Chuyên đề Tích phân ôn thi đại học do Hoàng Thái Việt thực hiện trình bày về các kiến thức lý thuyết và bài tập trong nguyên hàm, tích phân và ứng dụng; ôn tập tích phân. Với các bạn yêu thích và muốn nâng cao kiến thức về Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I NGUYÊN HÀM Khái niệm nguyên hàm · Cho hàm số f xác định K Hàm số F đgl nguyên hàm f K nếu: F '( x ) = f ( x ) , "x Ỵ K · Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là: ò f ( x )dx = F ( x ) + C , C Ỵ R · Mọi hàm số f(x) liên tục K có ngun hàm K Tính chất · ò f '( x )dx = f ( x ) + C · ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx · ò kf ( x )dx = k ị f ( x )dx (k ¹ 0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp ax + C (0 < a ¹ 1) ln a · ò cos xdx = sin x + C · ò 0dx = C · ò a x dx = · ò dx = x + C · ò xa dx = · xa +1 + C, a +1 (a ¹ -1) · ò sin xdx = - cos x + C ò x dx = ln x + C · ò e x dx = e x + C · ò cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ¹ 0) a · ị sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0) a dx = tan x + C cos2 x · ò dx = - cot x + C sin x · ò e ax + b dx = e ax + b + C , (a ¹ 0) a 1 · ị dx = ln ax + b + C ax + b a · ị Phương pháp tính ngun hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu ò f (u)du = F (u) + C u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì: ị f [u( x )] u '( x )dx = F [u( x )] + C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: ị udv = uv - ò vdu Trang 78 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f ( x ) = x – x + d) f ( x ) = b) f ( x ) = ( x - 1)2 x2 g) f ( x ) = sin k) f ( x ) = x x 2x4 + c) f ( x ) = x2 x -1 x2 e) f ( x ) = x + x + x f) f ( x ) = h) f ( x ) = tan x i) f ( x ) = cos2 x x cos x m) f ( x ) = 2sin x cos x sin x.cos2 x æ e- x ö n) f ( x ) = e x ( e x – 1) o) f ( x ) = e x ỗ + p) f ( x ) = e3 x +1 ÷ cos x ø è Bài Tìm ngun hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: 2 sin x.cos x a) f ( x ) = x - x + 5; - 5x ; x x3 - e) f (x )= ; x2 c) f ( x ) = g) f ( x ) = sin x.cos x; i) f ( x ) = l) f ( x ) = x - F (1) = b) f ( x ) = - cos x; x +1 ; x F (e ) = d) f ( x ) = F(-2) = f) f ( x ) = x x + ổp F 'ỗ ữ = è3ø h) f ( x ) = F (p ) = F(1) = x ; F (1) = -2 3x - x3 + ; F (1) = x2 ỉp p x k) f ( x ) = sin ; F ỗ ữ = ố2ứ x3 + x2 + 3x - ; F(0) = ( x + 1)2 Bài Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: ỉp a) g( x ) = x cos x + x ; f ( x ) = x sin x; Fỗ ữ =3 ố2ứ b) g( x ) = x sin x + x ; f ( x ) = x cos x; F (p ) = c) g( x ) = x ln x + x ; f ( x ) = ln x; F(2) = -2 Baøi Chứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x): ìïF ( x ) = (4 x - 5)e x ìïF ( x ) = tan x + x - a) í b) í x ïỵ f ( x ) = (4 x - 1)e ïỵ f ( x ) = tan x + tan x + ì ì ỉ x2 + x2 - x + ïF ( x ) = ln ỗ ùF ( x ) = ln ÷ ï ï x + x +1 è x2 + ø c) í d) í -2 x ï f ( x) = ï f ( x ) = 2( x - 1) ïỵ ïỵ ( x + 4)( x + 3) x4 + Trang 79 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 Bài Tìm điều kiện để F(x) nguyên hàm hàm số f(x): ìF ( x ) = ln x - mx + ï b) í Tìm m 2x + ï f ( x) = x + 3x + ỵ ìïF ( x ) = mx + (3m + 2) x - x + a) í Tìm m ïỵ f ( x ) = x + 10 x - ìïF ( x ) = (ax + bx + c) x - x ìïF ( x ) = (ax + bx + c)e x c) í Tìm a, b, c d) í Tìm a, b, c x f ( x ) = ( x 3) e ï ïỵ f ( x ) = ( x - 2) x - x ỵ ìïF ( x ) = (ax + bx + c)e- x ïìF ( x ) = (ax + bx + c)e-2 x e) í Tìm a , b , c f) Tìm a, b, c í -2 x -x ïỵ f ( x ) = -(2 x - x + 7)e ïỵ f ( x ) = ( x - x + 2)e ìF ( x ) = (ax + bx + c) x - ì b c ïF ( x ) = (a + 1)sin x + sin x + sin x ï 2 g) í h) í f ( x ) = 20 x - 30 x + ïỵ f ( x ) = cos x ï 2x - ỵ Tìm a, b, c Tìm a, b, c ị f ( x )dx phương pháp đổi biến số f(x) = g [u( x )] u '( x ) ta đặt t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm · Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: ị f ( x )dx Khi đó: = ị g(t )dt , ị g(t )dt dễ dàng tìm Chú ý: Sau tính ò g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x) · Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến a2 - x hoặc x = a cos t , p p £t£ 2 0£t £p x = a tan t , - x = a sin t , a2 + x x = a cot t, a2 + x - p p