1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Phương pháp phần bù tính thể tích khối đa diện phức tạp - Vương Thanh Bình

13 907 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 13
Dung lượng 608,74 KB

Nội dung

PHƯƠNG PHÁP PHẦN BÙ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHỨC TẠP Tác giả: Vương Thanh Bình Bản Full đáp án tại Facebook: https://www.facebook.com/ThanhBinhKami Link video full miễn phí tại : htt

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP PHẦN BÙ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHỨC TẠP Tác giả: Vương Thanh Bình

Bản Full đáp án tại Facebook: https://www.facebook.com/ThanhBinhKami

Link video full miễn phí tại : http://moon.vn/Pro/1/228

Mọi góp ý và bài tập liên quan đến phương pháp vui lòng Inbox Facebook

A-LÝ THUYẾT CHUNG

1) Khái niệm khối đa diện phức tạp : Là khối đa diện không cơ bản ( không phải chóp tam

giác, chóp tứ giác, hình lăng trụ, hình hộp, hình lập phương ) Hoặc cơ bản nhưng khó tính chiều cao và diện tích đáy

2) Ý tưởng : Ta sẽ xây dựng khối đa diện phức tạp  H nằm trong khối chóp cơ bản  A Ví

dụ dụ khối chóp  A gồm khối đa diện phức tạp  H và khối chóp cơ bản B khi đó

VVV

3) Các dạng thường gặp : +) Dạng 1: (Cơ bản) AH B V HV AV B

+) Dạng 2: (Nâng cao) AH  B C V HV AV BB C

+) Dạng 3: (Sao) AH   B C D V HV AV BV CV D

4) Kiến thức liên quan :

4.1 Định lý Talet: Cho tam giác ABC, đường thẳng d song song với BC đồng thời cắt các cạnh AB AC, hoặc các đường kéo dài của 2 cạnh này tại M N, thì ta có tỉ lệ : AM AN

ABAC

4.2 Định lý 3 đường giao tuyến: Cho 3 mặt phẳng      P , Q , R giao nhau theo 3 giao tuyến

1, 2, 3

d d d thì 3 giao tuyến này một là đôi một song song hai là đồng quy

Trang 2

DẠNG 1: V HV AV B

Ví dụ minh họa: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB3a ,

3

a

ADa BC Chiều cao SA3a Tính thể tích của khối chóp

S ABCD

A

3

3

a

B

3

9

a

C

3

9

a

3

9

a

 Phân tích ý tưởng

+) Để tính thể tích khối chóp S ABCD ta phải tính được diện tích đáy ABCD là một hình thang rất khó tính diện tích ( Vì không phải hình thang cân, không phải hình thang vuông và chiều cao trong hình thang khó tính được )

+) Trong trường hợp này ta sẽ sử dụng phương pháp phần bù tính thể tích

Ta xây dựng khối chóp S ABCD nằm trong khối chóp S IAB khi đó

S ABCD  S IAB  S ICD

Đương nhiên ta phải chọn sao cho khối chóp S IAB và khối chóp S ICD đều dễ dàng tính được thể tích

Trang 3

 Giải

+) Kéo dài AD và BC cắt nhau tại I Khi đó

1

3 IAB ICD

3

9

9

3

a

ADa BC dễ tính được IA3 ,a IB2a

2 2

IAB

Sp pIA pIB pICa Vậy

3 2

.3 2 2

a

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích là a3 đáy ABCD là hình bình hành tâm O Mặt phẳng

  qua AM và song song với BD cắt SB, SD tại E và F Tính thể tích của khối đa diện AEMCB

Trang 4

A

3

2 2

a

3

3

a

3

2

2 3

a

3

5 14

a

GIẢI

+) Ta xây dựng khối đa diện AEMCB nằm trong khối chóp S.ABC

Khi đó: V AEMCBV S ABC. V S AEM.

+) Ta có: .

.

S AEM

S ABC

3

a

Bài 2: Cho lăng đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân, ABBCa cạnh bên

' 2

' ' ' 3

BAB C  Tính thể tích khối đa điện

'

B MNCBA

A

3

2

a

3

4 3 15

a

3

9 2 28

a

3

13 27

a

GIẢI

+) Ta xây dựng khối đa diện B MNCBA' nằm trong khối chóp tam giác I ABC

+) Ta có '

.

' 1 1 1 1

3 3 3 27

I B MN

I ABC

+) Mà

3

I ABC

a

Trang 5

+) Vậy

'

B MNCBA

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB3 ,a AD4 ,a AA'3a Gọi G là trọng tâm tam giác CC D' Măt phẳng chứa B G' và song song với C D' chia khối hộp thành 2 phần Gọi  H là khối đa diện chứa C Tính tỉ số V H

V với V là thể tích khối hộp đã cho

A

3

25

2

a

3

57 5

a

3

38 3

a

3

4

a

Trang 6

+) Khối đa diện  H chứa C là: CMNABB'

+) Ta xây dựng khối đa diện  H nằm trong khối chóp I ABB '

Khi đó V HV I BB A. ' V ICMN

'

' .12 3 3 18

I BB A

'

ICMN

IBB A

V

DẠNG 2: V HV AV BV C

Ví dụ minh họa: [THPT THĂNG LONG 2016] Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a

có M và N lần lượt là trung điểm A B BC' ', Mặt phẳng DMN chia hình lập phương thành 2

phần Khối đa diện đỉnh A kí hiệu là  H , phần còn lại kí hiệu là 1  H2 Tính tỉ số  

 

1

2

H H

V

V

A 37

55

2

1

2

 Phân tích tư duy

+) Nhìn vào hình vẽ ta thấy mặt phẳng DMN chia khối lập phương thành 2 khối đa

diện trong đó khối đa diện  H là ABNDENF và phần còn lại 1

+) Khối đa diện  H cực kì phức tạp (không phải chóp, không phải lăng trụ, không phải 1

hộp ) nên việc tính toán là rất phức tạp

+) Để dễ tính ta sẽ sử dụng phương pháp phần bù tính thể tích khối đa diện phức tạp

Ta sẽ đi xây dựng khối đa diện  H nằm trong khối đa diện dễ tính 1 I ADJ Khi đó  

H

Trang 7

 Giải

2

JB JN JF

4

IAIJIDAJ

Từ đó ta có thể tích được hết các đoạn thẳng ví dụ như: ; 2 ,

JBBFIA

a

+) Tính

3

IANE

+) Tính

3

FBNJ

Vậy   1

3

55 144

H

144

Vậy  

 

1

2

55 89

H H

V

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' cạnh đáy là a, cạnh bên là 2a Gọi M và N lần lượt

là trung điểm của các cạnh ' ',C 'B C C Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành 2 khối đa

Trang 8

diện Gọi  H là khối đa diện chứa đỉnh B Tính tỉ số V H

V với V là thể tích của khối lăng trụ

đều

A

3

3

a

3

3

4 2

a

3

7 2 15

a

3

23 3 72

a

GIẢI

+) Khối đa diện chứa đỉnh B là B'MEABCN (khối đa diện H )

+) Ta xây dựng khối đa diện H nằm trong khối chóp I.ABJ

Khi đó: V HV I ABJ. V I EB M. ' V N ACJ.

+) Tính

3 0

.

sin 60 3

I ABJ

+) Theo công thức tỉ số thể tích thì

3

'

.

,

N ACJ IEB M

V

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm

' ', ' '

A B A D và điểm P thỏa mãn 1 '

4

CPCC Mặt phẳng MNP chia khối lập phương thành 2

Trang 9

khối đa diện Gọi  H là khối đa diện chứa đỉnh C' Gọi 1  H2 là khối đa diện còn lại Tính tỉ

số 1

2

H

H

V

V

A

3

4

a

3

4 25

a

3

25 96

a

155a

GIẢI

+) Khối đa diện chứa đỉnh C' là : PFB'MND'EC' là khối đa diện  H 1

+) Ta xây dựng khối đa diện  H trong chóp 1 P C IJ '

Khi đó:

1 ' ' '

+) Tính

3 '

P C IJ

+) Theo công thức tỉ số thể tích thì:

3

a

DẠNG 3: V HV AV BV CV D

Ví dụ minh họa: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a, có M và N là trung điểm của

' '

A BCD Mặt phẳng   qua MN và song song với B D' ' chia khối đa điện thành 2 phần

Tính thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A

A

3

2

a

3

2 3

a

3

3 5

a

3

4 7

a

Trang 10

 Phân tích ý tưởng

+) Xác định thiết diện và ta xác định được khối đa diện chứa A là A'MJINFEBA (ta gọi đây là khối đa diện H )

+) Đến dạng 3 thì chắc chúng ta đã quen với ý tưởng: Nếu tính thể tích 1 khối đa diện phức tạp ta sẽ sử dụng phương pháp phần bù

+) Vậy ta sẽ xây dựng khối đa diện H nằm trong khối chóp tam giác S.APQ (dễ tính thể

tích) và V HV S APQ. V S A MJ ' V E BPF. V IDNQ

 Giải

+) Ta có V HV S APQ. V S A MJ ' V E BPF. V IDNQ

+) Sử dụng tính chất của quan hệ song song và định lý Talet ta dễ dàng tính được độ dài

các đoạn thẳng SA', A'J, ID

+) Tính

3

SAPQ

+) Tính

3 '

S A MJ

Trang 11

+) Tương tự

3

48

a

+) Vậy  

3

2

H

a

 Bình luận

+) Bài này còn 1 cách làm nhanh nữa là dựa và tính chất đối xứng của 2 khối đa diện tạo thành bởi mặt phẳng   ta thấy thể tích của 2 khối đa diện này đều bằng nhau và bằng 1 nửa thể tích khối lập phương

+) Do dạng này khá phức tạp nên ví dụ minh họa tác giả đã cố tính cho các bạn tỉ số rất đẹp (toàn là trung điểm ) nên mới sinh ra cách đặc biệt kia

+) Nếu các bạn muốn bài toán mang tính chất tổng quát hơn Tác giả sẽ sửa lại vị trí điểm thuộc cạnh A'D' như trong bài tập tự luyện số 2 thì bài toán sẽ căng thẳng hơn rất nhiều

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a M, N là trung điểm A B CD' ', H là điểm thuộc cạnh A D sao cho ' ' HA'3HD' Mặt phẳng HMN chia khối chóp thành 2 đa diện

Tính thể tích khối đa diện chứa điểm C

A

3

2

a

3

2

a

3

3

a

3

2 3

a

GIẢI

+) Khối đa diện chứa điểm C là CNFEB'C'D'HMG gọi tắt là hình  H

+) Ta có: V HV J CIA. V JCNFV GD IH' V EB MA'

.

1 1 1 7 1 7 7 343

3 2 3 4 2 4 6 576

J CIA

+) Tính

3

J CNF

+) Tương tự

3 'M

3 64

E AB

a

+) Tính

3 '

G D HI

Vậy  

3

2

H

a

Trang 12

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của

' ', ' '

A B A D E là điểm thỏa mãn ' 5

12 '

D E

D D  Mặt phẳng MNE chia khối lập phương thành 2

khối đa diện Gọi  H là khối đa diện chứa đỉnh  C' Tính thể tích khối đa điện  H

A

3

3

a

3

15 37

a

3

154 365

a

3

1549 3600

a

Trang 13

+) Khối đa diện chứa đỉnh C' là EPCQFMND'C'B' (khối da diện H )

+) Ta có: V HV K C IJ ' V K CPQ. V E D IN ' V F B MJ '

+) Tính

3 '

K C IJ

+) Tính

3

K CPQ

+) Tính

3 '

K D IN

+) Tính

3 '

F B MJ

Vậy

3 ' ' '

1549 3600

a

Ngày đăng: 11/03/2017, 02:24

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w