CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN MỚI RẤT HAY

TÍCH PHÂN BÀI 1: NGUYÊN HÀM I. NGUYÊN HÀM: • Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) nếu: F’(x) = ƒ(x). • Một hàm số có thể có nhiều nguyên hàm, các nguyên hàm sai khác nhau một hằng số C. • Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số ƒ(x) được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số ƒ(x). Viết: ( )f x dx ∫ = F(x) + C (C: hằng số) ∫ : được gọi là dấu tích phân ƒ (x): hàm số dưới dấu tích phân. d(x): vi phân biến x. ƒ (x)d(x): biểu thức dưới dấu tích phân. F(x): nguyên hàm của hàm ƒ (x). Ví dụ:Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm của các hàm số nào ? a) F(x) = 1 ln log n x x a x x cosx + sinx+tanx + cotx+e a x x x + + + + + + . b) F(x) = ln tan 2 x c) F(x) = ln tan 2 4 x π   +  ÷   d) F(x) = 2 ln ( )x x a a R+ + ∈ e) F(x) = ( ) 2 2 1 .ln 2 x x a a x x a C+ + + + + . Giải: a) F’(x) = ƒ (x)= 1 2 2 1 1 1 1 os .ln os .ln 2 n x x 2 1 1 nx - sinx + c x+ - +e a a x c x sin x x x a x − + − + + + . b) F’(x) = ƒ (x) = 2 2 ' 2 x t an ' os 1 1 2 2 x sinx tan tan 2cos tan 2 2 2 2 x x c x x x    ÷      ÷   = = = Nhận xét: 1 ln tan sinx 2 x dx C = + ∫ c) F’(x) = ƒ (x) = x t an ' 2 4 1 1 x osx t an sin x+ 2 4 2 c π π π     +  ÷       = =     +  ÷  ÷     Nhận xét: 1 ln tan s x 2 4 x dx C co π   = + +  ÷   ∫ d) F’(x) = ƒ (x) = ( ) / 2 2 2 2 2 1 x+ x 1 x x a x a x x a x x a a + + + = = + + + + + Nhận xét: 2 2 1 lndx x x a C x a = + + + + ∫ e) F’(x) = ƒ (x) = 2 2 2 2 2 1 2 x x a x a x a x a a   + + + = +  ÷ + +   Nhận xét: ( ) 2 2 2 1 .ln 2 x adx x x a a x x a C + = + + + + + ∫ II. BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: III. BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG: • 0dx C= ∫ • dx x C= + ∫ • 1 , ( 1) 1 x x dx C + = + ≠ − + ∫ α α α α • 1 lndx x C x = + ∫ • x x e dx e C= + ∫ • (0 1) ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ • cos sinxdx x C= + ∫ • sin cosxdx x C= − + ∫ • = + = + ∫ ∫ 2 2 1 (1 tan ) tan cos dx x dx x C x • = + = − + ∫ ∫ 2 2 1 (1 cot ) cot sin dx x dx x C x • 1 1 ( ) ( ) 1 ax b ax b dx C a α α α + + + = + + ∫ • 1 1 lndx ax b C ax b a = + + + ∫ • 1 cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a a + = + + ≠ ∫ • 1 sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C a a + = − + + ≠ ∫ Tổng quát: ∫ 1 f(ax + b)dx = F(ax + b) + C a • 1 , ( 0) ax b ax b e dx e C a a + + = + ≠ ∫ • + + = + ≠ ∫ 1 , ( 0) ln mx n mx n a a dx C m m a • = + + + ∫ 2 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C a ax b • = + + + ∫ 2 1 cot( ) sin ( ) dx ax b C a ax b IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM: 1. Phương pháp phân tích: Là phương pháp dùng phép biến đổi để đưa các hàm số cần tìm nguyên hàm về các nguyên hàm quen thuộc. Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích và có hằng đẳng thức thì khai triển đưa về phân thức. Ví dụ: Tính: 1) A = 1 2 4 1 3 3 3 3 3 2 1 3 3 2 ( ) 2 4 4 x dx x x dx x x C x x C x x x − −   + = + = − + = − +  ÷   ∫ ∫ 2) B = 2 1 1 2 2 2 (3 ) 3 .2 3 .2 3 .( ) (3 ) . ln(3 ) 2 ln3 x x x x x x x x e dx e e dx e e dx e C C e + + = = = + = + + ∫ ∫ ∫ 3) C = 2 5 4 1 5 3 3 3 3 3 3 3 2 1 ( 2 1) ( 2 ) ? x x x dx x x x dx x x x dx x − − −   + = + + = + + =  ÷  ÷   ∫ ∫ ∫ Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức thì thông thường ta sử dụng chia đa thức hoặc phân tích bằng cách thêm bớt. Ví dụ: Tính: 1) A = 3 2 3 2 2 3 2 4 2 4 6 2 6 2ln 1 1 1 3 x x x x dx x x dx x x x C x x − + +   = − + − = − + − + +  ÷ + +   ∫ ∫ 2) B = 1 1 ln( 1) 1 1 1 x x x x x x x dx e e e dx dx x e C e e e   + − = = − = − + +  ÷ + + +   ∫ ∫ ∫ 3) C = 1 3 2 2 1 2 1 1 1 ln(2 3) 3 2 3 3 2 3 3 2 3 ln8 x x x x x x x dx dx dx x C   + − = = − = − + +  ÷ + + +   ∫ ∫ ∫ Đối với tích phân lượng giác ta sẽ dùng các phép biến đổi lượng giác đã học: 1) Công thức hạ bậc: 2 2 1 os2 1 os2 sin , s 2 2 c c co − + = = W W W W 2) Công thức đưa lượng giác về đại số: Đặt t = tan 2 W 2 2 2 2 2 1 2 sin ,cos , tan 1 1 1 t t t t t t − = = = + + − W W W 3) Công thức biến đổi tích thành tổng a b a + b a – b cos . cos = 1 2 (cos + cos ) sin . sin = 1 2 − (cos - cos ) sin . cos = 1 2 (sin + sin ) Ví dụ: Tính 1) A = 2 1 cos 1 sin ( sin ) 2 2 2 x x dx dx x x C − = = − + ∫ ∫ 2) B = 1 1 1 1 sin 5 .cos3 (sin8 sin 2 ) cos8 cos2 2 2 8 2 x xdx x x dx x x C   = + = − − +  ÷   ∫ ∫ 3) C = 4 4 2 2 2 2 2 2 2 s sin s sin 1 2sin 1 2 cot 2 sin sin sin sin co x x co x x x dx dx dx dx x x C x x x x − − −   = = = − = − − +  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ 4) D = 2 2 tan (1 tan 1) tanxdx x dx x x C= + − = − + ∫ ∫ 5) E = 4 4 2 2 2 2 2 tan (tan tan tan 1 1) tan (tan 1) (tan 1)xdx x x x dx x dx x dx dx= + − − + = + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 tan tan 3 x x x C= − + + 6) F = 2 3 2 2 2 1 tan tan tan tan .tan 1 tan tan ln cos cos cos 2 x x xdx x xdx xdx dx xdx x C x   = = − = − = + +  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Phương pháp đổi biến số: . hằng số) ∫ : được gọi là dấu tích phân ƒ (x): hàm số dưới dấu tích phân. d(x): vi phân biến x. ƒ (x)d(x): biểu thức dưới dấu tích phân. F(x): nguyên hàm của. phân tích: Là phương pháp dùng phép biến đổi để đưa các hàm số cần tìm nguyên hàm về các nguyên hàm quen thuộc. Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích