CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM:. 1.[r]
(1)TÍCH PHÂN BÀI 1: NGUYÊN HÀM I NGUYÊN HÀM:
Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) nếu: F’(x) = (x)
Một hàm số có nhiều nguyên hàm, nguyên hàm sai khác số C Tập hợp tất nguyên hàm hàm số (x) gọi họ nguyên hàm hàm
số (x)
Viết: f x dx( ) = F(x) + C (C: số)
: gọi dấu tích phân
(x): hàm số dấu tích phân.
d(x): vi phân biến x.
(x)d(x): biểu thức dấu tích phân.
F(x): ngun hàm hàm (x).
Ví dụ:Tìm xem hàm số sau nguyên hàm hàm số ? a) F(x) =
1
ln log
n x x
a x x cosx + sinx+tanx + cotx+e a x x
x
b) F(x) = ln tan2 x
c) F(x) = ln tan
2 x
d) F(x) =
2
ln x x a (a R )
e) F(x) =
2
1
.ln
2 x x a a x x a C . Giải:
a) F’(x) = (x)=
1
2
1 1
os ln
os ln
2
n x x
2
1 1
nx - sinx + c x+ - +e a a
x c x sin x x x a
x
b) F’(x) = (x) =
2
2 '
2 x
t an ' os
1
2 2
x sinx
tan tan 2cos tan
2 2
x x c
x x x
Nhận xét:
ln tan
sinx
x dx C
c) F’(x) = (x) =
x
t an '
2 1
x osx
t an sin x+
2
c
Nhận xét:
ln tan
s x
x
dx C
co
d) F’(x) = (x) =
/
2
2 2
1
x+ x 1
x x
a
x a
x x a x x a a
(2)Nhận xét:
2
1
ln
dx x x a C x a
e) F’(x) = (x) =
2
2
2
1
2 x
x a
x a x a
x a a
Nhận xét:
2 .ln
2
x adx x x a a x x a C
II BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
III BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG:
IV CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM:
1 Phương pháp phân tích: Là phương pháp dùng phép biến đổi để đưa hàm số cần tìm nguyên hàm nguyên hàm quen thuộc
Nếu hàm số dấu tích phân có dạng tích có đẳng thức khai triển đưa phân thức.
Ví dụ: Tính:
1) A =
1
3 ( 3) 3 2 3
4
x dx x x dx x x C x x C
x x x
2) B =
2
1 2
2
(3 )
3 ( ) (3 )
ln(3 ) ln
x x x
x x dx e x e xdx e e xdx e e C C e
3) C =
2 5 3 4 1 5
3
3 x x x dx x 3(x 2x2 1)dx (x3 2x x 3)dx ? x
0dx C dx x C
1
, ( 1)
x
x dx C
1dx ln x C
x
x x
e dx e C
(0 1) ln
x
x a
a dx C a
a
cosxdxsinx C sinxdx cosx C
1 (1 tan ) tan cos xdx x dx x C
1 (1 cot ) cot sin xdx x dx x C
1 ( )
( )
1 ax b
ax b dx C
a
1 dx 1 lnax b C
ax b a
1
cos(ax b dx) sin(ax b C a) ( 0)
a
1
sin(ax b dx) cos(ax b C a) ( 0)
a
Tổng quát:
f(ax + b)dx = 1 F(ax + b) + C
a
1 , ( 0)
ax b ax b
e dx e C a
a
ln , ( 0)
mx n
mx n a
a dx C m
m a
cos (2 ) tan( )
dx ax b C
a ax b
sin (2 ) cot( )
dx ax b C
(3)Nếu hàm số dấu tích phân có dạng phân thức thơng thường ta sử dụng chia đa thức phân tích cách thêm bớt.
Ví dụ: Tính:
1) A =
3
2
3
4 6 2ln
1
x x x x
dx x x dx x x x C
x x
2) B =
1
1 ln( 1)
1 1
x x x
x
x x x
dx e e e
dx dx x e C
e e e
3) C =
1 2 1
1 ln(2 3)
3 3 3 ln
x x x
x
x x x
dx
dx dx x C
Đối với tích phân lượng giác ta dùng phép biến đổi lượng giác học: 1) Công thức hạ bậc:
2 os2 os2
sin , s
2
c c
co
2) Công thức đưa lượng giác đại số: Đặt t = tan2
2
2 2
2
sin , cos , tan
1 1
t t t
t t t
3) Cơng thức biến đổi tích thành tổng
a b a + b a – b
cos cos =
1
2(cos + cos )
sin sin =
1
(cos - cos ) sin cos =
1
2(sin + sin )
Ví dụ: Tính
1) A =
2 cos
sin ( sin )
2 2
x x
dx dx x x C
2) B =
1 1
sin cos (sin8 sin ) cos8 cos
2
x xdx x x dx x xC
3) C =
4 2
2 2
s sin s sin 2sin
2 cot
sin sin sin sin
co x x co x x x
dx dx dx dx x x C
x x x x
4) D = tan2xdx(1 tan 2x1)dxtanx x C
5) E = tan4xdx(tan4xtan2 x tan2 x 1 1)dxtan (tan2x 21)dx (tan2 x1)dxdx
3 tan
tan
x
x x C
6) F =
2
3
2
1 tan tan
tan tan tan tan tan ln cos
cos cos
x x
xdx x xdx xdx dx xdx x C
x