận cùng ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận là 3
b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận
c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + không thay đổi chữ số tận
Bài 1: Tìm chữ số tận số: a) 799 b) 141414 c) 4567
Giải: a) Trước hết, ta tìm số dư phép chia 99 cho 4: 99 − = (9 − 1)(98 + 97 + … + + 1) chia hết cho 99 = 4k + (k N) 799 = 74k + 1 = 74k.7
Do 74k có chữ số tận 799 có chữ số tận 7. b) Dễ thấy 1414 = 4k (k N) 141414 = 144k có chữ số tận 6.
c) Ta có 567 − 567 = 4k + (k N) 4567 = 44k + 1 = 44k.4 44k có chữ số tận 6 nên 4567 có chữ số tận
(14)a) 71993 b) 21000 c) 31993 d) 4161 e) 234 g) 999 h) 1981945 i) 321930
Bài 3: Chứng minh rằng: a) 8102 − 2102 10 b) 175 + 244 − 1321 10 c) 4343 − 1717 10
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để n10 + 10
Bài 5: Có tồn hay không số tự nhiên n để n2 + n + chia hết cho 5? Bài 11: Tìm hai chữ số tận số: a) 22003 b) 799
Bài 12: Tìm số dư phép chia 3517 cho 25.
Bài 18: Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận giống Bài 19: Tìm hai chữ số tận của:
a) 3999 b) 111213
D·y số có qui luật
I > Phơng pháp dự đoán quy nạp :
Trong số trờng hợp gặp toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an (1)
Bằng cách ta biết đợc kết (dự đốn , toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phơng pháp hầu nh chứng minh đợc
VÝ dơ 1 : TÝnh tỉng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 =
S2 = + =22
S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta dự đoán Sn = n2
Với n = 1;2;3 ta thấy kết
gi¶ sư víi n= k ( k 1) ta có Sk = k (2) ta cần phải chứng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3) ThËt vËy céng vÕ cña ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức S
k+1 = ( k +1) theo nguyên lý quy nạp toán đợc chứng minh
vËy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2
T¬ng tù ta cã thĨ chøng minh kết sau phơng pháp quy nạp to¸n häc 1, + 2+3 + + n = n(n+1)
2
2, 12 + 2 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1)
6
3, 13+23 + + n3 =
[n(n+1)
2 ]
2
4, 15 + 25 + + n5 =
12 n2 (n + 1) ( 2n2 + 2n )
II > Ph ơng pháp khử liên tiếp :
Giả sử ta cần tính tỉng (1) mµ ta cã thĨ biĨu diƠn , i = 1,2,3 ,n , qua hiƯu hai sè h¹ng liên tiếp dÃy số khác , xác , giả sử : a1 = b1 - b2
(15)khi ta có :
Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn +
VÝ dơ : tÝnh tỉng :
S = 10 111 +11.121 +12 131 + +99 1001 Ta cã :
10 11=
1
10−
1
11 ,
11.12=
1
11 −
1
12 ,
99 100=
1
99 −
1 100
Do : S =
10 − 11+ 11 −
12+ .+ 99 − 100= 10 − 100= 100
Dạng tổng quát Sn =
1 2+
1
2 3+ .+
n(n+1) ( n > ) = 1-
n+1= n n+1 VÝ dơ : tÝnh tỉng
Sn =
1 3+
1 4+
1
3 5+ +
1
n(n+1)(n+2) Ta cã Sn =
1 2(
1
1 2−
1 3)+
1 2(
1
2 3−
1
3 4)+ + 2(
1
n(n+1)−
1
(n+1)(n+2)) Sn =
1 2(
1
1 2−
1
2 3+
1
2 3−
1
3 4+ +
n(n+1)−
1
(n+1)(n+2)) Sn =
1 2(
1
1 2−
1
(n+1)(n+2))=
n(n+3)
4(n+1)(n+2)
III > Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn tổng cần tính:
Ví dụ : TÝnh tæng
S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) ta viÕt l¹i S nh sau :
S = 1+2 (1+2+22 + + 299 )
S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 2 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5)
Tõ (5) suy S = 1+ 2S -2101 S = 2101-1
VÝ dô : tÝnh tæng
Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p 1) Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau :
Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 )
Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n ) Sn = 1+p ( Sn –pn )
Sn = +p.Sn –p n+1 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 Sn = P
n+1−1
(16)V-Vận dụng trực tiếp cơng thức tính tổng số hạng dãy số cách ( Học sinh lớp 6 )
C¬ së lý thuyÕt :
+ để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách số đơn vị , ta dùng công thức:
Sè số hạng = (số cuối số đầu) : ( khoảng cách ) +
+ tớnh tng số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp cách số đơn vị , ta dùng cơng thức:
Tỉng = ( số đầu số cuối ) ( số số h¹ng ) :2 VÝ dơ 12 :
TÝnh tỉng A = 19 +20 +21 + + 132
Sè số hạng A : ( 132 19 ) : +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607
VÝ dơ 13 : TÝnh tỉng
B = +5 +9 + + 2005 +2009
số số hạng B ( 2009 – ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515 VI / Vân dụng số công thức chứng minh đợc vào làm tốn
Ví dụ 14 : Chứng minh : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Từ tính tổng S = 1.2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1)
Chøng minh : c¸ch : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) [(k+2)−(k −1)]
= k (k+1) = 3k(k+1)
C¸ch : Ta cã k ( k +1) = k(k+1) (k+2)−(k −1)
3
= k(k+1)(k+2)
3 −
k(k+1)(k −1)
3 *
3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1)
=> 1.2 =
1.2.3 0.1.2
2.3.4 1.2.3 2.3
3
( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1)
3
n n n n n n
n n
S =
1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
3 3
n n n n n n
VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng :
k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ tính tổng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2)
(17)Rót : k(k+1) (k+2) = k(k+1)(k+2)(k+3)
4 −
(k −1)k(k+1)(k+2)
4
¸p dơng : 1.2.3 =
4 −
0
2.3.4 =
4 −
1 4
n(n+1) (n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)
4 −
(n −1)n(n+1)(n+2)
4
Cộng vế với vế ta đợc S = n(n+1)(n+2)(n+3)
4
* Bài tập đề nghị :
TÝnh c¸c tæng sau
1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2 b, S = + 52 + 53 + + 5 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169
4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 5, S =
1 2+
2 3+
1
3 4+ .+ 99 100
6, S =
5 7+
7 9+ + 59 61
7, A =
11.16+
5
16 21+
5
21 26+ + 61 66
8, M =
30+ 31+
1
32+ .+ 32005
9, Sn =
1 +
1
2 4+ +
1
n(n+1)(n+2) 10, Sn =
1 3+
2 4+ + 98 99 100
11, Sn =
1 4+
1
2 5+ .+
1
n(n+1)(n+2)(n+3) 12, M = + 99 + 999 + + 99
50 ch÷ sè 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 TÝnh S100 =?
Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi , kết hợp dạng tốn có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho em , chẳng hạn dạng toán tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820
c, +
3+
1
6+
1
10+ .+
x(x+1)=1
1989 1991
(18)15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 lµ luü thõa cña b, B =2 + 22 + 2 3 + + 2 60 ⋮ ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991 ⋮ 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 ⋮
Chøng minh số số phơng
Phơng pháp 1 Nhìn chữ số tận cùng:
- Vì số phơng bình phơng số nên suy ra.Số phơng phải có chữ số tận chữ số: 0,1,4,5,6,9 Từ ta giải đợc tốn dạng sau đây: Bài toán 1
Chøng minh sè: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 Không số chÝnh ph¬ng. LG
- Ta thấy chữ số tận số: 20042,20032,20022,20012lần lợt 6,9,4,1 Do n có chữ số tận Nên n khơng phải số phơng
Chú ý: Nhiều số cho có chữ số tận số: 0,1,4,5,6,9 nhng số phơng, ta phải lu ý thêm: Nếu số phơng chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2
Bài toán 2.
Chứng minh số: 1234567890 số phơng LG
- Ta thy s: 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), nhng khơng chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 khơng phải số phơng
Chó ý:
- Cã thÓ luËn r»ng: Sè 1234567890 chia hÕt cho nhng không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90).Nên 1234567890 số phơng
Bài toán 3
Chng minh rng xnếu số có tổng chữ số 2004 số khơng phải số phơng
LG
Ta thấy tổng chữ số 2004 nên 2004 chia hết cho mà lại khơng chia hết cho Nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà khơng chia hết cho Do số khụng phi l s chớnh phng
Phơng pháp 2
Dùng tính chất số d Bài toán 4.
Chứng minh số có tổng chữ số 2006 số phơng LG
- ta không gặp trờng hợp nh toán nên ta phải nghĩ đến phơng pháp khác Ta thấy chắn số chia cho d nên ta có lời giải sau:
- Vì số chíng phơng chia cho d mà ( kết toán mà ta dễ dàng chứng minh đợc)
- Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho d Nên số khơng phải số phơng
Bài toán 5 ( Tơng tự toán 4)
Chứng minh tổng số tự nhien liên tiếp từ đến 2005 khơng phải số phơng Bài toán 6.
Chøng minh sè: 20044 + 20043 + 20042 + 23 số phơng.
Phơng pháp 3.
Tình chứng minh n không số phơng nhng n chia cho d VD: Bài toán
Chøng minh sè: n = 44 + 444 + 4444 + 44444 + 15 không số phơng. Nhận xÐt:
(19)- Nếu xét chữ số tận ta thấy chữ số tận n nên không giải đợc theo cách toỏn 1,2
Vậy ta phải dựa vào nhËn xÐt sau (ta cã thÓ cm):
Một số phơng chia cho số d Lúc ta gii c bi toỏn ny
Phơng pháp 4
Phơng pháp kẹp hai số phơng liên tiếp: n2 (n+1)2.
Ta thy: Nu n k N thỏa mãn điều kiện: n2 < k < (n+1)2 lúc k khơng phải s chớnh phng
Bài toán
Chứng minh số 4014025 số phơng Nhận xét:
Số có hai chữ số tận 25 nên chia cho d chia cho d 1, nên áp dụng cách
LG
Ta thấy: 20032 = 401209; 20042= 4016016 Nªn 20032< 4014025 < 20042 Chøng tá sè 4014025 số phơng
Bài toán 9.
Chøng minh:
A = n(n+1)(n +2)(n+3) kh«ng số phơng với n N, n
Nhận xét: Nếu quen dạng ta thấy A+1 phải số phơng ( tốn lớp 8) nh-ng lớp 6,7 giải theo cách sau
LG
Ta cã: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2+3n +1)2
Mặt khác (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A Điều hiển nhiên vì: n > Chứng tỏ
(n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2 Suy A số phơng. Một số toán khác
Bài 10
Chng tỏ số: 235+2312+232003 khơng số phơng. Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho chia cho
Bµi 11
Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh đợc ghi số từ đến 1001 (khơng có mảnh ghi khác nhau) Chứng minh ghép tất mảnh bìa liền để đợc số phơng
Bµi 12
Chøng minh r»ng tỉng bình phơng số tự nhiên liên tiếp số ph-ơng
Gi ý: Ngh n phộp chia cho
Một số toán liên quan số phơng
Bài 1 Chứng minh tổng n số lẻ mét sè chÝnh ph¬ng LG
Ta tÝnh tỉng n số lẻ đầu tiên:
S = + + + + + (2n - 3) + (2n - 1)
Lúc ta phải xét hai trờng hợp: n chẵn n lẻ Trờng hợp 1: n ch½n
S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+ Cã n/2 sè hạng , mà số hạng có giá trị 2n VËy S = 2n n
2 = n2
Trờng hợp 2: n lẻ
tớnh S ta ghép nh trờng hợp nhng ta đợc n1
2 số hạng, số hạng
có giá trị 2n Nên tổng S = n1
2 2n + n = 2n
−2n+2n
2 = n
2
VËy S = + + + + + (2n - 3) + (2n - 1) = n2 nên S số phơng. Từ toán ta có nhận xét tổng quát:
Tổng số lẻ bình phơng số số Êy Bµi 2.
(20)Bµi 3.
Biển số xe máy bạn Hùng số có chữ số, có đặc điểm nh sau:
Số số phơng, lấy số đầu trừ số cuối cộng thêm đợc số số phơng Tìm số xe ca bn Hựng
1 Định lý phép chia hết:
a) Định lý
Cho a, b số nguyên tuỳ ý, b0, có số nguyên q, r cho :
a bq r víi 0 r b , a só bị chia, b số chia, q thơng số r số d.
Đặc biệt với r = a = b.q Khi ta nói a chia hết cho b hay b ớc a, ký hiệu
a b . VËy
b) TÝnh chÊt
a) NÕu a b vµ b c a c b) Nếu a b b a th× a = b
c) NÕu a b , a c (b,c) = a bc d) Nếu ab c (c,b) = a c
2 TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tỉng, mét hiƯu, mét tÝch.
- NÕu
¿
a⋮m b⋮m }
¿
→ a+b⋮m
- NÕu
¿
a⋮m b⋮m }
¿
→ a− b⋮m
- NÕu
¿
a⋮m b⋮m }
¿
→ a b ⋮m
- NÕu a⋮m→ a ❑n⋮ m (n số tự nhiên)
3 Đồng d thức
a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > Nếu số nguyên a, b cho số d chia cho m ta nói a đồng d với b theo môđun m
KÝ hiÖu : a b (mod )m b) TÝnh chÊt
a) a b (mod )m a c b c (mod )m
b)a b(mod )m na nb (mod )m
c) (mod ) (mod ) n n
a b m a b m
d) a b (mod )m ac bc (mod )m
Vấn đề 1:
Ph
ơng pháp 1: Dùng tính chất
Trong n ( n1)số nguyên liên tiếp có chØ mét sè chia hÕt cho n
VÝ dô 1: a) TÝch sè tù nhiªn liªn tiÕpchia hÕt cho 120 b) Chøng minh r»ng víi số nguyên n n311 6n
Giải
a) Ta cã 120 = 3.53
a b cã sè nguyªn q cho a = b.q
(21)Trong sè nguyªn liên tiếp phải có số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho Mặt khác số nguyªn liªn tiÕp cã sè chia hÕt cho số chia hết tích chia hÕt cho mµ (3,5,8) =
VËy tÝch sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120 b) Ta cã :
3 11 12
( 1)( 1) 12
n n n n n
n n n n
Vì n-1, n, n+1 sè nguyªn liªn tiÕp nªn tÝch ( n-1) n (n+1)
Ph
ơng pháp 2: Dùng c«ng thøc khai triĨn
,( ) n n
a b a b a b n N
n n
a b a b nÕu n lỴ n n
a b a b nÕu n ch½n (ab) (a b)n bn(mod )a
VÝ dơ 2 a) Víi n ch½n, chøng minh r»ng 20n 16n 3n 1 323 b) Chøng minh r»ng : 22225555555522227
Gi¶i:
a) Ta cã 323 = 17 19 vµ 20 16 (20 1) (16 ) 19
n n n n n n
(1) V× 20n1 20 19 16n 19n n chẵn
Mặt khác : 20 16 (20 ) (16 1) 17 n n n n n n
(2) V× (20n ) 20 3;(16n n1) 16 17 n ch½n
Tõ (1) vµ (2) suy 20n16n 3n1 17.19 323 b) Ta cã : 22224(mod 7);55554(mod 7)
5555 2222 5555 2222
2222 5555 ( 4) 4 0(mod 7) V× ( 4) 555542222 42222(433331) 431 63 7
Ph
ơng pháp 3: Dùng định lý phép chia có d
§Ĩ chøng minh A pn ta xÐt vỊ mäi trêng hỵp vỊ sè d Khi chia n cho p cã thĨ d lµ 0; 1; 2; ; p -
1 1; 2; ;
2
p
nÕu p lỴ
VÝ dơ 3: Chøng minh r»ng nÕu n3 32n3n 13
Giải:
Vì n3 nên n = 3k + n = 3k + 1) NÕu n = 3k + th×
2
3 n 3n 3k 3k 9.27 k 3.27k 0(mod13)
V× 27 1(mod13)
2) NÕu n = 3k + th× 32n 3n 1 36k433k2 1 81.272k9.27k 1 81 19(mod13) VËy n3 th× 32n 3n 1 13
Ph
ơng pháp 4: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet
Nếu đem n + vật xếp vào n ngăn kéo có ngăn kéo chứa từ vật trở lên
Ph
ơng pháp 5: Dùng quy nạp toán häc
Ta cÇn chøng minh A n p( ) (1) víi n = 1; 2;
(22)3) Ta chứng minh (1) với n = k+1 , nghĩa phải chứng minh A k( 1) p
VÝ dô 5: Chøng minh r»ng víi mäi n1: 4n15n 1
Gi¶i:
Víi n = ta cã: 15.1 18 91
Gi¶ sư víi n = k, ta cã: 4k 15k 1 4n15n1 9 m ( 1) víi m Z Víi n = k + ta cã: 4k115(k1) 4.4 k 15k14 (2)
Tõ (1) suy ra: 4k 9m15k1, thay vµo (2) ta cã:
4 15( 1)
4(9 15 1) 15 14 36 45 18
k k
m k k
m k
VËy n1: 4n15n 1
Ph
ơng pháp 6: Dùng nh lý Fermat
Với P số nguyên tố ta có: ap p(mod )p Đặc biệt (a,p) =1 th×
1 1(mod ) p
a p
VÝ dô 6: Chøng minh r»ng
1199121991 1991 199111
Gi¶i:
Theo định lýFermat : a11 a(mod11) a1991a(mod11) Do :
1991 1992 1991 1991
1 1991 1991.966 0(mod11)
Vấn đề 2:
*Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia hết cho đồng thời chia hết cho cho
1) Các dấu hiệu chia hết đơn giản a Chia hết cho 2, 5, 4, 25 8; 125
a an n1 a a1 02 a02 a0 0; 2; 4;6;8 a an n1 a a1 05 a0 0;5
1 n n
a a a a ( hc 25) a a1 04 ( hc 25) a an n1 a a1 08 ( hc 125) a a a2 08 ( hc 125) b) Chia hÕt cho 3; 9
a an n1 a a1 03 (hc 9) a0a1 an3 ( hc 9)
NhËn xÐt: D phÐp chia N cho ( 9) d phép chia tổng chữ số N cho ( hc 9)
Ví dụ 7: Tìm chữ số x, y để: a) 134 45x y b) 1234xy72
Giải:
a) Để 134 45x y ta ph¶i cã 134 4x y chia hÕt cho y = y = Víi y = th× tõ 134 40 9x ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 9 x4 9 x5
(23)ta có số 13554
víi x = th× tõ : 134 9x y ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 +59
9 0;
x x x
lúc đóta có số: 135045; 135945.
b) Ta cã 1234xy123400xy72.1713 64 xy72 64xy72 V× 64 64 xy163 nên 64xy 72 144
+ Víi 64xy=72 th× xy=08, ta cã sè: 123408 + Víi 64xy=14 th× xy=80, ta cã sè 123480
2 Mét sè dÊu hiƯu chia hÕt kh¸c
a) DÊu hiÖu chia hÕt cho 11: Cho A a a a a a a5
A11 a0a2a4 a1a3a5 11
Ví dụ Tìm chữ số x, y để N 7 36 1375x y Giải:
Ta cã: 1375 = 11.125
125 125
7 3625 11 12 11
N y y
N x x x x
Vậy số cần tìm 713625
Vn đề
1) Chøng minh kh«ng chia hÕt
- NÕu a b vµ b c a c - Nếu a c b c th× c b c
- NÕu ab p a p b p với p số ngyuên tố
- Số phơng( bình phơng cđa sè tù nhiªn ) chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× sÏ chia hÕt cho p2.
Vậy n p nhng n p 2thì n sè chÝnh ph¬ng
VÝ dơ 11 Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n : a) n2 n
b) n211n39 49
Gi¶i:
a)Với n = 3k n2 n n2 n Với n = 3k +
2 1 (3 1)2 (3 1) 9( ) 9
n n k k k k Víi n = 3k+2 th×
2 1 1(mod 3)
n n n2 n
VËy n2 n ví mäi n
2) Tìm số tự nhiênn để a(n)B n( )
Ph ơng phá p: Giả sử có A(n),ta biến đổi dùng phép chia đa thức đẻ đến số m
( )
B n
, từ suy n.
Kiểm nghiệm giá trị tìm đợc n
VÝ dơ 12: a) T×m n > cho n21 chia hÕt cho n +1 b) Tìm n > n4 cho 3n - n
Gi¶i:
(24)Thư l¹i víi n = ta cã : = VËy n21n1 , n > b) Gi¶ sư
3 8 3( 4) 4 4 4; 2; 8;6; 2;5;3
n n n n n n
n n
VËy 3n - n víi n > 0; n4
3)Bµi tËp vỊ sè chÝnh ph ¬ng
Ph ¬ng pháp 1: Dùng tính chẵn lẻ
Vớ d 13 Chứng minh số phơng có chứa chữ số lẻ hàng chục chữ số hàng đơn vị ln
Gi¶i:
Giả sử số phơng có dạng
2 (10 ) ,2 ; 9 100 20 20 (5 )
nb n b n N b nb n nb b n n b b
Chữ số hàng chục 20n(5n + b) chẵn nên theo giả thiết chữ số hàng chục b2 phải lẻ, từ suy b = 6;
Khi b2 = 36; 16 nên chữ số hàng đơn vị nb2 luụn bng 6.
Ph
ơng pháp 2: Sư dơng chia hÕt vµ chia cã d
Ví dụ 14: Tìm số phơng abcd biÕt ab cd 1
Gi¶i: Gi¶ sư
2 100 100(1 )
n abcd ab cd cd cd
101cd100 101cdn2100 = ( n - 10 )( n +10)
V× n < 100 101 số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy n = 91 Thư l¹i : abcd= 912= 8281 cã 82 - 81 = 1
Ph
ơng pháp 3 Sử dụng tính chÊt
a) Nếu a số phơng ( a, b) = a b số phơng
b) NÕu cã số nguyên m cho m2 n(m1)2 n số phơng
Ví dụ 15 Chøng minh r»ng tÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiếp số phơng Giải:
Ta cã A = n(n+1)(n+2)(n+3)
= (n23 )(n n23n2) ( n23 )n 22(n23 )n
2 2
(n )n A (n 3n 1)
Vậy A số phơng
III)Các tập chia hết
1.Chứng minh rằng: a) 16n15n 1 225 b) 92n 14 5
2 Tìm số tự nhiên n để n7 n42 Với số nguyên a,b,c, d
Chøng minh r»ng: (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)12 Chøng minh r»ng víi mäi n 1:
a) 33n3 26n 27 169 b)112n122n1133
(25)b) n2 n 15