Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 68 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
68
Dung lượng
1,86 MB
Nội dung
Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số thường gặp dx x C x dx x ln x C x 0 e dx e C dx x x ax C 0 a 1 ln a cos xdx sin x C sin xdx cos x C cos du u C x a x dx d ax b a ax b C x 1 C 1 1 dx tan x C ax b dx ax b C 1 a 1 dx ln ax b C x 0 ax b a e ax b dx e ax b C a cosax bdx sin ax b C a sin ax bdx cosax b C a 1 dx tan ax b C a cos ax b 1 sin ax b dx a cot ax b C 1 dx cot x C sin x Nguyên hàm hàm số hợp u du u 1 C 1 1 u ln u C u 0 e du e C du u u au C 0 a 1 ln a cos udu sin u C sin udu cos u C a u dx cos u sin u du tan u C du cot u C 1) Các tính chất tích phân: Cho hàm số f(x) g(x) liên tục [a; b] a b a a b f ( x)dx ; f ( x)dx f ( x)dx a b b k f ( x)dx k f ( x)dx a b ( k số) a b b [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx a b a c a b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a a ( với a < c < b ) c 2) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a b) Công thức hạ bậc: cos 2a cos 2a * cos2a = * sin2a = c) Công thức biến đổi tích thành tổng: * sin a.cos b sin(a b ) sin(a b ) * sin a.sin b cos(a b ) cos(a b ) * cos a.cos b cos(a b ) cos(a b ) Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt 3) Các công thức lũy thừa bậc n: Với điều kiện xác định a, b, m, n ta có : n * n a a n a a m n a b m n a b * a0 = 1; a1 = a ; a-n = n a * n a n b n a.b ; * a a a n n a ; a a * a.b a a a b ; b b * a a 4) Các đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) * a b 2 a 2ab b2 * a3 b3 (a b)(a a.b b2 ) * a b 3 a3 3a 2b 3ab2 b3 PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1 Trong phần tích phân cần dùng phương pháp bình thường với cơng thức bảng ngun hàm có sẵn để tìm đáp án Câu 1: Tính tích phân sau a) I1 = (3x 1)3dx x2 e dx b)I2 = c)I3 = 1 0 2 x 1dx Giải a) I1 = (3x 1)3dx = (3 x 1) 4 1 ( 1) 12 ax b ax b dx 1 Ta thấy áp dụng cơng thức b) I2 = e x dx = a 1 C 1 x2 e = – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1 1 a Ta thấy áp dụng cơng thức e axb dx e axb C c) I3 = 2 x 1dx = 2 ln 2 x 1 Ta thấy áp dụng cơng thức 1 = (ln1 ln 3) dx ln ax b C x 0 ax b a Câu 2: Tính tích phân sau a) J1 = x 1 dx 2x 0 x dx b) J2 = c) J3 = x 26 x dx x Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt Giải a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + x5 206 x3 suy J1 = x 1 dx = ( x x 1)dx = x = 15 0 x x 2 x 2 b) Ta có : 2 x 2 x 2 x 2 x 1 2x suy J2 = ) dx 2 x ln x dx = (2 2 x 2 x 0 = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – x x x1/2 x1/6 c) x1/21/6 x1/3 1/6 x x 2 2 3 suy ra: J3 = x dx x4/3 x = 4 1 101 = = 25,25 1/3 4/3 ( 2) 4 Câu 3: Tính tích phân sau a) K1 = sin3x.cos xdx b) K2 = cos 2xdx 0 Giải a) Ta có: sin3x.cosx = s in4x s in2x Ta áp dụng công thức nhân đôi hồi học 11 sin a.cos b suy K1 = sin(a b) sin(a b) 1 1 4 cos x cos x (sin4 x sin2 x ) dx 0 = 2 4 b) K2 = cos 2xdx Ta có: cos22x = cos x suy K2 = (1 cos x)dx 1 4 1 1 = sin x sin x = 2 2 4 Câu 4: Tính tích phân sau 1) L = ( x 3x 2)dx sin x dx sin x x 5x 1 x dx 2) I = 3) K = 12 4) M = sin x sin 5xdx 5) P = sin 3xdx Giải Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt x5 1 x3 2x 1 1) L = ( x 3x 2)dx 0 5 sin x dx sin x dx cot x cos x cos cot cos cot 2 4 6 sin x sin x 2) I 6 2 3 2 1 Ta áp dụng công thức: du cot u C sin udu cos u C sin u 2 2 x 5x 3) K = dx x dx x x 22 5.2 1 5 2 x 1 12 sin x sin 5xdx 4) M = Nhìn vào câu ta áp dụng cơng thức tích thành tổng lượng giác sin a.sin b cos(a b) cos(a b) 12 11 12 M cos x cos12 x dx sin x sin12 x 20 22 12 0 1 1 sin sin sin sin 12 12 2 Áp dụng công thức tính tích phân cosax bdx sin ax b C a 5) P = sin 3xdx Nhìn vào thấy sin 3x khơng có cơng thức tính trực tiếp Nhưng ta nhớ đến cơng thức hạ bậc cos 2a lượng giác sin a Như ta dễ dàng áp dụng công thức bảng nguyên hàm 13 1 P 1 cos6 x dx x sin x sin 2 sin 0 20 2 PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Cách chọn Dấu hiệu a x 2 x a sin t x a cos t Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt x x x2 a2 a sin t a cost a2 x2 x a tgt x a cot gt ax ax x a cost ax ax x a cost a2 b2 x2 x a sin t b x a tgt b , n=1, 2, … (a b x ) n b Cần tính I = f ( x)dx a Loại 1: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: x = u(t) suy dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: cho u(t) = a u(t) = b để tìm hai cận + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính Câu : Tính tích phân sau a) I1 = x dx b) I2 = 9 x dx Giải a) I1 = x dx Đặt x = 2sint , t ; (u(t) = 2sint) dx = 2costdt 2 Đổi cận x t 2 I1 = x dx = 2 2 0 4sin t 2cost dt = sin t cost dt = cos2 t cost dt =4 cos tdt Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt 2 = (1 cos 2t )dt = t s in2t = 0 9 x b) I2 = dx Đặt x = 3tant, t ; dx = = 3(1 +tan2t)dt cos t 2 Đổi cận x t 4 3(1 tan t ) 3(1 tan t ) t = = = = = dx dt dt dt 0 tan t 0 9(1 tan t) 0 3 x2 Loại 2: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: u = u(x) suy du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận =u(a) = u(b) + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, tính I2 = Câu 2: Tính tích phân sau e x2 a) J1 = xe dx b)J2 = 1 /2 d) J4 = x xdx e)J5 = 1 ln x dx x cos x (1 sin x) c)J3 = x ( x 1) dx dx Giải x a) J1 = xe dx Đặt u = x2 du = 2xdx xdx = Đổi cận x t xe J1 = du x2 dx = 1 e du = e u u = 1 1 ( e – e ) = ( e4 – e) 2 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy rằng: x x 2 2 2 1 J1 = xe dx x e x dx e x d x e x e e 21 2 1 x2 e b)J2 = 1 ln x dx x Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt Đặt u = ln x u2 = + lnx 2udu = dx x Đổi cận e x t ln x dx = J2 = x Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy: ln x x e u.2udu = u 2 = 2 ( 2)3 13 ) = (2 1) 3 e 1 ln x ln x dx ln x ln xdx 1 ln x d ln x x 1 1 e e J2 1 e e 1 ln x ln x 1 2 2 3 c)J3 = x ( x 1) dx Đặt u = x4 – du = 4x3dx x3dx = Đổi cận x t du -1 J3 = x ( x 1) dx = 0 u 1 du = u 4 = 1 24 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy: x x 1 1 1 x x 1 x 1 dx x 1 d x 1 40 J3 = x3 ( x 1)5 dx 5 1 1 1 24 24 d) J4 = x xdx Đặt u = x u2 = – x 2udu = – 2xdx xdx = –udu Đổi cận x t 2 J4 = 0 2 x xdx = u.( u ) du = u du = u = 3 Cách 2: Dùng hàm hợp Văn Tấn Hải Ta thấy: x Học chắn sẽ… xém rớt x2 1 J4 = x xdx x x dx x 20 2 0 2 2 d x 12 2 1 4 x 1 2 1 x x 22 2 4.2 3 3 /2 cos x (1 sin x) e)J5 = dx Đặt u = + sinx du = cosxdx Đổi cận x t /2 J5 = du 4 cos x 3 dx u = = = u du = u (1 sin x) 3 24 1 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy: cos x 1 sin x 2 1 sin x cos x 1 4 dx dx 1 sin x d 1 sin x 4 (1 sin x) 1 sin x 3 0 1 sin x J5 1 1 3 24 1 sin 1 sin 2 Câu : Tính tích phân sau a) I = sin x cos xdx b) J = x c) K = e x.dx x 8.x dx 0 e d) L = (3 ln x )dx x g) N = x e dx 2e x Giải a) I = sin x cos xdx Cách 1: Đổi biến số Đặt t sin x t sin x 2tdt cos xdx cos xdx tdt Đổi cận Văn Tấn Hải x t Học chắn sẽ… xém rớt 3 3 tdt t3 3 1 I t t dt 2 61 6 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy rằng: cos x 1 sin x nên ta dùng phương pháp hàm hợp nhanh Vì cách làm trực tiếp 6 0 I sin x cos xdx sin x 1 16 1 sin x 1 sin x dx 1 sin x d 1 sin x 40 1 1 3 1 1 1 sin x sin x sin sin 1 sin sin 6 6 6 b) J = x 8.x dx Đặt t x t x 3t dt 3x dx t dt x dx Đổi cận x t -2 0 0 t4 J t.t dt t dt 4 2 2 2 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy được: x x 3 2 0 J x x dx x x 8 1 8 4 1 x 8 x dx x d x 30 1 1 4 8 x c) K = e x.dx Đặt t x dt 2 xdx xdx Đổi cận x t dt -1 10 Văn Tấn Hải d) I4 x 3 x 1 x dx Học chắn sẽ… xém rớt x2 1 e) I5 dx x x 1 f) I6 2x2 x 1 x 1 dx Giải 2x 1 a) I1 dx 1 2x 1 Đặt t x t x 2tdt 2dx dx tdt Đổi cận x t t2 1 3 t 1 t 1 t2 t2 I1 dt dt dt t dt t ln t 1 t 1 t 1 t 1 t 2 1 1 1 3 9 1 ln ln ln ln 2 2 2 b) I2 dx 2x 1 4x 1 Đặt: t 4x t2 4x 2tdt 4dx dx t2 1 2x tdt Đổi cận x t 5 5 tdt tdt tdt I2 t 1 t 2t t 12 1 t 5 5 t 1 1 dt ln t dt t t 12 t t 1 3 1 x dx c) I3 x 1 Đặt t x t x t 1 x 1 1 ln ln ln ln 6 4 12 12 t 1 dt dx Đổi cận x 54 Văn Tấn Hải t I3 Học chắn sẽ… xém rớt t 1 t 2 t 1 dt t 1 t 1 t t3 2 t2 t 3t dt 4t ln t 3 1 t t 3t 3t dt t dt 1 t ln ln1 3 1 11 ln 3 d) I4 x 3 x 1 x dx Đặt t x t x x t dx 2tdt Đổi cận x t 2 2 t t2 4 t t t t t 2 t2 1 2t 8t I4 2t.dt dt 2 dt 2 dt 2 dt 3t t t 3t t 1 t t 1 t t 1 1 t 2t dt t 1 Tới ta nháp lấy tử chia mẫu t 2t t t 3 t2 t 3t 3t 03 2 2 t2 t 2t 1 2 dt t dt 3t 3ln t 3ln 3ln t 1 t 1 2 2 1 1 ln ln ln x 1 dx e) I5 x 3x Đặt t 3x t 3x x t2 1 2tdt dx 3 Đổi cận x t 55 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt t2 1 t2 1 1 4 2tdt t 1 I5 dt dt t dt 2 t t t t 2 2 t 4 2 t2 1 dt t dt dt 2 92 t t t 1 t 1 4 23 100 2 t3 + Xét M t dt t 92 27 t 1 t 1 4 t 1 + Xét N dt dt ln t ln t ln ln ln ln t 1 t 1 t 1 5 t 1 t 1 2 100 I5 M N ln 27 2x2 x 1 f) I6 x 1 dx Đặt: t x t x x t 2tdt dx Đổi cận x t t2 1 t2 1 1 I6 t 2tdt 2 t 2t t dt 2t 3t dt 1 t5 54 t3 23 1 Câu 4: Tính tích phân sau a) I1 x x dx d) I4 x dx x6 b) I2 x xdx 1 c) I3 x x dx e) I5 x x dx f) I6 x dx x x2 Giải a) I1 x x dx Đặt: x sin t , với t ; cos t 2 dx 2cos tdt Đổi cận 56 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt x t 2 I1 sin t sin t cos tdt 16 sin t sin t cos tdt 0 2 16 sin t cos t cos tdt 16 sin t.cos t.dt 16 sin t.cos t dt 2 0 2 cos t 1 2 16 sin 2t dt sin 2tdt dt 1 cos 4t dt t sin 4t 2 0 0 0 2 2 2t sin 4t sin 2 sin 0 2 0 b) I2 x xdx 1 x 1 dx 1 Đặt: x sin t , với t ; cos t 2 Đổi cận x -1 t 2 0 I2 sin t cos t.dt cos t cos t.dt cos2 t.dt 12 sin 2t sin sin 1 cos2t dt t 0 20 2 2 1 c) I3 x x dx x dx 0 Đặt: x 2sin t , với t ; cos t 2 dx 2cos tdt Đổi cận x t 57 Văn Tấn Hải sin 2t sin t cos t.dt cos t.dt 1 cos 2t dt t 2t sin t 6 I3 Học chắn sẽ… xém rớt 2 2 2 2 sin sin x dx d) I4 x6 x dx x3 Cách Đặt: t x dt 3x dx Đổi cận x t 1 1 dt I4 t2 Đặt: t sin u , u 0; dt cos udu 2 Đổi cận x t cos u.du cos u.du cos u.du u6 I4 du 4sin u cos u cos u 30 18 6 Cách Đặt: x sin t 3x dx cos tdt x dx cos tdt Đổi cận x t cos t.dt cos t.dt cos t.dt t I4 dt 4sin t cos t cos t 30 18 e) I5 x x dx 58 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt Đặt x sin t , với t ; cos t 0;cos t sin t 2 dx cos t.dt Đổi cận x t 6 0 I5 sin t sin t cos t.dt sin t.cos t cos t.dt 6 sin 2t cos 2t sin cos t 2 2 2 1 x dx f) I6 x x2 0 cos t.dt cos t sin t cos t.dt cos2 t sin t.cos t dt sin t cos t 16 1 cos 2t sin 2t dt 0 sin cos0 x dx 22 x 1 Đặt x 2sin t với t ; cos t 2 dx 2cos tdt Đổi cận x t I6 1 sin t cos t dt 1 sin t sin t cos t dt 1 sin t sin t cos t dt 2 cos t cos t sin t 6 0 cos 2t sin t sin t dt sin t dt 1 sin t cos t dt 3t cos t sin t 2 0 6 3 3 4 cos0 sin cos sin 4 4 2 6 PHẦN VII: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 1: Tính tích phân sau a) I1 cos4 xdx b) I2 sin x cos6 x dx c) I3 sin x.sin 5x.dx 59 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt sin x 4 e) I5 dx cos x sin x dx cos x d) I4 dx cos x f) I6 Giải 1 cos x a) I1 cos4 xdx cos2 x dx dx 1 cos x dx 1 cos x cos2 x dx 40 40 0 0 cos x 3 cos x 13 cos x dx cos x dx x sin x sin x 0 02 42 0 3x sin x sin x 3 sin sin 2 16 16 3.0 sin sin 3 16 3 b) I2 sin x cos6 x dx sin x cos2 x dx 0 sin x cos2 x sin x sin x.cos2 x cos2 x dx 1 sin x cos2 x 3sin x.cos2 x dx 1 sin x 2 0 dx sin x dx 0 2 5 5x 2 1 1 cos x dx cos x dx sin x sin 2 sin 8 32 32 0 0 32 5 16 2 sin 3x sin x cos3 x cos x dx c) I3 sin x.sin 5x.dx 3 7 sin sin 2 sin 3 7 sin 2 sin x sin x.sin x dx dx cos x cos x 0 d) I4 1 21 cos2 x sin x cos x dx 1 cos x 1 cos x sin x cos x dx cos2 x 1 cos x sin x.dx 4 1 cos x cos x dx 4 1 cos x d cos x 4 cos x 0 0 cos 4 cos 2 2 cos2 cos0 2 60 Văn Tấn Hải sin x 3 3 sin x cos x sin x 4 sin x dx dx dx dx dx cos x cos x cos x cos x 0 0 e) I5 cos x Học chắn sẽ… xém rớt cos x 3 0 dx dx d cos x cos x dx ln cos x x ln cos ln cos0 3 ln ln 1 ln 3 3 dx dx 1 tan x f) I6 cos x cos x 2 Câu 2: Tính tích phân sau 2 dx cos6 x c) I3 0 b) I2 cos3 x cos2 xdx a) I1 cos2 x cos xdx e) I5 cos x sin x cos4 x dx d) I4 sin x cos4 x sin x cos6 x dx 0 Giải a) I1 cos2 x cos xdx 12 1 cos x cos x dx 40 1 2 cos x cos x cos xdx cos x cos x dx cos x dx 20 40 0 1 1 x sin x sin x sin sin 2 sin sin 4 4 2 b) I2 cos3 x cos2 xdx cos5 x cos2 x dx cos5 xdx cos2 xdx A B 0 2 A cos5 xdx cos2 x cos xdx sin x 0 sin x dx 1 sin x d sin x 2 2 2 2 2sin x sin x d sin x sin x sin3 x sin x 0 sin sin3 sin 15 12 1 1 B cos xdx 1 cos2 x dx x sin x sin sin 20 2 2 2 2 61 Văn Tấn Hải Vậy I2 A B Học chắn sẽ… xém rớt 15 4 tan x dx dx dx tan x d tan x 2 cos x cos2 x cos2 x tan x c) I3 4 tan x tan x d tan x tan x tan3 x tan x 0 28 tan tan3 tan 4 15 d) I4 sin x cos4 x sin x cos6 x dx Ta có: sin x cos4 x sin x cos x sin 2 2 x cos2 x sin x cos2 x sin 2 x 1 cos x cos x 1 2 4 sin 2 x cos2 x sin x sin x cos2 x cos2 x cos x 3cos x sin x cos2 x 3sin x cos2 x sin 2 x 4 8 sin6 x cos6 x sin x cos2 x cos x 3cos x 15 cos x 3cos x sin x cos4 x sin x cos6 x 32 16 32 4 15 cos x cos8 x 33 cos x 3cos8 x 32 16 32 64 16 64 33 cos x 3cos8 x I4 sin x cos x sin x cos x dx dx 64 16 64 0 4 6 33x 7sin x 3sin8 x 33 7sin 2 3sin 4 33 64 512 128 64 512 128 64 e) I5 cos x sin x cos4 x dx Câu d ta thấy sin x cos2 x sin 2 x 1 2 I50 cos x sin x dx sin x sin x dx sin x d sin x 2 0 0 2 1 sin x sin x sin sin 2 0 2 62 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt PHẦN VIII: TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT Câu 1: Tính tích phân sau I1 e2 x 1 e 3ln I4 I2 dx x x ex xe ln3 dx x e 2 x I5 e e x x ln x 1 dx I3 dx I6 dx ln e e 9 2x 2x ex dx ln I7 e x 1dx Giải I1 e 2x ex dx Đặt t ex ex t ex dx 2tdt t3 I1 dt 1 t t3 t2 t 1 t t 1 3 t t t I1 dt t t dt t ln t C 1 t t 1 3 e x e x e x e x ln e x C x2 x ex x2 x ex e x x x e x xe x x 1 e x dx dx dx dx I2 x x x e x xe xe x x e Đặt t xe x dt xe x x e x dx dt e x xe x dx dt e x x 1 dx t 1 dt 1 dt t ln t C xe x ln xe x C I2 t t dx I3 2x e 9 tdt dx Đặt t e2 x t e2 x 2tdt 2e2 x dx tdt t dx t 9 Ta nháp lấy tử chia cho mẫu ta phân tích tdt dt t t 3 t 3 dt dt ln C ln t t 3 t 3 t 3 t t 9 t 3 t 3 I3 3ln I4 x dx ex x C e dx e2 x x 3ln 2 e2 x e x ex x Đặt t e dt e dx e dx 3dt Đổi cận 63 Văn Tấn Hải x t Học chắn sẽ… xém rớt 3ln 2 3dt I4 t t 2 2 2 t 2 t 1 t 2 t dt dt dt 2 t t 2 t t 2 t 2 t t t 2 1 1 3 t 3 3 dt ln ln ln 2 t t t 2 t t 2 2.4 2.2 3 ln ln3 ex I5 dx x e Đặt t e x t ex 2tdt ex dx Đổi cận x ln t 2 t ln I6 2tdt I5 ln tdt dt 2 t t t 2 2 ln e2 x ex dx 1 2 e x e x dx ex ln Đặt t ex t e x t ex 2tdt e x dx Đổi cận ln2 x t ln I6 t 2tdt t t3 20 t dt t 1 1 ln I7 e x 1dx Đặt t e x t e x t e x 2tdt e x dx 2tdt t 1 dx dx 2tdt t2 Đổi cận x ln t 64 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt 1 t2 1 1 2tdt t2 I t 2 dt dt dt dt dt t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 0 0 0 1 2t A A 1 dt t 1 Xét: A du , u ; cos u 2 Đặt t tan u dt Đổi cận x t du du u 2 cos u tan u A Vậy, I7 A 2 Câu 2: Tính tích phân sau e3 a) I1 e ln x x ln x b) I2 dx x ln x e ln x dx c) I3 xe x dx x e x ln x Giải e3 ln x a) I1 x ln x dx Đặt t ln x t ln x t ln x 2tdt dx x Đổi cận x e3 t t I1 1 t t 3t 2tdt t dt t 3t 3t dt t t 1 1 27 3.25 1 388 23 35 7 e b) I2 x ln x ln x dx Đặt t ln x t ln x t ln x 2tdt dx dx tdt x x Đổi cận 65 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt x e t 2 I2 .tdt t2 1 t t3 t dt 4t 1 2 3 10 11 3 xe x dx x e x ln x e c) I3 Đặt t e x ln x dt e x xe x dt dx x x Đổi cận x t e e ee ee 1 I3 e dt ln t t ee 1 e ee ln e 1 ln e ln e e 2 Câu 3: Tính tích phân sau.1 I1 e sin x I2 sin xdx I3 ln x x 1 ln x 1 x2 dx dx Giải 2 0 I1 esin x sin xdx esin x sin x cos xdx u sin x du cos xdx Đặt sin x sin x dv e cos x v e I1 sin x.e 2 I2 sin x ln x 1 x2 2 e sin x cos xdx 2e 2e sin x 2e 2e dx dx u ln x 1 du x 1 Đặt: dx dv v x x 66 Văn Tấn Hải I2 ln x 1 x Học chắn sẽ… xém rớt 2 x 1 x dx 1 1 ln ln dx ln ln dx x x 1 x x 1 x x 1 1 2 x 1 ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln x 1 2 3 3 I3 ln x x 1 dx dx u ln x du x dx Đặt dv x 1 v x dx 1 1 I3 ln x ln dx x 1 x x 1 x x 1 1 3 x 3 ln ln ln ln ln ln ln x 1 4 2 67 Văn Tấn Hải Học chắn sẽ… xém rớt MỤC LỤC CÔNG THỨC Nguyên hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1 PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Loại 1: Tiến hành theo bước Loại 2: Tiến hành theo bước PHẦN III: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 12 PHẦN IV: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P2 15 PHẦN V : TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 34 dx I DẠNG : ax b a ln ax b C 34 II Dạng : ax dx 36 bx c PHẦN VI: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ 51 PHẦN VII: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 59 PHẦN VIII: TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT 63 68 ... biến số Với phương pháp cần ý đặt ẩn mà thay hết ẩn dấu tích phân ban đầu thành loại ẩn khác thơi Trong dấu tích phân khơng chứa ẩn Như ban đầu dấu tích phân có ẩn x đặt ẩn t ẩn x phải hết Đặt... thức Q(x): sinkx hay coskx P(x): Đa thức Q(x):ekx Cách đặt * u = P(x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân * u = P(x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân P(x): Đa thức 1 Q(x): hay sin x cos x... 2b 3ab2 b3 PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1 Trong phần tích phân cần dùng phương pháp bình thường với cơng thức bảng ngun hàm có sẵn để tìm đáp án Câu 1: Tính tích phân sau a) I1 = (3x