Phương pháp phần bù tính thể tích khối đa diện phức tạp - Vương Thanh Bình

Header Page of 258 PHƢƠNG PHÁP PHẦN BÙ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHỨC TẠP Tác giả: Vương Thanh Bình Bản Full đáp án Facebook: https://www.facebook.com/ThanhBinhKami Link video full miễn phí : http://moon.vn/Pro/1/228 Mọi góp ý tập liên quan đến phương pháp vui lòng Inbox Facebook A-LÝ THUYẾT CHUNG 1) Khái niệm khối đa diện phức tạp : Là khối đa diện không ( chóp tam giác, chóp tứ giác, hình lăng trụ, hình hộp, hình lập phương ) Hoặc khó tính chiều cao diện tích đáy 2) Ý tƣởng : Ta xây dựng khối đa diện phức tạp  H  nằm khối chóp  A  Ví dụ dụ khối chóp  A  gồm khối đa diện phức tạp  H  khối chóp  B  VH  VA  VB 3) Các dạng thƣờng gặp : +) Dạng 1: (Cơ bản) A  H  B  VH  VA  VB +) Dạng 2: (Nâng cao) A  H  B  C  VH  VA  VB  BC +) Dạng 3: (Sao) A  H  B  C  D  VH  VA  VB  VC  VD 4) Kiến thức liên quan : 4.1 Định lý Talet: Cho tam giác ABC , đường thẳng d song song với BC đồng thời cắt AM AN cạnh AB, AC đường kéo dài cạnh M , N ta có tỉ lệ :  AB AC 4.2 Định lý đƣờng giao tuyến: Cho mặt phẳng  P  ,  Q  ,  R  giao theo giao tuyến d1 , d2 , d3 giao tuyến đôi song song hai đồng quy Footer Page of 258 Header Page of 258 DẠNG 1: V H   V A  V B Ví dụ minh họa: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB  3a , 4a đáy nhỏ CD  a , cạnh bên AD  2a, BC  Chiều cao SA  3a Tính thể tích khối chóp S ABCD A 8a 3 B 16a C 11a 3 D 7a3  Phân tích ý tƣởng +) Để tính thể tích khối chóp S ABCD ta phải tính diện tích đáy ABCD hình thang khó tính diện tích ( Vì hình thang cân, hình thang vuông chiều cao hình thang khó tính ) +) Trong trường hợp ta sử dụng phƣơng pháp phần bù tính thể tích Ta xây dựng khối chóp S ABCD nằm khối chóp S.IAB V S ABCD  V S IAB   V S ICD Đương nhiên ta phải chọn cho khối chóp S.IAB khối chóp S.ICD dễ dàng tính thể tích Footer Page of 258 Header Page of 258  Giải +) Kéo dài AD BC cắt I Khi V S ABCD   V S IAB   V S ICD   SA  S IAB  S ICD  ID IC CD 1 +) Theo định lý Talet ta có:     S ICD  S IAB hay S ABCD  S IAB IA IB AB 9 4a +) Từ AD  2a, BC  dễ tính IA  3a, IB  2a +) Theo định lý Herong ta có: SIAB  p  p  IA p  IB  p  IC   2a 8 16 a3 Vậy VABCD  SA SIAB  3a .2 2a  9 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD tích a đáy ABCD hình bình hành tâm O Mặt phẳng   qua AM song song với BD cắt SB, SD E F Tính thể tích khối đa diện AEMCB Footer Page of 258 Header Page of 258 A a3 2 B a3 C a3 2 D 5a 14 GIẢI +) Ta xây dựng khối đa diện AEMCB nằm khối chóp S.ABC Khi đó: VAEMCB  VS ABC  VS AEM +) Ta có: VS AEM SE SM 1     VS AEM  VS ABC VS ABC SB SC 3 a3  VAEMCB  VS ABC  VS AEM  VS ABC  VABCD  3 Bài 2: Cho lăng đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân, AB  BC  a cạnh bên B'M B'N AA '  2a Gọi M N điểm thỏa mãn cho   Tính thể tích khối đa điện BA ' B ' C ' B ' MNCBA 13a 9a D 27 28 GIẢI +) Ta xây dựng khối đa diện B ' MNCBA nằm khối chóp tam giác I ABC V 26 IM IN IB ' 1 1   +) Ta có I B ' MN   VIB ' MN  VIABC  VB ' MNCBA  VI ABC VI ABC IA IC IB 3 27 27 27 A a3 B 3a 15 C 1 1 a3 +) Mà VI ABC  IB BA.BC  3a .a.a  3 2 Footer Page of 258 Header Page of 258 +) Vậy VB ' MNCBA  26 a3 13a3  27 27 Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  3a, AD  4a, AA '  3a Gọi G trọng tâm tam giác CC ' D Măt phẳng chứa B ' G song song với C ' D chia khối hộp thành V H  phần Gọi  H  khối đa diện chứa C Tính tỉ số với V thể tích khối hộp cho V 25a A Footer Page of 258 57 a B 38a C 23a 3 D Header Page of 258 +) Khối đa diện  H  chứa C là: CMNABB ' +) Ta xây dựng khối đa diện  H  nằm khối chóp I ABB ' Khi VH  VI BB ' A  VICMN 1 1 +) Tính VI BB ' A  IB BB '.BA  12a .3a.3a  18a 3 V 19 38 +) Tính ICMN   VH  VIBB ' A  a3 VIBB ' A 27 27 DẠNG 2: V H   V A  V B  VC  Ví dụ minh họa: [THPT THĂNG LONG 2016] Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a có M N trung điểm A ' B ', BC Mặt phẳng  DMN  chia hình lập phương thành phần Khối đa diện đỉnh A kí hiệu  H1  , phần lại kí hiệu  H  Tính tỉ số A V H1  V H  37 55 B C D 48 89  Phân tích tƣ +) Nhìn vào hình vẽ ta thấy mặt phẳng  DMN  chia khối lập phương thành khối đa diện khối đa diện  H1  ABNDENF phần lại +) Khối đa diện  H1  phức tạp (không phải chóp, lăng trụ, hộp ) nên việc tính toán phức tạp +) Để dễ tính ta sử dụng phƣơng pháp phần bù tính thể tích khối đa diện phức tạp Ta xây dựng khối đa diện  H1  nằm khối đa diện dễ tính I ADJ Khi V H1   VI ADJ  VIANE  VFBNJ Footer Page of 258 Header Page of 258  Giải JB JN JF IA ' IN IE A ' N        JA JD JI IA IJ ID AJ a 2a a Từ ta tích hết đoạn thẳng ví dụ như: JB  ; BF  , IA  1 1 4a +) Tính VIADJ  IA.S ADJ  IA AD AJ  2a.a  a 3 3 +) Theo định lý Talet ta có: 1 a a a a3 +) Tính VIANE  IA AE AN   3 144 1 2a a a3 +) Tính VFBNJ  FB BN BJ  a  3 2 18 55 89 a  V H2   a3  V H1   a Vậy V H1   VI ADJ  VIANE  VFBNJ  144 144 V H1  55  Vậy V H  89 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi M N trung điểm cạnh B ' C ',C C ' Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành khối đa Footer Page of 258 Header Page of 258 diện Gọi  H  khối đa diện chứa đỉnh B Tính tỉ số V H  V với V thể tích khối lăng trụ a3 a3 7a3 15 GIẢI +) Khối đa diện chứa đỉnh B B'MEABCN (khối đa diện H ) +) Ta xây dựng khối đa diện H nằm khối chóp I.ABJ Khi đó: VH  VI ABJ  VI EB ' M  VN ACJ A B C D 23a 3 72 1 1 3a 3a3 +) Tính VI ABJ  IB BA.BJ sin 600  3a a  3 2 +) Theo công thức tỉ số thể tích VIEB ' M V 23 23a3  , N ACJ   VH  VI ABC  VIABC 27 VI ABC 27 72 Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M N trung điểm A ' B ', A ' D ' điểm P thỏa mãn CP  CC ' Mặt phẳng  MNP  chia khối lập phương thành Footer Page of 258 Header Page of 258 khối đa diện Gọi  H1  khối đa diện chứa đỉnh C' Gọi  H  khối đa diện lại Tính tỉ số VH1 VH 25a 41 D a 96 155 GIẢI +) Khối đa diện chứa đỉnh C ' : PFB'MND'EC' khối đa diện  H1  A a3 B 4a 25 C +) Ta xây dựng khối đa diện  H1  chóp P.C ' IJ Khi đó: VH1  VP.C ' IJ  VE.D ' IN  VF B ' MJ 1 3a 3a 3a 9a3 +) Tính VP.C ' IJ  PC ' CI CJ   3 2 32 +) Theo công thức tỉ số thể tích thì: VE D ' IN  VF B ' MJ  25 25a3 VP.CIJ  VH  VP.C ' IJ  27 27 96 DẠNG 3: V H   V A  V B  VC   V D  Ví dụ minh họa: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a, có M N trung điểm A ' B ' CD Mặt phẳng   qua MN song song với B ' D ' chia khối đa điện thành phần Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A A a3 Footer Page of 258 B 2a 3 C 3a D 4a Header Page 10 of 258  Phân tích ý tƣởng +) Xác định thiết diện ta xác định khối đa diện chứa A A'MJINFEBA (ta gọi khối đa diện H ) +) Đến dạng quen với ý tưởng: Nếu tính thể tích khối đa diện phức tạp ta sử dụng phương pháp phần bù +) Vậy ta xây dựng khối đa diện H nằm khối chóp tam giác S.APQ (dễ tính thể tích) V H   VS APQ  VS A' MJ  VE.BPF  VIDNQ  Giải +) Ta có V H   VS APQ  VS A' MJ  VE.BPF  VIDNQ +) Sử dụng tính chất quan hệ song song định lý Talet ta dễ dàng tính độ dài đoạn thẳng SA', A'J, ID 1 3a 3a 3a 9a3 +) Tính VSAPQ  SA AP AQ   3 2 2 16 1 a a a a3 +) Tính VS A' MJ  SA ' A ' M A ' J   3 2 2 48 Footer Page 10 of 258 Header Page 11 of 258 +) Tương tự VE BPF  VIDNQ  a3 48 +) Vậy V H   VS APQ  VS A 'MJ  VE BPF  VIDNQ a3   Bình luận +) Bài cách làm nhanh dựa tính chất đối xứng khối đa diện tạo thành mặt phẳng   ta thấy thể tích khối đa diện nửa thể tích khối lập phương +) Do dạng phức tạp nên ví dụ minh họa tác giả cố tính cho bạn tỉ số đẹp (toàn trung điểm ) nên sinh cách đặc biệt +) Nếu bạn muốn toán mang tính chất tổng quát Tác giả sửa lại vị trí điểm thuộc cạnh A'D' tập tự luyện số toán căng thẳng nhiều BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a M, N trung điểm A ' B ', CD H điểm thuộc cạnh A ' D ' cho HA '  3HD ' Mặt phẳng  HMN  chia khối chóp thành đa diện Tính thể tích khối đa diện chứa điểm C a3 a3 a3 a3 D 3 GIẢI +) Khối đa diện chứa điểm C CNFEB'C'D'HMG gọi tắt hình  H  A B C +) Ta có: V H   VJ CIA  VJCNF  VGD ' IH  VEB ' MA 1 7a 7a 7a 343 +) Tính VJ CIA  JC CA.CI   a 3 4 576 1 3a a 3a 3a3 +) Tính VJ CNF  JC CN CF   3 2 64 +) Tương tự VE AB 'M  3a3 64 1 a a a a3  +) Tính VG.D ' HI  GD ' .D ' I D ' H  3 4 576  VEB MA Vậy V H   VJ CIA  VJCNF  VGD IH ' ' Footer Page 11 of 258 a3  Header Page 12 of 258 Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M N trung điểm D'E  Mặt phẳng  MNE  chia khối lập phương thành D ' D 12 khối đa diện Gọi  H  khối đa diện chứa đỉnh  C ' Tính thể tích khối đa điện  H  A ' B ', A ' D ' E điểm thỏa mãn A a3 Footer Page 12 of 258 B 15a 37 154a 365 GIẢI C D 1549a 3600 Header Page 13 of 258 +) Khối đa diện chứa đỉnh C' EPCQFMND'C'B' (khối da diện H ) +) Ta có: VH  VK C ' IJ  VK CPQ  VE.D ' IN  VF B ' MJ 1 5a 3a 3a 15a3 +) Tính VK C ' IJ  KC ' C ' I C ' J   3 2 32 1 a 3a 3a 3a3 +) Tính VK CPQ  KC CP.CQ   3 10 10 800 +) Tính VK D ' IN 1 5a a a 5a3  ED ' D ' I D ' N   3 12 2 288 1 5a a a 5a3 +) Tính VF B ' MJ  FB ' B ' M B ' J   3 12 2 288 Vậy VH  VK C ' IJ  VK CPQ  VE D' IN  VF B' MJ  Footer Page 13 of 258 1549a3 3600 ... trụ, hộp ) nên việc tính toán phức tạp +) Để dễ tính ta sử dụng phƣơng pháp phần bù tính thể tích khối đa diện phức tạp Ta xây dựng khối đa diện  H1  nằm khối đa diện dễ tính I ADJ Khi V H1... khối đa diện H ) +) Đến dạng quen với ý tưởng: Nếu tính thể tích khối đa diện phức tạp ta sử dụng phương pháp phần bù +) Vậy ta xây dựng khối đa diện H nằm khối chóp tam giác S.APQ (dễ tính thể. .. VIDNQ a3   Bình luận +) Bài cách làm nhanh dựa tính chất đối xứng khối đa diện tạo thành mặt phẳng   ta thấy thể tích khối đa diện nửa thể tích khối lập phương +) Do dạng phức tạp nên ví dụ