THÔNG TIN TÀI LIỆU
DẠNG TỐN 33: TÍCH PHÂN ( TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT TÍNH PHÂN) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa tích phân: Định nghĩa: Cho hàm số đoạn f x liên tục đoạn a; b Giả sử F x nguyên hàm hàm số a; b , hiệu số F b F a gọi tích phân từ a đến b đoạn f x ( hay gọi tích phân xác định a; b hàm số f x ) b b f x dx F x F b F a a a Kí hiệu: � Nhận xét: tích phân phụ thuộc vào hàm f , vào cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số f x a; b tích phân Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu liên tục khơng âm đoạn b f x dx � a y f x diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số , trục Ox hai đường thẳng x a, x b b S �f x dx a Tính chất tích phân a �f x dx a b a a b �f x dx �f x dx b b a a �kf x dx k �f x dx k �� b c b a a c �f x dx �f x dx �f x dx a c b b b b a a a g x dx �f x �g x � �dx �f x dx �� �� Nếu a f x dx thì: � y f x a; a hàm lẻ, liên tục đoạn y f x a; a hàm chẵn, liên tục đoạn a a a f x dx 2�f x dx thì: � a Nếu II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Lý thuyết tích phân Sử dụng định nghĩa, ý nghĩa hình học tích phân Các tốn liên quan tổng, hiệu, tích với số thực, hàm đơn giản Các toán liên quan nguyên hàm bản, nguyên hàm mở rộng Các toán liên quan nguyên hàm chứa nhánh Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang1 Tích phân lượng giác đặc biệt … BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Nếu A � f x 1� dx � � � f x dx � C B D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm tích phân dựa vào tính chất tích phân KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính chất tích phân: i) b b a a k f x dx k � f x dx k �, k � b b 0 b �f x �g x � dx �f x dx �� g x dx � a � a a ii) � HƯỚNG GIẢI: Dựa vào tính chất ta kết Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn D Ta có 3 3 f x 1� dx � � f x dx � dx � � f x dx � � f x dx � � � � 1 1 Bài tập tương tự phát triển: Mức độ 1 Câu Cho � dx 12 �f x g x � � � A 2 g x dx � f x dx � , C 22 Lờigiải B 12 D Chọn C Ta có: 1 0 dx � f x dx 2� g x dx � �f x g x � � � 1 0 �� f x dx � � dx � g x dx 12 2.5 22 �f x g x � � Câu 2 f x dx 2; � g x dx 0 Nếu � A B f x g x � dx � � �� C Lờigiải D Chọn A 2 0 � f x g x � dx 3�f x dx � g x dx � � Ta có : � Câu 1 2 2 f x dx �f x 3� dx � Nếu � �� A B.14 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C.15 Lờigiải D.11 Trang2 Chọn B 1 1 2 2 2 2 �f x 3� dx �f x dx 3�dx x � Ta có : �� Câu Nếu 3 3 14 �f x dx 2, �f x dx �f x dx A.8 C 1 Lờigiải B.14 D.11 ChọnC 3 3 2 3 f x dx �f x dx � f x dx �f x dx �f x dx 1 Ta có : � Câu Nếu �f x dx f x 8� � �dx �� B 8 A.8 C.0 Lờigiải D.4 Chọn B 2 2 0 0 � f x 8� dx 2�f x dx 8� dx 2.4 x � � Ta có : � Câu Cho tích phân A J 8 f x dx � J � � f x 2� dx � � Tính tích phân B J C J Lờigiải D J Chọn B Ta có Câu 2 0 J � f x 2� dx 3� f x dx � dx 3.2 x � � � 1 0 � dx 3, � f x dx g x dx ? �f x g x � � Biết � Tính � A.2 B.5 C.8 Lờigiải D.-2 Chọn D 1 0 � dx � f x dx � g x dx �f x g x � � Ta có : � 1 0 �� g x dx � � dx � f x dx 2 �f x g x � � Câu Nếu A.9 �f x dx f x dx B.3 Chọn C f x �3 Ta có : Câu �3 dx C.1 Lờigiải D.6 f x dx 1 3� � f x 1� dx f x dx � � Nếu � � A.2 B C Lờigiải Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D Trang3 2 2 0 0 � f x 1� dx 2�f x dx � dx 2�f x dx � � Ta có : � 2 f x 1� dx � � �� � �f x dx 2 0 Câu 10 � f x x� dx f x dx � � Nếu � � A B D C.2 Lờigiải ChọnA Ta có : 2 x2 � f x x � d x f x d x x d x f x d x 3�f x dx � � � � � � 0 0 2 2 f x x� dx � � �� � �f x dx 3 Mức độ 2 Câu � f x 2x� � �dx � Cho A f x dx � Khi B 3 : C Lờigiải D 1 Chọn A 2 2 x2 � f x x � dx � f x dx xdx � f x dx 1 � � � � � � 1 1 2 1 � 4� f x dx � � f x dx 10 Câu Cho hàm số f x 10 liên tục đoạn P� f x dx � f x dx A P 0;10 �f x dx f x dx � Tính B P 4 C P D P 10 Lờigiải Chọn C 10 10 0 f x dx � f x dx � f x dx �f x dx � � Ta có 10 �� f x dx � f x dx Vậy P Câu 1 1 f x dx f x 1 dx Nếu � � A 4 B.4 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C D 1 Trang4 Lờigiải Chọn C Đặt t x � dt 2dx �x 1 � t 1 � Đổi cận : �x � t 1 f x 1 dx �f t dt � 1 1 Câu Biết y f x 1 f x dx f x dx 1;1 � 1 hàm số chẵn, xác định, liên tục Tính � A.0 C.1 Lờigiải B.4 D.2 Chọn B Vì Câu y f x 1;1 hàm số chẵn,xác định,liên tục y f x Biết A 4 2; 2 hàm số lẻ, xác định, liên tục B.4 1 1 f x dx � f x dx nên � 2 f x dx f x dx � Tính � C.0 Lờigiải D.2 Chọn A y f x 2; 2 nên Vì hàm số lẻ,xác định,liên tục 2 2 2 0 2 �f x dx � �f x dx �f x dx � �f x dx �f x dx 4 Câu � f x 2g x � dx 8, � � Biết � A.1 B.4 f x g x � dx f x dx � � �� Tính � 1 C.3 Lờigiải D.2 Chọn D 3a 2b a2 � � �� � a �f x dx, b � g x dx 4a b b 1 � 1 Đặt Theo đề ta có: � 2 Vậy �f x dx Câu f x 2g x � � � �dx � Cho 11 A 2 f x g x � � � �dx 3 � , B C Lời giải Khi đó, f x dx � 16 D Chọn B � a � � �� 2 3a 2b � 11 � a� f x dx b � f x dx b � a b � 1 Đặt , , ta có hệ phương trình � Vậy f x dx � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang5 2 Câu Vậy ta có 12 12 1 f x dx � f x dx 15 18 �f x dx � 1 g x dx �f x dx � Cho A , 1 D 10 12 12 f t d t �� f t dt 5.� f t dt 15 5� 2 �� f x dx Câu 12 f x dx f x dx � � �f x dx Cho , Khi A 18 B 12 C Lời giải Chọn A Đặt t x � dt 5dx , với x � t ; x � t 12 Khi B 8 � �f x g x � �dx � 1 D 2 C Lời giải Chọn A Ta có : 1 2 1 g x dx � � g x dx 3 � 2 1 1 1 f x dx � g x dx � �f x g x � �dx � � Câu 10 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 1;3 , f 1 �f � x dx 10 1 Tính f 3 A 13 C 7 Lời giải B 13 D Chọn B Ta có : Mức độ �f � x dx f x 1 1 �f x dx Câu Cho A 1 f 3 f 1 10 � f 3 10 f 1 13 � � �f x sin Tính 2021 B 2021 x� �dx D 2021 C.1 Lời giải Chọn C � � ; � 2021 � Vì y sin x hàm số lẻ, xác định liên tục � 2 �nên � � � �f x sin 2021 x� �dx sin �f x dx � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 2021 sin � 2021 xdx xdx Trang6 Câu f x Cho , g x hàm số lẻ Biết 1;1 hai hàm số liên tục đoạn f x dx � A �f x dx 10 g x dx � ;0 g x Mệnh đề sau sai? B � �f x g x � �dx 10 � 1 C hàm số chẵn, 1 1 f x dx 10 � �f x g x � � � 1 D Lời giải g x dx 14 � 1 Chọn D Vì f x hàm số chẵn nên 1 1 f x dx �f x dx 2� 2.5 10 Vì g x hàm số lẻ nên g x dx � 1 � dx 10 �f x g x � � � � 1 � �f x g x � �dx 10 � 1 Vậy đáp án D sai Câu Cho hàm số y f x liên tục đoạn 1;3 f x dx � thỏa mãn f x dx � Tính A �f x dx 1 B C Lời giải D Chọn C Vì f x Ta có: Câu hàm chẵn nên 1 1 0 f x dx � f x dx �f x dx 2� 3 1 1 1 f x dx � f x dx f x dx � �f x dx �f x dx � Cho hàm số f x hàm số lẻ, liên tục 4; 4 Biết �f x dx 2 �f 2 x dx Tính tích phân I �f x dx A 10 B 10 D 6 C Lời giải Chọn D Vì 2 hàm số lẻ nên : Đặt t x � dt 2dx Đổi cận: x � t 2, x � t 2 � �f 2 x dx �f x dx 2 �f x dx �f x dx �f x dx f x TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 4 f t dt � �f t dt 8 � 2 Trang7 � �f x dx 8 Vậy Câu 4 0 I �f x dx �f x dx �f x dx 6 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 , thỏa f x f x x2 Giá trị tích f� x dx phân � bằng? A C B D Lời giải Chọn B � f f 1 � � �� 1 f �f 1 � 2f � � f x f x x2 � � 2f � Ta có: 1 0 f� x dx f x Vậy: � Câu f 1 f f ( x ) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn Cho hàm số f (0) f ( x) f (2 x) x x 2, x �R Tích phân 4 A B xf � ( x)dx � 10 D C Lời giải Chọn B Thay x ta f (0) f (2) � f (2) f (0) 1 Ta có: f ( x)dx � f (2 x)dx � 0 2 f ( x) f (2 x) dx � x 2x dx 83 � �f ( x)dx 34 � 0 Từ hệ thức đề ra: Áp dụng cơng thức tích phân phần, ta lại có: 2 xf � ( x)dx xf ( x ) � f ( x)dx 2.( 1) � Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đoạn x 2018 f x dx � A 2019 10 3 x � 2019 Giá trị thỏa mãn f 1 f� x dx B 4038 0;1 C 2019 Lời giải D 4038 Chọn B 1 I � x f� x d f x x x dx � 2019 Ta có: 2019 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA 2019 f x � 2019 x 2018 f x dx 0 Trang8 f 1 2019� x 2018 f x dx 2019.2 4038 Câu Cho y f x , y g x 0; 2 hàm số có đạo hàm liên tục g� x f x dx � A I 1 g x f � x dx � , Tính tích phân B I � I � � �f x g x � �dx C I Lời giải D I Chọn C Xét tích phân 2 0 � I � � � x g x f x g � x � �f x g x � �dx � �f � �dx 2 � g� g x f � x f x dx � x dx �1 � �\ � � f� x f x �2 thỏa mãn x f 1, f 1 Giá Cho hàm số xác định Câu trị biểu thức A ln15 f 1 f 3 ln15 B C ln15 Lời giải D ln15 Chọn C d x 1 f x � f� ln x c x dx � dx �2 2x 1 2x 1 Ta có x từ giả thiết f � C1 � f x ln x +) Với x từ giả thiết f 1 � C2 � f x ln x +) Với ) f � c � f x ln x � �f 1 ln � �f 3 ln � f 1 f 3 ln15 3x f � x dx 2019 � Câu 10 Cho A ; f 1 f 2020 B C Lời giải Tính f 3x dx � D Chọn A u 3x du 3dx � � �� � dv f � x dx �v f x � Đặt TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang9 3x f � x dx 2019 � � 3x f x � f x dx 2019 1 � f 1 f 3� f x dx 2019 �� f x dx 3 Ta có: 1 1 f x dx � f t dt � 30 3 �ln x x � f ' x �x � x x �0 f ( x ) � Câu 11 Cho hàm số , biết thoả mãn f (1) , f (1) Tính f (e) f (0) 33 B A 33 31 C D 31 Lời giải Chọn B ln x f ( x) � f '( x )dx � dx � ln xd ln x ln x C1 x Với x ta có f ( x ) ln x C f (1) Do nên Suy f ( x) � f '( x )dx � 4( x 2)3 dx � 4( x 2)3 d( x 2) ( x 2) C2 Với x �0 ta có Do f (1) nên C2 Suy f ( x ) ( x 2) �1 � ln x x f x �2 � x x �0 � Vậy 33 f (e) ; f (0) 16 � f (e) f (0) 2 Khi Câu 12 Cho hàm số đoạn A y f x 0;5 có đạo hàm f� x liên tục đoạn 0;5 đồ thị hàm số y f� x cho hình bên Tìm mệnh đề f f 5 f 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA B f 3 f f Trang10 C f 3 f f f 3 f f D Lời giải Chọn D f� x dx f f � f f Ta có: � �f � x dx f 3 f 0 � f 3 f �f � x dx f 5 f � f 5 f f 3 f f Vậy Câu 13 Cho hàm số f x liên tục f x dx � 3;7 x � 3;7 thỏa mãn f x f 10 x với Tính I � xf x dx A.20 ? B -20 C 40 Lời giải D -40 Chọn A Đặt t 10 x � dt dx Đổi cận x � t 7, x � t Khi 7 3 I � 10 t f 10 t dt � 10 t f 10 t dt � 10 x f 10 x dx 7 3 f x f 10 x � I � f x dx � xf x dx 10 x f x dx 10� Vì � I 10.4 I � I 20 Câu 14 Cho hàm số f x liên tục � thỏa f x dx � f 3x 1 dx � Tính I � f x dx A I 16 B I 18 C I Lời giải D I 20 Chọn D A� f x dx B � f 3x 1 dx 0 , đặt t x � dt 3dx x �t 1 Đổi cận : x � t 7 7 B � f t dt � � f t dt 18 � � f x dx =18 1 Ta có: Vậy x Câu 15 Biết 7 0 I � f x dx � f x dx � f x dx 20 �f t dt x cos x , x �� TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Tính f 4 Trang11 A B D C 1 Lời giải Chọn D F x � f x dx � F � x f x Đặt x2 x cos x � F x F x cos x x2 �f t dt x cos x � F t 0 Ta có: Đạo hàm hai vế ta có: xf x cos x x sin x Chọn x � Mức độ f cos 2 2 sin 2 � f Câu Cho hàm số f x x f x dx � có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 , � x � �f � �dx � Tích phân A f x dx � C Lời giải B D Chọn A Từ giả thiết: x f x dx � 1 �� x f x dx I � x f x dx Tính: � u f x � du f � x dx � � � � � dv 3x dx � v x3 Đặt: � Ta có: 1 1 0 I � 3x f x dx x f x � x3 f � x3 f � x3 f � x dx f 1 f � x dx � x dx 1 x f x dx � � x f � x dx � Mà: 0 1 1 0 0 �� x3 f � x3 f � x3 f � � x dx � � x dx 7 � � x dx � x � �f � �dx � x � �f � �dx � , (theo giả thiết: ) �� 7x f � f� x3 + f � dx x + � x � x � x � �f � � dx � � � � x C � f x � � x3 + f � x � f x x TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang12 Với 7 f 1 � C � C 7 f x x4 4 Khi đó: � 7 � �x x � f x dx � x � dx � � � � �5 4� � �0 0 Vậy: 1 Câu f ( x)dx � Cho hàm số f ( x) liên tục � có 11 A B C Lời giải f ( x)dx � Tính �f ( x 1)dx 1 D Chọn C �f ( x 1)dx 1 Ta có: A Tính: 1 �f (4 x 1)dx 1 � A f (4 x 1)dx �f (4 x 1)dx � t 4 x � dt dx Đặt 1 f (t )dt � f (t )dt � 45 40 B� f (4 x 1)dx Tính: �B t x � dt d x Đặt f (t )dt 4� Vậy �f ( x 1)dx A B 1 ln Câu f x Cho hàm số liên tục tập hợp x 1 f x dx 3 � x3 x 3 dx , Giá trị B 5 A 10 � thỏa mãn �f e f x dx � C 4 Lời giải D 12 Chọn C ln I1 Đặt Đặt �f e x 3 dx e x t � e x t � e x dx dt � dx dt t 3 Đổi cận: x � t , x ln � t TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang13 f t dt f x dx I1 � � 1 t 3 x3 4 Khi đó: 6 x 1 f x dx x f x f x dx f x dx f x dx 3 � x3 � � � x3 4 x 3 Ta có 6 4 � 2� f x dx 3 � � f x dx 4 Câu �� 0; � � f x Cho hàm số xác định � �thỏa mãn � �f x � � � � � f x sin �x � dx � � 4� � Tích phân A f x d x � B D C Lời giải Chọn B 2 � � � � � 2� 2sin x d x cos x d x sin x d x � � � � � � � � � 4� 2� � � � � 0 Ta có: � � �x cos x � � �0 �2 � � � � � f x 2 f x sin x d x 2sin �x � d x � � � � � � � 4� � 4� � 2 Do đó: � �2 � � � � 2� �� �f x 2 f x sin �x � 2sin �x � �d x � � � � � � 2 � � � � �� �f x sin �x � �d x � � � � � � � � f x sin �x � f x sin �x � � � , hay � � Suy � � � �2 f x d x sin x d x cos � � �x � � � 4� � � �0 0 Bởi vậy: Câu y f x Cho hàm số liên tục � Biết f tan x dx � x2 f x dx � x2 1 Tính I � f x dx A I B I TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C I Lời giải D I Trang14 Chọn C x t tan x;dt tan x 1 dx;dx Đặt dt t đổi cận t Ta 1 f t f x f tan x d x d t dx 4; 2 � � � t x 0 x I � f x dx � 1 0 1 f x x2 f x 1 dx �2 dx � dx x 1 x 1 0 Câu Cho hàm số A -15 f x x2 f x liên tục � thỏa B -2 �f 2 x x dx 1, f x �x2 dx Tính C -13 Lời giải f x dx � D Chọn C Đặt: t x2 x � x t2 �1 � � dx � � dt 2t �2 2t � 5 f t �1 � 1 � f t � � dt � f t dt � dt 21 t �2 2t � 1 Ta có: 5 5 f t 13 � � f t dt �2 dt 21 21 t 2 �� f t dt 13 Câu Cho hàm số A f x f x dx � I 5 có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 , � x � �f � �dx � Tính tích phân I B I � f x dx C Lờigiải I D I Chọn B Đặt t x � t x � dx 2tdt Đổi cận x � t 0; x � t 1 1 1 f x d x t f t d t � t f t d t � x f x dx � � � � 5 0 Suy Do 1 1 x2 x2 x2 � f� x f x d x f x f x d x x dx � � � 2 2 0 0 Mặt khác x 1 3 � f x dx �� x2 f � x dx � 2 10 Suy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang15 Ta tính 3x � 2 dx 1 3x f � � x � x dx � 3x �f � �dx � � 2 2 dx � � f � x 3x2 dx 0 Do � f� x 3x2 � f � x 3x � f x x C Vì f 1 Vậy Câu nên f x x 1 0 I � f x dx � x dx Cho hàm số y f x hàm số chẵn, liên tục đoạn f x I � dx 2020 x Giá trị tích phân bằng? 1 2020 A 2020 B C Lờigiải 2020 f x dx ; , thỏa mãn � D Chọn D Đặt t x � dt dx Đổi cận x � t , x � t f t f t � I � dt � dt t y f x f t f t 2020 2020 t ( hàm số chẵn nên ) t 2020 1 f t 2020t f t f t I � dt � dt �f t dt � dt t t 2020 2020t 2020 I �f t dt �f t dt ( y f t hàm số chẵn ) Vậy Câu I �f t dt Cho hàm số f x f 3 f 3 xác định �\ 2;1 Tính giá trị biểu thức 1 ln A thỏa mãn f� x T f 4 f 1 f 1 f 0 x x2; �4 � �8 � ln � � ln ln � � � � �5 � C D Lời giải B ln 80 Chọn A f� x Ta có: 1�1 � � x 1 x �x x � � I f 3 f 4 J f f 1 3 x 1 �f � x dx ln x 4 x 1 �f � x dx ln x 1 K f f 3 � f� x dx ln x x2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 3 4 ln ln ln Trang16 I J K f 4 f 3 f 1 f f 3 f � �f 4 f 1 f � � f � �f 3 f 3 � � f 4 f 1 f I J K f � �f 3 f � � 1 T f 4 f 1 f ln ln ln ln 3 3 2020 a x sin x I � 2020 dx c, a, b, c �� 2020 sin x cos x b Câu 10 Biết Tính P a.b.c 2020 2020 A B C D Lời giải Chọn B Đặt t x � dt dx Đổi cận x � t , x � t t sin 2020 t sin 2020 t sin 2020 t I � 2020 d t d t I � I dt � sin sin 2020 t cos 2020 t sin 2020 t cos 2020 t t cos 2020 t 2� Đặt I Vì u sin 2020 t 2 cos 2020 u d t du sin 2020 t cos 2020 t sin 2020 u cos 2020 u 2� 2� f u I nên t � du dt t 0�u , t �u 2 Đổi cận cos 2020 u sin 2020 u cos 2020 u hàm số chẵn, liên tục � � ; � �2 2� � 2 cos 2020 u cos 2020 u d u du � sin 2020 u cos 2020 u sin 2020 u cos 2020 u 2� sin 2020 t J � dt sin 2020 t cos 2020 t Xét 2 Ta có: cos 2020 u sin 2020 t 2 I � d u dt J � sin 2020 u cos 2020 u sin 2020 t cos 2020 t Mặt khác: ( dễ dàng suy I J �dt thông qua phép đổi biến 2 �I J Vậy abc Câu 11 Cho hàm số y f x t u ) có đạo hàm liên tục � có đồ thị hình vẽ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang17 Giá trị biểu thức A 2 0 I � f ' x dx � f ' x dx C Lờigiải B D 10 Chọn C Cách1: I1 � f ' x dx I � f ' x dx 0 Đặt , Tính I1 : Đặt u x � du dx Đổi cận: 2 I1 � f ' u du � f ' x dx f x 2 2 Ta có: Tính I : Đặt v x � dv dx 2 f f 2 2 Đổi cận: 4 I2 � f ' v dv � f ' x dx 2 Ta có: Vậy: I I1 I f x f 4 f 2 4 0 0 I � f ' x dx � f ' x dx � f ' x 2 d x 2 � f ' x 2 d x 2 Cách2: f x 2 f x 2 f f 2 f f 2 x2 2x f x 0;1 f x f x x , x � 0;1 Câu 12 Cho hàm số liên tục f x dx � Tính ln A ln B ln C Lờigiải D ln Chọn A Theo giả thiết, ta có: f x f 1 x x2 2x x , x � 0;1 f x liên tục 0;1 nên 1 x 1 dx x2 x f x f x d x d x � f x d x f x d x � � � � � x 1 � � � � x 1 0 0 1 (1) Đặt x t dx dt , với x � t , với x � t TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang18 Do đó: 1 1 0 f x dx � f t dt � f t dt � f x dx � 1 0 �� f x dx � f x dx � f x dx x 1 2 (2) 1 � � �x � d x x dx � x ln x � 2ln � � � � x 1 x � �2 �0 0� Lại có (3) 1 3 2� f x dx ln � � f x dx ln 2 Từ (1), (2) (3) suy y f x f� x liên tục �và thỏa mãn f � x � 1;1 với Câu 13 Cho hàm số có đạo hàm x � 0; 2 f 0 f 2 Biết I � �;0 A Đặt I � 1; � B I � f x dx , phát biểu đúng? I � 1; � I � �; C D Lờigiải Chọn C Ta có: 2 0 I � f x dx � f x dx � f x dx Xét f x dx � � u f x � du f � x dx 1 �� f x dx x 1 f x � x 1 f � x dx � dv dx � v x � Đặt 1 0 �� f x dx � 1 x f � x dx �� x dx Xét f x dx � � u f x � du f � x dx 2 �� f x dx x 1 f x � x 1 f � x dx � dv dx � v x � Đặt 2 �� f x dx � 1 x f � x dx �� x dx 1 1 Vậy I �1 Câu 14 Cho hàm số y f x f x 0;1 thỏa mãn �xf x dx max liên tục 0;1 1 Tích I � e x f x dx phân thuộc khoảng khoảng sau đây? 5� � �3 � �; � � � ; e 1� e 1; � � � A � B �2 C Lờigiải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA � 3� ; � � � D � Trang19 Ta có: 1 0 0� xf x dx a � xf x dx � axf x dx, a � 0;1 Với x a � 0;1 ta có: �e f x dx �e f x dx �axf x dx � e với x 1 0 x ax f x dx �� e x ax f x dx 1 �� e x ax Max f x dx � e x ax dx 0;1 0 I a � e x ax dx Đặt Suy a � 0;1 �e f x dx �I a , x �e f x dx Min I a x 0;1 1 �x ax � x I a � e ax d x 0 �e � e a2 1, a � 0;1 � �0 Mặt khác: 1 3 x �Min � I a� e e f x d x e x f x dx e 1, 22 � � 0 0;1 2 � 3� I �� ; � � � Vậy Câu 15 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn � � f � � �2 � , � �f ' x � �dx � 2 cos x f x dx � Tính f 2018 C Lờigiải B A 1 D Chọn D Bằng cơng thức tích phân phần ta có: cos xf x dx � sin xf x � sin xf � x dx � � � � sin � Hơn ta tính Do đó: Suy 2 Suy sin xf � x dx � 2 cos x x sin x � � xdx � dx � � � � 0 � sin xf � sin xdx � � � x � x dx � x sin x � �f � �dx � �f � �dx � f� x sin x Ta f x cos x C � � f � � Vì �2 � nên C Do f x cos x � f 2018 cos 2018 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang20 ...? ?Tích phân lượng giác đặc biệt … BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Nếu A � f x 1� dx � � � f x dx � C B D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm tích phân. .. Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm tích phân dựa vào tính chất tích phân KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính chất tích phân: i) b b a a k f x dx k � f x dx k �, k � b b 0 ... dx 2�f x dx 8� dx 2.4 x � � Ta có : � Câu Cho tích phân A J 8 f x dx � J � � f x 2� dx � � Tính tích phân B J C J Lờigiải D J Chọn B Ta có Câu 2 0 J
Ngày đăng: 30/04/2021, 10:00
Xem thêm: