Chuyên đề Tích phân - Trương Nhật Lý

TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHAÂN A LÝ THUYẾT CẦN NẮM I - NGUYÊN HÀM - Tính chất nguyên hàm: 1) (  f(x)dx )’ = f(x) 2)  af(x)dx = a  f(x)dx (a  0) 3)  [f(x)  g(x)]dx   f(x)dx   g(x)dx 4)  f(t)dt  F(t)  C   f(u)du  F(u)  C - Bảng nguyên hàm thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp  du  u  C  dx  x  C x 1  x dx   1  C  x dx  ln x  C  Hàm số hợp tương ứng (dưới u = u(x)) (  -1) (x  0) ax  a dx  ln a  C (   -1) (u  0) u u e du  e C  x x e dx  e C  x u 1  u du     C  u du  ln u  C  (0 < a  1)  cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C  cos x dx  tan x  C  sin x dx   cot x  C KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN au  a du  ln a  C u (0 < a  1)  cos udu  sin u  C  sin udu   cos u  C  cos u du  tan u  C  sin u du   cot u  C Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Hệ quả: Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số sơ cấp (axb)1 (axb) dx a  1 C (  -1) 1 dx  ln ax  b  C  ax  b a  ax b e  dx  a mx  n ax b e C a a mx  n dx  C m ln a  cos( ax  b )dx  sin( ax  b )  C a sin( ax  b ) dx   cos( ax  b )  C  a 1  cos (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C 1 dx   cot( ax  b)  C  sin (ax  b) a II – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH – Định nghĩa: b b  f(x)dx = F(x) a = F(b) – F(a) a (Trong F(x) nguyên hàm f(x)) – Tính chất tích phân xác định a (1) (2)  f ( x)dx  a b a a b b b a a  f ( x)dx   f ( x)dx (3)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx b b b a a a (4)  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI (5) c b c a a b 245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx b (6) f(x)  0, x  [a; b]   f ( x)dx  a b b a a (7) f(x)  g(x), x  [a; b]   f ( x)dx   g ( x) b (8) m  f(x)  M , x  [a; b]  m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) a B CÁC DẠNG TỐN Chủ điểm PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp cơng thức vi phân Bài 1: Tính tích phân bất định sau: x  2x  x  2x  dx 1)  x 2010 ln x dx 3)  x 3x  5)  dx x x   7)   x   dx  x 9)   x   dx  x KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN   2)   x   dx x  cos x dx 4)   sin x 6)  dx (x  3x  2) 8)  x  3x  x4 dx 10)   x  23 x  dx Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN 11)  3 x  1x - x  dx 13)   x   dx  12)   x   dx  14)  x  ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855  x x  4x dx x x4  x4  15)  ax  b dx 16)  17)  xx  a x  b dx 18)  x e x dx  2 19)  x  e x dx x3 20)  e x  e - x  2dx e 2-5x  21)  e  e  2dx 22)  dx 23)  x 1 24)  - cos2xdx x dx -x x-1 4sin x 25)  dx  cosx ex 26) e dx 2009 x dx  2010 Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: f(x) = x2 – 3x + x x 3x   ln x  C ĐS F(x) = 2x  f(x) = x2 2x3  C ĐS F(x) = x f(x) = ĐS F(x) = lnx + x 1 x2 ( x  1) f(x) = x2 f(x) = x 3 x 4 x KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN x +C x3  x  C ĐS F(x) = x ĐS F(x) = 2x 3x 4x   C Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI f(x) = 3 245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐS F(x) = x  x  C x x ( x  1) f(x) = x f(x) = ĐS F(x) = x  x  ln x  C x 1 ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 ĐS F(x) = x 3 x  x C x ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C f(x) = sin 13 f(x) = 14 f(x) = sin x cos x cos x sin x cos x 1 x  sin x  C ĐS F(x) = tanx - cotx + C ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x  cos x  C ĐS F(x) = 16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) =  cos x  cos x  C 2x e  ex  C 17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = x e ) 18 f(x) = ex(2 + cos x ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 19 f(x) = 2ax + 3x 2a x x  C ĐS F(x) = ln a ln 20 f(x) = e3x+1 x 1 C ĐS F(x) = e Bài 3: Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐS f(x) = x2 + x + Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN x3 1 ĐS f(x) = x  f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 x x x 40   ĐS f(x) = 3 x   2x  ĐS f(x) = x f’(x) = x  x f(4) = f’(x) = x - ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855  f(1) = x2 f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + b x2   f’(x) = ax + , f ' (1)  0, f (1)  4, f (1)  ĐS f(x) = x x Bài 4: Tính tích phân bất định sau:  e x  x dx  e 1   x.3x 1dx  x2   dx e x dx   2x x.ln x e 1 Bài 5: Tính tích phân sau: x x x cos 2x  dx   sin  cos  dx  sin dx  2 2 cos x.sin x   cos 2x dx   cot x dx  tan x dx sin x  cos x cot x   cos3 x dx  sin x dx dx  sin x dx ln(ex) dx 10  tan x dx 11  12   x ln x sin x cos x π dx 13 I =  π sin x π dx 14  cos x π sin x  sin x 15  cotx dx sin x π 16  dx π cos x.cos(x  ) π 17  KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN π dx π sin x.sin(x  ) (ds:2.ln ) Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN 13 ( ) ĐS (TPXĐ): 14 ( ) 15 (  ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 83 Bài 6: Tính tích phân bất định sau:     x   dx x  x  2x  x  2  dx x2  x   dx x3  x5 dx  x x x3  dx x 2  (3x  1) dx (x  1)3 dx x   x 1  10  (2x  3) 2x  dx 11  dx  2x 12  3x  dx 2x  2x  7x  13  dx x2 14  4x  dx 2x  7x  15  x2 dx x  3x  dx 16  x(x n  a) m  ex 17  dx  ex 18  dx dx e 2x   2x x  x2 1  (4x  4x  1)5 dx dx Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến số A Phương pháp: Bài giảng lớp B Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tích phân sau: 1)  (5 x  1)dx 4)  dx 2x 1 dx 2)  (3  x) 5) ( x  ) xdx  KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN 3)  6)  (x  x dx  5) x dx Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI  7) 10) x  1.xdx 8) dx  x (1  24)  dx x dx x2    ln dx 17)  sin x 21)  25) x e x dx e 3 x  x dx ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 9) x dx x sin x dx 14)  cos x 11) x )2 13)  sin x cos xdx tan xdx 16)  cos x e x dx 20)  x 245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN  12) 3x  2x  x.e x 1 dx dx  ex dx  x  e ln 15) dx 18)  cos x 19)  tan xdx e tan x dx 22)  cos x 23)   26) dx 1 x2 27)  x dx  x dx 1 x2 dx dx 28)  29)  cos x sin xdx 30)  x x  1.dx 31)  x e 1 x  x 1 xdx 2 25 3 32)  x x  1.dx 33)  2x x 1dx 34)  x 1 x dx 35)  x x  2dx 36) x 1 37)   x2 xdx x2  41)  sin3 x cos xdx 45)  e sin(e )dx x x 38)  42)  x4 dx x5  cosxdx 46)  sin2 x (2x-3)dx x  3x  KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN 39)  x3dx 43)  40)  x4  ln x dx x 47 )  3x2  5x  44)  xdx 1 x (6x-5)dx 48) dx cos2 x  tan x x dx  x3  Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 49) ex dx  ex  57)  x 62)   2x  x  4x  dx  66)  e x  dx 65)  x x  1dx x3 x  2x  dx 70)  x x7 1  55)  52)  cot xdx sin2x  cos2 x dx 60)  ex x 2dx 59)  ex xdx dx 63)  xlnx 67)  x  x2 64)  68)  dx 71)  dx dx  x ln x 56) 2x dx x  x 1 x4 x  2x  dx 72) xdx  x  1 x  1dx 73)  cos xdx  a e ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 51)  tan xdx 58)  esin x cos xdx 61)  3x  14 dx x 2x 54)  cot(2x  1)dx  lnxm dx 69)  e2x dx 50)  53)  tan 3xdx 245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN x dx 74)   tan 77) x  42 dx sin xcos x 75)  x 2x - 1dx  76) 3 78)  2x  x 2dx 79)  sin x cos xdx xdx 80)  e x dx x 81)  e tgx 82)  dx cos x dx  x ln x lnln x  1 x ln 1 x dx 83) 1 x x 33  x dx 84) Bài 2: Tính tích phân sau: 1) I =  (2x  3) x  3x  dx dx 2) J =  x ln x KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN 3) T =  dx  x2 Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 x2 1 x3  x x4 dx 5) L =  dx 6)  dx dx 7)  4) K =  X  8X x 1 x  4x  4x  1  HD ĐS: 3) Đặt x = tant  T = ln( + 1) 4) Giả sử x  0, chia tử mẫu cho x2 1 x  2x  Sau đặt u = x +  ĐS: K = ln | | C x 2 x  2x  5) Giả sử x  0, chia tử mẫu cho x3, Sau đặt u = x + x x  2x   ĐS: K = ln C x  2x  1 8x ln C Câu 6; 7: Đặt t = -x ; câu 7: ĐS: 1/5 ; câu 6: ĐS:  ln  8x Vấn đề 3: Phương pháp tích phân phần A Phương pháp: Bài giảng lớp B Bài tập tự luyện: Tính tích phân sau: Bài 1: x 1)  (x  2x).e dx HD-ĐS: 1) e e 2)  (1  x).ln x dx e2  2) 4 e 3)  ln x dx 3) Đặt u = ln2x, dv = dx: ĐS: e-2 Bài 2: 1)  (1  x) e 2x dx (Đặt u = (1  x) , dv = e2xdx) KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN e 2)  x.ln x dx Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 10 TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/37-39 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855  I x sin x  ( x  1) cos x dx x sin x  cos x ĐS : I      l n    1      Bài 28 (ĐH B2011) : Tính tích phân :   x sin x dx cos x Bài 29 (ĐH D2011) : Tính tích phân : 4x 1 I  dx x   Bài 30 (ĐH A2012) : Tính tích phân :  ln( x  1) I  dx x Bài 31 (ĐH B2012) : Tính tích phân : x3 I  dx x  3x  Bài 32 (ĐH D2012) : Tính tích phân : I  ĐS : I     ĐS : I  34 3  10l n   5 ĐS : I  2  l n  ln 3  ĐS : I  l n  ln 2 / I 2 ln 2 3 x(1  sin 2x)dx ĐS : I  2 Bài 33 (ĐH A2013) : Tính tích phân : 2 x 1 I   ln x dx x Bài 34 (ĐH B2013) : Tính tích phân : 32  ĐS : I  ln  2 I   x  x dx ĐS : I  Bài 35 (ĐH D2013) : Tính tích phân : ( x  1) I  dx x 1 2 1 ĐS : I   ln Bài 36 (ĐH A, A12014) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x  x  đường thẳng y  2x  ĐS : I  2 x  3x  Bài 37 (ĐH B2014) : Tính tích phân  ĐS: + ln3 dx x  x Bài 38 (ĐH D2014) : Tính tích phân I = π  (x  1) sin 2xdx KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN ĐS : I  Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 25 ... luyện: KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 13 TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/3 7-3 9 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Tính tích phân sau đây: Bài 1:... Bài (ĐH D2003) : Tính tích phân : KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN ĐS : I  ln 2 Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 22 TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/3 7-3 9 Nguyễn Công Hoan - ĐN I   x  x dx ĐT:... (ĐH B2014) : Tính tích phân  ĐS: + ln3 dx x  x Bài 38 (ĐH D2014) : Tính tích phân I = π  (x  1) sin 2xdx KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐS : I  Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 25