Bat dang thuc cuc tri

Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với đẳng thức cùng bậc sao cho đẳng thức kết quả có bậc nhỏ hơn đẳng thức đã cho.. Lưu ý: Dấu bằng bất đẳng thức vẫn phải luôn đảm bảo..[r]

- Trang 1- BẤT ĐẲNG THỨC

I Bất đẳng thức Cauchy:

 Cho số a, b không âm:

a + b  ab hay a2 + b2  2ab Dấu „=‟ xảy a = b

 Cho số a, b, c không âm: a + b + c  33

abc

Dấu „=‟ xảy a = b = c

 Tổng quát: Cho n số x1, x2, x3, …, xn khơng âm: (trung bình cộng lớn trung bình nhân)

1 n n

1 n

x x x x

x x x x n

    

Dấu xảy x1 = x2 = x3 = …= xn

Bài tập bản: Cho số a, b, c dương Cm: 1. a2 + b2 + c2 

3(a + b + c)

2 

ab + ac + bc 2. a b 1

a b

 

   

 

3. a b c 1

a b c

 

     

 

TỔNG QUÁT: Với n số n số x1, x2, x3, …, xn

không âm Ta có bất đẳng thức Cauchy hệ quả:

 

1 n

1 n

1 1

x x x x n

x x x x

 

         

 

Chuyển theo vế ta bđt thường dùng:

2

1 n n

1 1 n

x x x  x x x x   x

1. Phương pháp tọa độ điểm rơi: (cơ bản)

Phương pháp: Đi tìm dấu bất đẳng thức xảy nào? Sau dùng phương pháp tách biến để sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Ví dụ:(xem kĩ VD để nắm rõ phương pháp) Cho a,b > a + b = Cm:

a 1

a b b

1

a  b c

5 a  b a Dấu xảy a = b = 5

2 đẳng thức có dạng giống với hệ Cauchy

Áp dụng bđt Cauchy cho dấu xảy ra:

 

a b ab (1)

1

a b

1 1 a b

2 (2)

a b ab

  

     

  

  



Mà a b 1

a b

   ∎

 Nhận xét: Ta sử dụng bđt Cauhy vế (1) (2) mà đảm bảo a = b

b. Dấu xảy b = 2a hay a = b 2và đẳng thức có dạng giống hệ Cauchy

Áp dụng bđt Cauchy cho dấu xảy ra:  a b b ab2(1)

2

   ( a = b 2)  2 42(2)

a  b b ab (vẫn đảm bảo a = b 2)

b b 2

a

2 a b b

  

       

  

Mà a b a b b 2

    

a b

   ∎

 Nhận xét: Ta sử dụng bđt Cauhy vế (1) (2) mà đảm bảo a = b

2 việc tách b b

a b a

2

1 2

a b a b b

     



     

Cách giải sai lầm:

 a b ab (dấu xảy a = b) (1)  4

- Trang 2-

  4

a b

a b a b

 

       

 

Rõ ràng (1) (2) xảy mâu thuẫn nên cách chứng minh sai

c Dấu xảy 2a = 3b = Áp dụng bđt Cauchy cho dấu xảy ra:

3

3

3

3

a a a b b a b

5 (1)

3 3 2

3 3 2

5 (2)

a a a b b a b



     

 

      

a a a b b

25

3 3 2 a b

  

        

  

Mà a a a b b

3    3 2   a b ∎

 Nhận xét: Ta sử dụng bđt Cauhy vế (1) (2) mà đảm bảo a b

32 việc tách:

a a a b b

a b

3 3 2

9 3 2

a b a a a b b

       



       

Bài toán 1: (đề thi đại học khối A năm 2003) Cho số x, y, z dương cho: x + y + z ≤ Cm:

2 2

2 2

1 1

x y z 82

x y z

     

Dấu xảy khix y z

   Ta có:

2 82

2 2 81 160

1 1

x x 82

x 81x 81x 81 x

     

(Cauchy 82 số) tách 12

x thành 81 số

1

81x để dấu xảy đảm bảo Một cách tương tự:

2 82

82

2 81 160 81 160

1 1

y 82 ; z 82

y 81 y z 81 z

   

Vậy:

82 82 82

81 160 81 160 81 160

1 1

P 82 82 82

81 x 81 y 81 z

  

164 164 164

81 160 81 160 81 160

1 1

82

81 x 81 y 81 y

 

    

 

492

3.81 160 160 160

1 82

81 x y z

 

  

 

Mà: 1   x y z 3 xyz3 33

xyz

  (Cauchy số) (vẫn đảm bảo x y z

3    ) Suy ra:

 

492 243 160 160 160 492 160

243

3.160 492

243

1

82 82

81 x y z 81 xyz

3 82

81

 

 

 



 

   

   

 

  

 

480 492 480

492 492

4.243 4.243

3 3

82 82 82

3

   

    

   

Vậy: 2

2 2

1 1

x y z 82

x y z

      ∎

Bài toán 2: (đề thi đại học khối A năm 2005) Cho x, y, z số dương thỏa: 1

x  y z Cm:

1 1

1 2x y zx2y z x y 2z Dấu xảy ra: x y z

4

   Áp dụng bất đẳng thức tương tự VD:

 x x y z 1 1 16

x x y z

 

       

 

1 1 16

(1)

x x y z 2x y z

    

 

 x y y z 1 1 16

x y y z

 

       

 

1 1 16

(2)

x y y z x 2y z

    

- Trang 3-  x y z z 1 1 16

x y z z

 

       

 

1 1 16

(3)

x y z z x y 2z

    

 

Cộng theo vế bất đằng thức (1)(2)(3) ta được:

16 16 16 1

4

2x y z x 2y z x y 2z x y z

4.4 16

 

      

       

 

Đơn giản vế cho 16 ta điều phải chứng minh∎

Bài tập tương tự:

1. Cho a ≥ Tìm Min S a2 18

a   2. Cho < a ≤

2 Tìm Min

1 S 2a

a   3. Cho a, b

a b

  



  Tìm Min S ab ab1 4. Cho a,b,c

a b c

  



   Tìm Min S abc

abc  

5. Cho a, b > Tìm Min của: S a b ab a b ab



 

 6. Cho

a, b,c a b c

2

    



   Tìm Min của: 1 S a b c

a b c       7. Cho

a, b,c a b c

2

    



   Tìm Min

2 2 1

S a b c

a b c       8. Cho a, b, c, d > Tìm Min của:

2a 2b 2c 2d

S 1 1

3b 3c 3d 3a

   

   

   

   

    

    

9. Cho a, b,c 0 a b c 1

  



   Chứng minh

2 2

1 1 2

81

a b c ab bc ac

S      

10.Cho a,b,c a b c

  



   Chứng minh rằng:

2 2

a b c 1

S 28

b c a a b c

      

2. Phương pháp đặt ẩn phụ:

Phương pháp: Bằng cách thay ẩn ban đầu bẳng ẩn phụ, đưa toán ban đầu toán có cách giải dễ dàng

Ví dụ: (Bất đẳng thức Jensen)

Cho a, b, c dương Chứng minh rằng:

a b c

b c acab Đặt u a b v b c t a c

u t v u v t v t u

a b c

2 2

     

   

Thế vào VT bất phương trình ta được:

u t v u v t v t u

2v 2t 2u

     

 

1 u t u v v t

1 1

2 v v t t u u

 

          

 

1 u t u v v t

3

2 v v t t u u

 

        

 

6

1 u t u v v t

6

2 v v t t u u

 

   

  ∎

Bài toán 1: (đề thi đại học khối A năm 2007) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

     

2 2

x y z y z x z x y

P

y y 2z z z z 2x x x x 2y y

  

  

  

 Nhận xét: Biểu thức P dạng đối xứng với x, y, z mà xyz = nên ta có khả dự đoán Min P = x = y = z = Vậy ta giải toán P 

- Trang 4-

 

 

 

2

2

2

x y z x yz 2x x

y y 2z z y y 2z z y y 2z z

y z x y zx 2y y

z z 2x x z z 2x x z z 2x x

z x y z xy 2z z

x x 2y y x x 2y y x x 2y y



 

  



 

  



 

  

Để tốn gọn ta đặt: ax x; by y; cz z Theo giả thiết đề a.b.c =

Khi đó: P 2a 2b 2c

b 2c c 2a a 2b

  

  

Tới ta giải tốn cách đặt u = b + 2c; v = c + 2a; t = a + 2b ∎

Bài tập tương tự:

1. Cho ∆ABC Chứng minh

2 2

a b c

a b c b c a  c a ba b c    2. Cho ∆ ABC CMR :

b c a  a b c c a  babc 3. Cho ∆ABC CMR:

2 2

1 1 p

(p a) (p b) (p c) (p a)(p b)(p c)   3. Phương pháp Cauchy tích thành tổng:

Phương pháp: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức đơn giản, sử dụng

Cauchy ngược dấu có kết hợp tọa độ điểm rơi chọn lựa xác cặp số cần Cauchy Ví dụ: Chứng minh rằng:

  

ab cd  ac b d a, b, c, d0(1) (1) 

a c b d ab   a c b d cd  1 Theo BĐT Côsi ta có:

1 a b c b

VT

2 a c b c a c b d

   

   

   

   

   

 

1 a c b d

1 1

2 a c b c

 

 

 

 

    

  ∎

Bài toán 1: Chứng minh rằng:

   

a b 1 b a 1 ab a,b 1 

Bài hoàn toàn chia vế cho ab sau áp dụng phương pháp VD trên, nhiên ta áp dụng phương pháp mới:

phương pháp nhân thêm số

Ta có :    

 

     

=

=

b -1 +1 ab a b -1 a b -1 a =

2 a -1 +1 ab

b a -1 b a -1 b =

2

2

   

 





 a  b -1 + b a -1  ab+ab= ab

2

 ∎

Dấu “ = ” xảy  b 1 b

a 1 a

 

 

 

 

 

   

  

 Nhận xét: Ta thấy việc nhân thêm số vào biểu thức khơng hồn tồn tự nhiên, lại nhân thêm mà Thực chất vấn đề chọn điểm rơi BĐT

Bài toán 2: Cho a,b,c

a b c

  



   Tìm giá trị lớn nhất: S a b  b c  c a

Do vai trò a, b, c biểu thức điểm rơi BĐT a b c

3    Từ ta dự đoán Max S =  a + b = b + c = c + a =

2

3  số cần nhân thêm

    

2 a b

3 3

a b a b

2 2

   

 

    

2 b c

3 3

b c b c

2 2

   

 

    

2 c a

3 3

c a c a

2 2

   

- Trang 5-

a b b c c a

     

 

2 a b c

3 3

.2

2 2

  

   ∎

Cách giải sai lầm:

   

   

   

2

2

2

a b a b a b

b c b c b c

c a c a c a



 

 

 

  

 

 

 

  

 

  

 

  

 a b b c c a a b c 

2

  

      

Dấu xảy ra: a + b = b + c = c + a =  a + b + c = trái với giả thiết

 Nhận xét: Việc sử dụng tọa độ điểm rơi quan trọng việc giải toán Cauchy Bài tập tương tự:

1. Cho a3; b4;c2 Tìm:

Max S ab c bc a ca b

2

      2. Cho x, y, z >0 Tìm

Min f(x, y, z) =  

6 x y z

xy z

  3. Chứng minh: n

n (1) n N n

    

4. Cho a,b,c,d a b c d

  



    Tìm Max

a b c b c d c d a d a b

S           

5. Cho a,b,c,d a b c d

  



    Tìm Max

3 3

S 2a b  2b c  2c d  2d a 6. Cho a2; b6;c 12 Tìm Min:

3

bc a ca b ab c 12 abc

S     

4. Phương pháp Cauchy ngược dấu:

Phương pháp: Phân tích số hạng bất đẳng thức thằng hiệu số bị trừ số trừ Áp dụng Cauchy cho mẫu số trừ

Ví dụ: Các số dương a, b, c thoả mãn: a  b c Chứng minh bất đẳng thức:

2 2

a b c

1 b 1 c 1 a 

 Nhận xét: Ta dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy với mẫu số bất đẳng thức sau đổi chiều

2 2

a b c a b c

1 b 1 c 1 a  2b2c2a  Tuy nhiên, may mắn ta lại dùng bất đẳng thức theo cách khác:

 2 2 2

2 2

a b b

a ab ab ab

a a a

1 b b b 2b

 

      

  

Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy:

1 b 2bở mẫu lại có bất đẳng thức thuận chiều

Tương tự:

Tương tự: b 2 b bc

1 c  

c ca

c a   Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được:

2 2

a b c ab bc ca

a b c

1 b c a

 

     

  

ab bc ca 3

2

 

  

Vì a b c2 3 ab bc ca   ab bc ca  3 Đẳng thức xảy a= b = c = 1.∎

Bài tập tương tự:

1. Chứng minh với số dương a, b, c thoả mãn: a  b c Chứng minh:

2 2

1 1

1 a 1 b 1 c 2

- Trang 6-

2 2

1 a b c

3

1 b c a

     

  

3. Chứng minh với a, b, c, d số thực dương thoả mãn: a   b c d Ta có :

2 2

1 1

2 a 1 b 1 c 1 d 

4. Chứng minh với a, b, c, d số thực dương thoả mãn: a   b c d Ta có:

2 2

a b c d

2 b 1 c 1 d 1 a 

5. Chứng minh với a, b, c, d số thực dương thoả mãn: a   b c d 4ta có :

2 2

1 a b c d

4

1 b c d a

       

   

6. Chứng minh với a, b, c, d số thực dương thoả mãn: a   b c d ta có:

2 2

a b c d

2 b c 1 c a 1 d a 1 a b 

7. Chứng minh với a, b, c, d số thực dương ta ln có:

3 3

2 2 2 2

a b c d a b c d

a b b c c d d a

  

   

   

8. Chứng minh với a, b, c, d số thực dương ta ln có:

4 4

3 3 3 3

a b c d a b c d

a 2b b 2c c 2d d 2a

  

   

   

9. Cho a, b, c0 thoả mãn: a  b c CM:

2 2

3 3

a b c

1 a2b b 2c c 2a 

10.Cho x, y, x > thoả mãn xy yz zx 1 Tìm giá trị nhỏ của:

2 2

x y z

T

x y y z z x

  

  

5. Phương pháp tách ghép hạ bậc:

Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với đẳng thức bậc cho đẳng thức kết có bậc nhỏ đẳng thức cho

Lưu ý: Dấu bất đẳng thức phải ln đảm bảo

Ví dụ: Cho a, b, c dương Chứng minh rằng:

2 2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

 Nhận xét:

2

a b c ,

2

b c a ,

2

c

abcó bậc tử lớn bậc mẫu Dấu xảy a = b = c Sử dụng Cauchy theo phương pháp trên:

 a2 b c a

b c



 



 b2 c a b

c a



 



 b2 c a b

c a



 



Cộng theo vế ta được:

2 2

a b c a b c a b c

a b c

b c c a a b 2

   

      

   ∎

Bài toán 1: Cho a,b dương, a + b =1 CM:

2

a b

a 1 b 1 3 Dấu xảy a b

2

  Áp dụng trên:

2

2

a a

a

a

b b

b

b

 

 

  



  

  

   

2 a b

a b 2

a b

a b 9



     

 

 

5

a b

9

- Trang 7- Bài toán 2: Cho a,b,c dương a + b + c = Tìm

min:

        

3 3

a b c

P

1 b c c a a b

  

     

Dự đoán P 3

4 a = b = c = Áp dụng Cauchy trên:



      

3 1 b 1 c

a 3a

1 b c 8

 

  

 



      

3 1 c 1 a

b 3b

1 c a 8

 

  

 



      

3 1 a 1 b

c 3c

1 a b 8

 

  

 

Suy ra:

        

 

3 3

a b c

1 b c c a a b

3 a b c 2(a b c)

4

 

     

    

 

3.3 2.3

4



   ∎

II Bất đẳng thức Bunhiacopxki:(B.C.S)

 Cho cặp số:

1 2

a b a b  (a12a )(b22 12b )22 Dấu „=‟ xảy

1

a a

b b

(Nếu bỏ dấu cần thêm điều kiện  0)

 Cho cặp số:

1 2 3

a b a b a b  (a12a22a )(b32 12b22b )23 Dấu „=‟ xảy

1

a

a a

b  b b

(Nếu bỏ dấu cần thêm điều kiện  0)

 Cho n cặp số:

2 2

1 n n n n

a b   a b  (a   a )(b   b ) Dấu „=‟ xảy n

1 n

a a a

b  b  b (Nếu bỏ dấu cần thêm điều kiện 0) Hệ quả: Cho số không âm:

 2

2 2

1 n

1 n

1 n n

a a a

a a a

b b b b b b

      

   Dấu “=” xảy n

1 n

a a a

b  b  b

1. Phương pháp tọa độ điểm rơi:

Phương pháp: Đi tìm dấu bất đẳng thức xảy nào? Sau dùng phương pháp tách biến để sử dụng bất đẳng thức B.C.S

Ví dụ: Cho a + b = Chứng minh: a4 + b4

Ta có: 2  a b 1 a  2b2 a2 + b2  2   4

- Trang 8- Bài toán 1: (đề thi đại học khối A năm 2003)

Cho số x, y, z dương cho: x + y + z ≤ Cm:

2 2

2 2

1 1

x y z 82

x y z

     

Dấu toán xảy x = y = z = 1/3 Ta làm dấu số hạng cách sử dụng B.C.S sau:

Ta có: (x2 12)(m2 n )2 mx n

x x

   

Dấu B.C.S xảy m x2 n  9 Vậy ta chọn m = n =

2 2

2

1

(x )(1 ) x

x x

   

2

1

82 (x ) x

x x

   

2

1

(x ) x

x 82 x

 

     

 

Biểu thức hoán vị theo x, y, z nên tương tự ta có:

2

1

(y ) y

y 82 y

 

    

 

2

1

(z ) z

z 82 z

 

    

 

Cộng theo vế ta được: P x y z 9

x y z

82

 

       

 

(1)

Áp dụng hệ B.C.S cho số 9 x y z

1 9

P x y z

x y z

82

 

       

 

1 81

x y z

x y z 82

 

     

 

 

(dấu đảm bảo)

Ta tiếp tục áp dụng Cauchy có sử dụng dấu xảy (hoặc dùng khảo sát hàm):

81 80

x y z x y z

x y z x y z x y z

       

     

80

x y z  

  82 ( x + y + z ≤ 1) (2) Từ (1) và(2) ta có điều phải chứng minh.∎

Bài tập tương tự: 1. Cho 2

a b c 1 Chứng minh rằng: a 3b 5c   35

2. Cho x2y2 1 Chứng minh rằng: x y y x  2 3. Cho 36x216y2 9 Chứng minh rằng:

5 y 2x

4  

4. Cho a a 1  b b 1 c c 1

      Chứng

minh rằng: a  b c

5. với a, b, c, d thoả mãn điều kiện

2 2

a b  c d 1 Chứng minh:

 2  2 2  2 2 2

x axb  x cxd  2x 1 6. Cho a, b, c: a  b c Chứng minh:

a b b c  c a  7. Chứng minh:

  12 22 2n  2

1 n n

1 n

a a a

b b b a a a

b b b

 

          

 

2. Phương pháp hệ B.C.S:

Phương pháp: Gộp mẫu phân số thành mẫu chung Chú ý đến khả nhân chia thêm biến số cho tử để áp dụng

Ví dụ: Chứng minh rằng:

2 2

a b c a b c

a, b, c

b c c a a b

 

    

  

Áp dụng hệ ta được:

 

 

2

2 2

a b c

a b c a b c

b c c a a b a b c

   

   

- Trang 9- Bài toán 1: Chứng minh rằng:

a b c

a, b, c b c c a ab  2 

Ta có: a b c

b c c a ab

2 2

a b c

ab ac bc ba ca cb

   

  

Áp dụng hệ ta được:

 

 

2

2 2 a b c

a b c

ab ac bc ba ca cb ab bc ca  

  

    

Mà: a b c23 ab bc ca    Do đó:

2 2

a b c

ab ac bc ba cacb2 Suy đpcm∎ Bài toán 2: Chứng minh rằng:

3 3 2

a b c a b c

a, b, c

b c c a a b

 

    

  

Ta có:

3 3 2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

4 4

a b c

ab ac bc ba ca cb

   

  

Áp dụng hệ ta được:

 

 

2

2 2

4 4 a b c

a b c

ab ac bc ba ca cb ab bc ca  

  

    

Mà: a2b2  c2 ab bc ca  Do đó:

  

 

2 2

4 4 a b c ab bc ca

a b c

ab ac bc ba ca cb ab bc ca

   

  

    

2 2

a b c

2  

 ∎

Bài tập tương tự:

1. Giả sử x, y, z 1:1 1

x y z

    Chứng minh: x  y z x 1  y 1  z 1

2. Với a, b, c số thực dương Tìm Min:

3a 4b 5c

P

b c c a a b

  

  

3. Chứng minh a, b, c0 : abc 1

1 1

1 a 2 b 2 c  4. Với số dương a, b, c dương ta có:

2 2

a b c

1

a 8bc b 8ac c 8ab

  

  

III Bất đẳng thức vectơ:

Sử dụng quy tắc ba điểm bất đẳng thức tam giác, ý trường hợp bất đẳng thức trở thành đẳng thức

Các bất đẳng thức:

 a b   a.b Đẳng thức xảy a, b  phương

 a b   a b Đẳng thức xảy a, b  hướng

 a b  a  b Đẳng thức xảy a, b 

cùng hướng

 a1  a2 an  a1 a2   an

     

Đẳng thức xảy a ,a , ,an 1 1 cùng hướng Trong Oxy : a(a , a ); b1 (b , b )1

 

Trong Oxyz : a(a , a ;a ); b1 2 3 (b , b ; b )1 2 3

1. Phương pháp:

 Lựa chọn loại bất đẳng thức

 Tách số hạng bất đẳng thức cho cho đưa tọa độ vectơ

- Trang 10- Ví dụ: Chứng minh rằng:

2 2 2

x xyy  x xz z  y yz z (1) Ta có

2 2

1 3

VT(1) = (x y) ( y) (x z) ( z)

2 2

    

Xét hai vectơ:

1 3

u x y; y ; v x z; z

2 2

   

      

   

 

Khi ta có 2 2

| u |  x xyy ;| v |  x xz z

2

1 3

u v y z; y z ;| u v | y yz z

2 2

 

        

 

   

Mà theo BĐT (1) ta có

2 2

| u | | v | | u    v | x xyy  x xz z 

2

y yz z

   ∎

Bài toán 1: Cho số thực dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng:

2 2 2

a 2b b 2c c 2a

3

ab bc ca

  

   (1)

Ta có:

(1) 12 22 12 22 12 22

b a c b a c

      

Xét ba véctơ u 1; ; v 1; ; w 1;

b a c b a c

     

     

     

  

Khi đó:

2 2 2

a 2b b 2c c 2a

| u | ;| v | ;| w |

ab bc ca

  

  

  

1 1 2

u v w ;

a b c a b c

 

       

 

  

2

1 1

| u v w | 3

a b c

 

       

 

  

Vì ab bc ca abc 1 1

a b c

      

Mà theo BĐT (1) ta có | u | | v | | w | | u     v w |

2 2 2

a 2b b 2c c 2a

3

ab bc ca

  

    ∎

Vì ba véctơ khác véctơ 0 nên dấu “=” xảy

u v w a b c

     mà ab + bc + ca =abc suy a = b = c =3

Bài tập tương tự:

1. Chứng minh a, b, c, d  ta có

2 2 2

(ac)  (b d)  a b  c d 2. Chứng minh x, y  ta có

2

(x y)(1 xy) (1 x )(1 y )

 



 

3. Chứng minh a, b, c, x, y, z ta có a) | axby cz |  a2b2c x2 2y2z2 b)

2 2 2

2 2

a b c x y z

(a x) (b y) (c z)

    

     

c) a2  a a2 3a 1 

4. Chứng minh x, y, z0, x  y z ta có

2 2

2 2

1 1

x y z 82

y z x

     

5. Cho ba số thực x, y, z đôi khác Chứng minh

2 2 2

| x y | | y z | | z x |

1 x y y z z x

    

     

6. Chứng minh với số thực a, b ta ln có

a) 2 2

a b 2a2b 37  a b 6a 6b 18  5

b) a2 4 a22ab2 1 b26b 10 5 7. Chứng minh a, b, c  ta có

2 2 2

2 2

a 2a a 2ab b b 2bc c

c 2cd d d 10d 26

         

       

8. Chứng minh a, b, c , abc 1 ta có

2 2 2

bc ca ab

- Trang 11- c(a c)  c(b c)  ab

10.Chứng minh a, b, c  ta có a) a2 b2c2 abc(a b c)

b) 2

a b  c ab bc ca 

IV Dùng điều kiện có nghiệm hệ phương trình tìm Min – Max:

Bài toán:

Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện

G(x, y)0 (hoặc G(x, y)0;G(x, y)0) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) P F(x, y) Cách giải:

Gọi T giá trị P Khi đó: m giá trị T hệ sau có nghiệm (x, y):

G(x, y) F(x, y) m

 

 

 (

G(x, y) F(x, y) m  

 

 ;

G(x, y) F(x, y) m

 

 



Sau tìm tất giá trị m để hệ có nghiệm Từ suy giá trị lớn giá trị nhỏ P

 Lưu ý: Các phương pháp giải hệ phương

trình, hệ bất phương trình

Ví dụ: Cho hai số thực x , y thoả mãn điều kiện:

   

3 3 3 3

x x 1  y yy  xy Tìm GTNN, GTLN 3 3

F x  y xy

Gọi T miền giá trị F Ta có m ∈ T ∈⇔ hệ sau có nghiệm

   

3 3 3

3 3

x x y y y xy

x y xy m

    

 

   

 Đặt:

3 3

3

S x y

P xy

  

 



 Điều kiện:

2

S 4P(điều kiện có nghiệm bậc hai phương trình X2SX P 0) Hệ

2

S S 3P S 2S 3m(1)

S P m P S m

      

 

   

 

Ta có:  

2

2 S S

S 4P S S 4S

3 

     

0 S

  

Hệ phương trình có nghiệm f (S)3mcó nghiệm0 S

Vì hàm bậc hai f (S)S2 2S đồng biến

0 S 4nên f (0)S22Sf (4) 0 3m24

0 m

  

Vậy Min F 0; Max F 8  Bài tập tương tự:

1. Cho số thực x, y thoả mãn: x2xyy2 3 Tìm GTLN , GTNN biểu thức

2

Qx xy 2y

- MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1. (ĐH 2001) Ba số dương a, b, c thỏa mãn

1 1

3

a  b c CM: (1 a)(1 b)(1 c)   8

2. (ĐH 2001) Giả sử x y hai số dương x y Tìm GTNN P x y

1 x y

 

 

3. (DB A-02) Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền tam giác ABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:

2 2

a b c

x y z

2R  

   ; a, b, c cạnh tam giác, R bán kính đường trịn ngoại tiếp Dấu “=” xảy nào?

4. (DB A-02) Giả sử x, y hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x y

4

  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S

x 4y  

5. (DB A-02) Giả sử a, b, c, d bốn số nguyên thay đổi thoả mãn a    b c d 50 Chứng minh bất đẳng thức

2

a c b b 50

b d 50

 

  tìm giá trị nhỏ biểu thức S a c

- Trang 12- 6. (DB A-02) Cho tam giác ABC có diện tích

bằng

2 Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB h , h , h tương ứng độ dài đường cao a b c kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác Chứng minh rằng:

a b c

1 1 1

3

a b c h h h

 

      

 

 

  

7. (A-03) Cho x, y, z ba số dương x  y z Chứng minh rằng:

2 2

2 2

1 1

x y z 82

x y z

     

8. (DBA-03) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ysin x5  cos x

9. (DBA-03) Tính góc tam giác ABC biết

 

4p p a bc

A B C 3

sin sin sin

2 2

  



 

 



trong BC = a, CA = b, AB = c, p a b c   

10.( B-03) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x

11.(DB B-03) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số yx64 x  23 đoạn [-1; 1]

12.(DB B-03) Chứng minh rằng:

2

x x

e cos x x , x

2

     

13.(D-03) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

2

x y

x

 

 đoạn [-1; 2]

14.(DB D-03) Tính góc A, B, C tam giác ABC để biểu thức Qsin A sin B sin C2   đạt Min

15.(A-04) Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện: cos 2A 2 cos B 2 cosC 3   Tính ba góc tam giác ABC

16.(B-04) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

2

ln x y

x

 đoạn [1; e ]

(A-05) Cho x, y, z số dương thoả mãn

1 1

4

x  y z Chứng minh rằng:

1 1

1 2x y zx2y z x y 2z 

17.( B-05) Chứng minh với x ta có:

x x x

x x x

12 15 20

3

5

        

     

      Khi đẳng

thức xảy ra?

18.(D-05) Cho số x, y, z thoả mãn xyz =1 Chứng minh rằng:

3 3 3

1 x y y z z x

3

xy yz zx

     

   Khi

nào đẳng thức xảy ra?

19.(DB-05) Chứng minh với x, y 0

2

y

(1 x) 1 256

x y

 

 

      

  

20.(DB-05) Cho x, y, z thỏa mãn x  y z Chứng minh 4 x  4 y  4 z 6

21.(DB-05) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn

a b c

   Chứng minh rằng:

3 3

a 3b  b 3c  c 3a 3

22.(DB-05) Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn xyz 1 Chứng minh

2 2

x y z

1 y 1 z 1 x  23.(A-06) Cho hai số thực x, y khác thay đổi thoả mãn điều kiện :xy xy x2y2xy Tìm giá trị lớn biểu thức A 13 13

x y

 

24.(B-06) Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 2 2  2 2

B x 1 y  x 1 y  y 25.(DB-06) Chứng minh 0  y x x y y x

4

 

- Trang 13-

1 1

1 1 64

x y z

 

        

   

   

27.(A-07) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện xyz =1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

     

2 2

x y z y z x z x y

P

y y 2z z z z 2x x x x 2y y

  

  

  

28.(B-07) Cho x, y, z ba số dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức

x y z

P x y z

2 yz zx xy

     

         

 

   

29.(D-07) Cho a b Chứ ng minh rằng :

b a

a b

a b

1

2

2

     

   

   

30.(B-08) Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

2

2

2(x 6xy) P

1 2xy 2y  

 

31.(D-08) Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P (x y)(1 xy)2 2

(1 x) (1 y)

 



 

32.(A-09) Chứng minh với số thực

dương x, y, z thoả mãn x x  y z3yz, ta có:

  3 3      3

xy  xz 3 xy xz y z 5 y z 33.(B-09) Cho số thực x,y thay đổi thoả mãn

 3

xy 4xy2.Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 4 2  2

A3 x y x y 2 x y 1

34.(D-09) Cho số thực không âm x, y thay đổi thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:

  

S 4x 3y 4y 3x 25xy

35.Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P2 x 3y33xy

36.Cho x > y > số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

1 

P x

xy x y  



37.Cho x số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ hàm số y x x2

x   

38.Cho x0; y0 số thực thay đổi Tìm GTNN biểu thức

4 2

4 2

x y x y x y

Q

y x y x y x

     

39.Xác định số thực a, b hàm số

2

ax b y

x

 

 có giá trị lớn giá trị nhỏ -1

40.Cho tam giác ABC vng A Tìm giá trị nhỏ của:

 

4 4

a b c

S

abc a b c

 



 

41.Cho tam giác ABC có chu vi Chứng

minh rằng:      

3 3

a b c c a b b c a

1

3c 3b 3a

     

  

42.Cho a, b, c là các số dương thoả mãn

ab bc ca  abc Chứ ng minh rằng :

     

4 4 4

3 3 3

a b b c c a

1

ab a b bc b c ca c a

     

  

43.Cho a, b, c là đô ̣ dài ba ca ̣nh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2a 2b 2c

P

2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c

  

     

44.Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a  b c 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

2 2 2

P a ab b  b bc c  c caa

45.Cho các số thực x, y, z thoả mãn : x + y + z =6 Chứng minh rằng : x y z x y z

8   8  4 4 46.Xét số thực dương thỏa mãn a + b +c =1 Tìm GTNN biểu thức

2 2

1 1

P

a b c ab bc ca

   

 

47.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn a 2b 3c 1 a 1 b 1 c  Chứng minh rằng :

6

1 ab c

5 

48.Cho a,b,c số không âm thỏa

2 2

- Trang 14-

2 2 2

a b c 3

b c c a a b 

49.Cho x, y, z > x+ y + z = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Q x  y  z

x y z

M

x y z

  

  

50.Cho x, y > Chứng minh rằng:

 

2

3

2

4xy

8

x x 4y



 

51.Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: a + b + c =3 Tìm giá trị nhỏ biểu thứ c:

2 2

a b c

P

1 b c c a a b

  

  

52.Cho các số thực x,y, z thoả mãn:

2 2

x y z 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

 2  2  2

2 2

T x  1 yz  y  1 zx  z  1 xy 53.Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:

x  y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

3 3

2 2

x y z

P

x yz y zx z xy

  

  

54.Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ

2

2 sys

A B

1 tan tan

2

P

C tan

2

    

  

  



 

55. Cho x 0;     

  CM:

2x cos x

sin x    56. Cho x, y, z > x + y + z = xyz CM

2 2

1 1

2

1 x y z

  

  

57.Cho x, y, z không âm 1 x 1 y 1 z  Tìm giá trị lớn biểu thức : P xyz

58.Cho số thực x, y, z thỏa x3; y4 ; z2 Chứng minh

xy z yz x zx y 2

xyz

       

59.Cho f (x)x4 x   với   4 x Xác định x cho f(x) đạt GTLN

60.Tìm GTNN hàm số sau:

f (x) x x

  với x >

f (x) x

x  

 với x >

61.Cho 0 x 4; 0 y Tìm GTLN

   

A 3 y x 2y 3x

62.Chứng minh bất đẳng thức sau với giả thiết a, b, c0:

a.

5 5

3 3

2 2

a b c

a b c

b c a   

b.

5 5

3 3

a b c

a b c

bccaab  

c.

5 5 3

3 3

a b c a b c

b c a  b  c  a

d.

4 4

2 2

a b c

a b c bc ca ab   

e.

3 3

2 2

a b c

(a b c ) a2bb 2c c 2a 3  

f.

3 3

2 2

a b c

(a b c) (b c) (c a) (ab) 4  

63.Cho x, y, z số dương Chứng minh

4 4

3 3

x y z

(x y z ) y z zxxy 2  

64 Cho a, b hai số thực thoả mãn < a < b < Chứng minh rằng: a ln b b ln a2  ln a ln b

65 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn

1

a c b Chứng minh rằng:

a b c b

4 2a b 2c b

   

 