1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Tài liệu ôn toán - Bài tập hình học lớp 12 - phần 7

10 5 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 10
Dung lượng 330,24 KB

Nội dung

Tham khảo tài liệu ''tài liệu ôn toán - bài tập hình học lớp 12 - phần 7'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Trần Sĩ Tùng Þt= PP Toạ độ khơng gian abc a b + b 2c + c 2a ỉ ab c a2 bc a2 b c ị Hỗ ; ; ữ ỗ a2 b + b2 c + c a a b2 + b c + c a a b + b c + c a ÷ è ø ìuuur a2 = AH (-ab - ac2 ; bc2 ; b2 c ) ï 2 2 2 ï a b +b c +c a Þí uuur b2 ïBH = (ac ; - a b - bc ; a 2c) 2 2 2 ïỵ a b +b c +c a ìuuur ï AH ï Þí uuur ïBH ïỵ uuur BC = a2 uuur AC = (-ab - ac ; bc ; b2 c )(0; - b; c ) = 2 2 2 2 2 2 a b +b c +c a b2 a b +b c +c a (ac ; - a 2b - bc ; a 2c)(- a; 0; c) = ì AH ^ BC Þí Þ H trực tâm DABC ỵ BH ^ AC Chứng minh = OH OA OA Þ OH + OB = + OA OC + OB OB + OC -abc OH = d (O, ( ABC )) = + Þ a2 b + b2 c + c a = a2 + + OC b2 + c2 = OH = a2 b2 + b2c + c a2 a b2 c a2 b + b2 c + c a a2 b2c2 Chứng minh cos a + cos2 b + cos g = r r Nhận xét: cos a = cos · (OAB), ( ABC ) = cos n(OAB ) , n( ABC ) ( ) ( r r n = n( ABC ) = (bc; ac; ab) r r r r r r n1 = n(OAB ) = k = (0, 0, 1); n2 = n(OBC ) = i = (1, 0, 0); Gọi ) r r r n3 = n(OAC ) = j = (0, 1, 0) r r r r r r Þ cos a + cos2 b + cos2 g = cos (n1, n ) + cos2 (n2 , n ) + cos (n3 , n ) = Vậy: a2 b2 a b + b c + c a2 + b2c2 a2 b + b2 c + c a + a2c a2 b2 + b2c2 + c 2a2 cos a + cos2 b + cos g = Trang 59 PP Toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH = 2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) O, lấy điểm S cho OS = 2a Tính cosin góc j tạo hai mặt phẳng (SAB) (SAC) Trên đoạn OH lấy điểm I Đặt OI = m (0 < m < a) Mặt phẳng (a) qua I, vuông góc với AH cắt cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q a Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x b Tìm m để diện tích MNPQ lớn Giải: Gọi D trung điểm AB Þ OD ^ OH BC 4a AH = Þ BC = a Þ OD = BC = S z P 2a E Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: ổ a O(0; 0; 0), D ỗ ; 0; ÷ , H (0; a 0), S(0; 0; 2a) è ø A ỉ 2a ỉ 2a ị A(0; - a; 0), B ỗ ; a; ữ , C ỗ ; a; ữ ố ø è ø Tính cos j : C j O a x N Q m I D M B Vẽ BE ^ SA E Þ CE ^ SA (vì SA ^ ( BCE )) Þ j = · BEC uur SA = (0; a; 2a) = a(0; 1; 2) ìx = ï Phương trình đường thẳng SA: í y = - a + t ïỵz = 2t (t Ỵ R ) Phương trình mp(BCE): ( y – a ) + 2z = Thay x, y, z vào phương trình (BCE), ta được: -2a + t + 4t = Þ t = 2a ì uuur ỉ 2a 8a -4a 2a ; ; (5; 3; - ) ù EB = ỗ ÷= ỉ 5 ø 3a 4a ù ố ị E ỗ 0; - ; ữ Þ í uuur ỉ 5 ø è ï EC = ỗ - 2a ; 8a ; - 4a ửữ = - 2a (5; - 3; ) ïỵ ø 5 è 2a 2a (5; 3; - )(5; - 3; ) uuur uuur 35 3 Þ cos j = cos( EB, EC ) = = = 85 17 ỉ 2a 85 85 ç ÷ è 3ø Vậy cos j = 17 uuur Ta có: I(0; m; 0), OH = a(0; 1; 0) Þ phương trình mp(MNPQ): y – m = Trang 60 H y Trần Sĩ Tùng a PP Toạ độ khơng gian Tính SMNPQ: Ta có: uuur ổ 2a 2a AB = ỗ ; 2a; ÷ = (1; 3; 0) ; è ø uur ổ 2a a SB = ỗ ; a; - 2a ÷ = (2; 3; - ) ; è ø ìx = t ï Phương trình đường thẳng AB: í y = - a + 3t ïz = ỵ ỉa+m M = AB ầ ( MNPQ) ị M ỗ ; m; ữ è ø ìx = t ï Phương trình đường thẳng AC: í y = - a - 3t ïz = ỵ ỉ -a - m N = AC ầ ( MNPQ ) ị N ỗ ; m; ÷ è ø ì x = 2t ï Phương trình đường thẳng SB: í y = 3t ïz = 2a - 3t ỵ uuur ỉ 2a 2a AC = ỗ ; 2a; ữ = (1; - 3; 0) 3 è ø uur æ 2a a SC = ỗ ; a; - 2a ữ = (2; - 3; ) 3 è ø (t Ỵ R ) (t Ỵ R ) (t Ỵ R ) ỉ 2m Q = SB Ç ( MNPQ ) ị Q ỗ ; m; 2a - 2m ÷ è ø ì x = 2t ï (t Ỵ R ) Phương trình đường thẳng SC: í y = - 3t ïz = 2a + 3t ỵ ỉ 2m P = SC Ç ( MNPQ ) ị P ỗ ; m; 2a - 2m ữ è ø uuur ỉ m - a uuur æ - a - 3m ö uuuur æ -2a - 2m ị MQ = ỗ ; 0; 2a - 2m ữ ; MP = ỗ ; 0; 2a - 2m ữ ; MN = ỗ ; 0; ữ 3 è ø è ø è ø uuur uuur uuur uuuu r SMNPQ = [MQ, MP ] + [ MP, MN ] æ 4m - 4a ử ổỗ ổ 8m(m - a) = ; ữ + ỗ 0; ; 0ữ ữ ỗ 0; ỗ ữữ 2ỗ ố 3 ứ è øø è 2 æ 8m(a - m) 4a - 4m ö 4a 2a = ç + m + m+ ÷ =÷ çè 3 3 ø Þ SMNPQ = (-3m + 2am + a2 ) ( b/ ) Tìm m để (SMNPQ)max: Bảng xét dấu: Trang 61 PP Toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng m –¥ a +¥ -3m + 2am + a Ơ 4a Ơ ị SMNPQ Ê 4a 8a = 3 3 Vậy (SMNPQ )max = Cách khác: 8a a m = 3 SMNPQ Þ (SMNPQ )max = é ỉ ù ê (a - m) + ç m + a ÷ ú ø ú 8a ỉ ê è = ( a - m) ỗ m + ữ Ê úû = ø ( coâsi) ë 3 è 8a 3 Û a-m = m+ a a Û m= 3 Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA= a, OB = b, OC = c Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp (S) OABC Tính bán kính r (S) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh hai mặt phẳng (OMN) 1 (OMP) vng góc Û = + a b2 c Giải: Chọn hệ trục Oxyz cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Tính r: Ta có: VI AOB + VI OBC + VI OCA + VI ABC = VOABC  r abc Þ (SDOAB + SDOBC + SDOCA + SD ABC ) = uuur uuur SD ABC = [ AB, AC ] = [(- a; b; 0), (- a; 0; c)]  2 = a b + b2c + c2 a2 r abc (1) Þ (ab + bc + ca + a b + b c2 + c a ) = 6 abc Vậy r = ab + bc + ca + a b + b 2c2 + c a2 Chứng minh (OMN) ^ (OMP) Û Ta có: = + a2 b c ổ b cử ổa ổa b cử M ỗ 0; ; ữ , N ỗ ; 0; ữ , P ỗ ; ; ữ ố 2ứ ố2 2ø è2 ø uuur uuur æ bc ac ab ö r n(OMN ) = [OM , ON ] = ç ; ; - ÷ è 4 ø Trang 62 z C M c N O a x A b P B y Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ khơng gian uuur uuur ỉ bc ac ab ö r n(OMP ) = [OM , OP ] = ç - ; ;- ÷ è 4 ø r r Þ (OMN ) ^ (OMP ) Û n(OMN ) n(OMP ) = b c a2 c a b Û+ + = Û a (c + b ) = b c 16 16 16 Û a = b + c2 Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD = 2a Trên tia Az ^ ( ABCD ) lấy điểm S Mặt phẳng (a) qua CD cắt SA, SB K L Cho SA = 2a, AK = k (0 £ k £ 2a) a Tính diện tích tứ giác CDKL Tính k theo a để SCDKL lớn nhất, nhỏ b Chứng tỏ khoảng cách hai đường thẳng KD BC khơng đổi c Tính k theo a để (a) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần tích Gọi M, N trung điểm SC, SD Tìm quỹ tích giao điểm I AN, BM S di động tia Az Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D(0; 2a; 0), S(0; 0; 2a) AK = uuu kÞ Kr(0; 0; k ), £ k £ 2a r uuu r na = [KC , KD ] = a(0; k; 2a) z S Phương trình (a ) : k ( y - 2a) + 2az = Û ky + 2az - 2ak = uur SB = a(1; 0; - 2) ìx = a + t ï Phương trình đường thẳng SB: y = (t ẻ R ) ùợz = -2t a/ K L ỉ k a (a ) ầ SB = L ị L ỗ a - ; 0; k ÷ è ø B SCDKL = SDCKL + SDCKD: uuur uuur uuur uuur x = [CK , CL ] + [CK , CD ] 1ổ k = ỗ [(- a; - 2a; k , - ; - 2a; k ] + [(- a; - 2a; k ,(- a; 0; 0)] ÷ 2è ø ỉ 2a - k a k = ỗ 4a + k + a 4a + k ÷ = 4a2 + k 2è ø ( ) 4a - k -2k + 4ak - 4a 2 / Xét f (k ) = 4a + k Þ f ( k ) = Þ M ç ; a; ÷ , N ç 0; a; ÷ è2 2ø è 2ø uuur uuur 1 BM = - (a; - 2a; - s); AN = (0; 2a; s) 2 ì x = a + at1 ï Þ Phương trình đường thẳng BM: í y = -2at1 ïz = - st ỵ ìx = ï Phương trình đường thẳng AN: í y = 2at2 ïỵz = st2 I = ( AN ) Ç (BM ) Þ I (0; 2a; s) uur uur uur Ta có: ID = (0; 0; - s) Þ ID / / AS (t1 Ỵ R) (t2 Ỵ R) Vậy quỹ tích I nửa đường thẳng Dt ^ ( ABCD ) (trừ điểm D, s > 0) Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a ; · ASB = a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp Tìm a để tâm mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp trùng Giải: Ta có: AC = BD = 2a Gọi SO đường cao SO= h Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),S(0; 0; h) Trang 64 Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ khơng gian Þ C (- a; 0; 0), D (0; - a; 0) Tâm I R (S) ngoại tiếp chóp S.ABCD Do S.ABCD hình chóp tứ giác u nờn I ẻ OS ị I (0; 0; z0 ) S a Phương trình mặt cầu (S): x + y + z2 - z0 z + d = ìïa2 + d = Þí ïỵh - z0 h + d = ì d = -a ï Þí h2 - a2 x A ïz0 = 2h ỵ ỉ ỉ h2 - a h2 - a2 h2 + a2 Þ I ỗ 0; 0; ữ, R = ỗ ữ+a = 2h ø 2h è è 2h ø uur uur SA.SB (a; 0; - h)(0; a; - h) h2 Mặt khác: cos a = = = SA.SB a2 + h2 a2 + h2 A, S Ỵ (S ) a2 cos a - cos a Þ h= R= Vậy: OI = z h D C O a B (a nhọn DSAB cân S) a cos a (1 - cos a ) a(2 cos a - 1) cos a (1 - cos a ) Tâm J r (S/) nội tiếp chóp S.ABCD: J Î OS Þ J (0; 0; r ), OJ = r Ta có: r VS ABCD = Stp ; 2a h VS ABCD = h(a )2 = 3 Sxp = 4SDSAB = SA.SB sin a = 2(a + h )sin a Þ Stp = Sxp + SABCD = 2(a + h )sin a + 2a Þr= a2 h a2 + (a + h2 )sin a = a cos a (1 - cos a ) + sin a - cos a a cos a (1 - cos a ) = r + sin a - cos a Tìm a để I º J Vậy: OJ = Iº J a cos a (1 - cos a ) + sin a - cos a cos a (1 - cos a ) Û (2 cos a - 1)(1 + sin a - cos a ) = cos a (1 - cos a ) Û (1 - cos a sina ) + (sin a - cos a ) = Û (sin a - cos a )(sin a - cos a + 1) = Û sin a = cos a (do sin a + - cos a > 0) Û a = 45o (do a nhoïn) Û OI = OJ Û a(2 cos a - 1) = Vậy I º J Û a = 45o Trang 65 y PP Toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = b, SA = 2a vng góc với đáy Trên cạnh SA lấy điểm M, AM = m ( £ m £ 2a) Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện hình Tính diện tích thiết diện? Tìm vị trí M để diện tích thiết diện lớn Tìm vị trí M để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần tích Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; 2a) Þ C (a; b; 0), M (0; 0; m) (0 £ m £ 2a) uuur uuur uuur r Ta có: n( MBC ) = [MB, MC ] = b(m; 0; a) SD = (0; b; - 2a) z S Þ Phương trình mặt phẳng (MBC): mx + az - ma = 2a ìx = ï Phương trình đường thẳng SD: í y = b + bt (t ẻ R) ùợz = -2at m ổ 2ab - mb Gọi N = SD Ç ( MBC ) ị N ỗ 0; ; mữ 2a ố ứ Hình tính diện tích BCMN uuuur ỉ 2ab - mb Ta cú: MN = ỗ 0; ; ÷; 2a è ø N M A b a B C x uuur BC = (0; b; 0); uuur MB = (a; 0; - m) ì MN P BC Þí Þ BCMN hình thang vng ỵBC ^ MB SBCMN MB = ( MN + BC ) = ö 4ab - mb a + m æ 2ab - mb + b÷ = a + m2 ç 2a 4a è ø Tìm vị trí M để SBCNM lớn nhất: b Ta có: S(m) = ( 4a - m ) m + a 4a Þ S(/m ) = b é ( a - m )m ù b -2m + 4am - a2 2 m + a + = ú 2 a 4a êêë m + a ûú m2 + a2 S(/m) = Û m = m –¥ a(2 ± ) – S(/m ) S(m ) a(2 - ) + a(2 + ) – 2a ab 71 + 8 ab ab 71 - 8 Trang 66 ab +¥ D y Trần Sĩ Tùng Þ Smax = PP Toạ độ không gian ab 71 + a(2 + ) Û m= ab 71 - a(2 - ) Û m= Tìm vị trí M để VS.BCNM = VS ABCD Smin = Ta có: d (S, ( MBC )) = 2a - ma m + a2 2a - ma 4ab - mb b(4a - m )(2a - m) Þ VS.BCNM = m + a2 = m + a2 4a 12 2a b VS ABCD = 2a ab = 3 (4a - m)(2a - m ) Yêu cầu toán Û = a2 Û m - 6am + 4a = Û m = (3 - )a (vì m £ 2a) Vậy AM = (3 - )a Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a Chứng minh A/ C ^ ( AB / D / ) Tính góc j (DA¢C) (ABB¢A¢) Trên cạnh AD/, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 < k < a ) a Chứng minh MN // (A/D/BC) b Tìm k để MNmin Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD¢, DB Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a) ỉ ỉ k k k k AM = DN = k ị M ỗ 0; ; ; a; 0ữ ữ, N ỗ 2ứ ø è è z Chứng minh A/ C ^ ( AB / D / ) : uuuur ì A/ C = (a; a; - a) ïïuuuur Ta có: íuuuu AB /r = (a; 0; a) ï / ùợ AD = (0; a; a) uuuur uuuur r ị n( AB/ D / ) = AB / , AD / = (- a ; - a2 ; a ) uuuur é A / C , nr ù = é(a; a; - a), (-a ; - a ; a ) ù = 0r / / û ú ë ( AB D ) û ëê r uuuu r Þ A/ C P n( AB / D / ) Vậy A/ C ^ ( AB / D / ) Trang 67 A/ D/ B/ C/ k M D A N B z a k C y PP Toạ độ khơng gian uuuur uuuur ìï A/ C AB / = ïì A / C ^ AB / Þ í / Þ A / C ^ ( AB / D / ) Cách khác: íuuuur uuuur / / / ïỵ A C AD = îï A C ^ AD uuuur uuur r Tính j: n1 = [DA / , DC ] = (0; a2 ; a ) r r r n2 = n( ABB / A / ) = j = (0; 1; 0) r r n1.n a2 Þ cos j = r r = = a2 n1 n 2 Trần Sĩ Tùng Vậy j = 45o a Chứng minh MN // (A/D/BC): uuuur MN = ( k ; a - 2k ; - k ) uuuur uuur r r n = n( A / D / BC ) = [BA / , BC ] = - a (1; 0; 1) uuuur r - a Ta có: MN n = (k - k ) = Þ MN P ( A/ D / BC ) (do M Ï( A/ D / BC ) ) b/ Tìm k để MNmin: Ta có: MN = (6k - 2ak + 2a ) k –¥ a MN2 ị MN = a +Ơ a2 a Û k= a 3 uuuur a a Khi k = MN = (1; 1; - 1) 3 uuuu r ìuuuur a / / ïï MN AD = (1; 1; - 1)(0; a; a) = ì Þ íuuuur uuur Þ í MN ^ AD ỵ MN ^ BD ï MN BD = a (1; 1; - 1)(- a; a; 0) = ïỵ Vậy MN đoạn vng góc chung AD/ BD Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD/A/ Tính bán kính R mặt cầu (S) qua điểm C, D/, M, N Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S/) qua A/, B/, C, D Tính diện tích S thiết diện tạo mặt phẳng (CMN) hình lập phương Trang 68 ... ] + [CK , CD ] 1ổ k = ỗ [ (- a; - 2a; k , - ; - 2a; k ] + [ (- a; - 2a; k , (- a; 0; 0)] ÷ 2è ø ỉ 2a - k a k = ỗ 4a + k + a 4a + k ÷ = 4a2 + k 2è ø ( ) 4a - k -2 k + 4ak - 4a 2 / Xét f (k ) = 4a +... = PP Toạ độ không gian ab 71 + a(2 + ) Û m= ab 71 - a(2 - ) Û m= Tìm vị trí M để VS.BCNM = VS ABCD Smin = Ta có: d (S, ( MBC )) = 2a - ma m + a2 2a - ma 4ab - mb b(4a - m )(2a - m) Þ VS.BCNM... 0; - ; ữ ị uuur ổ 5 ứ ố ù EC = ỗ - 2a ; 8a ; - 4a ư÷ = - 2a (5; - 3; ) ïỵ ø 5 è 2a 2a (5; 3; - )(5; - 3; ) uuur uuur 35 3 Þ cos j = cos( EB, EC ) = = = 85 17 æ 2a 85 85 ỗ ữ ố 3ứ Vy cos j = 17

Ngày đăng: 01/05/2021, 04:19