Chuyên đề tích phân hay dành cho ôn thi đại học

68 99 0
Chuyên đề tích phân hay dành cho ôn thi đại học

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số thường gặp  dx  x  C  x  dx   x  ln x  C x  0  e dx  e  C dx x  x    ax  C 0  a  1 ln a   cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C  cos  du  u  C  x a x dx   d ax  b  a ax  b  C x  1  C   1  1    dx  tan x  C ax  b  dx  ax  b   C   1 a  1 dx  ln ax  b  C x  0 ax  b a e ax b dx  e ax b  C a cosax  bdx  sin ax  b  C a sin ax  bdx   cosax  b  C a 1 dx  tan ax  b   C a cos ax  b   1   sin ax  b dx   a cot ax  b  C 1 dx   cot x  C sin x Nguyên hàm hàm số hợp u  du  u  1  C   1  1  u  ln u  C u  0  e du  e  C du u u au  C 0  a  1 ln a   cos udu  sin u  C  sin udu   cos u  C a u dx   cos u  sin u du  tan u  C du   cot u  C 1) Các tính chất tích phân: Cho hàm số f(x) g(x) liên tục [a; b] a b a a b   f ( x)dx  ;  f ( x)dx   f ( x)dx a b b   k f ( x)dx  k  f ( x)dx a b ( k số) a b b   [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx a b a c a b   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a a ( với a < c < b ) c 2) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a b) Công thức hạ bậc:  cos 2a  cos 2a * cos2a = * sin2a = c) Công thức biến đổi tích thành tổng: * sin a.cos b   sin(a  b )  sin(a  b ) * sin a.sin b   cos(a  b )  cos(a  b ) * cos a.cos b   cos(a  b )  cos(a  b ) Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt 3) Các công thức lũy thừa bậc n: Với điều kiện xác định a, b, m, n ta có : n * n a a n a a m n a  b m n a b * a0 = 1; a1 = a ; a-n = n a * n a n b  n a.b ;   * a a  a  n n a   ;  a a  *  a.b   a a   a b ;   b b   *  a   a  4) Các đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) *  a  b 2  a  2ab  b2 * a3  b3  (a  b)(a a.b  b2 ) *  a  b 3  a3  3a 2b  3ab2  b3  PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1 Trong phần tích phân cần dùng phương pháp bình thường với cơng thức bảng ngun hàm có sẵn để tìm đáp án Câu 1: Tính tích phân sau a) I1 =  (3x  1)3dx  x2  e dx b)I2 = c)I3 = 1 0  2 x  1dx Giải a) I1 =  (3x  1)3dx = (3 x  1) 4    1  ( 1)     12  ax  b    ax  b dx   1 Ta thấy áp dụng cơng thức b) I2 =  e x  dx = a  1  C   1  x2 e = – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1 1 a Ta thấy áp dụng cơng thức  e axb dx  e axb  C c) I3 =  2 x  1dx = 2 ln 2 x  1 Ta thấy áp dụng cơng thức  1 =  (ln1  ln 3) dx  ln ax  b  C x  0 ax  b a Câu 2: Tính tích phân sau a) J1 = x  1 dx 2x  0  x dx b) J2 = c) J3 =  x  26 x dx x Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt Giải a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 +  x5  206 x3 suy J1 =   x  1 dx =  ( x  x  1)dx =    x  =   15 0 x   x     2   x      2  b) Ta có : 2 x 2 x 2 x 2 x 1 2x  suy J2 =  ) dx   2 x  ln  x  dx =  (2  2 x 2 x 0 = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – x  x x1/2  x1/6 c)   x1/21/6   x1/3  1/6 x x 2 2 3  suy ra: J3 =   x   dx   x4/3  x  = 4 1 101 = = 25,25 1/3  4/3       (  2) 4  Câu 3: Tính tích phân sau   a) K1 =  sin3x.cos xdx b) K2 =  cos 2xdx 0 Giải a) Ta có: sin3x.cosx =  s in4x  s in2x  Ta áp dụng công thức nhân đôi hồi học 11 sin a.cos b   suy K1 = sin(a  b)  sin(a  b)   1 1 4  cos x  cos x (sin4 x  sin2 x ) dx  0  = 2  4  b) K2 =  cos 2xdx Ta có: cos22x =  cos x  suy K2 =   (1  cos x)dx  1 4   1 1    =   sin x  sin x    =       2     2 4 Câu 4: Tính tích phân sau  1) L =  ( x  3x  2)dx  sin x  dx  sin x x  5x 1 x dx 2) I = 3) K =  12 4) M =  sin x sin 5xdx  5) P =  sin 3xdx Giải Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt  x5  1   x3  2x    1    1) L =  ( x  3x  2)dx     0 5     sin x         dx   sin x dx   cot x  cos x  cos     cot  cos        cot   2  4  6    sin x   sin x 2) I   6  2  3 2   1              Ta áp dụng công thức:  du   cot u  C  sin udu   cos u  C sin u 2 2 x  5x 3) K =  dx  x  dx  x  x  22  5.2  1  5  2    x 1      12  sin x sin 5xdx 4) M = Nhìn vào câu ta áp dụng cơng thức tích thành tổng lượng giác sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)    12 11  12  M    cos x  cos12 x  dx   sin x  sin12 x  20 22 12 0    1  1  sin  sin     sin  sin       12 12  2  Áp dụng công thức tính tích phân  cosax  bdx  sin ax  b  C a  5) P =  sin 3xdx Nhìn vào thấy sin 3x khơng có cơng thức tính trực tiếp Nhưng ta nhớ đến cơng thức hạ bậc  cos 2a lượng giác sin a  Như ta dễ dàng áp dụng công thức bảng nguyên hàm     13 1      P   1  cos6 x dx   x  sin x     sin 2   sin 0  20 2     PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Cách chọn Dấu hiệu a x 2  x  a sin t   x  a cos t Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt  x    x   x2  a2 a sin t a cost a2  x2  x  a tgt   x  a cot gt ax ax x  a cost ax ax x  a cost a2  b2 x2 x a sin t b x a tgt b , n=1, 2, … (a  b x ) n b Cần tính I =  f ( x)dx a Loại 1: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: x = u(t) suy dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: cho u(t) = a u(t) = b để tìm hai cận + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính Câu : Tính tích phân sau  a) I1 =  x dx b) I2 =  9 x dx Giải a) I1 =   x dx    Đặt x = 2sint , t   ;  (u(t) = 2sint)  dx = 2costdt  2 Đổi cận x t  2  I1 =   x dx =     2 2 0   4sin t 2cost dt =   sin t cost dt =  cos2 t cost dt =4  cos tdt Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt    2 =  (1  cos 2t )dt =  t  s in2t  =   0  9 x b) I2 = dx    Đặt x = 3tant, t    ;   dx = = 3(1 +tan2t)dt cos t  2 Đổi cận x  t    4  3(1  tan t ) 3(1  tan t ) t = = = = = dx dt dt dt 0  tan t 0 9(1  tan t) 0 3  x2 Loại 2: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: u = u(x) suy du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận    =u(a)  = u(b) + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, tính  I2 =  Câu 2: Tính tích phân sau  e x2 a) J1 = xe dx  b)J2 = 1  /2 d) J4 =   x xdx e)J5 = 1  ln x dx x cos x  (1  sin x)  c)J3 = x ( x  1) dx dx Giải  x a) J1 = xe dx Đặt u = x2  du = 2xdx  xdx = Đổi cận x t  xe  J1 = du x2 dx = 1  e du = e u u = 1 1 ( e – e ) = ( e4 – e) 2 Cách 2: Dùng hàm hợp  Ta thấy rằng: x   x  2 2 2 1   J1 =  xe dx    x  e x dx   e x d  x   e x   e  e  21 2 1 x2 e b)J2 =  1  ln x dx x Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt Đặt u =  ln x  u2 = + lnx  2udu = dx x Đổi cận e x t  ln x dx =  J2 =  x Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy:   ln x  x e  u.2udu = u 2 = 2 ( 2)3  13 ) = (2  1) 3 e 1  ln x   ln x dx    ln x   ln xdx   1  ln x  d  ln x   x 1 1 e e J2    1 e e  1  ln x   ln x 1 2 2   3    c)J3 = x ( x  1) dx Đặt u = x4 –  du = 4x3dx  x3dx = Đổi cận x t du -1  J3 =  x ( x  1) dx = 0 u 1 du = u 4 =  1 24 Cách 2: Dùng hàm hợp  Ta thấy: x   x  1 1 1 x  x  1  x  1 dx    x  1 d  x  1  40  J3 =  x3 ( x  1)5 dx   5  1  1   1   24 24 d) J4 =   x xdx Đặt u =  x  u2 = – x  2udu = – 2xdx  xdx = –udu Đổi cận x t 2  J4 =  0 2  x xdx =  u.(  u ) du =  u du = u = 3 Cách 2: Dùng hàm hợp Văn Tấn Hải Ta thấy: x   Học chắn sẽ… xém rớt  x2     1  J4 =   x xdx    x      x dx      x 20  2 0 2 2  d   x    12 2 1 4  x  1 2  1  x   x     22   2  4.2     3 3  /2 cos x  (1  sin x) e)J5 = dx Đặt u = + sinx  du = cosxdx Đổi cận  x t  /2   J5 = du 4 cos x 3 dx u = = =  u du =  u (1  sin x) 3 24 1 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy: cos x  1  sin x    2 1  sin x   cos x 1 4 dx   dx   1  sin x  d 1  sin x    4 (1  sin x) 1  sin x 3 0 1  sin x   J5       1      1     3    24   1  sin    1  sin   2   Câu : Tính tích phân sau   a) I =  sin x cos xdx b) J = x c) K =  e x.dx  x  8.x dx 0 e d) L =  (3  ln x )dx x g) N = x e dx  2e x Giải  a) I =   sin x cos xdx Cách 1: Đổi biến số Đặt t   sin x  t   sin x  2tdt  cos xdx  cos xdx  tdt Đổi cận Văn Tấn Hải x t Học chắn sẽ… xém rớt    3 3 tdt t3 3 1  I   t   t dt     2 61 6 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy rằng: cos x  1  sin x  nên ta dùng phương pháp hàm hợp nhanh Vì cách làm trực tiếp    6 0  I    sin x cos xdx    sin x 1 16 1  sin x  1  sin x  dx   1  sin x  d 1  sin x   40 1 1   3 1 1     1  sin x   sin x    sin   sin  1  sin   sin   6  6 6  b) J =  x  8.x dx Đặt t  x   t  x   3t dt  3x dx  t dt  x dx Đổi cận x t -2 0 0 t4  J   t.t dt   t dt   4 2 2 2 Cách 2: Dùng hàm hợp  Ta thấy được: x  x  3  2 0  J   x  x dx   x    x 8   1  8 4     1 x 8 x   dx   x  d x   30 1       1 4   8     x c) K =  e x.dx Đặt t   x  dt  2 xdx  xdx   Đổi cận x t dt -1 10 Văn Tấn Hải d) I4   x 3 x 1  x  dx Học chắn sẽ… xém rớt x2 1 e) I5   dx x x  1 f) I6   2x2  x 1 x 1 dx Giải 2x 1 a) I1   dx 1 2x 1 Đặt t  x   t  x   2tdt  2dx  dx  tdt Đổi cận x t   t2 1  3 t  1 t  1   t2   t2    I1   dt   dt   dt    t   dt    t  ln t    1 t 1 t 1 t 1 t  2 1 1 1 3 9  1      ln      ln    ln   ln 2 2  2  b) I2   dx 2x 1 4x 1 Đặt: t  4x   t2  4x    2tdt  4dx  dx  t2 1  2x tdt Đổi cận x t 5 5 tdt tdt tdt  I2     t 1 t  2t   t  12 1 t 5 5 t  1   1     dt   ln t    dt      t   t  12  t     t  1 3  1 x dx c) I3   x 1 Đặt t   x  t   x   t  1  x 1  1    ln     ln    ln   ln  6  4 12 12    t  1 dt  dx Đổi cận x 54 Văn Tấn Hải t  I3   Học chắn sẽ… xém rớt   t  1 t 2  t  1 dt    t  1   t  1 t  t3 2 t2     t  3t    dt     4t  ln t 3 1  t   t  3t  3t  dt t dt      1  t       ln       ln1    3   1 11  ln 3 d) I4   x 3 x 1  x  dx Đặt t  x   t  x   x  t   dx  2tdt Đổi cận x t 2 2 t t2  4 t  t   t   t t  2 t2 1  2t  8t  I4   2t.dt   dt  2 dt  2 dt  2 dt 3t  t   t  3t  t  1 t   t  1 t   t 1 1   t  2t dt t 1 Tới ta nháp lấy tử chia mẫu t  2t t  t 3 t2  t  3t 3t  03  2 2  t2   t  2t   1   2 dt    t   dt    3t  3ln t       3ln      3ln    t 1 t 1 2   2 1 1   ln  ln    ln  x 1 dx e) I5   x 3x  Đặt t  3x   t  3x   x  t2 1 2tdt  dx  3 Đổi cận x t 55 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt    t2 1  t2 1   1  4  2tdt t 1      I5    dt  dt  t     dt 2    t  t  t  t    2 2 t 4   2    t2 1  dt  t  dt  dt     2 92 t  t   t  1 t  1           4   23   100 2  t3   + Xét M   t  dt    t            92        27  t  1   t  1 4  t 1  + Xét N   dt     dt   ln t   ln t    ln  ln  ln  ln  t 1 t 1  t 1 5  t  1 t  1 2 100  I5  M  N  ln  27   2x2  x 1 f) I6   x 1 dx Đặt: t  x   t  x   x  t   2tdt  dx Đổi cận x t     t2 1  t2 1 1  I6   t     2tdt   2 t  2t   t   dt   2t  3t dt 1   t5     54 t3         23        1      Câu 4: Tính tích phân sau a) I1   x  x dx d) I4   x dx  x6 b) I2    x  xdx 1 c) I3    x  x dx e) I5    x  x dx f) I6   x dx  x  x2 Giải a) I1   x  x dx    Đặt: x  sin t , với t    ;   cos t   2  dx  2cos tdt Đổi cận 56 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt x t    2  I1   sin t  sin t cos tdt  16  sin t  sin t cos tdt 0   2   16  sin t cos t cos tdt  16  sin t.cos t.dt  16   sin t.cos t  dt 2 0   2     cos t 1   2  16   sin 2t  dt   sin 2tdt   dt   1  cos 4t  dt   t  sin 4t  2   0 0 0 2   2        2t  sin 4t     sin 2     sin     0  2    0  b) I2   x  xdx  1   x  1 dx  1    Đặt: x   sin t , với t    ;   cos t   2 Đổi cận x -1 t     2 0  I2    sin t cos t.dt   cos t cos t.dt   cos2 t.dt   12  sin 2t    sin    sin      1  cos2t  dt   t      0     20 2   2     1 c) I3    x  x dx     x   dx 0    Đặt: x   2sin t , với t    ;   cos t   2  dx  2cos tdt Đổi cận x t     57 Văn Tấn Hải            sin 2t   sin t cos t.dt   cos t.dt   1  cos 2t  dt   t    2t  sin t  6            I3  Học chắn sẽ… xém rớt  2 2 2   2        sin         sin          x dx d) I4    x6  x dx    x3 Cách Đặt: t  x  dt  3x dx Đổi cận x t 1 1 dt  I4    t2   Đặt: t  sin u , u  0;   dt  cos udu  2 Đổi cận x t       cos u.du cos u.du cos u.du u6   I4         du    4sin u cos u cos u 30 18 6 Cách Đặt: x  sin t  3x dx  cos tdt  x dx  cos tdt Đổi cận x t       cos t.dt cos t.dt cos t.dt t   I4         dt    4sin t cos t cos t 30 18 e) I5    x  x dx 58 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt    Đặt x  sin t , với t    ;   cos t  0;cos t  sin t  2  dx  cos t.dt Đổi cận x t     6 0  I5    sin t  sin t cos t.dt    sin t.cos t cos t.dt     6     sin 2t cos 2t    sin  cos   t      2 2   2 1 x dx f) I6     x  x2 0 cos t.dt     cos t  sin t  cos t.dt   cos2 t  sin t.cos t dt  sin t  cos t  16 1  cos 2t  sin 2t  dt 0 sin cos0                               x dx 22   x  1    Đặt x   2sin t với t    ;   cos t   2  dx  2cos tdt Đổi cận x t   I6  1  sin t  cos t dt  1  sin t  sin t  cos t dt  1  sin t  sin t  cos t dt    2 cos t cos t   sin t     6  0   cos 2t    sin t  sin t dt     sin t  dt   1  sin t   cos t  dt  3t  cos t  sin t              2  0 6     3 3         4 cos0  sin      cos     sin      4      4     2  6     PHẦN VII: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 1: Tính tích phân sau  a) I1   cos4 xdx     b) I2   sin x  cos6 x dx c) I3   sin x.sin 5x.dx  59 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt    sin  x   4  e) I5   dx cos x  sin x dx  cos x d) I4    dx  cos x f) I6   Giải      1   cos x  a) I1   cos4 xdx   cos2 x  dx    dx   1  cos x  dx   1  cos x  cos2 x  dx  40 40  0 0      cos x  3 cos x  13      cos x  dx     cos x  dx   x  sin x  sin x    0 02  42  0   3x sin x sin x   3 sin  sin 2        16   16     3.0 sin sin  3      16             3 b) I2   sin x  cos6 x dx    sin x  cos2 x  dx   0      sin x  cos2 x  sin x      sin x.cos2 x  cos2 x  dx     1     sin x  cos2 x  3sin x.cos2 x  dx   1   sin x  2  0        dx     sin x  dx   0       2     5   5x 2     1  1  cos x  dx     cos x  dx    sin x     sin 2    sin  8 32    32 0    0   32   5  16   2    sin 3x sin x  cos3 x  cos x dx          c) I3   sin x.sin 5x.dx     3 7 sin sin          2   sin  3             7  sin     2 sin x sin x.sin x dx   dx    cos x  cos x 0 d) I4          1                  21            cos2 x sin x   cos x   dx   1  cos x 1  cos x  sin x  cos x dx   cos2 x    1  cos x  sin x.dx   4 1  cos x  cos x  dx  4  1  cos x  d  cos x   4  cos x   0  0     cos  4  cos  2   2     cos2      cos0    2      60 Văn Tấn Hải       sin  x   3 3 sin x  cos x sin x 4  sin x   dx   dx      dx   dx   dx cos x cos x cos x  cos x 0 0  e) I5       cos x  Học chắn sẽ… xém rớt cos x   3 0 dx   dx    d  cos x  cos x         dx    ln cos x  x     ln cos     ln cos0   3          ln     ln 1   ln  3  3    dx dx 1    tan x f) I6    cos x cos x 2 Câu 2: Tính tích phân sau   2    dx cos6 x c) I3   0   b) I2   cos3 x  cos2 xdx a) I1   cos2 x cos xdx      e) I5   cos x sin x  cos4 x dx d) I4   sin x  cos4 x sin x  cos6 x dx 0 Giải   a) I1   cos2 x cos xdx       12   1  cos x  cos x  dx  40   1 2  cos x   cos x cos xdx  cos x  cos x dx  cos x      dx    20 40 0  1 1       x  sin x  sin x     sin   sin 2     sin  sin    4 4               2 b) I2   cos3 x  cos2 xdx   cos5 x  cos2 x dx   cos5 xdx   cos2 xdx  A  B 0   2     A   cos5 xdx   cos2 x cos xdx    sin x 0   sin x dx   1  sin x  d sin x  2 2   2  2    2sin x  sin x d  sin x    sin x  sin3 x  sin x   0       sin  sin3  sin    15       12 1 1        B   cos xdx   1  cos2 x  dx   x  sin x     sin      sin    20 2 2   2    2 61 Văn Tấn Hải Vậy I2  A  B  Học chắn sẽ… xém rớt   15    4   tan x  dx   dx dx     tan x d  tan x  2    cos x cos2 x cos2 x     tan x    c) I3        4    tan x  tan x d  tan x    tan x  tan3 x  tan x   0     28    tan  tan3  tan   4  15        d) I4   sin x  cos4 x sin x  cos6 x dx Ta có:  sin x  cos4 x  sin x    cos x   sin 2 2 x  cos2 x   sin x cos2 x   sin 2 x 1  cos x cos x  1   2 4      sin     2 x  cos2 x  sin x  sin x cos2 x  cos2 x     cos x 3cos x     sin x  cos2 x  3sin x cos2 x     sin 2 x         4 8  sin6 x  cos6 x  sin x  cos2 x    cos x  3cos x  15 cos x 3cos x  sin x  cos4 x sin x  cos6 x          32 16 32 4  15 cos x  cos8 x 33 cos x 3cos8 x       32 16 32 64 16 64       33 cos x 3cos8 x   I4   sin x  cos x sin x  cos x dx      dx 64 16 64  0  4  6    33x 7sin x 3sin8 x  33 7sin 2 3sin 4 33        64 512  128 64 512 128  64    e) I5   cos x sin x  cos4 x dx Câu d ta thấy sin x  cos2 x   sin 2 x    1 2        I50   cos x   sin x  dx    sin x    sin x  dx     sin x  d  sin x  2 0      0 2  1 sin x      sin x     sin   sin    2 0 2  62 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt PHẦN VIII: TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT Câu 1: Tính tích phân sau I1   e2 x 1 e 3ln  I4   I2   dx x   x ex xe ln3 dx x e 2 x  I5   e e x x ln x  1 dx I3   dx I6  dx  ln e e 9 2x 2x ex  dx ln  I7  e x  1dx Giải I1   e 2x  ex dx Đặt t  ex  ex  t  ex dx  2tdt t3  I1   dt 1 t t3  t2  t   1 t t 1 3 t t  t    I1   dt    t  t   dt     t  ln t    C  1 t t 1   3   e x e x  e x  e x  ln e x   C x2  x ex x2  x ex e x x  x e x xe x  x  1 e x dx   dx   dx   dx I2   x x x  e x xe  xe  x x e   Đặt t  xe x   dt   xe x  x e x   dx  dt  e x  xe x dx  dt  e x  x  1 dx    t  1 dt  1   dt  t  ln t  C  xe x   ln xe x   C  I2     t  t dx I3   2x e 9 tdt  dx Đặt t  e2 x   t  e2 x   2tdt  2e2 x dx  tdt  t  dx  t 9 Ta nháp lấy tử chia cho mẫu ta phân tích              tdt dt t    t  3  t 3    dt     dt  ln  C  ln    t   t  3 t  3 t 3 t t 9  t 3 t 3  I3     3ln I4    x  dx ex    x C e dx  e2 x   x 3ln 2 e2 x   e x  ex   x Đặt t  e  dt  e dx  e dx  3dt Đổi cận 63 Văn Tấn Hải x t Học chắn sẽ… xém rớt 3ln 2 3dt  I4   t t  2 2 2 t  2  t  1   t  2  t     dt   dt    dt     2 t t  2  t t  2 t  2   t  t    t  2      1 1   3 t  3 3        dt   ln  ln   ln    2   t t   t  2   t   t  2 2.4  2.2    3  ln  ln3 ex I5   dx x e    Đặt t  e x   t  ex   2tdt  ex dx Đổi cận x ln t 2 t  ln  I6  2tdt   I5  ln tdt dt 2  t t t 2 2 ln e2 x ex  dx    1  2 e x e x dx ex  ln Đặt t  ex   t  e x   t   ex  2tdt  e x dx Đổi cận ln2 x t ln  I6   t   2tdt t  t3       20   t  dt    t         1        1   ln  I7  e x  1dx Đặt t  e x   t  e x   t   e x  2tdt  e x dx  2tdt   t  1 dx  dx  2tdt t2  Đổi cận x ln t 64 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt   1 t2  1 1 2tdt t2    I   t  2 dt   dt     dt   dt   dt  t 1 t 1 t 1 t 1  t 1 0 0 0 1  2t  A   A 1 dt t 1 Xét: A      du , u    ;  cos u  2 Đặt t  tan u  dt  Đổi cận x t     du    du  u  2 cos u tan u   A   Vậy, I7   A    2    Câu 2: Tính tích phân sau e3 a) I1   e ln x x  ln x b) I2  dx x  ln x e  ln x dx c) I3   xe x  dx x  e x  ln x  Giải e3 ln x a) I1   x  ln x dx Đặt t   ln x  t   ln x  t   ln x  2tdt  dx x Đổi cận x e3 t t  I1    1 t  t 3t  2tdt   t  dt   t  3t  3t  dt    t t  1 1      27 3.25  1   388     23             35  7  e b) I2  x  ln x  ln x dx Đặt t   ln x  t   ln x  t   ln x  2tdt  dx dx  tdt  x x Đổi cận 65 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt x e t 2   I2   .tdt   t2 1 t    t3   t dt   4t      1      2 3        10  11    3   xe x  dx x  e x  ln x  e c) I3   Đặt t  e x  ln x  dt  e x  xe x   dt  dx x x Đổi cận x t e e ee  ee 1   I3  e dt  ln t t ee 1 e ee   ln  e  1  ln e  ln e e  2 Câu 3: Tính tích phân sau.1 I1   e sin x I2   sin xdx I3   ln x  x  1 ln  x  1 x2 dx dx Giải   2 0 I1   esin x sin xdx   esin x sin x cos xdx u  sin x du  cos xdx  Đặt  sin x sin x dv  e cos x v  e   I1  sin x.e 2 I2    sin x ln  x  1 x2  2 e sin x cos xdx   2e  2e  sin x  2e   2e    dx dx u  ln  x  1 du    x 1 Đặt:   dx dv  v    x  x 66 Văn Tấn Hải  I2   ln  x  1 x Học chắn sẽ… xém rớt 2 x  1  x  dx 1  1    ln  ln   dx   ln  ln     dx x  x  1 x  x  1 x x   1 1 2 x 1   ln  ln  ln   ln  ln  ln  ln   ln  ln  ln  ln  ln x 1 2 3 3 I3   ln x  x  1 dx dx  u  ln x du     x dx   Đặt  dv    x  1 v   x   dx 1  1  I3   ln x     ln     dx x 1 x  x  1 x x   1 1 3 x 3   ln  ln   ln  ln  ln  ln  ln x 1 4 2 67 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt MỤC LỤC CÔNG THỨC Nguyên hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1 PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Loại 1: Tiến hành theo bước Loại 2: Tiến hành theo bước PHẦN III: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 12 PHẦN IV: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P2 15 PHẦN V : TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 34 dx I DẠNG :  ax  b  a ln ax  b  C 34 II Dạng :  ax dx 36  bx  c PHẦN VI: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ 51 PHẦN VII: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 59 PHẦN VIII: TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT 63 68 ... biến số Với phương pháp cần ý đặt ẩn mà thay hết ẩn dấu tích phân ban đầu thành loại ẩn khác thơi Trong dấu tích phân khơng chứa ẩn Như ban đầu dấu tích phân có ẩn x đặt ẩn t ẩn x phải hết Đặt... thức Q(x): sinkx hay coskx P(x): Đa thức Q(x):ekx Cách đặt * u = P(x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân * u = P(x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân P(x): Đa thức 1 Q(x): hay sin x cos x... 2b  3ab2  b3  PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1 Trong phần tích phân cần dùng phương pháp bình thường với cơng thức bảng ngun hàm có sẵn để tìm đáp án Câu 1: Tính tích phân sau a) I1 =  (3x 

Ngày đăng: 20/01/2019, 10:28

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan