Chuyên đề bồi dưỡng HSG lớp 9 Phần bất đẳng thức

A.MỤC TIÊU:1Học sinh nắm vững một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức.2Một số phương pháp và bài toán liên quan đến phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm sẽ cho học sinh học sau.3Rèn kỹ năng và pp chứng minh bất đẳng thức.B NỘI DUNG PHẦN 1 : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1 Định nghĩa 2 Tính chất 3Một số hằng bất đẳng thức hay dùng

Chuyờn đề: BẤT ĐẲNG THỨC

A.MỤC TIấU:

1-Học sinh nắm vững một số phương phỏp chứng minh bất đẳng thức.

2-Một số phương phỏp và bài toỏn liờn quan đến phương trỡnh bậc hai sử dụng cụng thức nghiệm sẽ cho học sinh học sau

2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng

3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc

4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu

2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và bất phơng trình

3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên

+ A>B  B  A

+ A>B và B >C  A  C

1 1



3-một số hằng bất đẳng thức

+ A2  0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ An  0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ A  0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ - A < A < A

+ A B A  B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+ A B A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Vậy x2 + y2 + z2  xy+ yz + zx

Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu

x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz )

=( x – y + z)2  0 đúng với mọi x;y;zR

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

2 2

2 2

Vậy

2 2

2 2

2 2

1 2 2

2 2

a n

a a

0 1 4

4 4

4

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

m n

0 2

0 2

0 2

m q m

p m

n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y Chứng minh

y x

y x

 x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

 (x-y- 2)2  0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

z y x

1 1

x (vì1x1y 1z< x+y+z theo gt)  2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

Ph ơng pháp 3 : dùng bất đẳng thức quen thuộc

a a

3 2 1 3

2 1

2

2 a a n.x x n xa xa xa n

a          

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c

vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR: 111 9

c b

a (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z 4 ( 1  x)( 1  y)( 1  z)

3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:

b c b a

4)Cho x 0,y 0 tháa m·n 2 x y  1 ;CMR: x+y

c c a

b c b

a a b c

2 2 2

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

.

2 2 2 2

2 2

=

2

3 3

1

=

2 1

VËy

2

1

3 3 3

b c b

a DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=

3 1

vÝ dô 4:

Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

      10

2 2 2 2





x

ab c

b

a (1) MÆt kh¸c: abcbcddca

ac ab ab

1 1

d c a

d c a

1 1 1 1

6

5

  1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã

c b a

1 1 1

(§iÒu ph¶i chøng minh)

c a b

c a b

d

c d b

c a b

a d

c b

d a d c

c d c b

b c b

d a c b a

a c

a c

b a

a



d c b a

d a

d c b a

a b d c b

b d

c b

c b a d c

c d c b

c d b a d

d d

c b

d a d c

c d c b

b c

cd ab







2 2

cd d b

cd ab b

cd ab







2

2 ®iÒu ph¶i chøng minh

vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a

 gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :

c

a d

b

c

a d

b

d

b d c

b a c

a

d c

999 1

 §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

Dùngcác tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.

2 2

n

a

a a

a a

a a a

2

1 1

1 2

n

Giải:

Ta có

n n n k

1 1 1

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

1

n Với n là số nguyên Giải :

k k k

k     2 1

1

2 2

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

1

n

Ví dụ 3 :

1 1

1 1

1 1

3

1 2

1

1 1

1 1

3

1 2

1 3

1

2

1 1 2

1

2 2

2 2

u ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0

Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

c a b

c b a

) (

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

b c b

a

(1)Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

2

x z

y 

; b =

2

y x

z 

; c =

2

z y

x y

z y

x x

z x y

 (  )  (  )  (  )  6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2 ;

y

x x

y

  2

z

x x

z

;   2

z

y y

z

nên ta có điều phải chứng minh

1 2

1

2 2

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có

1 1 1

Mà x+y+z < 1

Vậy 111 9

z y

b c b a

2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0

CMR

 m n p m n p

b a

pc a c

nb c b

2

2 2

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0ta thực hiện các bớc sau :

1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0

Ví dụ1:

Chứng minh rằng

n n

1 2

1

2

1 1

1

2 2

1

1    (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

1 1

2

1 1

1

2 2

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

2   k  k   k k   k



k  k k

k

1 1

1 1

1 ) 1 (

1

1

1

2 2

1 1

k k k

b a b

2

2

1 1 1

1 1

1 1

a    a k  b k.a b 0

(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b  k k k k

b a b

a     a k  b k.a b 0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)

Ph ơng pháp 11: Chứng minh phản chứng

L u ý :

1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức

đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái vớigiả thiết , có thể là điều trái ngợc nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :

C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng

D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau

E – Phủ định rồi suy ra kết luận :

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac  2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng

Nếu x+y+z > 1x1y1z thì có một trong ba số này lớn hơn 1

Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

=x + y + z – (1x1y1z ) vì xyz = 1

theo giả thiết x+y +z > 1x1y1z

nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

Phần iii : các bài tập nâng cao







y x y x

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

2) Cho xy  1 Chứng minh rằng

xy y

x    

2 1

1 1

1

2 2

Giải :

Ta có

xy y

x    

2 1

1 1

1

2 2

1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

y xy xy

x

x xy



    1 .1  0

) ( 1

1

) (

y x y xy

x

x y x

    

1

2 2

x

xy x y

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

Iii / dùng bất đẳng thức phụ

c c

b a

b c

a b a

b a

c c

a a

b b a

áp dụng BĐT phụ   2

x

y y

x

Với x,y > 0

Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng

c b c

b

2 3

3

2 3

V× a ,b ,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a,b,c > 0

- NÕu f(x)  A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A

- NÕu f(x)  B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B

(2)  DÊu b»ng x¶y ra khi 2  x 3

VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2  x 3

VÝ dô 2 :

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1

VÝ dô 3 : Cho xy+yz+zx = 1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x4 y4 z4

Gäi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ 2a

§êng cao thuéc c¹nh huyÒn lµ h

H×nh chiÕu c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn c¹nh huyÒn lµ x,y

Ta cã S =1   2

2 x y h a h a h   a xy

VËy S lín nhÊt khi x.y lín nhÊt  xy

VËy trong c¸c tam gi¸c cã cïng c¹nh huyÒn th× tam gi¸c vu«ng c©n cã diÖn tÝch lín nhÊt

x y

2 2 2

y xz z xy x yz xyz x y z

4 8 2

x x x

Iii/ dùng B.Đ.t để giải ph ơng trình nghiệm nguyên

1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn

x y

y z z

x y z

Với y = 1 không thích hợp

Với y = 2 ta có x = 2

Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phơng trình

Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phơng trình

 k y k  1

Mµ gi÷a k vµ k+1 lµ hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp kh«ng tån t¹i mét sè nguyªn d¬ng nµo c¶

Nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn d¬ng nµo tho¶ m·n ph¬ng tr×nh

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ : 0

0

x y