CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HAY NHẤT

1 TÍCH PHÂN I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số b Bài tốn: Tính I = ∫ f ( x)dx , a *Phương pháp đổi biến dạng I Định lí Nếu 1) Hàm x = u (t ) có đạo hàm liên tục đoạn [ α ; β ] , 2) Hàm hợp f (u (t )) xác định [ α ; β ] , 3) u (α ) = a, u ( β ) = b , β b ∫ I = f ( x)dx = ∫ f (u (t ))u ' (t )dt α a Ví dụ Hãy tính tích phân sau: π ∫ a) I = x x + 5dx b) J = ∫ ( sin x + 1) cos xdx Giải: a) Ta có t = x + ⇒ dt = x dx Khi x=0 t=5 Khi x=1 t=6 ∫ ⇒I= x x + 5dx = = ∫ dt t = ∫( t ) dt = +1 (t ) = t t +1 10 6− π   b) Ta có J = (sin x + 1)d (sin x) =  sin x + sin x ÷ = 5 0 π ∫ Ví dụ Hãy tính tích sau: a) ∫ − x dx b) dx + x ∫  π π ;  2  π Khi x = t = Khi x = t = Giải: a) Đặt x = 2sin t , t ∈  − π ∫ − x dx = ∫ Từ x = 2sin t ⇒ dx = 2cos tdt π ∫ − 4sin t 2cos tdt = cos tdt = π  π π ; ÷  2 b) Đặt x = tan t , t ∈  − Khi x = t = , x = t = Ta có: x = tan t ⇒ dx = π π dt cos t π π dx dt π ⇒ = = dt = t = 2 + x + tan t cos t 0 0 ∫ ∫ ∫ Chú ý: Trong thực tế gặp dạng tích phân dạng tổng quát như: Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dạng a + x , a − x x − a (trong a số dương) mà khơng có cách biến đổi khác nên đổi sang hàm số lượng giác để làm thức, cụ thể là: • Với  π π a − x , đặt x = a sin t , t ∈  − ;   2 x = a cos t , t ∈ [ 0; π ] Vi ; ữ 2 a + x , đặt x = a tan t , t ∈  − 2 x = acott , t ∈ ( 0; π ) • Với x − a , đặt x = 2 x = a  π π , t ∈  − ;  \ { 0} sin t  2 a π  ; t ∈ [ 0;π ] \   cos t 2 *Phương pháp đổi biến dạng II Định lí : Nếu hàm số u = u ( x ) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn [ a; b ] cho f ( x)dx = g (u ( x))u ' ( x)dx = g (u )du I = b u (b ) a u(a) ∫ f ( x)dx = ∫ g (u)du Ví dụ 3: Tính I = ∫ x x + 5dx Giải: Đặt u ( x) = x + Tacó u (0) = 5, u (1) = 6 2 10 I = udu = u u = 6 −5 = 6− Từ được: 35 9 9 ( ∫ ) Ví dụ 4: Hãy tính tích phân sau phương pháp đổi biến dạng II: e2 a) ∫ ( x + 1) ∫ dx d) ∫ 1 dx b) x ln x e c) 2π dx (2 x − 1) e) ∫ ∫ cos(3 x − π 4x + dx x + x +1 2π ) dx Giải: a) Đặt u = x + x = u = Khi x = u = Ta có du = 2dx ⇒ dx = du Do đó: u6 = (3 − 1) = 60 ( x + 1) dx = u du = 21 12 12 ∫ ∫ b)Đặt u = ln x Khi x = e u = Khi x = e u = dx ⇒ Ta có du = x e2 ∫ e 2 dx du = = ln u = ln − ln1 = ln x ln x u ∫ c)Đặt u = x + x + Khi x = u = Khi x = u = Ta có du = (2 x + 1)dx Do đó: ∫ 3 4x + 2du dx = = 2ln u = 2(ln − ln1) = 2ln x2 + x + u ∫ d)Đặt u = x − Khi x = u = Khi x = u = du Do đó: dx du 1 = = − = − ( − 1) = (2 x − 1) 2 u 2u 3 Ta có du = 2dx ⇒ dx = ∫ e)Đặt u = x − 2π ∫ π π u = , 3 2π 4π Khi x = u = 3 Khi x = Ta có du = 3dx ⇒ dx = 2π ∫ π du Do đó: 4π 2π 1 π  4π cos(3 x − ) dx = cos udu = sin u =  sin − sin ÷ π 3π 3 3 3 4π ∫ 1 3 = − − ÷= − 3 2  2.Phương pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục [ a; b ] thì: b b b u ( x)v ( x)dx = ( u ( x)v( x) ) − v( x)u ' ( x)dx a a a ∫ ∫ ' b b b udv = uv − vdu hay a a a ∫ ∫ Áp dụng cơng thức ta có qui tắc cơng thức tích phân phần sau: • Bước 1: Viết f(x)dx dạng udv = uv ' dx cách chọn phần thích hợp f(x) làm u(x) phần lại dv = v ( x)dx ' • Bước 2: Tính du = u ' dx v = b • Bước 3: Tính b ∫ ∫ dv = v ' ( x)dx b vdu = vu ' dx uv a a a ∫ ∫ • Bước 5: Áp dụng cơng thức e Ví dụ 5: Tính ∫ x ln xdx dx  du =  u = ln x x ⇒ Giải: Đặt  dv = xdx v = x  e e e x2 e2 x e e2 + x ln xdx = ln x − xdx = − = 1 2 4 1 ∫ ∫ Ví dụ 6: Tính tích phân sau: a) ∫ ln x dx x5 π b) ∫ π x cos xdx ∫ x c) xe dx d) ∫ e x cos xdx dx  du = u = ln x   x ⇒ Giải: a) Đặt  Do đó:  dv = dx  v = − x5  x4 2 2 ln x ln x dx ln   15 − ln dx = − + = − + − =  ÷ ∫1 x5 x 4 ∫1 x 64  x  256 u = x  du = dx ⇒ b) Đặt  Do đó:  dv = cos xdx v = sin x π ∫ π π π π π x cos xdx = ( x sin x ) − sin xdx = + cos x = − 2 0 ∫ u = x du = dx ⇒ Do đó:  x x dv = e dx v = e   c)Đặt  ∫ 1 xe x dx = xe x − e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 0 ∫ u = e x  du = e x dx ⇒ d) Đặt  dv = cos xdx  v = sin x π π π ⇒ e x cos xdx = e x sin x − e x sin xdx 0 ∫ ∫ u1 = e x  du1 = e x dx ⇒ Đặt   dv1 = sin xdx v1 = − cos x π π π π x x ⇒ e cos xdx = e + e cos x − e x cos xdx 0 ∫ ∫ π π π ∫ ∫ ⇔ e x cos xdx = e − ⇔ e x cos xdx = 0 π e −1 *Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần b ∫ b ∫ P( x)e x dx a b P( x)ln xdx a ∫ b ∫ P( x)cos xdx a e x cos xdx a u P(x) lnx P(x) ex dv P(x)dx cosxdx cosxdx e x dx Chú ý: Điều quan trọng sử dụng công thức tích phân phần làm để chọn u dv = v ' dx thích hợp biểu thức dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv = v ' dx phần f(x)dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân phần: • Quy tắc aM “ log – nhì đa – tam lượng – tứ mũ “ β • Nếu tính tích phân I = β ∫ ax e cos bxdx α ∫ J = e ax sin bxdx α Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: β I= ∫ α dx ax + bx + c ( a ≠ 0) (trong ax + bx + c ≠ với x ∈ [ α ; β ] ) Xét ∆ = b − 4ac β +)Nếu ∆ = I= dx ∫ a x − b  α β   ÷ 2a  tính dx +)Nếu ∆ > I = , a α ( x − x1 ) ( x − x2 ) ∫ −b + ∆ −b − ∆ ) ; x2 = 2a 2a x − x1 β ⇒I= ln a ( x1 − x2 ) x − x2 α (trong x1 = β dx I= = ax + bx + c +) Nếu ∆ < α ∫ Đặt x + β ∫ α dx 2  b   −∆   a  x + ÷ +   ÷ a a      b −∆ −∆ = tan t ⇒ dx = + tan t ) dt , ta tính I 2 ( 2a 4a a β b) Tính tích phân: I = ∫ α (trong f ( x) = mx + n dx, ax + bx + c ( a ≠ 0) mx + n liên tục đoạn [ α ; β ] ) ax + bx + c +) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: mx + n A(2ax + b) B = + ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c β +)Ta có I= ∫ α β β Tích phân A( 2ax + b) dx = Aln ax + bx + c ax + bx + c ∫ α β Tích phân β mx + n A(2ax + b) B dx = dx + ∫α ax + bx + c α∫ ax + bx + c dx ax + bx + c ∫ α β ε dx tính ax + bx + c b c) Tính tích phân I = ∫ a P( x) dx với P(x) Q(x) đa thức x Q( x) • Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) dùng phép chia đa thức • Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) xét trường hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn α1 , α , , α n đặt An P ( x) A1 A2 = + + + Q ( x ) x − α1 x − α x − αn 2 + Khi Q ( x) = ( x − α ) ( x + px + q ) , ∆ = p − 4q < đặt P( x) A Bx + C = + Q( x) x − α x + px + q + Khi Q ( x ) = ( x − α ) ( x − β ) với α ≠ β đặt P ( x) A B C = + + Q( x) x − α x − β ( x − β ) Ví dụ Tính tích phân: ∫ x + 11 dx x2 + 5x + Giải: Cách 1.Bằng phương pháp đồng hệ số ta tìm A, B cho: A ( x + 5) x + 11 B = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x2 + 5x + x2 + 5x + x2 + 5x + ⇔ Ax + ( A + B ) x + 11 = , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} 2 x + 5x + x + 5x + 2 A = A = ⇒ ⇔ 5 A + B = 11  B = Vậy ( x + 5) x + 11 = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x2 + 5x + x2 + 5x + x2 + 5x + Do ∫ x + 11 2x + dx = dx + x2 + 5x + x + x + = 2ln x + x + ∫ ∫ dx x2 + 5x + x+2 + ln = ln x+3 Cách Vì x + x + = ( x + ) ( x + ) nên ta tính tích phân cách: Tìm A, B cho: x + 11 A B = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x2 + 5x + x + x + ⇔ ( A + B ) x + A + B , ∀x ∈ ¡ \ −3; −2 x + 11 = { } x2 + 5x + x2 + 5x + A + B = A = ⇒ ⇔ 3 A + B = 11  B = Vậy x + 11 = + , ∀x ∈ ¡ \ { −3; −2} x + 5x + x + x + Do 1 x + 11 dx dx dx = + x2 + 5x + x+2 x+3 ∫ ∫ = 3ln x + Ví dụ 8:Tính tích phân: ∫ ∫ + ln x + = ln dx x2 + x + 1 dx dx = Do x + x + 1   0 x + +  ÷ 2  3 π π  tan t , t ∈  ;  ⇒ dx = + tan t ) dt Đặt x + = ( 2 6 3 ∫ ∫ Vậy ∫ dx = x2 + x + π ∫ π π 3 + tan t dt ( ) 3 = dt = t 3 π (1 + tan t ) ∫ Ví dụ Tính tích phân: ∫ π π = π x3 dx x −1 Giải: ∫ 2 x x   dx = x +  ÷dx = xdx + x2 − x −   ∫ ∫ ∫ xdx x2 −1 1 x2 1 = + ln x − = + ln 2 0 Tích phân hàm lượng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi tích phân bản sử dụng cơng thức biến đổi mà làm Ví dụ 10: Hãy tính tích phân sau: π a) J = ∫ sin x sin xdx ; − π π b) K = ∫ cos x(sin x + cos x)dx ; 10 π c) M = 4sin x dx + cos x ∫ π a) J = π 1 cos5 xdx − cos9 xdx π π ∫ − ∫ − 2 π π 1 = sin x − sin x = π 18 π 45 10 − − 2 ( b) Ta có cos x(sin x + cos x) = cos x  sin x + cos x 4 2 ) − 2sin x cos x       = cos x 1 − sin 2 x ÷ = cos x 1 − ( − cos x )  = cos x + cos x cos x     = cos x + ( cos5 x + cos3x ) π π ∫ K = cos x (sin x + cos x)dx = π π 1 cos xdx + cos5 xdx + co3xdx 40 80 80 ∫ ∫ ∫ π π π 1 1 11 = sin x + sin x + sin x = + − = 40 24 40 24 15 0 4sin x 4sin x sin x 4(1 − cos x)sin x c) = = = 4(1 − cos x)sin x + cos x + cos x + cos x ⇒ M = 2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác 2.2.1.Tính I = Phương pháp: Đặt t = tan ∫ dx asinx + b cos x + c x 2dt ⇒ dx = 1+ t2 10 11 2t 1− t2 Ta có: sin x = cos x = 1+ t2 1+ t2 I= ∫ dx = asinx + b cos x + c Ví dụ 11 Tính ∫ Giải: Đặt t = tan ∫ ∫ 2dt biết cách tính ( c − b ) t + 2at + b + c dx 4cos x + 3sin x + x 1 x 2dt ⇒ dt = 1 + tan ÷dx ⇔ = dx 2 2 1+ t2 2dt dx dt 1+ t2 = = 2 1− t 2t cos x + 3sin x + t + 3t + + + 1+ t2 1+ t2 ∫ ∫ x tan + t +1 = ln + C = ln +C x t+2 tan + 2 dx a sin x + b sin x cos x + c cos x + d dx Phương pháp: I = ( a + d ) sin x + b sin x cos x + ( c + d ) cos x dx cos x = ( a + d ) tan x + b tan x + ( c + d ) 2.2.2 Tính I = ∫ ∫ ∫ Đặt t = tgx ⇒ dt = Ví dụ 12 Tính: I = dx ⇒ I = cos x ∫ ∫ dt tính ( a + d ) t + bt + ( c + d ) dx sin x + 2sin x cos x − 3cos x dx dx Giải:Ta có cos x I= = sin x + 2sin x cos x − 3cos x tan x + tan x − ∫ Đặt t = tan x ⇒ dt = ∫ dx cos x 11 12 ⇒I= ∫ Tính I = dt = t + 2t − ∫ ∫ dt t −1 tan x − = ln + C = ln + C 2.2.3 t − t + t + tan x + ( )( ) m sin x + n cos x + p dx a sin x + b cos x + c Phương pháp: +)Tìm A, B, C cho: m sin x + n cos x + p = A ( a sin x + b cos x + c ) + B ( a cos x − b sin x ) + C , ∀x +) Vậy I = ∫ ∫ m sin x + n cos x + p dx = a sin x + b cos x + c = A dx + B a cos x − b sin x dx dx + C ∫ a sin x + b cos x + c ∫ a sin x + b cos x + c Tích phân ∫ dx Tích phân a cos x − b sin x ∫ a sin x + b cos x + c dx = ln a sin x + b cos x + c + C Tích phân tính dx ∫ a sin x + b cos x + c tính Ví dụ 13 Tính: I = ∫ cos x + 2sin x dx 4cos x + 3sin x Giải: Bằng cách cân hệ số bất định, tìm A B cho: cos x + 2sin x = A ( 4cos x + 3sin x ) + B ( −4sin x + 3cos x ) , ∀x cos x + 2sin x = ( A + 3B ) cos x + ( A − B ) sin x, ∀x  A =   A + 3B = ⇒ ⇔ 3 A − B = B = −   −4sin x + 3cos x  I=  − ÷dx = x − ln 4cos x + 3sin x + C 5  5 4cos x + 3sin x  ∫ 12 13 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa tích phân hàm lượng giác đơn giản (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng ∫ R ( sin x,cos x ) dx , với R ( sin x,cos x ) hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm ta đổi biến số đa dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta biết cách tính tích phân • Trường hợp chung: Đặt t = tan x 2dt ⇒ dx = 1+ t2 2t 1− t2 Ta có sin x = ;cos x = 1+ t2 1+ t2 • Những trường hợp đặc biệt: +) Nếu R ( sin x,cos x ) hàm số chẵn với sinx cosx nghĩa R ( − sin x, − cos x ) = R ( sin x,cos x ) đặt t = tan x t = cot x , sau đưa tích phân dạng hữu tỉ theo biến t +) Nếu R ( sin x,cos x ) hàm số lẻ sinx nghĩa là: R ( − sin x,cos x ) = − R ( sin x,cos x ) đặt t = cos x +) Nếu R ( sin x,cos x ) hàm số lẻ cosx nghĩa là: R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x ) đặt t = sin x 3.Tích phân hàm vơ tỉ 3.1 Dạng 1: Biến đổi tích phân vơ tỉ Ví dụ 14 Tính tích phân: I = ∫ dx x +1 + x Giải I= dx = x +1 + x ∫ 3 2 1 x + − x dx = ( x + 1) − x  = 2 − 3 0 ∫( ) Ví dụ 15:Tính tích phân ∫ x+ Giải: ∫ x+ x dx + x2 x dx + x2 ( = ∫ ( x + x − x )dx = ) 2 −1 15 13 14 3.2.Dạng 2: Biến đổi tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm Gồm: Đổi biến số t toàn thức Viết biểu thức dạng bình phương Ví dụ 15:Tính I = ∫ x − x dx Giải: I =∫x 1 − x dx = ∫ x − x xdx 0 Đặt t= − x ⇔ t = − x ⇔ x = − t Ta có: xdx=-tdt, Khi x= t =1,khi x = t =0 Vậy t t  I = −∫ (1 − t )t dt =  −  =   15 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 16: Tính J = ∫ x − dx −2 Giải: Lập bảng xét dấu x − đoạn [ −2;2] x -2 x −1 + 2 Do I = ∫ −2 x − dx = −1 ∫( x −2 − 1) dx + -1 - + ∫ ( − x ) dx + ∫ ( x −1 − 1) dx x3   x3  x3  −1  2 =  − x÷ +  x − ÷ +  − x÷ =  −1  3  −2  1 III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT a 1.Cho hàm số y = f ( x) liên tục lẻ đoạn [ − a; a ] Khi I = ∫ f ( x)dx = −a 14 15 π Ví dụ 17: Chứng minh I = xdx = − sin x π ∫ − π π π π Giải: Đặt x = −t ⇒ dx = − dt Khi x= t = - , x = − t = 2 − Do : I= π ∫ π tdt = −I − sin t π Suy : 2I = Ta I = xdx = − sin x π ∫ − 2.Cho hàm số y = f ( x) liên tục chẵn đoạn [ − a; a ] Khi I= a a −a ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx Chứng minh : Ta có I = a a −a −a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx (1) Ta tính J = ∫ f ( x)dx cách đặt x = −t ( ≤ t ≤ a ) ⇒ dx = −dt −a ⇒J= 0 a a −a a 0 ∫ f ( x)dx = −∫ f (−t )dt = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx (2) Thay (2) vào (1) ta I = a a −a ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx π Ví dụ 18: Tính tích phân: I = x + cos x dx − sin x π ∫ − 15 16 π Giải: Ta có I = ∫ − Do f1 ( x ) = f ( x ) = π ∫ − π x + cos x dx = − sin x π π x dx + − sin x π ∫ −  π π  − ;  nên x hàm số lẻ − sin x ∫ − π cos x dx − sin x π ∫ − x dx = − sin x  π π  − ;  nên ta có: cos x hàm số chẵn − sin x π π π π cos x cos x d (sin x) dx = dx = − − sin x − sin x (sin x + 2) ( sin x + ) π ∫ ∫ − π sin x − Vậy I = − ln = ln sin x + 2 3.Cho hàm số y = f ( x) liên tục chẵn đoạn [ − α : α ] Khi α α f ( x) I =∫ x dx = ∫ f ( x)dx a +1 −α −α Chứng minh: Đặt t= -x ⇒ dt= - dx a t +1 Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1= at x -t Khi x= - α t = α ; x = α t =- α α Vậy α α f ( x) a t f (t ) a t +1 −1 I =∫ x dx = ∫ t dt = ∫ f (t ) dt t a + a + a + −α −α −α α α α f (t ) = ∫ f (t )dt + ∫ t dt = ∫ f ( x)dx + I a + −α −α −α α Suy α f ( x) I = ∫ x dx = ∫ f ( x)dx a +1 −α −α 16 17 x4 dx Ví dụ 19 : Tính tích phân: I = x + −1 ∫ Giải:Đặt t= -x ⇒ dt= - dx Khi x= - t = ; x =1 t =-1 1 x4 t4 2t I =∫ x dx = ∫ −t dt = ∫ t t dt +1 +1 +1 −1 −1 −1` Vậy 1 t4 = ∫ t dt − ∫ t dt = ∫ x dx − I +1 −1 −1 −1 1 x5 I = = ∫ x dx = −1 Suy = −1  π Khi   4.Cho f(x) liên tục đoạn  0; π π 0 ∫ f (sin x)dx = ∫ f (cos x)dx Chứng minh: π − x ⇒ dx = − dt π π Khi x = t = , x = t = 2 Đặt t = π Do ∫ 0 π f (sin x)dx = − f (sin( − t )dt = π ∫ π π 0 ∫ f (cos t )dt = ∫ f (cos x)dx Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có cơng thức *Nếu f(x) liên tục [ 0;1] π −α ∫ α *Nếu f(x) liên tục [ 0;1] π xf (sin x)dx = 2π −α π −α ∫ f (sin x)dx α π −α ∫ xf (cos x)dx = π ∫ α f (cos x) dx α 17 18 π Ví dụ 20:Chứng minh: I= ∫ sin n x π dx = n n sin x + cos x Giải : Tương tự ta có: π I= ∫ π sin n x cos n x dx = dx =J n n n n sin x + cos x sin x + cos x ∫ π +) Vậy I+J= ∫ π Vậy I= ∫ π sin n x cos n x π dx + dx = n n sin n x + cos n x sin x + cos x ∫ sin n x π dx = sin n x + cos n x π x sin x dx + cos x ∫ Ví dụ 21: Tính tích phân: Giải: Đặt x = π − t ( ≤ t ≤ π ) ⇒ dx = − dt ( π − t ) sin ( π − t ) x sin x dx = − dt Khi 2 + cos x + cos π − t ( ) π π ∫ ∫ π π π sin t t sin t = dt − dt 2 + cos t + cos t 0 ∫ ∫ π π π sin x x sin x = dx − dx 2 + cos x + cos x 0 ∫ π ∫ π x sin x π sin x ⇔2 dx = dx 2 + cos x + cos x 0 ∫ π ∫ π x sin x π sin x π2 dx = dx = Vậy 2 + cos x + cos x 0 ∫ ∫ 18 ... tính tích phân I = β ∫ ax e cos bxdx α ∫ J = e ax sin bxdx α Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính II.TÍCH PHÂN... dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv = v ' dx phần f(x)dx vi phân hàm số biết có nguyên hàm dễ tìm Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân. .. Tính tích phân: ∫ π π = π x3 dx x −1 Giải: ∫ 2 x x   dx = x +  ÷dx = xdx + x2 − x −   ∫ ∫ ∫ xdx x2 −1 1 x2 1 = + ln x − = + ln 2 0 Tích phân hàm lượng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi tích phân