Bất đẳng thức (Chuyên đề Bồi dưỡng HSG) - Tài liệu Toán 9

§èi víi häc sinh THCS th× viÖc sö dông ph¬ng ph¸p nµy lµ kh¸ míi v× kiÕn thøc c¬ b¶n cña phÇn lîng gi¸c.. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/..[r]

Phần I - kiến thức bản I Một số bất đẳng thức cần nhớ:

2 0; 0;

a  a   b  b b

o Bất đẳng thức Cô sy:

n n

n aa a a n

a a

a a

3

2

    

Víi ai 0

dấu xảy a1 a2   an o Bất đẳng thức Bunhiacopski:

 22 aa22 n2  12xxa22 2n  1 axa 221  xaxnn2

Dấu đẳng thức xảy <=>

1

n n

a a a

x x  x

o Bất đẳng thức Trê- b-sép:

NÕu

  

 

 

C B A

c b a



3 3

C B A c b a cC bB

aA    

  

NÕu

  

 

 

C B A

c b a



3 3

C B A c b a cC bB

aA    

  

DÊu b»ng x¶y

  

 

 

C B A

c b a

II - Một số bất đẳng thức phụ đợc chứng minh đúng.

o x2 y2 2xy  

o x2y2 xy dÊu( = ) x = y =

o x y2 4xy  

o  2

o

2

1

( , 0)

1

2 ( 0)

1

( , 0)

( )

Khi b c b c b c

b khi x b

Khi x y bc b c

  



  

 



III – Các bất đẳng thức tam giác IV – Các hàm lợng giác thông dụng V – Các tính chất bản

TÝnh chÊt 1: a > b <=> b < a

TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c TÝnh chÊt 3: a > b <=> a + c > b + c HƯ qu¶ : a > b <=> a - c > b – c

a + c > b <=> a > b – c

TÝnh chÊt : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b – d

TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac > bd a > b vµ c < => ac < bd

TÝnh chÊt : a > b > ; c > d > => ac > bd a > b > => an > bn

a > b <=> an > bn víi n lỴ

VI – Các đẳng thức đáng nhớ VII – Các kiến thức toạ độ vec tơ

VIII – C¸c kiÕn thøc vỊ tÝnh chÊt cđa tØ lÖ thøc:

, ,

, , ,

a a

a b c R a b a b c

a c a a c c

a b c d R

b d b b d d





  

  



     



Phần II Các ph– ơng pháp chứng minh Bất đẳng thức

Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức vô đa dạng xin trình bày dạng phơng pháp thơng dụng nh sau:

Dạng – Dựa vào định nghĩa phép biến đổi tơng đơng

Dạng – Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky bất đẳng thức phụ. Dạng – Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy

D¹ng – Chøng minh phản chứng Dạng Phơng pháp lợng giác

Dạng Phơng pháp chứng minh qui nạp

Dạng Phơng pháp áp dụng tính chất dÃy tỉ số nhau Dạng Phơng pháp dùng tam thức bậc hai

Dạng Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu

Dạng 10 - Phơng pháp dùng bất đẳng thức tam giác Dạng 11 –Phơng pháp đổi biến số

Dạng 1- Dựa vào định nghĩa phép biến đổi tơng tơng đơng

Đây phơng pháp nhất, dựa vào tính chất bất đẳng thức đơn giản để biến đổi bất đẳng thức phức tạp đề thành bất đẳng thức đơn giản bất đẳng thức đợc chứng minh phần này bạn ý đến đẳng thức:

 a22ab b (a b )2 0

 a2 b2 c2 2ab2ac2bc (a b c  )2 0 Ph

¬ng ph¸p:

 Khi biến đổi tơng đơng ta cố gắng làm xuất điều kiện cho giả thiết nhằm áp dụng đợc điều kiện giả thiết để chứng minh đợc bất đẳng thức đúng.

 Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức (0; 0; 0; )  

 Chuyển vế thừa số dạng đẳng thức để dể chứng minh

 Làm xuất tích thừa số có chứa yếu tố đề để ta xét dấu thừa số đó

 Chia nhỏ vế để chứng minh sau cộng vế theo vế bất đẳng thức con để đợc điều phải chứng minh.

Mét sè vÝ dô:

VÝ dô 1:

Chøng tá r»ng víi a b, 0 th×:

(ax by bx ay )(  ) ( a b xy )2 (1)

Gi¶i

2 2 2

2

2

(1)

( )

( )

abx a xy b yx bay a xy abxy b xy

ab x y xy

ab x y

      

   

  

Bất đẳng thức ln a b, 0 Ví dụ 2:

Cho 0 a b c   Chøng minh r»ng:

a b c b c a b c  a a b  c

Gi¶i

a b c b c a

b  c a  a b  c

2 2 2

1

(a c b a c b b c c a a b)

abc

     

(a c b c2 ) (b a a b2 ) (c b c a2 )

abc 

       

2 2

2

1

( ) ( ) ( )

1

( )( )

1

( )( )( )

c a b ab b a c b a abc

b a ca cb ab c abc

b a c b c a abc

 

       

    

    

V× 0 a b c  

VËy a b c b c a

b c  a  a b  c

VÝ dơ 3:

Víi a b c , , chøng minh: 1

2( )

a b c

bc ca  ab  a b c 

Gi¶i

1 1

2( )

a b c

bc ca  ab  a b c 

2 2

2 2

2( ) ( 0)

2 2

a b c bc ac ba do abc

a b c bc ac ab

      

      

2 (a b c)

    Hiển nhiên

VËy a b c 2(1 1)

bc ca ab  a b c 

VÝ dô 4: Chøng minh r»ng mäi a,b,c,d :

Giải



2 2

2 2

2 2

(1) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

         

         

        

a b c d a b c d

a a b b c c d d

a b c d

VËy : a2 b2 c2 d2     1 a b c d

VÝ dô 5: Chøng minh r»ng nÕu: a b 2 a3 b3 a4 b4(1)

Giải

4 3

3

(1)

( 1) ( 1)

a b a b

a a b b

    

    

3

3

2 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1)( 1) ( 1)( 1)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

a a b b a b a b

a a b b a b

a a a b b b a b

            

         

       

Suy điều phải chøng minh V×:

2 2

2 2

( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1)

2

a a a a

b b b b

a b a b

      

     

 

Bài tập áp dung:

Bµi 1: Cho a + b = Chøng minh r»ng: a4 b4 2 Bµi 2:Chøng minh r»ng víi mäi số nguyên dơng n ta có:

1 2 2  (n1) n 

Bài 3: Chứng minh m,n,p,q ta có

m2 + n2 + p2 + q2 +1 m(n + p + q +1)

Bµi 4: Chøng minh r»ng: (a10 b )(a10 b ) (a2  b )(a8 b )4

Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức :

3

3

2

2 

      b a b

a Trong : a > , b > 0

Bµi 6: Chøng minh r»ng: Víi mäi sè d¬ng a, b, c, d ta cã:

2 d c b a a d

d d c

c c b

b b a

a

2

3 2

3 2

3 2

3

          

Dạng – Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky bất đẳng thức phụ

Đây phơng pháp phổ biến việc chứng minh Bất đẳng thức Chúng ta dựa vào điều kiện cho đề để ta lựa chọn phơng pháp cho thích hợp Ngồi ra, ta cần phải ý đến dấu BĐT để sử dụng bất đẳng thức để chứng minh Khi áp dụng BĐT đợc chứng minh bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh thành vế nhỏ sau cộng vế theo vế để đợc BĐT cần chứng minh.

Mét sè vÝ dô:

VÝ dô 1:

Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d¬ng x,y,z ta cã:

2 2

2 2

( 3 3

( )( ) 9

xyz x y z x y z x y z xy yz zx

     



   

Gi¶i

2 2

2 2

2 2 3

2

3( ) ( )

3(

3

3

x y z x y z

x y z x y z

x y z xyz

xy yz zx xyz

    

     

   

   

Do ta có:

2 2 2

2 2 2 2 2 3 2

3

( ) (( 1) )

( )( ) ( )(3

3 1 3 1 3 3

3 3 3 9

xyz x y z x y z xyz x y z

x y z xy yz zx x y z xyz

xyz xyz

       



     

  

DÊu “=” x¶y x=y=z

VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: 19942000 19952000 19962000 (1)

Gi¶i

(1) (1994)2000 (1996)2000 (1 )2000

1995 1995 1995

    

Theo bất đẳng thức Becnuli ta có:

(1 )2000 2000 (1994)2000

1995  1995   1995

V×: 2000 (1994)2000 1995  1995 VÝ dô 3:

Cho a b 2  Chøng minh r»ng: a4b4 2

Gi¶i

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a,b ta có:

2 2 2

2 2

2 2

(1.a 1.b) (1 )(a b )

(a b) 2(a b )

2(a b )

a b

   

   

  

  

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a2,b2 ta có:

   

    

  

  

2 2 4

2 4

4 4

(1.a 1.b ) (1 )(a b )

2 (a b ) 2(a b )

2(a b )

a b

VÝ dô 4: Cho a,b,c>0 Chøng minh r»ng: 1 1 9 a b c  a b c 

Gi¶i

Ta cã:

1 1 a a b b c c

(a b c)( ) 1

a b c b c a c a b

a b c a b c

( ) ( ) ( )

b a a c c b

            

       

V× : a b b a 

c a a c

b c

2 c b

 

 

Nªn: (a b) (c a) (b c)

b a a c c b

      

VÝ dơ 5: Cho sè d¬ng a,b,c,d chøng minh r»ng:

a b c d b c c d a d a b       

Gi¶i

áp dụng bất đẳng thức phụ:

1 2 (x,y>0) xy (x y)

Ta cã:

2

2

a c a(d a) c(b c) a c ad bc

4

b c d a (b c)(d a) (a b c d)

     

  

      

T¬ng tù:

2

2

b d b d ab cd

4

c d a b (a b c d)

  

 

    

Céng vÕ theo vÕ ta cã:

2 2

2

a b c d a b c d ad bc ab cd

4

b c c d a d a b (a b c d)

      

   

      

2 2

2

2 2 2

2 2

2

a b c d ad bc ab cd

4

(a b c d)

4a b c d ad bc ab cd 2(a b c d)

2a 2b 2c 2d 4ac 4bd

(a c) (b d)

      



  

           

      

    

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho x,y,z thoà m·n x(x 1) y(y 1) z(z 1)

     

Chøng minh r»ng: x y z 4  

Bµi 2: Cho a>b>c>0 vµ 2   b c

a Chøng minh r»ng

3 3 1

2

a b c

b c a c a b     

Bµi 3: Cho x , y lµ sè thùc tho¶ m·n x2 + y2 = x 1 y2 y 1 x2

   Chøng minh r»ng : 3x + 4y 

Bµi 4: Cho a, b, c  ; a + b + c = Chøng minh r»ng:

6     

b b c c a

a

Bài 5:Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng:

3 (1)

p  p  a  p  b  p  c  p

Bµi 6: Cho a, b,c số khác Chứng minh rằng:

2 2

2 2

a b c a b c

b c a  b c a

Bµi Cho ba sè a,b,c0.Tho¶ m·n abbccaabc

Chøng minh r»ng:

2

2 2 2

     

ca c a bc

b c ab

a

b (*)

Dạng – sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Đây phơng pháp chứng minh BĐT mà học sinh THCS dễ nhận dạng để chứng minh sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Ta cần phải ý đến dấu BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức để chứng minh Khi áp dụng BĐT đợc chứng minh bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh thành vế nhỏ sau cộng vế theo vế để đợc BĐT cần chứng minh.

VÝ dơ 1: Cho sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng:

3 3

3 3

a b c a b c

b  c  a b c a 

Gi¶i

Vận dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có:

  

  

3

3

3

3

a a a

1 (1) b

b b

b b b

1 (2) c

c c

  

3

c c c

1 (3) a

a a

Céng vÕ theo vÕ (1) (2) vµ (3) ta cã:

3 3

3 3

a b c a b c a b c

2( ) 2( )

b c a b c a b c a

a b c

2( ) 3

b c a

        

   

VËy:

3 3

3 3

a b c a b c

b  c  a b c a 

VÝ dơ 2: Cho a,b,c >0 tho¶ m·n 1 1 1 2 1 a  1 b  1 c 

Chøng minh r»ng: abc 

Ta cã: 1 1 1 1 1 b c

1 a   1 b   1 c 1 b c  

áp dụng bất đẳng thức Côsi:



  



  

1 bc

2

1 a (1 b)(1 c)

1 ac

2

1 a (1 a)(1 c)



  

1 ab

2

1 c (1 a)(1 b)

Nhân lại ta đợc: 8abc

(1 a)(1 b)(1 c)   (1 a)(1 b)(1 c)  

abc

8

 

VÝ dơ 3: Gi¶ sư a,b,c d, số dơng thoà mÃn:

1 1 a b c d       

Chøng minh r»ng: abcd 81 

Gi¶i

Tõ gi¶ thiÕt ta cã:

        

   

    

   

1 1 1 1 1 4

1 a b c d

a b c d 1

1 a a a a

     

  

   

   

 

     

a(1 b) b(1 a) c(1 d) d(1 c)

(1 a)(1 b) (1 c)(1 d)

a b 2ab c d 2cd

1 a b ab c d cd áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

ab 2ab cd 2cd ab cd

1 ab ab cd cd ab cd

 

   

     

4

4

4 4 2

4

4

abcd abcd

1 2

1 ab cd abcd ab cd abcd

4 abcd abcd

1

1 abcd abcd (1 abcd)

1 abcd abcd

1 abcd abcd

8

 

    

     

 

 

  

  

  

 

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Chøng minh r»ng: ( a+ b + c ) (

a

1

+

b

1

+

c

1

) ≥ víi a,b,c >

Bài 2: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác với chu vi 2p Chứng minh rằng:

a)(p a)(p b)(p c) abc

   

b) 1 2(1 1)

p a p b p c      a b c 

Bµi 3: Cho a, b, c  ; a + b + c = Chøng minh r»ng: a1 b1 c13,5

Bài 4:Cho a, b, c độ dài cạnh 2p chu vi tam giác Chứng minh rằng:

( )( )( )

abc p a p b p c   

D¹ng – Chøng minh b»ng ph¶n chøng

A B đúng, từ chứng minh lập luận xác ta suy điều mâu thuẩn

từ giả thiết Kết luận A B Điều vơ lý trái với giả thiết, những điều trái ngợc , từ suy đẳng thức cần chứng minh đúng. Một số hình thức chứng minh phản chứng:

 Dùng mệnh đề đảo.

 Phủ định suy điều trái với giả thiết.  Phủ định suy trái với điều đúng.  Phủ định suy hai điều trái ngợc nhau.

Mét sè vÝ dô:

VÝ dô 1: Cho a,b,c,d R vµ a b 2cd 

Chứng minh hai bất đẳng thức sau c2 a,d2 b

Gi¶i

Giả sử hai bất đẳng thức sai, có nghĩa ta đợc : c2  a d2  b

 c2 a 0 vµ d2 b 0

2

2 2

c a d b

c d (a b)

c d 2cd

    

    

   

V× a+b =2cd

 (c d)  M©u thn

Nên có hai bất đẳng thức cho

Ví dụ 2: Cho số dơng a,b,c nhỏ Chứng minh có bất đẳng thức sau sai:

a(2 a) b(2 b) c(2 c)

 

 

 

Gi¶i

Giả sử bất đẳng thức sau đúng, nhân ba đẳng thức lại ta đợc a(2 a)b(2 c)c(2 c) 1   

Mµ a(2 a) 2a a     1 (a 1) 1

T¬ng tù ta cã:

b(2 b)

0 c(2 c)

  

  

Suy ra:

abc(2 a)(2 b)(2 c) 1   

M©u thuÉn

Vậy có bất đẳng thức cho sai

Ví dụ 3: Cho số tự nhiên khác nhỏ 108 Chứng minh chọn đợc số đó, chẳng hạn a,b,c cho a<bc, b<ca, c<ab

Giải

Giả sử số tự nhiên khác lµ a 1 a2  a 6 108

Râ rµng a2 2; a3 3 Víi sè x,y,z tho· m·n x y z  

Ta có x<yz y<xz Nếu số a1, a2 ,, a6 số thoÃ

mÃn a<b<c c<ab có a4 a a2 3 6,

6

a a a 6.3 18

a a a 18.6 108

  

Trái với giả thiết a6 <108 VËy ph¶i cã sè a,b,c tho· m·n a<bc; b<ca; c<ab

VÝ dơ 4: Cho c¸c sè thùc a,b,c tho· m·n ®iỊu kiƯn:

a b c (1) ab+bc+ca>0 (2) abc>0 (3)    

     

Chøng minh r»ng: a,b,c >0

Gi¶i

Giả sử số thực a,b,c cho có số âm hay 0, giả sử số a 0

a a

a abc

b>0 b<0

a bc

c<0 c>0

   



  

 

   

  

     

   

 

Xét khả a 0; b>0; c<0   a+c<0

Ta cã:

2

2 2

(1) : a b c b>-(a+c) (a+c)b<-(a+c)

(a c)b ca (a c) ac (a ac c )

ab bc ca

    

         

   

V× : (a2ac c  a,b,c R) 

Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy sô a,b,c l s dng

Bài tập áp dụng:

Bài 1:

Cho 0a b c, ,  Chứng minh có bất đẳng thức sau sai:1

(1 ) ; (1 ) ; (1 )

4 4

a  b  b  c  c  a 

Kết mâu thuẩn với kết giả thiết nêu Vậy phải có bất đẳng thức sai

Bài 2:

Cho 25 số tự nhiên a a1, , ,2 a25 thoả mản điều kiện

1 25

1 1 1 9

a  a   a 

Chứng minh 25 số tự nhiên đó, tồn hai số

D¹ng Phơng pháp lợng giác

õy l mt trng hợp đặc biệt phơng pháp đổi biến số Đối với học sinh THCS thì việc sử dụng phơng pháp kiến thức phần lợng giác

cha đợc nghiên cứu sâu Cho nên phơng pháp tơi xin trình bày số kiến thức lý thuyết dạng phơng pháp cách chi tiết hn

Kiến thức cần nhớ:

1 Các hệ thức bản

+ cos2 sin2  

 + + tg2 = ( 2 k )

cos

2  

   

+ tg cotg = ( 

2 k

) + + cotg2 = ( k )

sin

2  



2 Công thức cộng, công thức hạ bậc, công thức nhân đôi, cơng thức biến tích thành tổng cơng thức biến tổng thành tích Chúng ta dựa vào trơng hợp dới để đổi biến lợng giác cỏch chớnh xỏc

Một số phơng pháp lợng giác thêng gỈp:

 Nếu thấy x2 + y2 = đặt   

 

 

cos y

sin x

víi   [0, 2]

 Nếu thấy x2 + y2 = a2 (a > 0) đặt   

 

 

cos a y

sin a x

víi   [0, 2]

 Nếu thấy |x|  đặt

 

sin ;

2

cos 0;

x khi

x khi

 

 

  

  

  

  



  



 Nếu thấy |x|  m ( m 0) đặt

 

sin ;

2

cos 0;

x m khi

x m khi

 

 

  

  

  

  

 



  



 Sư dơng c«ng thøc: 1+tg2 = 12 12 ( )

cos tg cos k



   

      

 NÕu |x|  hc toán có chứa biểu thức x2

thì đặt x =

 cos

1

víi  

  

 

       

2 ,

 Nếu |x| m toán có chứa biểu thøc 2

m x 

đặt x =

 cos

m

víi  

  

 

       

2 ,

;

 Sư dơng c«ng thøc 1+ tg2 =

 cos

1

 Nếu x  R tốn chứa (1+x2) đặt x = tg với   

  



   

2 ,

 Nếu x  R tốn chứa (x2+m2) đặt x = mtg với   

  



   

2 ,

VÝ dơ 1: Cho a,b,c,d R Víi a c d  Vµ b d c  Chøng minh r»ng a  b 1

Gi¶i

Víi: a c d  2Vµb d c  Ta cã:

2

2

1 d d -1 d

-1 c

1 c c

       

  



  

 

   

  

 

Do ta đặt: d cosb c cosa với , 0; p a b  

 

 

 a c d cosa 1 cos 2bcos sina b

Vµ b d c cos cosb  2a cos sinb a

a b cos sin cos sin

sin( )

a b b a

b a

   

  

VËy: a  b 1

VÝ dô 2: Chøng minh r»ng:

2

2

(1 x )sina 2xcosa

1 x,a R x

 

Giải

Đặt x tg sin cos

a a

a

  Víi ;

2 p p a  

  Th×

2

2 2

2

2

2

2

sin sin

(1 )sina cosa

(1 x )sina 2xcosa cos cos

sin x

(1 )

cos

(cos sin )sina 2sin cos cosa

cos sin

cos2 sina sin2 cosa

a a

a a

a a

a a a a

a a

a a

 

 

 



 





 

sin(a ) 1 a 

Ví dụ 3: Chứng minh x 1 n số nguyên lớn ta có bất đẳng thức:

(1 x) n (1 x) n  2n

Gi¶i :

Vì: x 1nên ta đặt x cost với

 

n n n n

2 n n

n n n n

t ;

(1 x) (1 x) (1 cost) (1 cost)

t t

(2cos ) (2sin )

2

t t

2 (cos ) (sin ) (1)

2

p p  

       

 

 

  

 

 

Do

2 2 n

2 2 n

2 n n

t t t

0 cos cos (cos )

2 2

t t t

0 sin t sin (sin )

2 2

t t

1 (cos ) (sin )

2

    

 



 

    

 

  

(1)



Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh Ví dụ 4:

Chøng minh r»ng: 1 1 a2 (1a)3  (1 a)32 2 2 2a2 (1)

Giải:

Đặt a=cos với [0,]       ; 1 a sin cos a ; sin a (1) cos sin 2 2 sin cos 2 cos sin

1 3    

             cos sin sin cos sin cos sin cos cos

sin 2    

                             

 cos

2 sin cos sin cos cos

sin 2

                       

ỳng (pcm)

Bài tập áp dơng:

Bµi 1:

Cho a2 + b2 - 2a - 4b + = Chøng minh r»ng:

A = a2 b22 3ab 2(12 3)a(4 3)b4 3 32

Bài 2: Cho a, b thoả mÃn : 5a12b7= 13 Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a)  - 1

Bµi 3:

Chøng minh r»ng: 3 2A2 3a22a 1 a2  32

Bµi 4:

Chøng minh r»ng A =

2 1 3

2 a a a      Bµi 5:

Chøng minh r»ng: -  A =

2 a a 12

5   a 1

Bµi 6:

Chøng minh r»ng: a,b,c

) a )( c ( | a c | ) c )( b ( | c b | ) b )( a ( | b a | 2 2

2   

         Bµi 7:

Chøng minh r»ng: ab cd  (ac)(bd) (1) a,b,c,d0 (1)

Bµi 8:

Chøng minh r»ng: 21

) b )( a (

) ab )( b a (

2

2 

 

 

 a, b  R

D¹ng Phơng pháp chứng minh qui nạp

Phng phỏp qui nạp thờng sử dụng để chứng minh bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dơng n Ta thực bớc sau:

 Kiểm nghiệm để chứng tỏ BĐT với điều kiện nhỏ nhất.

 Giả sử BĐT với số nguyên dơng k

 Cần chứng minh BĐT với n = k + 1

VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng: 2n 2n 1 Víi số dơng n

Giải:

Vi n=3 23  8 2.3 7 

Giả sử bất đẳng thức với n=k có nghĩa là: 2k 2k 1  2.k.2 (2k 1).2 

Ta cÇn chøng minh: 2k 1  2(k 1) 1 

Theo gt quy n¹p ta cã:

2k 1 (2k 1)2 4k 2k 2k 2(k 1) 1  

Điều phải chứng minh

VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n 2

Ta cã:

1 13 n n 2    2n  24

Gi¶i:

a Víi n=2 ta cã:

1 13 14 13 4  24 24  24

( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 )

( 2 3 ) ( 2 ) ( 1 )

1 1

( 1 2 2 1 )

1 1 1 1

( 1 3 3 1 ) ( 1 1 )

1 1

( 1 1 ) (1)

n n n n n n

x x x x x xn

n n n n n n

x x x xn xn xn

n n

x x x x

n n n n

x x x x x xn x xn

n n

xn xn x xn n

      

       



 

  

   

     

 

 

 

1 13

k k 3    2k 24  Ta cã:

1 ( 1) 1

k k 3    2k 2  k 1   2k 2k 2k k 1    

V× :

13 k 1  2k  24 Nªn:

13 1 13

24 2k 2k k 24      

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức Côsi trờng hợp tổng quát Với a1, a a R , n 22 n n 

1 n n .

n

a a a a a a

n

  

Gi¶i:

 Với n=2 bất đẳng thức đả đợc chứng minh (bất đẳng thức Ơclit)

NÕu

1 1n 1 2n 1

x x  x  x  x1 2, x R

VËy x1 2, x R ta có (chuyển phận sang vế phải, ta

đ-ợc)

2

1 2

1 1

( )( ) 0

1 1.

n n

x x x x

n n n n

x x x x x x

    

 

  

Lấy n số thực không âm x x1 2, xnR, viết bất đẳng thức tơng ứng

cộng lại ta đợc:

Từ đó:

1 1

( 1)( 1 2 ) 1 2( 3 )

1 1 1

( ) ( ) (2)

2

n n n n n n

n x x xn x x x xn

n n n n n n

x x x xn x xn x xn

  

       

     

       



Bây theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận n 1 số thực khơng âm , trung bình cộng khơng nhỏ trung bình nhân chúng Thế nói riêng ta có:

x2n1x3n1  xnn1(n1)x x2 3 xn

x1n1x3n1  xnn1(n1)x x1 3 xn

………

1 ( 1)

1n 2n 1n

x  x   xn  n x x xn

  

Sử dụng bất đẳng thức này, ta tăng cờng bất đẳng thức ( )

(n1)(x1nx2n  xnn)n n( 1)x x1 2 )xn

Trong hệ thức đặt x1n a x1 2, n a2, xnnan ta đợc

a a1 2 an n a a a1 2 . n

n

   ( ®pcm )

Mét sè bµi tËp:

Bµi 1:

Chøng minh r»ng

n n

1 2

1

1

2

2      nN;n1 (1) Bµi 2:

Cho n N vµ a+b > Chøng minh r»ng

n

b a

      

2  n n b

a  (1)

Bµi 3: Cho a,b lµ hai cạnh góc vuông tam giác vuông với c cạnh huyền Chứng minh rằng: a2n b2n c2n n N

Dạng - Phơng pháp áp dơng c¸c tÝnh chÊt cđa c¸c d·y tØ sè b»ng nhau

Đây phơng pháp đặc trng cho học sinh THCS phơng pháp áp dụng tính chất dãy tỉ số đợc học lớp Các tính chất đặc biệt thờng gặp loại ta cần lu ý nh:

KiÕn thøc:

, ,

, , ,

a a

a b c R a b a b c

a c a a c c

a b c d R

b d b b d d





  

  



     



Mét sè vÝ dô:

VÝ dô 1: Cho sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng a b c a b b c c a

 

Giải:

Vì: a a b  nªn:

a a a c

a b c a b a b c



 

    

T¬ng tù:

b b b a

a b c b c a b c



 

    

c c c b

a b c c a a b c



 

    

Cộng bất đẳng thức lại ta đợc điều phải chứng minh

VÝ dô 2: Cho a,b,c,d số dơng, chứng minh rằng:

A a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

   

   

    

Giải:

Vì: a b a b c





  nªn

a b a b a b d

a b c d a b c a b c d

   

 

       

T¬ng tù:

b c b c b c a

a b c d b c d a b c d

c d c d c d b

a b c d c d a a b c d

d a d a d a c

a b c d d a b a b c d

   

 

       

   

 

       

   

 

       

Cộng lại ta đợc 2<A<3 Suy A số nguyên

Bài tập áp dụng:

Bài 1:

Cho a, b, c, d > Chøng minh r»ng:

1 a b c a

a b c b c d c d a d a b

    

       

Bµi 2:

Cho a;b;c;d số nguyên dơng thỏa mÃn : a + b = c + d =1000

t×m giá trị lớn

d b c a



Bµi 3:

Cho:

b a

<

d c

vµ b,d > Chøng minh r»ng

b a

<

d c d b

cd ab

  

2

D¹ng – Phơng pháp dùng tam thức bậc hai Kiến thức:

Cho tam thøc bËc hai f x ax2bxc

NÕu 0 th× a.f x 0 x R

NÕu 0 th× a.f x 0

NÕu 0 th× a.f x 0 víi x x1 hc x x2 (x 2 x1)

a.f x 0 víi x1xx2

Mét sè vÝ dơ:

VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: x25y2  4xy 2x 6y 0    Víi mäi gi¸ trị x,y

Giải:

Đặt: f(x) x 2 (2y 1)2x 5y  2 6y 3

Ta cã:

2

2

(2y 1) 5y 6y

y 2y

( )

0 f(x)>0

( )

y R x,y R

D

D d

D d

     

   

   

  



 

     

   

 

 

VÝ dô 2: Cho hai d·y sè: a1, a2 ,… an

B1, b2,… bn

Chøng minh r»ng:

n n n

2 2

i i i i

1 1

(a b ) (a )(b ) (1)

Gi¶i:

Ta cã: (1)

n n n

2

i i i i

1 1

( a b ) ( a )( b ) (2)

Đặt:

n n n

2 2

i i i i

1 1

f(x) ( a )X  2(a b )X ( b )

Ta cã:

n

2

i i

1

f(X)(a X b ) 0 Víi mäi X nªn tam thøc (X) cãD ' 0

Suy ra:

n n n

2 2

i i i i

1 1

(a b )  (a )(b ) 0

Tức (2) nên (1)

Ví dụ 3: x y R,  , chứng mih bất đẳng thức sau:

x y2 42(x22)y24xy x 24xy3 (1)

Gi¶i:

(1)  (y21)2 2x (1y y x2) 4y20

Đặt F x( ) ( y21)2 2x 4 (1y  y x2) 4y2

 ' (1y2  y2 2)  (y y2 21)2

 ' 16y2

' 0 ( ) 0

,

f x x y R y R

 

 

 

 

 

  



 

 

Bµi tập áp dụng:

Bài 1: Cho a,b,c,d thoà mÃn b < c < d

Chøng minh r»ng (a b c d)   8(ac bd) (1)

Bài 2: Cho số a , b , c , d , p , q cho:

2 2 2

p q  a  b  c  d 

Chøng minh r»ng:

2 2 2 2

(p  a  b )(q  c  d ) (pq ac bd) (1)  

Dạng Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu

Đây phơng pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất bắc cầu Tốn học

Chẳng hạn: a b b c th× a c Mét sè vÝ dơ:

VÝ dô 1:

Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a > c+d , b >c+d Chøng minh r»ng: ab >ad+bc

Gi¶i

Ta cã:

  

 

 

d c b

d c a



  

  

  

0 c d b

d c a

 (a-c)(b-d) > cd

 ab > ad + bc ®iỊu ph¶i chøng minh VÝ dơ 2:

Cho a,b,c>0 tháa m·n

3

2 2

  b c

a

Chøng minh

abc c b a

1 1

  

Gi¶i

Ta cã :( a + b – c)2= a2+ b2 + c2 + 2( ab – ac – bc) > 0

 ac + bc - ab 

2

( a2 + b2 + c2)

 ac + bc – ab

6

  Chia hai vÕ cho abc > ta cã

c b a

1 1



 

abc

1

VÝ dô 3:

Cho 0a b c, , 1 Chøng minh r»ng:

a c c b b a c

b

a3 2 2 3 2

2      

Gi¶i

Do a <  

a vµ Ta cã 1 2.1 

 

 a b  1- b - a2 + a2b > 0

 1+a2 b2 > a2 + b

mµ < a,b <  a2 a , b3 b3

Từ ta suy 1+a b2 a3 b3

 

VËy a3 b3

 < 1 a b 2

T¬ng tù ta cã:b3 c3

 1 b2c



Vµ c3 a3

  c2a

Cộng bất đẳng thức ta có: 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a

     

VÝ dô 4:

Cho 0x y z, , 1 Chøng minh r»ng: a 0 x y z xy yz zx    1

b x2  y2 z2  1 x y y z z x2  

Gi¶i

a Ta cã: x y z xy yz zx x      (1 y) y(1 z)z(1 x) (1) Mặt khác: (1 x)(1 y)(1 z) 1  x y xy yz zx xyz     0

Suy ra: x y z xy yz zx      1 xyz1 (2) Tõ (1) vµ (2) suy 0 x y z xy yz zx    1

b Ta chøng minh: x2  y2 z2  x y y z z x2   1

Ta cã:

2 2 2 2(1 ) 2(1 ) 2(1 )

(1 ) (1 ) (1 )

x y z x y y z z x x y y z z x

x y y z z x

          

     

V× ( x2 x y, y z, z)

1

x y z xy yz zx

      ( theo câu a)

Bài tập áp dụng:

Bµi 1:

Cho 0a b c d, , , 1 Chøng minh r»ng:

(1 a)(1 b)(1 c)(1 d) 1  a b c d  

Bài 2:

Cho 0a b c, , thoả m·n a b c  3 Chøng minh r»ng: a2 b2 c2 5

  

Bµi 3:

Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng:

2 2 4

2

a b c  abc

Bµi 4:

Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng:

2 2 2 2

a b c  abc

Dạng 10 – Phơng pháp dùng bất đẳng thức tam giác

Đây phơng pháp sử dụng bất đẳng thức tam giác làm giả thiết để chứng minh bất đẳng thức.

1 Các bất đẳng thức tam giác:

Víi a, b, c cạnh tam giác a b c , ,

b c a b c a c b a c a b c a b

   

   

   

Nếu a b c  số đo góc A, B, C với bất đẳng thức trên. Công thức liên quan đến tam giác

2

2

2

b c a p a

a b c c a b

p p b

a b c p c

  

 

 

    

    



  

 

 

Mét sè vÝ dô:

VÝ dô 1:

Cho a, b, c cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng:

3 3 2 2( ) 2( ) 2( ) (1)

a b c  abc a b c  b c a c a b

Gi¶i

Ta cã:

(1)

3 3 2

2 2 2

2 2

2 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (2 ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) (2)

a b c abc a b c b c a c a b

a a b b b a c ab a b c a b c

a b a b c a b c a b c a b c a b c a b c

          

          

        

       

Kết (2) tam giác ta ln có

0 0

a b c a b c

a c b a c b

b c a b c a

    

 

 

     

 

      

 

Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh Ví dụ 2:

Cho a;b;clà số đo ba cạnh tam giác chứng minh rằng: a a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)

b abc>(a + b - c).(b + c - a)( c + a - b)

Giải

Vì a, b, c số đo cạnh tam giác nªn ta cã

    

  

  

  

b a c

c a b

c b a

0 0



    

 

 

 

) (

) (

) (

2 2

b a c c

c a b b

c b a a

Cộng vế bất đẳng thức ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

Ta cã a > b-c   a2 a2 (b c)2

 

 >

b > a-c   b2 b2 (c a)2

 

 >

c > a-b   2 ( )2    c a b c

Nhân vế đẳng thức lại ta đợc:

 2  2  2

2 2 2

a b c a b c  b c a  c a b 

       

     

     

     

2 2

2 2

a b c a b c b c a c a b abc a b c b c a c a b

       

       

VÝ dô 3:

Trong Δ ABC có chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c độ dài cạnh )

CMR : p 1a + p 1 b+ p 1 c ≥ (

a

1

+

b

1

+

c

1

)

Gi¶i

Ta cã : p - a =

2

a c b 

> ( b + c > a bất đẳng thức tam giác )

T¬ng tù : p - b > ; p- c >

Mặt khác : p - a + p - b = 2p - a - b = c p - b + p - c = a

p - c + p - a = b

ta áp dụng tính chất Bất đẳng thức: 1

a p 

1

+ p 1b ≥ (p a)4(p b) =

c

4

b p 

1

+ p 1 c ≥

a

4

c p 

1

+ p 1a ≥

b

4

Cộng theo vế bất đẳng thức ta có :

a p 

1

+ p 1b+ p 1 c ≥ (

a

1

+

b

1

+

c

1

)

Dấu ‘=’ xảy Δ ABC Ví dụ 4:

Cho a, b, c , độ dài ba cạnh tam giác (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc

Gi¶i

Bất đẳng thức ba cạnh tam giác :

2 2

0 ( )

b c  a a  b c a

2 2

0 ( )

c a  b b  c a b

2 2

0 ( )

a b  c c  a b c

Từ a2 (b c )2 b2  (c a )2 c2  (a b )2 a b c2 2

 (a + b – c)( a – b + c)( b – c +a)( b + c – a)( c – a + b)( c + a – b) 2

a b c 

 (a + b – c)2( b + c – a)2( c + a – b)2 2

a b c



 (a + b – c)( b + c – a )( c + a – b) abc

V× a, b, c cạnh tam giác nên

0

a b c a c b b c a

  

 

  



    

vµ abc >

Bài tập áp dụng: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác

Bµi 1:

Chøng minh r»ng:

NÕu víi a b c  th× (a b c  )2 9bc

Bµi 2:

Chøng minh r»ng:

(a b c b c a a c b  )(   )(   )abc

Bµi 3:

Chøng minh r»ng: Víi mäi p, q cho p + q = pa2 qb2 pqc2

Bài 4:

Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác với a < b < c Chứng minh rằng:

3( 2) 3( 2) 3( 2) 0

a b  c b c  a c a  b 

Bµi 5:

Chứng minh rằng: với a, b,c độ dài cạnh tam giác ta có:

2 2 3

( ) ( ) ( ) (1)

a b c b c a c a b a b c

Dạng 11 – Phơng pháp đổi biến số

Khi ta gặp số bất đẳng thức có biến phức tạp ta dùng phơng pháp đổi biến số để đa bất đẳng thức cần chứng minh dạng đơn giản hơn, tức ta đặt biến biểu thị đợc bién cũ cho biến gọn dễ chứng minh Sau đổi biến số ta sử dụng phơng pháp chứng minh trên để chứng minh bất đẳng thức.

Phơng pháp lợng giác dạng phơng pháp đổi biến số. Một số ví dụ:

VÝ dơ 1:

Cho a,b,c > Chøng minh r»ng:

2     

 a b

c a c

b c b

a

(1)

Giải

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a=

2

x z y 

; b =

2

y x z 

; c =

2

z y x 

Ta cã (1)  y2zx x z2xy y x2yz z

2 

  1  1  13 z

y z x y z y x x

 (  )(  )(  )6 z y y z z x x z y x x y

Bất đẳng thức cuối (  2; y x x y

 2

z x x z

;  2 z y y z

) điều phải

chứng minh Ví dụ 2:

Cho a,b,c > vµ a+b+c < Chøng minh r»ng:

9 2

1

1

2

2 

   

 bc b ac c ab

a (1)

Giải

Đặt x = a2 2bc

 ; y = b2 2ac ; z = c2 2ab

Ta cã xyzabc21

(1)  1119 z y

x Víi x+y+z < vµ x ,y,z >

Theo bất đẳng thức Côsi ta có: xyz3.3 xyz

   z y x

1 1

3 .3

xyz

   1 19   

 

  



z y x z y x

Mµ x+y+z <

VËy 111 z y

x điều phải chứng minh

VÝ dô 3:

Cho a, b, c số thực dơng Chứng minh rằng: 3

2

a b c

b c c a a b      Gi¶i

Đây ví dụ nhng ta sử dụng cách đổi biến khác:

Ta đặt

2

2

2

y z x a

x b c

x z y

y c a b

z a b x y z

c

  

   

 

 

 

   

 

   

   

  

Bất đẳng thức

2

y z x x z y x y z

x y z

       

     

 

2

x y y z z x x y y z z x

y x z y x z y x z y x z

     

           

 

   

(đúng)

Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh Dấu “=” xảy  a b c 

VÝ dô 4:

Cho số thực dơng a, b, c cho abc = Chøng minh r»ng:

1 1

1 1

a b c

b c a

     

      

     

     

Gi¶i

Do abc 1 nên ta đặt:

x a

y y b

z z c

x

    

   

  

víi x y z , ,

Nên bất đẳng thức ta viết lại nh sau: x z y x z y

y y z z x x

     

      

     

   

 

 xyz (x y z y z x z x y  )(   )(   ) (Ta chứng minh đợc)

Vậy BĐT đợc chứng minh Dấu “=” xảy  a b c

Bài tập áp dụng:

Bµi 1:

Chứng minh ; với số thực x, y ta có bất đẳng thức:

4 ) ( ) (

) )( (

4

2 2

2 2

 

  

y x

y x y x

Bµi 2:

Cho x, y, z số dơng thoả mÃn:

x

1

y

+

z

1

CMR: x y z

 

1

+ x y z

 2

1

+ x y1 2z



 ≤

(Đại học khối A năm 2005) Bài 3:

Cho a, b, c l số thực d ơng tho¶ m·n abc=1

CMR : 3 3 3

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b 

Bµi 4:

Cho x, y, z >0 tho¶ m·n x y z  1 CMR 1 4 9 36

x  y  z 

Bµi 5:

Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: xyz    x y z 2

CMR: 3

2

x  y  z  xyz

Dạng 12 - Phơng pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng)

Dùng tính bất đẳng thức để đa vế bất đẳng thức dạng tính đợc tổng hữu hạn tích hữu hạn.

Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1u2 un

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau

1 

  k k k a a

u

Khi : S = a1 a2  a2 a3 an  an1a1 an1

Phơng pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un

Biến đổi số hạng uk thơng hai số hạng liên tiếp nhau:

k

u =

1 

k k a

a

Khi P =

1 1

2

1.

 



n n

n a

a a

a a

a a a

Mét sè vÝ dô:

VÝ dô 1:

Chøng minh r»ng: 2 1

1

1     n 

n Víi n lµ số nguyên

Giải:

Ta có:

k k

k k k

k    12 1

2

Khi cho k chạy từ đến n ta có > 2  1

 2

2

 

………

 n n

n 2 1

1

Cộng vế bất đẳng thức ta có:

 1

2

1     n 

n

VÝ dô 2:

Chøng minh r»ng:

1







n k k

n Z

Gi¶i:

Ta cã

k  k k

k k

1 1 1

2     

Cho k chạy từ đến n ta có

1

1

1

1 1

3

1

2 1

1

2

2 2

    

  

 

 

n n n n

VËy

1







n k k

Chøng minh r»ng:

1 1

1 ,

2 n n n Z



       

Gi¶i:

Ta cã:

1 2

2( 1)

2 k k k Z

k k k k



      

 

Do đó: 1

1

2( 1)

2

2( 2)

3

2( n n 1)

n



 

 

  

VËy:

1 1

1 2

2 n n n

        

VÝ dô 4:

Chøng minh r»ng:

1 2

,

2 2

n

n Z

n n





  



Gi¶i:

Ta cã:

2 2

2

2 2

2 2

2

1 (2 1)

2 (2 )

1 (2 1)

2 (2 1)(2 1)

n A

n n

n n n

 



 

    

VËy:

2 2

n

n n

 



Bài tập áp dụng:

Bài 1:

Chøng minh B§T sau:

a 1 1

1.3 3.5  (2n 1).(2n1) 

b 1

1.2 1.2.3 1.2.3 n

    

\

Phần III ứng dụng Bất đẳng thức.–

Bất đẳng thức đợc ứng dụng rộng rãi nhiều việc tìm GTLN, GTNN, giải ph-ơng trình hệ phph-ơng trình, dùng để giải phph-ơng trình nghiệm nguyên nhiều ứng dụng khác nữa.

I - Dùng BĐT để tìm GTLN GTNN

KiÕn thøc : NÕu f(x)  m th× f(x) cã giá trị nhỏ m. Nếu f(x) M f(x) có giá trị lớn M.

Ta thờng hay áp dụng bất đẳng thức thông dụng nh: Côsi, Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, kiểm tra trờng hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị biểu thức có dạng đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , số bất đẳng thức… Tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chó ý: A  B AB

X¶y dÊu '' = '' AB  0

0 

A DÊu ''= '' x¶y A = 0 Mét sè vÝ dô:

VÝ dô 1:

b Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y

Gi¶i

Ta cã:

a.A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Đặt : t = x2 + x – 2

=> A = (t - 2)(t + 2) = t2 -  - 4

DÊu b»ng x¶y : t =  x2 + x - = 0

(x - 2)(x + 2) =  x = -2 ; x = => A = - x = -2 ; x = b Tơng tự

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc a C = 2x  2x

b D =

   

x x x

x

c E = x 1 x  x  x

Giải

áp dụng BĐT : A B AB

DÊu '' = ''x¶y AB 

=> C = 2x 1 2x 2x 31 2x  2

DÊu '' = '' x¶y (2x - 3)(1 - 2x)  

2

1  x

VËy minC =

2

1  x

b, T¬ng tù : minD = : -3  x  c T¬ng tù: minE = :  x 

VÝ dô 3:

Cho ba sè dơng x , y , z thoả mÃn :

x



1

+ y



1

+

z



1



T×m giá trị lớn tích : P = xyz

Gi¶i

x



1

 (1 - y 

1

) + ( -

z



1

) =

y y 

1 + z

z



1  (1 y)(1 z) yz

 

T¬ng tù : y



1



) )(

( x z

zx  

z



1

 (1 xxy)(1 y)  

Từ suy : P = xyz 

8

MaxP =

8

x = y = z =

2

VÝ dô 4:

Cho G = yz x1zx xyzy 2xy z

Tìm giá trị lớn G

Gi¶i

Tập xác định : x  ; y  ; z 

Ta cã : G = x 1x + yy + zz

Theo BĐT Cơsi ta có : x 1x211 =>

x x 1

2 

T¬ng tù :

2

1

 

y y

;

3

1

  z z

=> G 

3

1 2

1

 

VËy MaxG =

3

1 2

1



 đạt đợc x = ; y = ; z =

Bài tập áp dụng:

Bài 1:

Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa:

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > vµ x+y+z =1

Bµi 2: Cho xy+yz+zx = Tìm giá trị nhỏ x4 y4 z4

Bài 3:Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A = x2 – 2xy + 3y2 2x 10y + 20

Bài 4:Tìm giá trị lớn , nhỏ phân thức D =

1

2

   x

x x

II – Dùng BĐT để giải phơng trình hệ phơng trình

Nhờ vào tính chất bất đẳng thức , phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) phơng trình sau suy luận để nghiệm phơng trình Nếu VT = VP giá trị ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phơng trình có nghiệm.

NÕu VT > VP hc VT < VP giá trị ẩn

phơng trình vô nghiệm

Cũn i vi h phng trình ta dùng bất đẳng thức để biến đổi phơng trình hệ , suy luận kết luận nghiệm Biến đổi phơng trình hệ , sau so sánh với phơng trình cịn lại , lu ý dùng bất đẳng thức quen thuộc.

Mét sè vÝ dơ: VÝ dơ 1:

Gi¶i phơng trình : 13 x + x1 = 16x

Giải

Điều kiện : x (*)

áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : 13 x + x1

= 13.2

2



x + 3.2

2



x  13( x - +

4

) + 3(x + +

4

) = 16x

DÊu '' = '' x¶y



    

 

 

2

2 1

x x

 x =

4

thoả mÃn (*)

Phơng trình (1) cã nghiƯm  dÊu '' = '' ë (2) x¶y

VËy (1) cã nghiÖm x =

4

Ví dụ 2:

Giải phơng tr×nh : x +  2x - x2 + 4x - = (*)

Gi¶i

TX§ :

2

3  x

(*)  x +  2x = x2 - 4x + 6

VP = (x - 2)2 +  , dÊu '' = '' x¶y x = 2

=> víi x = ( tho¶ m·n TXĐ ) VT = VP = => phơng tr×nh (*) cã nghiƯm x =

VÝ dơ 3:

Giải phơng trình : x + x2 = x2 - 6x + 13

Giải

TXĐ : -2  x  VP = (x - 3)2 +

 DÊu '' = '' x¶y x =

VT2 = ( 6 x.1 + x2.1)2  (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16

=> VT  , dÊu '' = '' x¶y 6 x = x2  x =

=> khơng có giá trị x để VT = VP => Phơng trình vơ nghiệm Ví dụ 4:

Giải hệ phơng trình:

3

2 2

2 4 3 (1)

2 0 (2)

x y y

x x y y

    



  



Gi¶i

(1)  x3 = - - 2(y - 1)2  x3  -  x  - (*)

(2)  x2 

1

y y

  ( v× + y

2  2y)  -1  x  (**)

Tõ (*) vµ (**) => x = -1 Thay x = -1 vµo (2) ta có : y = => Hệ phơng trình cã nghiÖm nhÊt : x = -1 ; y = Ví dụ 5:Giải hệ phơng trình :

  

  

  

xyz z y x

z y x

4 4

1

Giải

áp dụng : BĐT : a2 b2 2ab

  dÊu '' = '' x¶y a = b

Ta cã : x4 y42x y ; y2 z4 2y z ; z2 x4 2z x2

4 4 2 2 2

x y z x y y z z x (*)

  

Mặt khác: x y2 y z2 2x yz2

2 2 2

2 2 2

y z z x 2xy z

x y z x 2xyz

 

2 2 2

2 2 2

2(x y y z z x ) 2xyz(x y z) 2xyz

x y y z z x xyz (**)

      

   

Tõ (*) vµ (**) => x4 + y4  x4 y4 z4 xyz

DÊu '' = '' x¶y : x = y = z mµ x + y + z = nªn : x = y = z =

3

Vậy hệ phơng trình có nghiệm : x = y = z =

3

Bài tập áp dụng:

Bài 1:Giải hệ phơng tr×nh:

2 14 (1)

1 1

( )( ) (2)

2 6

x y z

x y z

x y z

   

 

    

 

(víi x, y, z > 0)

Bài 2: Giải phơng trình sau:

4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 2x x2

     

Bài 3: Giải phơng trình: x 2 x2 4y2 4y3 Bài 4:Giải hệ phơng trình sau:

4 x y z4 4

x y z xyz

   



Bài 5: Giải hệ phơng trình sau:

2

2

4

2

xy y

xy x

   



  

(1)

(2)

III – Dùng BĐT để giải phơng trình nghiệm ngun Một số ví d:

Ví dụ 1: Tìm số nguyên x,y,z tho¶ m·n

x2  y2 z2 xy3y2z 3

Giải

Vì x,y,z số nguyên nªn

x2  y2 z2 xy3y 2z 3

 

2 2

2

2

3

3

3

4

x y z xy y z

y y

x xy y z z

       

   

          

   

 

2

2

3 1

2

y y

x z

   

          

   

(*)

Mµ  

2

2

3 1

2

y y

x z

   

     

   

   

x y R, 

 

2

2

3 1

2

y y

x z

   

          

   

0

2 1

1 0 2

2

1 1 0

y x

x y

y z z



 



  

 

      

  



 

Các số x,y,z phải tìm lµ

1 x y z

  

    

VÝ dụ 2:

Tìm cặp số nguyên thoả mÃn phơng trình:

x x y (*)

Giải

(*) Víi x < , y < phơng trình nghĩa (*) Với x > , y >

Ta cã x x y  x x y2

2 0

x y x

Đặt x k (k nguyên dơng x nguyên dơng )

Ta cã k k.( 1)y2

Nhng k2 k k 1  k12  k  y k 1

Mà k k+1 hai số nguyên dơng liên tiếp không tồn số nguyên d-ơng nên cặp số nguyên dd-ơng thoả mÃn phd-ơng trình

Vậy phơng trình có nghiệm nhÊt lµ : 0

0

x y

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 1

x yz 

Phần IV - giải hớng dẫn giải BT áp dụng Dạng – Dựa vào định nghĩa phép bin i tng ng

Bài 1:

Giải

Ta cã: (a b )2  0 2ab a b2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2( )

( ) 2( )

2 2( ) ( 2)

2

2 ( )

a b ab a b

a b a b

a b Do a b

a b

a b

    

   

    

  

  

T¬ng tù: (a2  b2 2)  0 2a b2 a4 b4

4 2 4

2 2 4

2 2( )

( ) 2( )

a b a b a b

a b a b

    

   

VËy: 22 (a2 b2 2) 2(a4 b4)

 a4 b4 2

Điều phải chứng minh Bài 2:

Giải

Ta có với số nguyên d¬ng k:

1 1

( )

1 (k 1) k  k (k 1) k  k k  k 

= ( 1 )( 1 )

1

k

k  k  k  k 

1 1

(1 )( ) 2( )

1 1

k

k k k k k

    

   v× 1

k k

 

 Do đó:

1 1 1 1

2(1 ) 2( ) 2( )

2 2  (n1) n       n  n1

2(1 )

n

  

điều phải chứng minh Bài 3:

Giải

(1)

4 4 2 2 2                                    

 m mn n m mp p m mq q m m

0 2 2 2 2                                

 m n m p m q m

DÊu b»ng x¶y

Gi¶i a10 b10a2b2 a8b8a4 b4

 a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12

      

 2 2 8 2   

 b a b b a

a b a

 a2b2(a2-b2)(a6-b6)

  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)

 Bất đẳng thức cuối ta có điều phải chứng minh Bài 5:

Gi¶i

Víi a > , b > => a + b >

Ta cã :

3

3

2

2 

      b a b a

<=>  2

2

2 

                   

ab a ab b a b a b

<=>

2

2

2        

 ab b a b a

<=> 4a2 - 4ab + 4b2  a2 + 2ab + b2

<=> 3(a2 - 2ab + b2 )  0

<=> 3(a - b)2

 Bất đẳng thức

=>

3

3

2

2 

      b a b

a DÊu '' = '' xảy a = b.

Bài 6: Giải Ta cã: 2 b a b a a ab 2 b a b a ab a b a a 2 2 2 2               

2 d c d c

c

2 c b c b

b

2

3 2

3

  

  

2 a d a d

d

2

3

  

Cộng vế theo vế ta đợc:

2 d c b a a d

d d

c c c

b b b

a a

2

3

2

2

2

3   

       

Dạng – Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky bất đẳng thức phụ

Bài 1:

Giải

ỏp dng bất đẳng thức Bunhiacơpxki, ta có:

2 2 2

2 2

(1x 1y 1z) (1 1 )(x y z)

(x y z) 3(x y z ) (1)

      

    

Theo gi¶ thuyÕt ta cã:

2 2

4 x(x 1) y(y 1) z(z 1)

3

(x y z ) (x y z)

3

     

      

V× theo (1) 1(x y z)2 (x2 y2 z )2

3

     

2

2

1

(x y z) (x y z)

3

(x y z) 3(x y z)

      

Đặt s x y z Ta giải phơng trình bậc

2

s 3s 0

1 s 4 x y z

   

   

Bài 2:

Giải

Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc             b a c c a b c b

a a b c

2 2

áp dụng BĐT Trê- b-sÐp ta cã:

                 

 a b

c c a b c b a c b a b a c c c a b b c b a a 2 2 2 = = VËy 3     

 a b

c c a b c b a

DÊu b»ng x¶y a=b=c=

3

Bài 3:

Giải

ỏp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có: (x2 + y2)2 = (x 1 y2 y 1 x2

 

 )2 ( x 1 ; y 1)

 (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) => x2 + y2  1

Ta l¹i cã : (3x + 4y)2  (32 + 42)(x2 + y2)  25

=> 3x + 4y 

Đẳng thức xảy <=>

         , 2 y x y x y x <=>        5 y x

§iỊu kiƯn :

2

3  x

Bài 4:

Giải

áp dụng bất dẳng thøc Bunhiac«pxki víi bé sè ta cã:

                        

b.1 b c.1 c a.1 1 a b b c c a a

=>  ab bc  ca2 3.(2a2bac)6

=> ab bc ca

DÊu '' = '' x¶y : a = b = c =

3

Bµi 5:

Gi¶i

Ta cã p  p a  p b  p c

3 ( ) 2( ( )( ) ( )( ) ( )( ))

p p a b c p a p b p b p c p c p a

             

Kết a b c  2p p a o p b o p c o  ,   ,  

Theo bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có:

1 p a 1 p b 1 p c  (1 1)(  p a p b p c     )  3p

Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh Bài 6:

Gi¶i

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski cho số 1,1,1, a b c, ,

b c a ta cã :

2 2

2 2

2 2

(1.a 1.b )c (1 1 )(a b c )

b  c  a    b  c  a

2 2

2 2

1

( )( )

3

a b c a b c a b c

b c a b c a b c a

       

áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

3

3

a b c a b c

b  c  a  b c a 

Do đó:

2 2

2 2

1

( ).3

3

a b c a b c a b c

b c  a  b  c  a  b c  a (®pcm)

Bài 7:

Giải

T gi thit a,b,c0

Ta cã: abbccaabc c b a

   

 *  12  12  12  12  12  12  12  12  12 

a a c c

c b b

áp dụng bất đẳng thức Bunhicopsky ta có: 2 2

2 1 1 . x y z

1 z y

x      

Do ta có:

           b b a b b a 2            c c b c c b 2            a a c a a c 2

Cộng vế theo vế ta đợc:

              c b a 3 cb c a bc b c ab a

b2 2 2

3 cb c a bc b c ab a

b2 2 2

     

Dạng – sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Bài 1: Giải VT = b a + a b + c b + b c + c a + a c +

áp dụng BĐT côsi cho bội số :

b a a b ; c b vµ b c ; c a vµ a c

Ta cã :

b a

+

a

b ≥ 2

b a a b

=2 ;

c b

+

b c

≥ ;

c a + a c ≥ <=> b a + a b + c b + b c + c a + a c ≥ <=> b a + a b + c b + b c + c a + a c +3 ≥9

VT ( đpcm ) Bài 2:

Gi¶i

a)Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:

(p a) (p b) c

(p a)(p b)

2

(p a) (p c) b

(p a)(p c)

2

(p b) (p c) a

(p b)(p c)

2

  

   

  

   

  

   

Nhân theo vế ta đợc:

(p a) (p b) (p c)2 2 c b a abc

2 2

    

b)Ta áp dụng với x,y>0 ta ln có bất đẳng thức đúng:

1 x y x y Thay giá trị vào ta đợc:

1 4

p a p b   2p a b  c T¬ng tù:

1 4

p b p c   2p b c  a

1 4

p a p c   2p a c  b Céng theo vÕ ta cã:

1 1 1 2(1 1)

p a p b p c      a b c

Bài 3:

Giải

ỏp dụng bất đẳng thức Cơsi , ta có:

1 2

1 ) (

1    

 a a

a

T¬ng tù :

2 1   b

b ;

2 1   c

c

5 , 3 1

1          b c a b c

a

Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = Vậy : a1 b1 c13,5

Bài 4:

Giải

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:

( ) ( )

( )( )

2

p a p b c

p a p b      

( ) ( )

( )( )

2

p b p c a

p b p c      

( ) ( )

( )( )

2

p c p a b

p c p a      

 ( ) (2 ) (2 )2

2 2

c b a p a p b p c 

 ( )( )( )

8

abc

p a p b p c    §iỊu phải chứng minh

Dạng chứng minh phản chứng Bài 1:

Giải:

Gi s c bất đẳng thức đúng, có nghĩa:

1 1

(1 ) ; (1 ) ; (1 )

4 4

1

(1 )(1 )(1 ) ( , , (0;1))

64

a b b c c a

abc a b c Do a b c

     

     

Ta cã

2

2

1

(1 ) ( )

2

1 1

4

a a a a a

a

  

        

 

 

 

 

     

 

T¬ng tù ta cã: (1 )

a a

  

1

0 (1 )

4

0 (1 )

4

b b

c c

  

  

1 (1 ) (1 ) (1 )

64 (1 )(1 )(1 )

64

a a b b c c

abc a b c

    



Bài 2:

Giải:

Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự hiên đả cho, khơng có hai số Khơng tính tổng qt, giả sử

a1a2   a25

Suy a11,a2 2, ,a25 25

ThÕ th×

1 25

1 1 1

a  a   a  11 12   125 (1)

Ta l¹i cã

1 1 1

1 2   25 2 25 9  (2)

Tõ (1) vµ (2) suy

1 25

1 1 1

a  a  a < 9, trái với giả thiết Vậy tồn t¹i

hai sè b»ng 25 sè a a1 2, , ,a25

Dạng - Phơng pháp lợng giác

Bài 1:

Giải

Đặt              cossin 32 cos sinA cos2 b sin1 a cos2 b sin1

a 2 2

A )

6 sin( 2 cos 2 sin 2 cos sin

3        

(đpcm)

Bài 2:

Giải:

Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a)  -  (a-1)2 + (b + 1)2  1

Đặt   cos R 1 b sin R 1 a

víi R   a( )12 b( )12 R2

1 cos R b 1 sinR a            

Ta cã: 5a12b7 13 5(Rsin1)12(Rcos1)7 13

 R

13 arccos sin R cos 13 12 sin 13 R 13 cos R 12 sin R

5  

                

Từ  (a-1)2 + (b+1)2 = R2   a2 + b2 + 2(b - a)  - (đpcm)

Bµi 3:

Giải:

Từ đk - a2  |a|  nªn

Đặt a = cos với      1  a2 = sin Khi ta có:

A=2 3a22a 1 a2 2 3cos22cossin 3(1cos2)sin2

= 3 sin sin 2 cos

2 

                 

  3 2A 32(®pcm)

Bài 4:

Giải:

Do |a| nên :

Đặt a =

cos

1

víi  

             , ;

0  a21 tg2 tg Khi đó:

A =

3 sin cos sin cos ) tg ( a a2                (đpcm) Bài 5: Giải:

Do |a| nên:

Đặt a =

 cos

1

víi  

             , ;

0  a21 tg2 tg Khi đó:

A =

2 a a 12

5  = (5-12tg)cos2 = 5cos2-12sincos=    6sin2

2 ) cos ( =                  13 arccos cos 13 sin 13 12 cos 13 13   

 - =

2 13 13 arccos cos 13 A ) ( 13             

(đpcm)

Bài 6:

Giải:

Đặt a = tg, b = tg, c = tg Khi bất đẳng thức 

 ) tg )( tg ( | tg tg | ) tg )( tg ( | tg tg | ) tg )( tg ( | tg tg | 2 2 2                                                cos cos ) sin( cos cos cos cos ) sin( cos cos cos cos ) sin( cos cos

 sin(-)+sin(-)  sin(-) Biến đổi biểu thức vế phải ta có:

sin(-)= sin[(-)+(-)] = sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-) 

sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)=sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)

 sin(-).1 + sin(-).1 = sin(-) + sin(-) (đpcm) Bài 7:

(1) d b a c ab cd d b a c 1 ) d b )( c a ( cd ) d b )( c a ( ab                                     

Đặt tg2=

a c

, tg2=

b d

víi ,         ,

0  Biến đổi bất đẳng thức

 cos cos sin sin

) tg )( tg ( tg tg ) tg )( tg (

1 2 2

2

2 2

2     

          

 cos cos + sin sin = cos(-)   (đpcm)

DÊu b»ng x¶y  cos(-) =  =  ac bd .

Bài 8:

Giải:

t a = tg, b = tg Khi

) tg )( tg ( ) tg tg )( tg tg ( ) b )( a ( ) ab )( b a (                2

2 1 1

1 1 =               cos cos sin sin cos cos cos cos ) sin( cos cos2

=   2          

 )cos( ) sin ( )

sin( (®pcm)

Dạng Phơng pháp qui nạp

Bài 1:

Gi¶i:

Víi n =2 ta cã

2

1   (đúng)

Giả sử BĐT (1) với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k+1

ThËt vËy n =k+1 th×:

(1) 

1 ) ( 1 1 2

2   k  k   k

Theo giả thiết quy nạp:

1 1 ) ( 1 1 2 2

2   

         k k k k k



k  k k k 1 1 ) ( 1 2        

 ( 2) ( 1)2

1 ) ( 1         k k k k k k

 k2+2k<k2+2k+1

Điều Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh Bài 2:

Gi¶i:

Ta thấy BĐT (1) với n=

Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có

(1) 

1      

ab k



2

1

1 

  k k b a  b a b

a k 

        1 

  k k b

a (2)

 VÕ tr¸i (2) 

2 1

1   

       

 k k k k k k k

k b a b a ab a b b a b

a  1 1         

 k k k k k

k b a ab a b b

a

 ak  bk.a b0 (3)

Ta chøng minh (3)

(+) Giả sử a b giả thiết cho a  -b  a  b

 ak bk bk



  (ak  b )(a b) 0k  

(+) Gi¶ sử a < b theo giả thiết a < b  k k k k

b a b

a   

 ak  bk.a b0

Vậy BĐT (3)ln ta có (đpcm) Bài 3:

Gi¶i:

Víi n = ta cã a2 b2 c2

  (định lý Pitago)

VËy víi n = a2 b2 c2

 

Ta giả sử BĐT với n= k nghĩa ta có: a2k b2k c2k

xÐt víi n = k +1 ta cã:

2(k 1) 2(k 1) ( 2k 2k)( 2) 2k 2k 2k. 2(k 1)

a  b  a b a b a a b b c c c 

       

Vậy BĐT với n = k +1. điều phải chứng minh

D¹ng - Phơng pháp áp dụng tính chất dÃy tỉ số nhau Giải

Ta biết với a, b, c dơng a a a c

b b b c



  



V× a a c

b b c

 



1

ab ac ab bc a c ac bc

b c

   

    

VËy víi a, b, c, d > o th×:

a

a b c   , , ,

b c d

b c d   c d a   d a b  

Do ta đợc:

a a a d

a b c d a b c a b c d



 

       

b a b c d  

b b a

b c d b c d a



 

    

c c c b

a b c d c d a c d a b



 

       

d d d c

a b c d d a b d a b c



 

       

Cộng vế bốn đẳng thức ta đợc:

1 a b c d

a b c b c d c d a d a b

    

        (®pcm)

Bài 2:

Giải:

Không tính tổng quát ta giả sử :

c a

d b

 Tõ :

c a

d b



d b d c

b a c a

 

  

1 

c a

v× a + b = c + d

NÕu: b 998 th×

d b

998

 

d b c a

  999

NÕu: b = 998 th× a =  d b c a

 =

d c

999

Đạt giá trị lớn d = 1; c = 999

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cđa

d b c a

 = 999 + 999

1

khi a = d =1; c = b = 999

Bµi 3:

Gi¶i:

Tõ

b a

<

d c

2 d

cd b ab



 

d c d cd d b

cd ab b ab

   

 2 2 2

2

VËy

b a

<

d c d b

cd ab

 

2 điều phải chứng minh

Dạng Phơng pháp dùng tam thức bậc hai

Bài 1: Giải:

Ta có: (1) a22(b 3c d)a (b c d)     2 8bd (2)

XÐt tam thøc f(a) a 22(b 3c d)a (b c d)     2 8bd

Tam thøc f(a) cã:

2

(b 3c d) (b c d) 8bd

8(c b)(c d) D

D

       

   

Theo gi¶ thiÕt ta cã: D  0 Suy ra: f(a)>0

Suy (2) nên (1) Bài 2:

Gi¶i:

Theo gi¶ thiÕt ta cã: (p2 a2 b )(q2 2 c2 d ) 02 

Ta cã thĨ gi¶ sư: (p2 a2 b ) 02  Vµ p 0

Ta cã:f(x) (px q)  2 (ax c) 2 (bx d)

Đặt:

p x

q

 Ta cã: 2

0 0

f(x ) (ax  c)  (bx  d) 0

Suy D 0, tức (1) ỳng

Dạng Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu

Bài 1:

Giải

Ta cã: (1 a)(1 b) 1  a b ab  a b (1)

Vì c0 nên:

(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 ) (2)

(1 )(1 ) ( ) (3)

a b c a b c

a b c a b c c a b a b c

      

            

Tõ (2) vµ (3) ta suy ra:(1 a)(1 b)(1 c) 1  a b c 

VËy: (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) (1  a b c  )(1 d) 1  a b c d  

V× d a b c(   )

Bài 2:

Giải

Vì a b c  3 nªn cã Ýt nhÊt mét số a, b, c không nhỏ 1, giả sư

1

a 

V× 1 a nªn (a 1)(a 2)a2  3a  2 a(3 a) 2

Suy ab bc ca a b c   (  )bc a (3 a)bc2 (1)

VËy

2 2 ( )2 2( )

9 2( )

a b c a b c ab bc ca

ab bc ca

       

     theo (1)

Bµi 3:

Giải

áp dụng công thức Hê - rông vỊ tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c:

( )( )( )

S  p p a p b p c   Víi

2

a b c

p    theo gi¶ thiÕt

Do đó: 1( )(1 )(1 )

2 2

S   a  b  c

2

16 (1 )(1 )(1 )

1 2 4

1 4( )

S a b c

a b c ab ac bc abc

ab bc ac abc

   

       

     

Suy ra: 2

2

abc  ab bc ca

Mµ 2ab+2bc+2ca=(a b c  )2  (a2b2 c2) (  a2 b2c2)

Nªn 1 2 2 2

2

abc   a  b  c  a b c abc

Bài 4:

Giải

Nếu a 1 th× tõ b c a  1 suy a+b+c >2, v« lý VËy < a < T¬ng tù ta cã: < b < vµ < c <

Ta cã: (1 a)(1 b)(1 c) 1  a b c ab bc ca abc      0 suy

1

abc ab bc ca    a b c (1)

Mà ( a b c  )2 a2 b2c2 2(ab bc ca  ), suy ra:

2 2

1

2 ( )

2

ab bc ca    a b c (2)

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra:

2 2 2

1

1 ( ) 2

2

abc  a b c  a b c  abc

Dạng 10 - Phơng pháp dùng bất đẳng thức tam giác

Bài 1:

Giải

Ta có: a b (a b c  )2 (b b c  )2 (2b c )2

Ta chøng tá

2 2

(2 )

( )(4 )

b c bc b bc c

b c b c

     

   

Kết ln b c  b c 0 4b c 2b b a c   0 do b a

vµ c a b 

Bài 2:

Giải

Vỡ a, b, c độ dài cạnh tam giác nên:

    

  

  

  

b a c

c a b

c b a

0 0

0 0

a b c P a c b Q b c a R

   

 

     

     

Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

2

2

2

P Q

PQ

P R

PR

R Q

QR













2 2

2 2

P Q P R R Q

P Q R PQR

  

  

( )( )( )

bca a b c b c a a c b

    Điều phải chứng minh

Bài 3:

Giải

Đặt f p pa2 qb2  pqc2 v× p + q =  q  1 p

2 2

2 2 2

( ) (1 ) (1 )

( )

f p pa p b p p c

c p a b c p b

     

    

Lµ mét tam thøc bËc hai theo p cã biÖt sè

 

2 2 2

2 2 2

2 2

( )

( )( )

( ) ( )

( )( )( )

a b c b c

a b c bc a b c bc

a b c a b c

a b c a b c a b c a b c

    

      

   

       

        

Trong mét tam gi¸c ta cã:

    

  

  

  

b a c

c a b

c b a

0

0

0

a b c a b c a b c

  

 

    

    

 a b c a b c a b c a b c  (   )(   )(   ) <0  <

 f p( ) 0 p

 pa2 qb2  pqc2 víi mäi p, q tho¶ m·n: p + q =

Gi¶i

Ta cã:

3( 2) 3( 2) 3( 2) 0

a b  c b c  a c a  b  (1)

3 2 3

3 2 2

2 2 2

2

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

a b c b c b c b c a b c b c a b c b c a b bc c

b c a b a c a c a c b a c

b c a c ab a b c a b

       

 

         

 

         

 

        

(a b b c a c ab ca cb)( )( )( ) (2)

      

Kết (2) với < a < b < c Nên bất đẳng thức (1) đợc chứng minh

Gi¶i

Ta cã:

2 2 2

(1) [( ) ] [( ) ] ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

 

           

               

 

2 2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) (2)

a b c a b c a b a b c c a b c

a b c c a b ab

a b c c a b

           

 

        

 

       

Vì a, b, c cạnh tam giác nên

2

0

( )

a b c a b c

c a b c a b

    

 



 

     

Vậy (2) nên BĐT (1) đợc chứng minh

Dạng 11 – Phơng pháp đổi biến số

Bµi

Giải:

Đặt : a =

) )(

( 2

2 y x y x   

vµ b =

) )( ( 2 2 y x y x   

=> ab = 2 2 2 2

2 2 ) ( ) ( ) )( ( y x y x y x    

Ta cã dƠ thÊy víi mäi a, b th× : - ( )2

4 ) ( b a ab b

a   

Mµ : (a - b)2 =

2 1         x

(a + b)2 =

2 1         y

Suy : -

4

 ab 

4

Bµi 2:

Gi¶i

Ta cã : x y z

  = ) ( ) ( z x y

x  

≤ 41 (x 1 y + y 1 z ) ≤ 161 ( 1x + 1y + 1z + 1z )

T¬ng tù:

z y x2 

1 ≤ 16 ( x

+ 1y +

z + z ) z y x 

 ≤ 16

1

(

x

1

+ 1y +

z + z )

Cộng theo vế BĐT trên:

z y x 

1

+ x21yz + xy12z ≤

16

( 

x y + z )

Mµ 

x y + z =

VËy x y z

 

1

+ x y z

 2

1

+ x y1 2z



 ≤

DÊu “=” x¶y x = y = z =

3

Bµi 3:

Gi¶i

Ta đặt

1

1

1

a x

b y

c z

    

   

  

víi x y z , , 0 v abc 1 nên xyz 1

Nên BĐT

2 2 3

2

x y z

y z z x x y

   

Mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta cã:

       

2 2

2

x y z

y z z x x y x y z

y z z x x y

 

           

    

 

2 2 33 3

2 2

xyz

x y z x y z

y z z x x y

   

      

  

 

Vậy BĐT đợc chứng minh Dấu “=” xảy  a b c  1

Bµi 4:

Từ giả thiết ta đặt:

a x

a b c b y

a b c c z

a b c 



  

 

 

  

 

  



víi a,b,c >0

Nên BĐT CM a b c 4.a b c 9.a b c 36

a b c

     

  

b c 4.a 4.c 9.a 9.b 22

a a b b c c

      

4 9 .9 22

b a c a c b b a c a c b

a b a c b c a b a c b c

     

          

      (đúng)

DÊu “=” x¶y

1 6

2 1

3 3

1 2

x

b a

y

c a

z

    

 

    



 

Bài 5:

Giải

Từ 1 1

1 1

xyz x y z

x y z

       

  

Ta đặt , ,

1x a 1y b 1z c với a b c , ,

1 1

, ,

a b c b a c c a b

x y z

a a b b c c

     

      

Nên BĐT cần CM  CM BĐT . . .

2

a b b c c a

b c c a   c a a b   a b b c  

Mặt khác ta có:

2

a b a b

b c c a a c b c

 

   

     

b c b c

c a a b b a c a

 

   

     

c a c a

a b b c c b a b

 

   

     

Nên

1

2

a b b c c a a b b c c a

b c c a c a a b a b b c a c b c b a c a c b a b

 

         

             

Vậy BĐT

Dấu “=” xảy  x  y z

Dạng 12 – Phơng pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng). H

íng dÉn:

Bµi 1:

a Ta cã:

   

2 1 (2 1)

1 1 1

2 2 (2 1).(2 1) 2

k k

n n k k k k

    

    

       

Cho n chạy từ đến k Sau cộng lại ta có

1 1

1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2n

 

      

    

b Ta cã:

 

1 1 1

1

1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n n

        



1 1 1

1 2

2 n n n

     

           

     

I - Tìm GTLN GTNN

Giải

Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta cã: x+ y + z 3 xyz3

3 1

3 27

xyz xyz

   

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có:

x y   y z   z x  33 x y   y z   x z 

     

3

2 3 x y . y z . z x

    

DÊu b»ng x¶y x=y=z=1

3

VËy S  8

27 27 729

VËy S có giá trị lớn

729 x=y=z=

3

Bài 2:

Giải

áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z)

Ta cã xy yz zx  2 x2  y2z22

 1 x2 y2 z22

áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho (x y z2, 2, 2) vµ (1,1,1) Ta cã:

2 2 2 2 4

2 2 4

( ) (1 1 )( )

( ) 3( )

x y z x y z

x y z x y z

      

     

Tõ (1) vµ (2)  3( x4 y4 z4)

4 4 1

3

x y z

   

VËy x4 y4 z4

có giá trị nhỏ

3 x=y=z= 3 

Bµi 3:

Gi¶i

A = x2 – 2xy + 3y2 – 2x – 10y + 20

= (x- y -1 )2 + 2(y- 3)2 + 1

mµ (x- y -1 )2 ≥ vµ (y- 3)2 ≥

vËy x2 – 2xy + 3y2 – 2x – 10y + 20 ≥

dÊu ‘ =’ x¶y <=>

  

 

  

0

0

y y x

<=>

  

 

y x

VËy Amin =1 x= , y =

Bài 4:

Giải

Có D =

1

2

  

x x

x xác định với x dơng

Ta cã: A(x2+1) = x2 +x +1

<=> (A-1)x2 - x +A -1 =0

+ Nếu A=1 x =0 ngợc l¹i

+ Nếu A1 muốn tồn x điều kiện cần đủ: 1- 4(A-1)2 

4A2 -8A + 0 <=>

2

A 

2

VËy Amax=

2

Amin=

2

(Khi x=1) (khi x=-1) Bài 5:

Giải

Gọi a số tự nhiên cần tìm

Ta cã a= 29 q +5 =31 q’ =28 (q, q, N

 )

23

) (

29 , ,

  

 q q q

,

q q 

số lẻ ; q-q, 1

A nhỏ q, nhỏ Lúc đó

Hay q-q, nhá nhÊt

q-q, =1 vµ 2q, = 29-23 =6

VËy : q, =3 vµ a =121 số cần tìm

II - Giải phơng trình hệ phơng trình:

Bài 1:

Giải

áp dụng : Nếu a, b > th× :  2

a b b a

(2)  (3 1)(3x2yz)36 z

y x

 6(  )3(  )2(  )22 y z z y x

z z x x y y x

Mặt khác : x, y, z > nªn 6(  )12 x y y x

Vµ 3(  )6

x z z x

; 2(  )4 z y y z

Nªn (  )3(  )2(  )22 y z z y x

z z x x y y x

Dấu '' = '' xảy x = y = z , thay vào (1) ta đợc: x + x2 + x3 = 14 <=> (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0

<=> x - = <=> x =

Vậy hệ phơng trình có nghiệm nhÊt : x = y = z = Bài 2:

Giải

Ta có 3x2 6x 19

  3.(x2 2x1) 16

3.(x1)216 16

5x2 10x 14 5.x 12 9 9

     

VËy 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 5

       

DÊu ( = ) x¶y x+1 =  x = -1

VËy 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 2x x2

        x = -1

Vậy phơng trình có nghiệm x = -1 Bài 3:

Giải

¸p dơng B§T BunhiaCèpski ta cã:

 

2 2 2

2 1 2 2

x  x   x   x  

DÊu (=) x¶y x =

Mặt khác 4y2 4y 3 2y12  2

DÊu (=) x¶y y = -1

2

VËy x 2 x2 4y2 4y 3 2

      x =1 vµ y =-12

Vậy nghiệm phơng trình

1

x y

   



Bài 4:

Giải

áp dụng BĐT Cosi ta có:

4 4 4

4 4

2 2 2

2 2 2 2 2 2

x

2 2

2 2

x y y z z x

y z

x y y z z x

x y y z z y z z x z y x

  

    

  

  

  

2 2

.( )

y xz z xy x yz xyz x y z

  

  

V× x+y+z = Nªn x4 y4 z4 xyz

  

DÊu (=) x¶y x = y = z =1

3

VËy 4 x y z4 4

x y z xyz

   



  



cã nghiÖm x = y = z =1

3

Bµi 5:

Tõ phơng trình (1) 8 y2 0

hay y

Từ phơng trình (2)  x2 2 x y 2 x

2

2

2 2

( 2)

2

2

x x

x x x

   

  

 

 

NÕu x = 2 th× y = 2, nÕu x = - 2 th× y = -2 2

Vậy hệ phơng trình có nghiệm 2

x y

 

 

  

vµ 2

2 x

y

 

 

  

III Tìm nghiệm nguyên phơng trình: Giải

Không tính tổng quát ta giả sử x y z

Ta cã 1 2z

x y z z

  

Mà z nguyên dơng z =

Thay z = vào phơng trình ta đợc 1

x y 

Theo giả sử xy nên = 1

x y

1

y

  y2 mà y nguyên dơng Nên y = y =

Với y = không thích hợp Víi y = ta cã x =

Vậy (2 ,2,1) nghiệm phơng trình

Hoán vị số ta đợc nghiệm phơng trình (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2)

p

Phần V - Bài tập tự gi¶i

1 Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) x2 y2  z2 xy yz zx 

b) x2y2z2 2xy 2yz 2zx  c) x2y2z23 2(x y z)  

d) x2y2z2t2k2 x(y z t k)  

e)

2 2

2

x y z x y z

( )

3

   



2 Cho a1 a2 a3 vµ b1 b2 b3

a) a1 a b2 b2 a b1 a b2

2 2

  



b) a1 a2 a b3 b2 b3 a b1 a b2 a b3

3 3

     



¸p dơng: (x y)(x 3 y )(x3 y7) 4(x11y )11 Víi x,y >0 3Cho a,b,c,d 0 Tho· a c d, b c+d  

Chøng minh: ab ad bc 

4 Cho a,b,c >0 tho· a2 b2 c2

1 1 a b c  abc

5.Cho a,b,c 1  Chøng minh r»ng:

3 3 2

2a 2b 2c  3 a b b c c a 

6 Chøng minh r»ng:

a) (a c) 2(b d)  a2b2  c2d2

b) 2 2

1 x 1 y 1 xy Víi (xy 1) Cho < a < b < c Chøng minh r»ng:

a) a (b3 2 c ) b (c2  2 a ) c (a2  2 b ) 02 

b) b(1 1) 1(a c) (a c)(1 1)

a b  b    a c

8 Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác.Chứng minh rằng: a) a2b2c2 2(ab bc ca) 

b) abc (a b c)(b c a)(c a b)      

c) a3b3 c32abc a (b c) b (c a) c (a b)     

d) a(b c) 2b(c a) 2c(a b) a3b3c3

e) 2a b2 22b c2 22c a2 2 a4  b4  c4  0 Cho a,b,c,d 1  Chøng minh r»ng:

2 2 2

(a b c d)   4(a b c d )

10 Cho a1, a2 >0 vµ a c1 1 b , a b12 2 2 b22 Chøng minh r»ng:

((a1a )(c2 1c ) (b2  1b )2

11 Cho a, b, c >0 Chøng minh:

a b c

b c c a a b  

12 a,b,c cạnh mét tam gi¸c Chøng minh:

a b c

3 b c a a c b a b c        

13 Cho a, b, c, d >0 vµ abcd=1 Chøng minh r»ng:

2 2

a b c d a(b c) b(c d) d(c a) 10     

14 Cho tam giác ABC Lấy điểm M tam giác, đờng thẳng AM, BM, CM cắt cạnh tam giác lần lợt A1, B1, C1 Chứng minh rằng:

1 1

AM BM CM

6 A M  B M  C M  15 Cho a,b>0 vµ x+y=1 Chøng minh r»ng:

2

2

14 ab a b 

16 Chứng minh điều kiện cần đủ để số a, b, c dấu

ab+bc+ca>0 vµ 1 ab bc ca  

17 Chứng minh không tồn số x,y,z đồng thời thoã mãn ba bất đẳng thức

sau: x  y z , y  z x , z  x y

18 Cho 0<a,b,c<1 Chứng minh có bất đẳng thức sau

sai: a(1 b) 1, b(1 c) 1, c(1 a)

4 4

     

19 Cho sè a,b,c,d tho· m·n ®iỊu kiƯn ac 2(b d) 

Chứng minh có bất đẳng thức sau sai:

2

a 4b, c 4d

20 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng:

2 2 2 2 2

a b (b c) , b c (c a) , c a (a b)

2 2

        

21 Cho a, b >0 Chøng minh

1 a b a b a b

( )

2 a b a b a b



   

     

22 Cho a, b, c >0 Chøng minh

a b c d

A

a b c b c d c d a d a b

   

       

23 Cho a ,b ,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng:

a b c

1

b c c a a b

   

  

24.Cho n số nguyên dơng, chứng minh:

2

1 1

n n 1    n  25 Chøng minh r»ng:

a) 2 2

11 13   n (n 1)  Víi n 1

b) 1 2

9 16  (2n 1)  Víi n 1

c) 2( n 1) 1 n 1(n 2)

2 n

        

26 Cho an (2n 1)( n2 n 1)(n 1,2, )

  

Chøng minh r»ng: a1 a2 an n n

   



27 Cho a>b>0 Chøng minh r»ng: a b(a b)

 

 28 Cho a,b,c >0, a+b+c=1 Chøng minh r»ng:

1 1

(1 )(1 )(1 ) 64

a b c

   

29 Cho a , a ,a ,a , a >0 1 2 3 4 5 Cã tæng b»ng Chøng minh r»ng:

1

1 1 1

( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) 1024

a  a  a  a  a  

30 Cho h×nh thang ABCD cã AD//BC cã diện tích S Gọi E giao điểm hai

®-êng chÐo Chøng minh r»ng SABE 1S 

31 Cho a,b,c cạnh tam giác cã chu vi 2p Chøng minh r»ng:

p  p a  p b  p c  3p

32 Cho 3x-4y =7 Chøng minh r»ng: 3x -4y 2 7

Hớng dẫn – Gợi ý BT tự giải Sử dụng phơng pháp định nghĩa phép biến đổi tơng đơng

1 a) (x y) 2(y z) 2(z x) 0

b) (x y z)  0

c) (x 1) 2(y 1) 2(z 1) 0

d) (x y)2 (x z)2 (x t)2 (x k)2

2   2  2  2 

e) (x y) 2(y z) 2(z x) 0

2 Sử dụng phơng pháp định nghĩa phép biến đổi tơng đơng

a) 1(a b1 1 a b )2 2 1(a1 a ) (b2 1 b )2 1(a1 a )(b2 1 b ) 02

2     4   

b)(a1 a )(b2 1 b ) (a2  2 a )(b3 2 b ) (a3  1 a )(b3 1 b ) 03 

3 Sử dụng phơng pháp định nghĩa phép biến đổi tơng đơng

a c d,b d c     (a c)(b d) cd    điều phải chứng minh Sử dụng phơng pháp định nghĩa phép biến đổi tơng đơng

2 2

(a b c) ac bc ab (a b c )

2

          

5 Sử dụng phơng pháp định nghĩa phép biến đổi tơng đơng

2 2 3

(1 a )(1 b) a b a     b a b

Tơng tự: 1 b c b  3c ,1 c a c3   2a3.cộng lại đợc điều phải chứng

minh

6 Sử dụng phơng pháp định nghĩa phép biến đổi tơng đơng

a)ac bd  (a2b )(c2 2d )2

7 Sử dụng phơng pháp định nghĩa phép biến đổi tơng đơng a)(a b)(c a)(c b)(ab bc ca) 0      (0 a b c   );

b)(a c)(b c)(b a) 0   

8 Sử dụng phơng pháp định nghĩa phép biến đổi tơng đơng Bất đẳng thức tam giác

a)a2  a(b c) , b2  b(b c), c  c(c a) cộng lại đợc điều phải chứng minh;

b)

2 2

(a b c)(b c a) b

(b c a)(c a b) c

(c a b)(a b c) a

    

    

    

Nhân vế bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh c) (a b c a b c a c b  )(   )(   ) 0

d)(a b c b c a a c b  )(   )(   ) 0

e) (a b c a b c a c b b c a  )(   )(   )(   ) 0

9.áp dụng Bất đẳng thức phụ

áp dụng (x y )2 4xy vàx x khi 0 x

10 ¸p dơng (x y )2 4xy

11 .áp dụng Bất đẳng thức phụ Chia bất đẳng thức nhỏ sau đó:

Cộng vế theo vế áp dụng (x y z)(1 1) ( , ,x y z 0)

x y z

     

12 áp dụng phơng pháp đổi biến số

Đặt x b c a y a c b z a b c   ,    , áp dụng x y

y  x  víi x y ,

13 Ta cã cd

ab

 nªn a2 b2 c2 d2 2(ab cd) 2(ab )

ab

       

Vµ a b c( ) b c d( ) d c a( ) (ab ) (ac ) (bc )

ab ac bc

           

14 Gäi S S S S, ,1 2, 3 lần lợt diện tích tâm giác ABC, MBC, MAC, MAB Ta có:

1 1

1 1 1

AA S AM AA MA S S S S

A M S A M A M S S

  

    

T¬ng tù cho

BM

B M vµ 1 CM

C M Sau áp dụng

1

x x

  (x > 0)

15 2 2 2 2 2( 2 2)

2 2

ab a b  ab a b  ab ab a b

¸p dơng (x y )2 4xy vµ 1 ( ,x y 0)

x  y x y  16 Sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng Xét hai trờng hợp

TH1: abc 0 a > 0, b > 0, c > TH2: abc < th× a < 0, b < 0, c <

17 Bình phơng hai vế bất đăng thức cho, chuyển vế trái nhân lại

18 (1 ) ( 1)

4

a a a

     

19 a2 c2 4(b d ) ac Vô lý

20 Giả sử 2 1( ) ,2 2 1( ) ,2 2 1( )2

2 2

a b  b c b c  c a c a  c a

Cộng lại ta đợc: (a b )2 (b c )2 (c a )2 0, vô lý ! 21 Sử dụng tính chất đặc biệt tỉ lệ thức

,

1 1

a a b b a b

a a b b a b

 

 

     

22 Sử dụng tính chất đặc biệt tỉ lệ thức

a a a d

a b c d a b c a b c d



 

23 T¬ng tù bµi 22: a a a a

a b c b c a b c



 

    

24 Sö dụng phơng pháp làm trội

2

2 2

1 1 1 1

1

n n

n n n n n n n n



       

25 Sử dụng phơng pháp lµm tréi

a) 2 2 2 1 1( );

( 1) 2

k k   k  k   k  k 

b) 2 2 1 1( );

(2k 1) 4k 4k 1 ( k k1) 4 k  k 1

c) 1 1 2( )

2 k1 k   k  k  k  k   k vµ

2( )

1 k k

k    

26 Sử dụng phơng pháp làm trội

2

2( ) 1

1

4

k

k k

a

k k

k k

 

  



 

27 Sö dơng B§T Cosi

1

( )

( ) ( )

a a b b

b a b b a b

     

 

28 Sö dơng B§T Cosi

4

1 a b c 1 b c bc

a

a a a a a

 

       

29 Sư dơng B§T Cosi

4

2

1 5

1 1 1 1

4

1 a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a

   

       

30 Sử dụng BĐT Cosi

Chỉ cần chứng minh S2ABE SCEB.SAED vµ

4 2 2

4,

( )

ABE

S x y

S x y

 



 



 

víi x = BC, y = AD

31 Sư dơng B§T Bunhiacopsky

(1 p a 1 p b 1 p c ) 3p

32 Sư dơng B§T Bunhiacopsky

2 2

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/