NW359 360 DẠNG 33 TÍCH PHÂN(TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT) GV

DẠNG TỐN 33: TÍCH PHÂN ( TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT TÍNH PHÂN) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa tích phân: Định nghĩa: Cho hàm số đoạn f  x liên tục đoạn  a; b Giả sử F  x  nguyên hàm hàm số  a; b  , hiệu số F  b   F  a  gọi tích phân từ a đến b đoạn f  x ( hay gọi tích phân xác định  a; b hàm số f  x  ) b b f  x  dx  F  x   F  b   F  a  a a Kí hiệu: � Nhận xét: tích phân phụ thuộc vào hàm f , vào cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số f  x  a; b tích phân Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu liên tục khơng âm đoạn b f  x  dx � a y  f  x diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b b S  �f  x  dx a Tính chất tích phân a �f  x  dx  a b a a b �f  x  dx  �f  x  dx b b a a �kf  x  dx  k �f  x  dx  k �� b c b a a c �f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx  a  c  b  b b b a a a g  x  dx �f  x  �g  x  � �dx  �f  x  dx �� �� Nếu a f  x  dx  thì: � y  f  x   a; a  hàm lẻ, liên tục đoạn y  f  x   a; a  hàm chẵn, liên tục đoạn a a a f  x  dx  2�f  x  dx thì: � a Nếu II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết tích phân Sử dụng định nghĩa, ý nghĩa hình học tích phân Các tốn liên quan tổng, hiệu, tích với số thực, hàm đơn giản Các toán liên quan nguyên hàm bản, nguyên hàm mở rộng Các toán liên quan nguyên hàm chứa nhánh Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang1 Tích phân lượng giác đặc biệt … BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Nếu A � f  x   1� dx  � � � f  x  dx � C B D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm tích phân dựa vào tính chất tích phân KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính chất tích phân: i) b b a a k f  x  dx  k � f  x  dx  k  �, k � b b 0 b �f  x  �g  x  � dx  �f  x  dx �� g  x  dx � a � a a ii) � HƯỚNG GIẢI: Dựa vào tính chất ta kết Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn D Ta có 3 3 f  x   1� dx  � � f  x  dx  � dx  � � f  x  dx   � � f  x  dx  � � � � 1 1 Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ 1 Câu Cho � dx  12 �f  x   g  x  � � � A 2 g  x  dx  � f  x  dx � , C 22 Lờigiải B 12 D Chọn C Ta có: 1 0 dx  � f  x  dx  2� g  x  dx � �f  x   g  x  � � � 1 0 �� f  x  dx  � � dx  � g  x  dx  12  2.5  22 �f  x   g  x  � � Câu 2 f  x  dx  2; � g  x  dx  0 Nếu � A B f  x  g  x � dx � � �� C Lờigiải D Chọn A 2 0 � f  x  g  x � dx  3�f  x  dx  � g  x  dx  � � Ta có : � Câu 1 2 2 f  x  dx  �f  x   3� dx � Nếu � �� A B.14 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C.15 Lờigiải D.11 Trang2 Chọn B 1 1 2 2 2 2 �f  x   3� dx  �f  x  dx  3�dx   x � Ta có : �� Câu Nếu 3 3  14 �f  x  dx  2, �f  x  dx  �f  x  dx A.8 C 1 Lờigiải B.14 D.11 ChọnC 3 3 2 3 f  x  dx  �f  x  dx  � f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx  1 Ta có : � Câu Nếu �f  x  dx  f  x   8� � �dx �� B 8 A.8 C.0 Lờigiải D.4 Chọn B 2 2 0 0 � f  x   8� dx  2�f  x  dx  8� dx  2.4  x � � Ta có : � Câu Cho tích phân A J   8 f  x  dx  � J � � f  x   2� dx � � Tính tích phân B J  C J  Lờigiải D J  Chọn B Ta có Câu 2 0 J � f  x   2� dx  3� f  x  dx  � dx  3.2  x    � � � 1 0 � dx  3, � f  x  dx  g  x  dx ? �f  x   g  x  � � Biết � Tính � A.2 B.5 C.8 Lờigiải D.-2 Chọn D 1 0 � dx  � f  x  dx  � g  x  dx �f  x   g  x  � � Ta có : � 1 0 �� g  x  dx  � � dx  � f  x  dx    2 �f  x   g  x  � � Câu Nếu A.9 �f  x  dx  f  x dx B.3 Chọn C f  x �3 Ta có : Câu �3 dx  C.1 Lờigiải D.6 f  x  dx  1 3� � f  x   1� dx  f  x  dx � � Nếu � � A.2 B C Lờigiải Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D Trang3 2 2 0 0 � f  x   1� dx  2�f  x  dx  � dx  2�f  x  dx  � � Ta có : � 2 f  x   1� dx  � � �� � �f  x  dx   2 0 Câu 10 � f  x  x� dx  f  x  dx � � Nếu � � A B D C.2 Lờigiải ChọnA Ta có : 2 x2 � f x  x � d x  f x d x  x d x  f x d x   3�f  x  dx        � � � � � � 0 0 2 2 f  x   x� dx  � � ��  � �f  x  dx  3  Mức độ 2 Câu � f  x  2x� � �dx  � Cho A f  x  dx � Khi B 3 : C Lờigiải D 1 Chọn A 2 2 x2 � f x  x � dx  � f x dx  xdx  � f x dx  1     �   � � � � � 1 1 2 1 � 4� f  x  dx  � � f  x  dx  10 Câu Cho hàm số f  x 10 liên tục đoạn P� f  x  dx  � f  x  dx A P   0;10 �f  x  dx  f  x  dx  � Tính B P  4 C P  D P  10 Lờigiải Chọn C 10 10 0 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  �f  x  dx  � � Ta có 10 �� f  x  dx  � f  x  dx    Vậy P  Câu 1 1 f  x  dx  f  x  1 dx Nếu � � A 4 B.4 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C D 1 Trang4 Lờigiải Chọn C Đặt t  x  � dt  2dx �x  1 � t  1 � Đổi cận : �x  � t  1 f  x  1 dx  �f  t  dt  � 1 1 Câu Biết y  f  x 1 f  x  dx  f  x  dx  1;1 � 1 hàm số chẵn, xác định, liên tục Tính � A.0 C.1 Lờigiải B.4 D.2 Chọn B Vì Câu y  f  x  1;1 hàm số chẵn,xác định,liên tục y  f  x Biết A 4  2; 2 hàm số lẻ, xác định, liên tục B.4 1 1 f  x  dx  � f  x  dx  nên � 2 f  x  dx  f  x  dx � Tính � C.0 Lờigiải D.2 Chọn A y  f  x  2; 2 nên Vì hàm số lẻ,xác định,liên tục 2 2 2 0 2 �f  x  dx  � �f  x  dx  �f  x  dx  � �f  x  dx   �f  x  dx  4 Câu � f  x  2g  x � dx  8, � � Biết � A.1 B.4 f  x  g  x � dx  f  x  dx � � �� Tính � 1 C.3 Lờigiải D.2 Chọn D 3a  2b  a2 � � �� � a  �f  x  dx, b  � g  x  dx 4a  b  b 1 � 1 Đặt Theo đề ta có: � 2 Vậy �f  x  dx  Câu f  x   2g  x  � � � �dx  � Cho 11 A 2 f  x  g  x � � � �dx  3 � ,  B C Lời giải Khi đó, f  x  dx � 16 D Chọn B � a � � �� 2 3a  2b  � 11 � a� f  x  dx b  � f  x  dx b � a  b   � 1 Đặt , , ta có hệ phương trình � Vậy f  x  dx   � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang5 2 Câu Vậy ta có 12 12 1 f  x  dx  � f  x  dx   15  18 �f  x  dx  � 1 g  x  dx  �f  x  dx  � Cho A , 1 D 10 12 12 f t d t   �� f  t  dt  5.� f  t  dt  15 5� 2 �� f  x   dx  Câu 12 f  x   dx  f  x  dx  � � �f  x  dx Cho , Khi A 18 B 12 C Lời giải Chọn A Đặt t  x  � dt  5dx , với x  � t  ; x  � t  12 Khi B 8 � �f  x   g  x  � �dx � 1 D 2 C Lời giải Chọn A Ta có : 1 2 1 g  x  dx  � � g  x  dx  3 � 2 1 1 1 f  x  dx  � g  x  dx  � �f  x   g  x  � �dx  � � Câu 10 Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn  1;3 , f  1  �f � x  dx  10 1 Tính f  3 A 13 C 7 Lời giải B 13 D Chọn B Ta có :  Mức độ �f � x  dx  f  x  1 1       �f  x  dx  Câu Cho A 1  f  3  f  1  10 � f  3  10  f  1  13 � � �f  x   sin Tính 2021 B 2021 x� �dx D 2021 C.1 Lời giải Chọn C  �  �  ; � 2021 � Vì y  sin x hàm số lẻ, xác định liên tục � 2 �nên  � � � �f  x   sin   2021 x� �dx        sin �f  x  dx  � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 2021 sin �   2021 xdx  xdx  Trang6 Câu f  x Cho , g  x hàm số lẻ Biết  1;1 hai hàm số liên tục đoạn f  x  dx  � A �f  x  dx  10 g  x  dx  � ;0 g  x Mệnh đề sau sai? B � �f  x   g  x  � �dx  10 � 1 C hàm số chẵn, 1 1 f  x dx  10 � �f  x   g  x  � � � 1 D Lời giải g  x  dx  14 � 1 Chọn D Vì f  x hàm số chẵn nên 1 1 f  x  dx �f  x  dx  2�  2.5  10 Vì g  x hàm số lẻ nên g  x  dx  � 1 � dx  10 �f  x   g  x  � � � � 1 � �f  x   g  x  � �dx  10 � 1 Vậy đáp án D sai Câu Cho hàm số y  f  x liên tục đoạn  1;3 f  x  dx  � thỏa mãn f  x  dx  � Tính A �f  x  dx 1 B C Lời giải D Chọn C Vì f  x Ta có: Câu hàm chẵn nên 1 1 0 f  x  dx  � f  x  dx  �f  x  dx  2� 3 1 1 1 f  x  dx  � f  x  dx    f  x  dx  � �f  x  dx  �f  x  dx  � Cho hàm số f  x hàm số lẻ, liên tục  4; 4 Biết �f   x  dx  2 �f  2 x  dx  Tính tích phân I  �f  x  dx A 10 B 10 D 6 C Lời giải Chọn D Vì 2 hàm số lẻ nên : Đặt t  x � dt  2dx Đổi cận: x  � t  2, x  � t  2 � �f  2 x  dx   �f  x  dx   2  �f   x  dx   �f  x  dx  �f  x  dx f  x TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 4 f  t  dt  � �f  t  dt  8 � 2 Trang7 � �f  x  dx  8 Vậy Câu 4 0 I  �f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx    6 Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa f  x   f   x    x2 Giá trị tích f�  x  dx phân � bằng? A C B D Lời giải Chọn B � f        f  1  � � ��  1  f    �f  1  � 2f � � f  x   f   x    x2 � � 2f � Ta có: 1 0 f�  x  dx  f  x  Vậy: � Câu  f  1  f    f ( x ) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn Cho hàm số f (0)  f ( x)  f (2  x)  x  x  2, x �R Tích phân 4 A B xf � ( x)dx � 10 D C Lời giải Chọn B Thay x  ta f (0)  f (2)  � f (2)   f (0)    1 Ta có: f ( x)dx  � f (2  x)dx � 0 2  f ( x)  f (2  x)  dx  �  x  2x   dx  83 � �f ( x)dx  34 � 0 Từ hệ thức đề ra: Áp dụng cơng thức tích phân phần, ta lại có: 2 xf � ( x)dx  xf ( x )  � f ( x)dx  2.( 1)  � Câu Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục đoạn x 2018 f  x  dx  � A  2019 10  3 x � 2019 Giá trị thỏa mãn f  1  f�  x  dx B 4038  0;1 C 2019 Lời giải D 4038 Chọn B 1 I � x f� x d  f  x   x  x  dx  � 2019 Ta có: 2019 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA 2019 f  x  � 2019 x 2018 f  x  dx 0 Trang8  f  1  2019� x 2018 f  x  dx   2019.2  4038 Câu Cho y  f  x , y  g  x  0; 2 hàm số có đạo hàm liên tục g�  x  f  x  dx  � A I  1 g  x f �  x  dx  � , Tính tích phân B I  � I � � �f  x  g  x  � �dx C I  Lời giải D I  Chọn C Xét tích phân 2 0 � I � � �  x  g  x   f  x  g �  x � �f  x  g  x  � �dx  � �f � �dx 2 � g� g  x f �  x  f  x  dx  �  x  dx  �1 � �\ � � f� x   f  x �2 thỏa mãn x  f    1, f  1  Giá Cho hàm số xác định Câu trị biểu thức A  ln15 f  1  f  3  ln15 B C  ln15 Lời giải D ln15 Chọn C d  x  1 f  x  � f�  ln x   c  x  dx  � dx  �2 2x 1 2x 1 Ta có x từ giả thiết f    � C1  � f  x   ln x   +) Với x từ giả thiết f  1  � C2  � f  x   ln x   +) Với  ) f    � c  � f  x   ln x   � �f  1  ln  � �f  3  ln  � f  1  f  3   ln15   3x  f �  x  dx  2019 � Câu 10 Cho A ; f  1  f    2020 B C Lời giải Tính f  3x  dx � D Chọn A u   3x du  3dx � � �� � dv  f �  x  dx �v  f  x  � Đặt TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang9   3x  f �  x  dx  2019 � �   3x  f  x   � f  x  dx  2019 1 � f  1  f    3� f  x  dx  2019 �� f  x  dx  3 Ta có: 1 1 f  x  dx  � f  t  dt   � 30 3 �ln x x  � f ' x  �x �  x   x �0 f ( x ) � Câu 11 Cho hàm số , biết thoả mãn f (1)  , f (1)  Tính f (e)  f (0) 33 B A 33 31 C D 31 Lời giải Chọn B ln x f ( x)  � f '( x )dx  � dx  � ln xd  ln x   ln x  C1 x Với x  ta có f ( x )  ln x C  f (1)  Do nên Suy f ( x)  � f '( x )dx  � 4( x  2)3 dx  � 4( x  2)3 d( x  2)  ( x  2)  C2 Với x �0 ta có Do f (1)  nên C2  Suy f ( x )  ( x  2) �1 � ln x x  f  x   �2 � x   x �0  � Vậy 33 f (e)  ; f (0)  16 � f (e)  f (0)  2 Khi Câu 12 Cho hàm số đoạn A y  f  x  0;5 có đạo hàm f�  x liên tục đoạn  0;5 đồ thị hàm số y f�  x cho hình bên Tìm mệnh đề f    f  5  f  3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA B f  3  f    f   Trang10 C f  3  f    f   f  3  f    f   D Lời giải Chọn D f�  x  dx  f    f    � f    f   Ta có: � �f � x  dx  f  3  f  0  � f  3  f   �f � x  dx  f  5  f    � f  5  f   f  3  f    f   Vậy Câu 13 Cho hàm số f  x  liên tục f  x  dx  �  3;7 x � 3;7  thỏa mãn f  x   f  10  x  với Tính I � xf  x  dx A.20 ? B -20 C 40 Lời giải D -40 Chọn A Đặt t  10  x � dt  dx Đổi cận x  � t  7, x  � t  Khi 7 3 I  �  10  t  f  10  t  dt  � 10  t  f  10  t  dt  � 10  x  f  10  x  dx 7 3 f  x   f  10  x  � I  � f  x  dx  � xf  x  dx  10  x  f  x  dx  10� Vì � I  10.4  I � I  20 Câu 14 Cho hàm số f  x liên tục � thỏa f  x  dx  � f  3x  1 dx  � Tính I � f  x  dx A I  16 B I  18 C I  Lời giải D I  20 Chọn D A� f  x  dx  B  � f  3x  1 dx  0 , đặt t  x  � dt  3dx x  �t 1 Đổi cận : x  � t  7 7 B � f  t  dt  � � f  t  dt  18 � � f  x  dx =18 1 Ta có: Vậy x Câu 15 Biết 7 0 I � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  20 �f  t  dt  x cos   x  , x �� TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Tính f  4 Trang11 A  B D C 1 Lời giải Chọn D F  x  � f  x  dx � F �  x  f  x Đặt x2  x cos   x  � F  x   F    x cos   x  x2 �f  t  dt  x cos   x  � F  t  0 Ta có: Đạo hàm hai vế ta có: xf  x   cos   x    x sin   x  Chọn x  �  Mức độ f    cos  2   2 sin  2  � f    Câu Cho hàm số f  x x f  x  dx  � có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1  , �  x � �f � �dx  � Tích phân A f  x  dx � C Lời giải B D Chọn A Từ giả thiết: x f  x  dx  � 1 �� x f  x  dx  I � x f  x  dx Tính: � u  f  x � du  f �  x  dx � � � � � dv  3x dx � v  x3 Đặt: � Ta có: 1 1 0 I � 3x f  x  dx  x f  x   � x3 f � x3 f � x3 f �  x  dx  f  1  f    �  x  dx   �  x  dx 1 x f  x  dx  �   � x f �  x  dx � Mà: 0 1 1 0 0 �� x3 f � x3 f � x3 f � �  x  dx   � �  x  dx  7 � �  x  dx   �  x � �f � �dx �  x � �f � �dx  � , (theo giả thiết:  )  �� 7x f � f� x3 + f � dx   x + �  x �  x �  x � �f � � dx  � � � � x C � f  x   � � x3 + f � x  � f x   x     TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang12 Với 7 f  1  �   C  � C  7 f  x    x4  4 Khi đó: � 7 �   �x  x � f  x  dx  �  x  � dx � � � � �5 4� � �0 0 Vậy: 1 Câu f ( x)dx  � Cho hàm số f ( x) liên tục � có 11 A B C Lời giải f ( x)dx  � Tính �f ( x  1)dx 1 D Chọn C �f ( x  1)dx  1 Ta có: A Tính: 1 �f (4 x  1)dx 1 � A f (4 x  1)dx �f (4 x  1)dx  � t  4 x  �  dt  dx Đặt 1 f (t )dt  � f (t )dt  � 45 40 B� f (4 x  1)dx Tính: �B t  x  � dt  d x Đặt f (t )dt  4� Vậy �f ( x  1)dx  A  B  1 ln Câu f  x Cho hàm số liên tục tập hợp  x  1 f  x  dx  3 � x3 x  3 dx  , Giá trị B 5 A 10 � thỏa mãn �f  e f  x  dx � C 4 Lời giải D 12 Chọn C ln I1  Đặt Đặt �f  e x  3 dx  e x   t � e x  t  � e x dx  dt � dx  dt t 3 Đổi cận: x  � t  , x  ln � t  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang13 f  t  dt f  x  dx I1  � � 1 t 3 x3 4 Khi đó: 6  x  1 f  x  dx   x   f  x   f  x  dx  f x dx  f  x  dx  3   � x3 � � � x3 4 x 3 Ta có 6 4 � 2� f  x  dx   3 � � f  x  dx  4 Câu �� 0; � � f x Cho hàm số   xác định � �thỏa mãn  � �f  x   � � �  � � f  x  sin �x  � dx � � 4� �  Tích phân  A f  x d x � B  D C Lời giải Chọn B    2 � � � � � 2� 2sin x  d x   cos x  d x    sin x  d x � � � � � � � � � 4� 2� � � � � 0 Ta có:  � �  �x  cos x �    � �0   �2 � � � � � f x  2 f x sin x  d x  2sin �x  � d x           � � � � � � � 4� � 4� � 2 Do đó: �  �2 � � � � 2� �� �f  x   2 f  x  sin �x  � 2sin �x  � �d x  � � � � � �  2 � � � � �� �f  x   sin �x  � �d x  � � � � � � � � f  x   sin �x  � f  x   sin �x  � � � , hay � � Suy    � � �  �2 f x d x  sin x  d x   cos   � � �x  �  � � 4� � � �0 0 Bởi vậy:  Câu y  f  x Cho hàm số liên tục � Biết f  tan x  dx  � x2 f  x  dx  � x2  1 Tính I � f  x  dx A I  B I  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C I  Lời giải D I  Trang14 Chọn C x t  tan x;dt   tan x  1 dx;dx  Đặt dt t  đổi cận t   Ta 1 f  t f  x f tan x d x  d t  dx  4;   2 � � � t  x  0 x I � f  x  dx  � 1 0  1 f  x  x2  f  x 1 dx  �2 dx  � dx    x 1 x 1 0 Câu Cho hàm số A -15 f  x x2 f  x  liên tục � thỏa B -2  �f 2  x   x dx  1, f  x �x2 dx  Tính C -13 Lời giải f  x  dx � D Chọn C Đặt: t  x2   x � x   t2 �1 � � dx   �  � dt 2t �2 2t � 5 f  t �1 � 1 � f  t �  � dt  � f  t  dt  � dt 21 t �2 2t � 1 Ta có: 5 5 f  t 13 � � f  t  dt   �2 dt     21 21 t 2 �� f  t  dt  13 Câu Cho hàm số A f  x   f x dx  � I 5 có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1  , �  x � �f � �dx  � Tính tích phân I B I � f  x  dx C Lờigiải I D I Chọn B Đặt t  x � t  x � dx  2tdt Đổi cận x  � t  0; x  � t  1 1 1 f x d x  t f t d t � t f t d t  � x f  x  dx      � � � � 5 0 Suy Do   1 1 x2 x2 x2 �   f� x f x d x  f x  f x d x  x  dx       � � � 2 2 0 0 Mặt khác x 1 3 � f  x  dx    �� x2 f �  x  dx  � 2 10 Suy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang15 Ta tính  3x  � 2 dx  1 3x f � �  x �  x  dx  �  3x  �f � �dx  � � 2 2 dx  � �  f � x   3x2  dx  0 Do � f�  x   3x2  � f �  x   3x � f  x   x  C Vì f  1  Vậy Câu nên f  x  x 1 0 I � f  x  dx  � x dx  Cho hàm số  y  f  x hàm số chẵn, liên tục đoạn  f  x I � dx  2020 x  Giá trị tích phân bằng? 1 2020 A 2020 B C Lờigiải 2020 f  x  dx    ;   , thỏa mãn � D Chọn D Đặt t   x � dt  dx Đổi cận x   � t   , x   � t     f  t  f  t � I  � dt  � dt  t y  f  x f  t   f  t   2020   2020  t  ( hàm số chẵn nên ) t   2020   1 f  t    2020t f  t  f  t I � dt  � dt  �f  t  dt  � dt t t  2020     2020t  2020      I  �f  t  dt  �f  t  dt ( y  f  t hàm số chẵn )  Vậy Câu I  �f  t  dt  Cho hàm số f  x f  3  f  3  xác định �\  2;1 Tính giá trị biểu thức 1 ln  A thỏa mãn f�  x  T  f  4   f  1  f   1 f  0  x  x2; �4 � �8 � ln � � ln  ln � � � � �5 � C D Lời giải B ln 80  Chọn A f�  x  Ta có: 1�1 �  �   x  1  x   �x  x  � � I  f  3  f  4   J  f    f  1  3 x 1 �f � x  dx  ln x  4 x 1 �f � x  dx  ln x  1 K  f    f  3  � f�  x  dx  ln x  x2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 3 4  ln   ln  ln Trang16  I  J  K  f  4   f  3  f  1  f    f  3  f   � �f  4   f  1  f   � � f    � �f  3  f  3 � � f  4   f  1  f     I  J  K  f    � �f  3  f   � � 1 T  f  4   f  1  f     ln  ln  ln   ln  3 3 2020 a  x sin x  I  � 2020 dx   c,  a, b, c ��  2020 sin x  cos x b Câu 10 Biết Tính P  a.b.c 2020 2020 A B C D Lời giải Chọn B Đặt t    x � dt  dx Đổi cận x  � t   , x   � t     t  sin 2020 t   sin 2020 t   sin 2020 t I   � 2020 d t  d t  I � I  dt �  sin sin 2020 t  cos 2020 t sin 2020 t  cos 2020 t t  cos 2020 t 2� Đặt I Vì u   sin 2020 t  2 cos 2020 u d t  du  sin 2020 t  cos 2020 t  sin 2020 u  cos 2020 u 2� 2� f  u  I nên     t � du  dt t  0�u  , t  �u   2 Đổi cận cos 2020 u sin 2020 u  cos 2020 u hàm số chẵn, liên tục �  �  ; � �2 2� �   2 cos 2020 u cos 2020 u d u   du  � sin 2020 u  cos 2020 u  sin 2020 u  cos 2020 u 2�  sin 2020 t J � dt sin 2020 t  cos 2020 t Xét  2 Ta có:   cos 2020 u sin 2020 t 2 I � d u   dt  J � sin 2020 u  cos 2020 u sin 2020 t  cos 2020 t Mặt khác: ( dễ dàng suy I  J   �dt  thông qua phép đổi biến 2 �I J  Vậy abc  Câu 11 Cho hàm số y  f  x t  u ) có đạo hàm liên tục � có đồ thị hình vẽ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang17 Giá trị biểu thức A 2 0 I � f '  x   dx  � f '  x   dx C Lờigiải B D 10 Chọn C Cách1: I1  � f '  x   dx I  � f '  x   dx 0 Đặt , Tính I1 : Đặt u  x  � du  dx Đổi cận: 2 I1  � f '  u  du  � f '  x  dx  f  x 2 2 Ta có: Tính I : Đặt v  x  � dv  dx 2  f    f  2     2   Đổi cận: 4 I2  � f '  v  dv  � f '  x  dx 2 Ta có: Vậy: I  I1  I     f  x  f  4  f  2    4 0 0 I � f '  x   dx  � f '  x   dx  � f '  x  2 d  x  2 � f '  x  2 d  x  2 Cách2:  f  x  2  f  x  2   f    f  2     f    f        2        x2  2x  f  x  0;1 f  x   f   x   x  , x � 0;1 Câu 12 Cho hàm số liên tục f  x  dx � Tính  ln A  ln B  ln C Lờigiải D  ln Chọn A Theo giả thiết, ta có: f  x  f  1 x  x2  2x  x  , x � 0;1 f  x  liên tục  0;1 nên 1  x  1  dx x2  x  f x  f  x d x  d x � f x d x  f  x d x  � �         � � � x 1 � � � � x 1 0 0 1 (1) Đặt  x  t dx  dt , với x  � t  , với x  � t  TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang18 Do đó: 1 1 0 f   x  dx   � f  t  dt  � f  t  dt  � f  x  dx � 1 0 �� f  x  dx  � f   x  dx  � f  x  dx  x  1 2 (2) 1 � � �x � d x  x   dx  �  x  ln x  �   2ln � � � � x 1 x  � �2 �0 0� Lại có (3) 1 3 2� f  x  dx   ln � � f  x  dx   ln 2 Từ (1), (2) (3) suy y  f  x f�  x  liên tục �và thỏa mãn f �  x  � 1;1 với Câu 13 Cho hàm số có đạo hàm x � 0; 2 f  0  f  2  Biết I � �;0 A Đặt I � 1; � B I � f  x  dx , phát biểu đúng? I � 1; � I � �;  C D Lờigiải Chọn C Ta có: 2 0 I � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx Xét  f  x  dx � � u  f  x  � du  f �  x  dx 1 �� f  x  dx   x  1 f  x   �  x  1 f �  x  dx � dv  dx � v  x  � Đặt 1 0 �� f  x  dx   �  1 x f �  x  dx ��   x  dx  Xét  f  x  dx � � u  f  x  � du  f �  x  dx 2 �� f  x  dx   x  1 f  x   �  x  1 f �  x  dx � dv  dx � v  x  � Đặt 2 �� f  x  dx   � 1 x f �  x  dx ��  x  dx  1 1 Vậy I �1 Câu 14 Cho hàm số y  f  x f  x  0;1 thỏa mãn �xf  x  dx  max   liên tục 0;1 1 Tích I � e x f  x  dx phân thuộc khoảng khoảng sau đây? 5� � �3 � �;  � � � ; e  1�  e  1; � � � A � B �2 C Lờigiải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA � 3�  ; � � � D � Trang19 Ta có: 1 0 0� xf  x  dx  a � xf  x  dx  � axf  x  dx, a � 0;1 Với x a � 0;1 ta có: �e f  x  dx  �e f  x  dx  �axf  x  dx  � e với x 1 0 x  ax  f  x  dx �� e x  ax f  x  dx 1 �� e x  ax Max f  x  dx  � e x  ax dx  0;1 0 I  a  �  e x  ax dx Đặt Suy a � 0;1 �e f  x  dx �I  a  , x �e f  x  dx Min  I  a x  0;1 1 �x ax � x I  a  � e  ax d x  0  �e  �  e  a2  1, a � 0;1 � �0 Mặt khác: 1 3 x �Min � I  a� e e f x d x e x f  x  dx e 1, 22    � � 0  0;1 2 � 3� I ��  ; � � � Vậy  Câu 15 Cho hàm số  f  x có đạo hàm liên tục thỏa mãn � � f � � �2 � ,  � �f '  x  � �dx  �  2  cos x f  x  dx  �  Tính f  2018  C Lờigiải B A 1 D Chọn D Bằng cơng thức tích phân phần ta có:     cos xf  x  dx  � sin xf  x  � sin xf �  x  dx � � � �    sin � Hơn ta tính  Do đó: Suy  2  Suy  sin xf �  x  dx   �    2  cos x x  sin x �  � xdx  � dx  �  � � �     0 � sin xf � sin xdx  � � �  x �  x  dx  �  x   sin x � �f � �dx  � �f � �dx  � f�  x    sin x Ta f  x   cos x  C � � f � � Vì �2 � nên C  Do f  x   cos x � f  2018   cos  2018   TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang20 ...? ?Tích phân lượng giác đặc biệt … BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Nếu A � f  x   1� dx  � � � f  x  dx � C B D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm tích phân. .. Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm tích phân dựa vào tính chất tích phân KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính chất tích phân: i) b b a a k f  x  dx  k � f  x  dx  k  �, k � b b 0 ... dx  2�f  x  dx  8� dx  2.4  x � � Ta có : � Câu Cho tích phân A J   8 f  x  dx  � J � � f  x   2� dx � � Tính tích phân B J  C J  Lờigiải D J  Chọn B Ta có Câu 2 0 J