Tham khảo tài liệu ''tài liệu ôn toán - bài tập hình học lớp 12 - phần 7'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Trần Sĩ Tùng Þt= PP Toạ độ khơng gian abc a b + b 2c + c 2a ỉ ab c a2 bc a2 b c ị Hỗ ; ; ữ ỗ a2 b + b2 c + c a a b2 + b c + c a a b + b c + c a ÷ è ø ìuuur a2 = AH (-ab - ac2 ; bc2 ; b2 c ) ï 2 2 2 ï a b +b c +c a Þí uuur b2 ïBH = (ac ; - a b - bc ; a 2c) 2 2 2 ïỵ a b +b c +c a ìuuur ï AH ï Þí uuur ïBH ïỵ uuur BC = a2 uuur AC = (-ab - ac ; bc ; b2 c )(0; - b; c ) = 2 2 2 2 2 2 a b +b c +c a b2 a b +b c +c a (ac ; - a 2b - bc ; a 2c)(- a; 0; c) = ì AH ^ BC Þí Þ H trực tâm DABC ỵ BH ^ AC Chứng minh = OH OA OA Þ OH + OB = + OA OC + OB OB + OC -abc OH = d (O, ( ABC )) = + Þ a2 b + b2 c + c a = a2 + + OC b2 + c2 = OH = a2 b2 + b2c + c a2 a b2 c a2 b + b2 c + c a a2 b2c2 Chứng minh cos a + cos2 b + cos g = r r Nhận xét: cos a = cos · (OAB), ( ABC ) = cos n(OAB ) , n( ABC ) ( ) ( r r n = n( ABC ) = (bc; ac; ab) r r r r r r n1 = n(OAB ) = k = (0, 0, 1); n2 = n(OBC ) = i = (1, 0, 0); Gọi ) r r r n3 = n(OAC ) = j = (0, 1, 0) r r r r r r Þ cos a + cos2 b + cos2 g = cos (n1, n ) + cos2 (n2 , n ) + cos (n3 , n ) = Vậy: a2 b2 a b + b c + c a2 + b2c2 a2 b + b2 c + c a + a2c a2 b2 + b2c2 + c 2a2 cos a + cos2 b + cos g = Trang 59 PP Toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH = 2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) O, lấy điểm S cho OS = 2a Tính cosin góc j tạo hai mặt phẳng (SAB) (SAC) Trên đoạn OH lấy điểm I Đặt OI = m (0 < m < a) Mặt phẳng (a) qua I, vuông góc với AH cắt cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q a Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x b Tìm m để diện tích MNPQ lớn Giải: Gọi D trung điểm AB Þ OD ^ OH BC 4a AH = Þ BC = a Þ OD = BC = S z P 2a E Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: ổ a O(0; 0; 0), D ỗ ; 0; ÷ , H (0; a 0), S(0; 0; 2a) è ø A ỉ 2a ỉ 2a ị A(0; - a; 0), B ỗ ; a; ữ , C ỗ ; a; ữ ố ø è ø Tính cos j : C j O a x N Q m I D M B Vẽ BE ^ SA E Þ CE ^ SA (vì SA ^ ( BCE )) Þ j = · BEC uur SA = (0; a; 2a) = a(0; 1; 2) ìx = ï Phương trình đường thẳng SA: í y = - a + t ïỵz = 2t (t Ỵ R ) Phương trình mp(BCE): ( y – a ) + 2z = Thay x, y, z vào phương trình (BCE), ta được: -2a + t + 4t = Þ t = 2a ì uuur ỉ 2a 8a -4a 2a ; ; (5; 3; - ) ù EB = ỗ ÷= ỉ 5 ø 3a 4a ù ố ị E ỗ 0; - ; ữ Þ í uuur ỉ 5 ø è ï EC = ỗ - 2a ; 8a ; - 4a ửữ = - 2a (5; - 3; ) ïỵ ø 5 è 2a 2a (5; 3; - )(5; - 3; ) uuur uuur 35 3 Þ cos j = cos( EB, EC ) = = = 85 17 ỉ 2a 85 85 ç ÷ è 3ø Vậy cos j = 17 uuur Ta có: I(0; m; 0), OH = a(0; 1; 0) Þ phương trình mp(MNPQ): y – m = Trang 60 H y Trần Sĩ Tùng a PP Toạ độ khơng gian Tính SMNPQ: Ta có: uuur ổ 2a 2a AB = ỗ ; 2a; ÷ = (1; 3; 0) ; è ø uur ổ 2a a SB = ỗ ; a; - 2a ÷ = (2; 3; - ) ; è ø ìx = t ï Phương trình đường thẳng AB: í y = - a + 3t ïz = ỵ ỉa+m M = AB ầ ( MNPQ) ị M ỗ ; m; ữ è ø ìx = t ï Phương trình đường thẳng AC: í y = - a - 3t ïz = ỵ ỉ -a - m N = AC ầ ( MNPQ ) ị N ỗ ; m; ÷ è ø ì x = 2t ï Phương trình đường thẳng SB: í y = 3t ïz = 2a - 3t ỵ uuur ỉ 2a 2a AC = ỗ ; 2a; ữ = (1; - 3; 0) 3 è ø uur æ 2a a SC = ỗ ; a; - 2a ữ = (2; - 3; ) 3 è ø (t Ỵ R ) (t Ỵ R ) (t Ỵ R ) ỉ 2m Q = SB Ç ( MNPQ ) ị Q ỗ ; m; 2a - 2m ÷ è ø ì x = 2t ï (t Ỵ R ) Phương trình đường thẳng SC: í y = - 3t ïz = 2a + 3t ỵ ỉ 2m P = SC Ç ( MNPQ ) ị P ỗ ; m; 2a - 2m ữ è ø uuur ỉ m - a uuur æ - a - 3m ö uuuur æ -2a - 2m ị MQ = ỗ ; 0; 2a - 2m ữ ; MP = ỗ ; 0; 2a - 2m ữ ; MN = ỗ ; 0; ữ 3 è ø è ø è ø uuur uuur uuur uuuu r SMNPQ = [MQ, MP ] + [ MP, MN ] æ 4m - 4a ử ổỗ ổ 8m(m - a) = ; ữ + ỗ 0; ; 0ữ ữ ỗ 0; ỗ ữữ 2ỗ ố 3 ứ è øø è 2 æ 8m(a - m) 4a - 4m ö 4a 2a = ç + m + m+ ÷ =÷ çè 3 3 ø Þ SMNPQ = (-3m + 2am + a2 ) ( b/ ) Tìm m để (SMNPQ)max: Bảng xét dấu: Trang 61 PP Toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng m –¥ a +¥ -3m + 2am + a Ơ 4a Ơ ị SMNPQ Ê 4a 8a = 3 3 Vậy (SMNPQ )max = Cách khác: 8a a m = 3 SMNPQ Þ (SMNPQ )max = é ỉ ù ê (a - m) + ç m + a ÷ ú ø ú 8a ỉ ê è = ( a - m) ỗ m + ữ Ê úû = ø ( coâsi) ë 3 è 8a 3 Û a-m = m+ a a Û m= 3 Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA= a, OB = b, OC = c Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp (S) OABC Tính bán kính r (S) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh hai mặt phẳng (OMN) 1 (OMP) vng góc Û = + a b2 c Giải: Chọn hệ trục Oxyz cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Tính r: Ta có: VI AOB + VI OBC + VI OCA + VI ABC = VOABC r abc Þ (SDOAB + SDOBC + SDOCA + SD ABC ) = uuur uuur SD ABC = [ AB, AC ] = [(- a; b; 0), (- a; 0; c)] 2 = a b + b2c + c2 a2 r abc (1) Þ (ab + bc + ca + a b + b c2 + c a ) = 6 abc Vậy r = ab + bc + ca + a b + b 2c2 + c a2 Chứng minh (OMN) ^ (OMP) Û Ta có: = + a2 b c ổ b cử ổa ổa b cử M ỗ 0; ; ữ , N ỗ ; 0; ữ , P ỗ ; ; ữ ố 2ứ ố2 2ø è2 ø uuur uuur æ bc ac ab ö r n(OMN ) = [OM , ON ] = ç ; ; - ÷ è 4 ø Trang 62 z C M c N O a x A b P B y Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ khơng gian uuur uuur ỉ bc ac ab ö r n(OMP ) = [OM , OP ] = ç - ; ;- ÷ è 4 ø r r Þ (OMN ) ^ (OMP ) Û n(OMN ) n(OMP ) = b c a2 c a b Û+ + = Û a (c + b ) = b c 16 16 16 Û a = b + c2 Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD = 2a Trên tia Az ^ ( ABCD ) lấy điểm S Mặt phẳng (a) qua CD cắt SA, SB K L Cho SA = 2a, AK = k (0 £ k £ 2a) a Tính diện tích tứ giác CDKL Tính k theo a để SCDKL lớn nhất, nhỏ b Chứng tỏ khoảng cách hai đường thẳng KD BC khơng đổi c Tính k theo a để (a) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần tích Gọi M, N trung điểm SC, SD Tìm quỹ tích giao điểm I AN, BM S di động tia Az Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D(0; 2a; 0), S(0; 0; 2a) AK = uuu kÞ Kr(0; 0; k ), £ k £ 2a r uuu r na = [KC , KD ] = a(0; k; 2a) z S Phương trình (a ) : k ( y - 2a) + 2az = Û ky + 2az - 2ak = uur SB = a(1; 0; - 2) ìx = a + t ï Phương trình đường thẳng SB: y = (t ẻ R ) ùợz = -2t a/ K L ỉ k a (a ) ầ SB = L ị L ỗ a - ; 0; k ÷ è ø B SCDKL = SDCKL + SDCKD: uuur uuur uuur uuur x = [CK , CL ] + [CK , CD ] 1ổ k = ỗ [(- a; - 2a; k , - ; - 2a; k ] + [(- a; - 2a; k ,(- a; 0; 0)] ÷ 2è ø ỉ 2a - k a k = ỗ 4a + k + a 4a + k ÷ = 4a2 + k 2è ø ( ) 4a - k -2k + 4ak - 4a 2 / Xét f (k ) = 4a + k Þ f ( k ) = Þ M ç ; a; ÷ , N ç 0; a; ÷ è2 2ø è 2ø uuur uuur 1 BM = - (a; - 2a; - s); AN = (0; 2a; s) 2 ì x = a + at1 ï Þ Phương trình đường thẳng BM: í y = -2at1 ïz = - st ỵ ìx = ï Phương trình đường thẳng AN: í y = 2at2 ïỵz = st2 I = ( AN ) Ç (BM ) Þ I (0; 2a; s) uur uur uur Ta có: ID = (0; 0; - s) Þ ID / / AS (t1 Ỵ R) (t2 Ỵ R) Vậy quỹ tích I nửa đường thẳng Dt ^ ( ABCD ) (trừ điểm D, s > 0) Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a ; · ASB = a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp Tìm a để tâm mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp trùng Giải: Ta có: AC = BD = 2a Gọi SO đường cao SO= h Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),S(0; 0; h) Trang 64 Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ khơng gian Þ C (- a; 0; 0), D (0; - a; 0) Tâm I R (S) ngoại tiếp chóp S.ABCD Do S.ABCD hình chóp tứ giác u nờn I ẻ OS ị I (0; 0; z0 ) S a Phương trình mặt cầu (S): x + y + z2 - z0 z + d = ìïa2 + d = Þí ïỵh - z0 h + d = ì d = -a ï Þí h2 - a2 x A ïz0 = 2h ỵ ỉ ỉ h2 - a h2 - a2 h2 + a2 Þ I ỗ 0; 0; ữ, R = ỗ ữ+a = 2h ø 2h è è 2h ø uur uur SA.SB (a; 0; - h)(0; a; - h) h2 Mặt khác: cos a = = = SA.SB a2 + h2 a2 + h2 A, S Ỵ (S ) a2 cos a - cos a Þ h= R= Vậy: OI = z h D C O a B (a nhọn DSAB cân S) a cos a (1 - cos a ) a(2 cos a - 1) cos a (1 - cos a ) Tâm J r (S/) nội tiếp chóp S.ABCD: J Î OS Þ J (0; 0; r ), OJ = r Ta có: r VS ABCD = Stp ; 2a h VS ABCD = h(a )2 = 3 Sxp = 4SDSAB = SA.SB sin a = 2(a + h )sin a Þ Stp = Sxp + SABCD = 2(a + h )sin a + 2a Þr= a2 h a2 + (a + h2 )sin a = a cos a (1 - cos a ) + sin a - cos a a cos a (1 - cos a ) = r + sin a - cos a Tìm a để I º J Vậy: OJ = Iº J a cos a (1 - cos a ) + sin a - cos a cos a (1 - cos a ) Û (2 cos a - 1)(1 + sin a - cos a ) = cos a (1 - cos a ) Û (1 - cos a sina ) + (sin a - cos a ) = Û (sin a - cos a )(sin a - cos a + 1) = Û sin a = cos a (do sin a + - cos a > 0) Û a = 45o (do a nhoïn) Û OI = OJ Û a(2 cos a - 1) = Vậy I º J Û a = 45o Trang 65 y PP Toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = b, SA = 2a vng góc với đáy Trên cạnh SA lấy điểm M, AM = m ( £ m £ 2a) Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện hình Tính diện tích thiết diện? Tìm vị trí M để diện tích thiết diện lớn Tìm vị trí M để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần tích Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; 2a) Þ C (a; b; 0), M (0; 0; m) (0 £ m £ 2a) uuur uuur uuur r Ta có: n( MBC ) = [MB, MC ] = b(m; 0; a) SD = (0; b; - 2a) z S Þ Phương trình mặt phẳng (MBC): mx + az - ma = 2a ìx = ï Phương trình đường thẳng SD: í y = b + bt (t ẻ R) ùợz = -2at m ổ 2ab - mb Gọi N = SD Ç ( MBC ) ị N ỗ 0; ; mữ 2a ố ứ Hình tính diện tích BCMN uuuur ỉ 2ab - mb Ta cú: MN = ỗ 0; ; ÷; 2a è ø N M A b a B C x uuur BC = (0; b; 0); uuur MB = (a; 0; - m) ì MN P BC Þí Þ BCMN hình thang vng ỵBC ^ MB SBCMN MB = ( MN + BC ) = ö 4ab - mb a + m æ 2ab - mb + b÷ = a + m2 ç 2a 4a è ø Tìm vị trí M để SBCNM lớn nhất: b Ta có: S(m) = ( 4a - m ) m + a 4a Þ S(/m ) = b é ( a - m )m ù b -2m + 4am - a2 2 m + a + = ú 2 a 4a êêë m + a ûú m2 + a2 S(/m) = Û m = m –¥ a(2 ± ) – S(/m ) S(m ) a(2 - ) + a(2 + ) – 2a ab 71 + 8 ab ab 71 - 8 Trang 66 ab +¥ D y Trần Sĩ Tùng Þ Smax = PP Toạ độ không gian ab 71 + a(2 + ) Û m= ab 71 - a(2 - ) Û m= Tìm vị trí M để VS.BCNM = VS ABCD Smin = Ta có: d (S, ( MBC )) = 2a - ma m + a2 2a - ma 4ab - mb b(4a - m )(2a - m) Þ VS.BCNM = m + a2 = m + a2 4a 12 2a b VS ABCD = 2a ab = 3 (4a - m)(2a - m ) Yêu cầu toán Û = a2 Û m - 6am + 4a = Û m = (3 - )a (vì m £ 2a) Vậy AM = (3 - )a Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a Chứng minh A/ C ^ ( AB / D / ) Tính góc j (DA¢C) (ABB¢A¢) Trên cạnh AD/, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 < k < a ) a Chứng minh MN // (A/D/BC) b Tìm k để MNmin Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD¢, DB Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a) ỉ ỉ k k k k AM = DN = k ị M ỗ 0; ; ; a; 0ữ ữ, N ỗ 2ứ ø è è z Chứng minh A/ C ^ ( AB / D / ) : uuuur ì A/ C = (a; a; - a) ïïuuuur Ta có: íuuuu AB /r = (a; 0; a) ï / ùợ AD = (0; a; a) uuuur uuuur r ị n( AB/ D / ) = AB / , AD / = (- a ; - a2 ; a ) uuuur é A / C , nr ù = é(a; a; - a), (-a ; - a ; a ) ù = 0r / / û ú ë ( AB D ) û ëê r uuuu r Þ A/ C P n( AB / D / ) Vậy A/ C ^ ( AB / D / ) Trang 67 A/ D/ B/ C/ k M D A N B z a k C y PP Toạ độ khơng gian uuuur uuuur ìï A/ C AB / = ïì A / C ^ AB / Þ í / Þ A / C ^ ( AB / D / ) Cách khác: íuuuur uuuur / / / ïỵ A C AD = îï A C ^ AD uuuur uuur r Tính j: n1 = [DA / , DC ] = (0; a2 ; a ) r r r n2 = n( ABB / A / ) = j = (0; 1; 0) r r n1.n a2 Þ cos j = r r = = a2 n1 n 2 Trần Sĩ Tùng Vậy j = 45o a Chứng minh MN // (A/D/BC): uuuur MN = ( k ; a - 2k ; - k ) uuuur uuur r r n = n( A / D / BC ) = [BA / , BC ] = - a (1; 0; 1) uuuur r - a Ta có: MN n = (k - k ) = Þ MN P ( A/ D / BC ) (do M Ï( A/ D / BC ) ) b/ Tìm k để MNmin: Ta có: MN = (6k - 2ak + 2a ) k –¥ a MN2 ị MN = a +Ơ a2 a Û k= a 3 uuuur a a Khi k = MN = (1; 1; - 1) 3 uuuu r ìuuuur a / / ïï MN AD = (1; 1; - 1)(0; a; a) = ì Þ íuuuur uuur Þ í MN ^ AD ỵ MN ^ BD ï MN BD = a (1; 1; - 1)(- a; a; 0) = ïỵ Vậy MN đoạn vng góc chung AD/ BD Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD/A/ Tính bán kính R mặt cầu (S) qua điểm C, D/, M, N Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S/) qua A/, B/, C, D Tính diện tích S thiết diện tạo mặt phẳng (CMN) hình lập phương Trang 68 ... ] + [CK , CD ] 1ổ k = ỗ [ (- a; - 2a; k , - ; - 2a; k ] + [ (- a; - 2a; k , (- a; 0; 0)] ÷ 2è ø ỉ 2a - k a k = ỗ 4a + k + a 4a + k ÷ = 4a2 + k 2è ø ( ) 4a - k -2 k + 4ak - 4a 2 / Xét f (k ) = 4a +... = PP Toạ độ không gian ab 71 + a(2 + ) Û m= ab 71 - a(2 - ) Û m= Tìm vị trí M để VS.BCNM = VS ABCD Smin = Ta có: d (S, ( MBC )) = 2a - ma m + a2 2a - ma 4ab - mb b(4a - m )(2a - m) Þ VS.BCNM... 0; - ; ữ ị uuur ổ 5 ứ ố ù EC = ỗ - 2a ; 8a ; - 4a ư÷ = - 2a (5; - 3; ) ïỵ ø 5 è 2a 2a (5; 3; - )(5; - 3; ) uuur uuur 35 3 Þ cos j = cos( EB, EC ) = = = 85 17 æ 2a 85 85 ỗ ữ ố 3ứ Vy cos j = 17