NW359 360 DẠNG 17 TÍCH PHÂN GV

DẠNG TỐN 17: TÍCH PHÂN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Khái niệm nguyên hàm  Định nghĩa: F′( x) = f ( x) Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K với x thuộc K Nguyên hàm số hàm số thường gặp 1) 2) ∫ 0dx = C, ∫ dx = ∫1dx = x + C; α ∫ x dx = xα + C ( α ≠ −1) ; α +1 3) 4) ∫ x dx = ln x + C; Với k số khác cos kx sin kxdx = − + C; ∫ k a) ∫ cos kxdx = b) c) d) kx ∫ e dx = e kx + C; k x ∫ a dx = ax +C ln a 5) sin kx + C; k ∫ a) cos x ∫ b) sin x ( < a ≠ 1) ; dx = tan x + C; dx = − cot x + C Khái niệm tích phân  Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f b K hiệu số F ( b) − F ( a) gọi tích phân f từ a đến b kí hiệu ∫ f ( x ) dx a b Trong trường hợp a < b, ta gọi Người ta cịn dùng kí hiệu b ∫ f ( x ) dx a F ( x) ∫ f ( x ) dx = F ( x ) [ a; b] tích phân f đoạn b a để hiệu số F ( b) − F ( a ) Như F nguyên hàm b a f K a Tính chất tích phân Giả sử hàm số f , g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang a 1) 2) ∫ f ( x ) dx = 0; a b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx; b 3) 4) 5) ∫ a c c b a f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx; b b b a a a ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx; b b a a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k ∈ ¡ II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tích phân hàm đa thức  Tích phân hàm lượng giác  Tích phân hàm mũ, hàm logarit  Tích phân phương pháp đổi biến số  Tích phân phần … BÀI TẬP MẪU ∫ x dx (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Tích phân 15 17 A B C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính tích phân hàm đa thức HƯỚNG GIẢI: 15 D f ( x) B1: Tìm nguyên hàm hàm số B2: Thay cận vào để tính kết tích phân Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D x 16 15 ∫ x dx = = − = Ta có Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1; 2] thỏa mãn f ( 1) = 1, f ( ) = Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx A I = −1 B I = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C I = Lời giải D I= Trang Chọn B Ta có Câu 2 1 I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f ( 1) = Hàm số A f ( x ) = x3 F ( x) F ( 2) − F ( 0) Giá trị biểu thức C D 16 Lời giải có nguyên hàm B Chọn B Ta có Câu 2 0 F ( ) − F ( ) = ∫ f ( x ) d x = ∫ x dx = Tích phân x4 = dx ∫ 3x − A ln ln C Lời giải B ln ln D Chọn D dx ∫1 3x − = ln 3x − Ta có = 1 ( ln − ln1) = ln 3 Câu dx 1− 2x I =∫ Tính tích phân A I = − ln B I = − ln C I = ln Lời giải D I = ln Chọn B dx ∫1 − x = − ln − x Ta có =− 1 ( ln − ln1) = − ln = − ln 2 2020 I= Câu Tính tích phân A I= ∫ x dx 2020 − ln 2020 B I = − ln I= C Lời giải 2021 −7 2021 2019 D I = 2020.7 Chọn A 2020 I= Ta có ∫ 7x dx = ln x 2020 2020 = − ln ln Câu Tích phân ∫e 2x dx e −1 A B e − e2 − C Lời giải D ( e − 1) Chọn C Ta có 2x ∫ e dx = e2 x = e2 − TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang π Câu ∫ cos x dx Tích phân π C Lời giải B A −1 D Chọn D π Ta có π =1 d x = tan x ∫0 cos x Câu Biết ∫e dx = m ( e p − e q ) x −1 A vi m, p, q Ô v phân số tối giản Tổng m + p + q B 22 D C 10 Lời giải Chọn D ∫e Ta có e3 x −1 dx = 3 x −1 1  e5 − e m = = ⇒ 3  p = 5, q = π I = ∫ cos xdx = a + b Câu π Biết P= A vi a, b Ô Tớnh P = a − 4b P= P= 2 B C Lời giải D P = Chọn D π I = ∫ cos xdx = sin x π Ta có π π a =   1 =1− = +  − ÷ ⇒  ⇒ P = a − 4b = b = −  2  π π Câu 10 Tính tích phân I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx, A I = biết B I = ∫ f ( x ) dx = I = 5+ C Lời giải π D I = + π Chọn B Ta có π π π π 0 I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ sin x dx = ∫ f ( x ) dx − cos x π = − ( − 1) =  Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu Cho tích phân A −3 ∫ 4 f ( x ) − x  dx = 1 Khi B −1 ∫ f ( x ) dx D C Lời giải Chọn C Ta có 2 1 ∫ 4 f ( x ) − x  dx = ⇔ 4∫ f ( x ) dx − 2∫ xdx = ⇔ 4∫ f ( x ) dx − Câu x2 2 f ( x) Cho hàm số 2 1 = ⇔ 4∫ f ( x ) dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx = [ 1;ln 3] có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn f ( 1) = e , ln ∫ f ′ ( x ) dx = − e A f ( ln 3) = −9 f ( ln 3) Tính giá trị f ( ln 3) = f ( ln 3) = 2e − f ( ln 3) = − 2e B C D Lời giải Chọn B ln Ta có ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) ln = f ( ln 3) − f ( 1) ln Theo giả thiết ∫ f ′ ( x ) dx = − e ( ) ⇔ f ( ln 3) − f ( 1) = − e → f ( ln 3) = f =e2 Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục nhận giá trị dương ( ) I = ∫ e1+ ln f ( x ) + dx giá trị tích phân A 3e + 14 B 14e + [ 0;3] , thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = Khi C + 12e Lời giải D 12 + 4e Chọn D Ta có e1+ln f ( x ) = e f ( x ) nên 3 0 I = ∫ ( e f ( x ) + ) dx = e ∫ f ( x ) dx + ∫ dx = 4e + 12 Câu   I = ∫ − ÷dx = a ln + b ln x +1 x +  0 Biết đúng? A a + b = −2 B a + b = với a, b số nguyên Mệnh đề C a − 2b = Lời giải D a + 2b = Chọn D Ta có 1   I = ∫ − d x = ln x + − ln x + ÷ x + x +   0 = ln − ln Suy a = 2, b = −1 Vậy a + 2b = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang m Câu ∫ cos xdx = với m tham số Khẳng định sau đúng? m = kπ ( k ∈ ¢ ) B Biết tích phân m = k 2π ( k ∈ ¢ ) A π m = k ( k ∈¢) C m = ( 2k + 1) π ( k ∈ ¢ ) D Lời giải Chọn C m m = ∫ cos xdx = sin x Ta có = sin 2m ⇒ sin 2m = ⇔ 2m = kπ ⇔ m = Câu ∫ f ( x ) dx = 16 Cho A I = 32 kπ ( k ∈¢) Tính I = ∫ f ( x ) dx B I = C I = 16 Lời giải D I = Chọn B Đặt t = x ⇒ dt = 2dx Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 4 1 I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 20 20 Câu Cho tích phân I = ∫ f ( x ) dx = A Tính tích phân K = ∫ xf ( x ) dx C Lời giải B D − Chọn C Đặt t = x ⇒ xdx = dt Khi 1 1 K = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 20 20 e Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ A ∫ f ( x ) dx = ∫ 1 B ∫ f ( x ) dx = e f ( ln x ) dx = e x Mệnh đề sau đúng? e ∫ f ( x ) dx = C Lời giải e D ∫ f ( x ) dx = e Chọn B 1 e = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx dt = dx 0 x Suy Đặt t = ln x ta Câu Tính tích phân A I = ln 4e I = ∫ ln xdx B I = ln ( − e ) C I = ln + Lời giải D I = ln − log10 Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang dx  u = ln x du = ⇒ x    dv = d x  v = x + C  Đặt chọn v = x 2 2 1 1 I = x ln x − ∫ dx = x ln x − x Khi = ln − = ln − log10 e Câu 10 Tính tích phân A I = ∫ x ln xdx 1 I= B I= e2 − 2 I= e2 − I= ln − ln 2 C Lời giải D I= e2 + I= ln + ln 2 Chọn D dx  d u =  u = ln x x ⇒  dv = xdx v = x + C  Đặt chọn C = e Khi e x ln x e2 x I= − xdx = − 2 ∫1 e e2 + = I = ∫ x.2 x dx Câu 11 Tính tích phân ln − I= ln A B I= ln + ln C Lời giải D Chọn C du = dx u = x  ⇒  2x x d v = d x v = +C    ln Đặt chọn C = Khi x.2 x I= ln 1 x.2 x x − dx = ln ∫0 ln 1 − 2x ln 2 = ln − ln 2  Mức độ Câu Cho hàm số f ( x) thỏa ∫ 3 f ( x ) + g ( x )  dx = 1 ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = −3 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I =− B I= C I = Lời giải D I = Chọn A Ta có 2 1 ∫ 3 f ( x ) + g ( x )  dx = ⇔ 3∫ f ( x ) dx + 2∫ g ( x ) dx = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 2 1 ∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = −3 ⇔ 2∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = −3 Đặt ∫  u=−  3u + 2v =  ⇔  u − v = − 11   f ( x ) dx = u v= ∫ g ( x ) dx = v ,  ta có hệ phương trình I = ∫ f ( x ) dx = u = − Vậy f ( x) Câu f ( x) Cho hàm số A f ( ) = −1 thỏa mãn B ∫ t dt = x cos ( π x ) , ∀x ∈ ¡ Tính f ( 4) = C Lời giải f ( ) = 12 f ( 4) D f ( 4) = Chọn C f ( x) ∫ Ta có t dt = t3 f ( x) =  f ( x )  = x cos ( π x ) 3  f ( )  = cos 4π ⇒ f ( ) = 12 Cho x = 4, ta Câu I =∫ dx = a ln + b ln + c ln x +x Biết A S = −2 B S = với a, b, c số nguyên Tính S = a + b + c C S = D S = Lời giải Chọn C Ta có 1 1 = = − x + x x ( x + 1) x x + 4 dx  1 I =∫ =  − ÷dx = ln x − ln ( x + 1) x + x ∫3  x x +  3 Khi đó: Suy a = 4, b = −1, c = −1 nên S = Câu I =∫ Biết A −2 xdx ( x + 2) x ( x + 2) Khi = a + b ln + c ln B −1 Chọn B Ta có 2 = = ln − ln − ln với a, b, c số hữu tỷ Giá trị 3a + b + c C D Lời giải ( x + 2) − = − x + ( x + 2) ( x + 2) dx 2dx I =∫ −∫ = ln ( x + ) x + ( x + 2) + x+2 = ln − ln + − = − − ln + ln 3 a = − , b = −1, c = Suy nên 3a + b + c = −1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu 1  ¡ \  , f ′( x) = , f ( x)   thỏa x − f ( ) = f ( 1) = Giá trị Cho hàm số xác định biểu thức A ln15 f ( −1) + f ( 3) B + ln15 C + ln15 Lời giải D + ln15 Chọn C Từ giả thiết suy  ln ( − x ) + C1 ; x <   f ( x) = ∫ dx = ln x − + C =  x −1 ln ( x − 1) + C ; x >  • f ( ) = ⇒ ln ( − 2.0 ) + C1 = ⇒ C1 = • f ( 1) = ⇒ ln ( 2.1 − 1) + C2 = ⇒ C2 =  ln ( − x ) + x <  f ( −1) = ln + f ( x) =  ⇒ ln ( x − 1) + x >  f ( 3) = ln +  Do Câu Cho hàm số f ( e ) = f ( x) xác định ( 0; +∞ ) \ { e} , thỏa mãn f ′( x) = , f  ÷ = ln x ( ln x − 1) e  1 f  ÷+ f ( e ) Giá trị biểu thức  e  B ln + A ln C 3ln + Lời giải D ( ln + 1) Chọn D Từ giả thiết suy f ( x) = ∫ ln ( − ln x ) + C1 x ∈ ( 0; e ) d ( ln x − 1) dx = ∫ = ln ln x − + C =  x ( ln x − 1) ( ln x − 1) ln ( ln x − 1) + C2 x ∈ ( e; +∞ ) 1 1  f  ÷ = ln ⇒ ln  − ln ÷+ C1 = ln ⇒ C1 = ln e   • e  • f ( e ) = ⇒ ln ( ln e − 1) + C2 = ⇒ C2 =  f ln ( − ln x ) + ln x ∈ ( 0; e ) f ( x) =  ⇒ ln ( ln x − 1) + x ∈ ( e; +∞ ) f  Do 1  ÷ = ln + ln e ( e ) = ln + 3 Câu Cho hàm số π2 +4 A 16 f ( x) I = ∫ f ( x ) dx f ′ ( x ) = cos x + 1, ∀x ∈ ¡ Biết Khi 2 π + 14π π + 16π + π + 16π + 16 16 16 16 B C D Lời giải f ( 0) = Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( cos x + 1) dx = ∫ ( + cos x ) dx = x + sin x + C Có f ( x ) = x + sin x + f ( ) =  → C = Theo giả thiết Suy π π cos x π + 16π +     I = ∫  x + sin x + ÷dx =  x − + 4x ÷ = 16     Khi I= Câu 2019π ∫ Tính tích phân − cos xdx A I = B I = 2 C I = 2019 Lời giải D I = 4038 Chọn D Vì hàm số y = − cos x tuần hoàn với chu kì π nên π π π 0 I = 2019 ∫ − cos xdx = 2019 ∫ sin x dx = 2019 ∫ sin xdx = 4038 x Câu  ∫  sin Biết tích phân x = k 2π ( k ∈ ¢ ) A π x=k ( k Â) C t ữdt = 2 với x tham số Khẳng định sau đúng? x = kπ ( k ∈ ¢ ) B x = ( 2k + 1) π ( k ∈ ¢ ) D Lời giải Chọn C x x x x 1  1  − cos 2t  ∫0  sin t − ÷dt = ∫0  − ÷dt = − ∫0 cos 2tdt = − sin 2t = − sin x Ta có x Theo giả thiết  ∫  sin 1 π t − ÷dt = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k 2 ( k ∈¢) Câu 10 Tính tích phân I= A I = ∫ ( 1, x ) dx I= B I = C Lời giải D I =− Chọn C  x ∈ [ 0;1] ⇒ ( 1, x ) = x    x ∈ [ 1; 2] ⇒ ( 1, x ) = Ta có Do x3 I = ∫ ( 1, x ) dx + ∫ ( 1, x ) dx = ∫ x dx + ∫ 1.dx = 1 2 +x = Câu 11 Tích tích phân I = ∫ max { e x , e1− x } dx TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 A I = e − B I= ( ) e− e 1 1 I = e − ÷ 2 e D C I = e − e Lời giải Chọn B Ta có x ≥ 1− 2x ⇔ x ≥ Do e1−2 x I = ∫ e1−2 x dx + ∫ e x dx = − 1 + ex = ( ) e− e ∫ ln ( − x ) dx = a ln + b ln + c Câu 12 Biết A P = 13 B P = 18 P= a +b +c với a, b, c ∈ ¢ Tính C P = 26 D P = 34 Lời giải Chọn A −2 x  u = ln ( − x ) dx  du = ⇒ − x2  v = x + C dv = dx Đặt chọn C = Khi I = ( x + 3) ln ( − x 2 ) x ( x + 3)   + 2∫ dx = 5ln − ln + ∫  −1 + ÷dx 9− x 3− x  1 = 5ln − 12 ln + ( − x − 3ln − x ) a =  = 5ln − ln −  → b = −6 → P = 13 c = −2  Câu 13 Biết I = ∫ x ln ( + x ) dx = a ln + b ln + c A B vi a, b, c Ô Tng a + b + c C D Lời giải Chọn A 2x  du = dx  u = ln ( + x )  + x2 ⇒  dv = xdx v = x + C  Đặt chọn C = I= Khi + x2 ln ( + x ) x2 − ∫ xdx = ln − ln − 2 0 1 = ln − ln − 2 a = , b = −1, c = − ⇒ a + b + c = 2 Suy y = f ( x) y = g ( x) Câu 14 Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn f ( 1) g ( 1) = 1, f ( ) g ( ) = A I = −4 ∫ g ( x ) f ′ ( x ) dx = B I = −2 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Tính C I = Lời giải [ 1; 2] Biết I = ∫ f ( x ) g ′ ( x ) dx D I = Trang 11 Chọn B Xét I = ∫ f ( x ) g ′ ( x ) dx I = f ( x ) g ( x ) Khi = − − = −2 u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx ⇒  ′ d v = g x d x v = g x + C ( ) ( )    Đặt  chọn C = 2 1 − ∫ g ( x ) f ′ ( x ) dx = f ( ) g ( ) − f ( 1) g ( 1) − ∫ g ( x ) f ′ ( x ) dx Câu 15 Cho hàm số A I = −12 f ( x) thỏa f ( 1) − f ( ) = B I = −8 ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 C I = Lời giải Tính I = ∫ f ( x ) dx D I = Chọn B u = x + du = dx ⇒  ′ d v = f x d x v = f x ( ) ( )    Đặt  Xét ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 Khi 10 = ( x + 1) f ( x ) 1 0 − ∫ f ( x ) dx = f ( 1) − f ( ) − ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = −10 + = −8  Mức độ x Câu Đạo hàm hàm số F ( x ) = ∫ + t dt A + x B x 1+ x 2 C + x Lời giải D (x + 1) + x Chọn A Gọi H ( t) Khi H ′( t ) = 1+ t2 nguyên hàm + t , suy x x 1 F ( x ) = ∫ + t dt = H ( t ) = H ( x ) − H ( 1) ⇒ F ′ ( x ) =  H ( x ) − H ( 1) ′ = H ′ ( x ) = + x Câu Đạo hàm hàm số A sin x F ( x) = x ∫ sin t dt ( x > ) B sin x 2sin x x C sin x D x Lời giải Chọn D H ( t) H ′ ( t ) = sin t Gọi nguyên hàm sin t , suy F ( x) = Khi x ∫ sin t dt = H ( t ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA x =H ( x ) − H ( 1) Trang 12 ⇒ F ′( x) = H  ′ x − H ( 1)  =  H   ( ) Câu I =∫ Cho tích phân dx − x π A I = ∫ dt ( ) ′ H′ x sin x x  = =  x x ( ) x = 2sin t , t ∈ ( −π π ; ) 2 Mệnh đề sau đúng? π B π π I = ∫ dt I = ∫ t dt C Lời giải D I =∫ dt t Chọn B dx = cos tdt x = 2sin t ⇒  2 − x = − 4sin t = cos t = cos t  Với π π π x = → t =  6 cos t cos t π  I = d t = d t = x =1→ t = ∫0 cos t ∫0 cos t ∫0 dt   Đổi cận: Vậy I= Câu Cho tích phân ∫x dx +3 π I = ∫ dt π A I= B x = tan t , t ∈ ( π 3 dt π∫ −π π ; ) 2 Mệnh đề sau đúng? I= C Lời giải π 3 tdt π∫ I= D π 3 dt π∫ t Chọn B Với x = tan t ⇒ dx = ( + tan t ) dt π  π π x = → t =  + tan t d t ( ) = 3 dt  I = ∫ tan t + x = → t = π π∫ π  4 Đổi cận:  Khi I= Câu Tính tích phân x 2020 ∫−2 e x + dx A I = B I= 22021 2020 I= C Lời giải 22021 2021 D I= 22022 2022 Chọn C I= Ta có x 2020 x 2020 x 2020 d x = d x + ∫ e x + −∫2 e x + ∫0 e x + dx = A + B −2 A= Tính x 2020 ∫ e x + dx −2 Đặt x = −t ⇒ dx = −dt Đổi cận: Khi A = −∫ ( −t ) 2020  x = −2 → t =  x = → t = t 2020 et x 2020 e x dt = ∫ t dt = ∫ x dx e−t + e +1 e +1 0 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 13 2 Vậy 2 ∫ I= Câu x 2020 e x x 2020 22021 I = A+ B = ∫ x dx + ∫ x dx = ∫ x 2020 dx = e +1 e +1 2021 0 Biết − A x x − + x2 + B − dx = a ln + b ln với a, b số hữu tỷ Tổng a + b C D 3 Lời giải Chọn B 2tdt = xdx tdt = xdx t = x2 + ⇒ t = x2 + ⇒  2 ⇒ 2 x = t −  x = t −1 Đặt Đổi cận:  x = ⇒ t =   x = 2 ⇒ t = 3 Khi t t dt = ∫ dt t −2+t t − 1) ( t + ) 2 ( I =∫   = ∫ + dt = ( ln t − + ln t + )   t −1 t +  Câu I =∫ Biết đúng? a=− A dx x + x3 = a ln + b ln B b= (  a = = ln − ln ⇒  b = −1 ) −1 + c với a, b, c thuc Ô Mnh no sau c=− C Lời giải D a + b + c = Chọn A I =∫ Viết lại dx x + x3 =∫ x dx x3 + x3  x3 = t −  t = + x   t = + x3 ⇒  ⇒ 2 2tdt = x dx  x dx = tdt  Đặt Đổi cận: I= 3 tdt ∫ ( t − 1) t = 3  t −1  ∫  t − − t + ÷ dt = ln t + Suy 1 1 = − ln − ln − 2 = − ln − ln 3 3 a = − ; b = − ; c = 3 Suy ( Câu I =∫ ( Biết A P = 12 x + 1) ) ( ) x = ⇒ t =    x = ⇒ t = 1 −1  =  ln − ln ÷ 3 2 +1÷  2 − = − ln − ln 3 ( ) −1 dx = a − b −c x + x x +1 B P = 18 + với a, b, c thuộc ¢ Tính P = a + b + c C P = 24 D P = 46 Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 I =∫ Ta có Đặt x ( x + 1) ( dx x +1 + x ) x + x +1 =∫ x ( x + 1) ( x + x +1   t = x + + x ⇒ dt =  + ÷dx ⇔ 2dt =  x +1 x   x = → t = + I=  x = → t = +  Đổi cận:  Khi 2+ ∫ 1+ ) dx x +1 + x x ( x + 1) dx   2+ d t = − ÷ t2  t  1+ = −2 + − = 32 − 12 − ⇒ P = a + b + c = 32 + 12 + = 46 Câu f ( x) Cho hàm số  I = ∫ f 0 liên tục ¡ f ( x ) dx = 1, ∫ ∫ f ( x ) dx = Tính giá trị biểu thức  x  ÷+ f ( 3x )  dx 3  B I = − A I = −9 D I = C I = Lời giải Chọn C Từ giả thiết ta có  I = ∫f  Ta có • Xét ∫ • Xét ∫ ∫ 9 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = + = 3  x  ÷+ f ( 3x )  dx = ∫ 3  x x f  ÷dx + ∫ f ( x ) dx 3 t=  x f  ÷dx → 3∫ f ( t ) dt = 3∫ f ( x ) dx = 3.1 = 3 0 u =3 x f ( 3x ) dx  → 9 1 f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx = = ∫ 30 30 Vậy I = + = Câu 10 Cho f ( x) hàm số lẻ, liên tục đoạn A I = −10 Biết ∫ f ( − x ) dx = −2 ∫ f ( − x ) dx = [ − 4; ] I = ∫ f ( x ) dx Tính tích phân B I = − C I = Lời giải D I = 10 Chọn B f ( x) f ( −x) = − f ( x) Do hàm lẻ nên • Xét • Xét 2 → − ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( − x ) dx =  t =− x −2 2 1 u =2 x = ∫ f ( −2 x ) dx = − ∫ f ( x ) dx  →4 = − TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 4 f ( u ) du ⇒ ∫ f ( x ) dx = −8 ∫2 Trang 15 4 0 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = + ( −8 ) = −6 Vậy f ( x) Câu 11 Cho hàm số chẵn, liên tục đoạn ∫ f ( −2 x ) dx = A I = [ −1;6] Biết ∫ f ( x ) dx = −1 I= Tính tích phân B I = ∫ f ( x ) dx −1 C I = 11 Lời giải D I = 14 Chọn D Vì f ( x) hàm số chẵn nên Xét K = ∫ f ( x ) dx = Khi I= Vậy 1 ∫ f ( −2 x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 6 1 f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx  → ∫ f ( x ) dx = K = ∫ 22 22 6 −1 −1 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = + = 14 Câu 12 Cho hàm số f ( x) thỏa Tính x = → t =  x = → t = t = x  → d t = 2d x  Đặt Đổi cận: K= ∫ I = ∫ f ( x − ) dx − A I = 15 f ( x ) dx = 5, ∫ f ( x ) dx = 20 ln ∫ f (e )e 2x 2x dx B I = 25 I= C Lời giải D I= 15 Chọn D ln • Xét ∫ • Xét ∫ 2x t = x −3 f ( x − 3) dx  → I= Vậy u =e f ( e x ) e2 x dx  → f ( u ) du = ∫ 21 f ( t ) dt = ∫1  1 25 f t d t + f ( t ) dt ÷ = ( + 20 ) = ( ) ∫ ∫ 4 4  25 15 − = 4 π Câu 13 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ ∫ x2 f ( x ) dx = f ( tan x ) dx = 4, ∫ x +1 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = Lời giải D I = Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 π ∫ f ( tan x ) dx = → ∫ t Xét 1 0 f ( x) f ( x ) dx = A I = 20 +1 dt = f ( x) x f ( x) d x + ∫0 x + dx = + = x +1 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ Câu 14 Cho hàm số ∫ Từ suy f ( t) t = tan x [ 3;7] , liên tục thỏa mãn f ( x ) = f ( 10 − x ) với x ∈ [ 3;7 ] I = ∫ x f ( x ) dx Tính tích phân B I = 40 C I = 60 Lời giải D I = 80 Chọn A x = → t =  x = → t = x = 10 − t ⇒ d x = − d t  Đặt Đổi cận: 7 3 I = − ∫ ( 10 − t ) f ( 10 − t ) dt = ∫ ( 10 − t ) f ( 10 − t ) dt = ∫ ( 10 − x ) f ( 10 − x ) dx Khi f ( x ) = f ( 10 − x ) 7 7 3 ∫ ( 10 − x ) f ( x ) dx = 10 ∫ f ( x ) dx − ∫ x f ( x ) dx = 10∫ f ( x ) dx − I = Suy I = 10 ∫ f ( x ) dx = 10.4 = 40  → I = 20 Câu 15 Cho hàm số f ( x) f ( x ) + f ( − x ) = + cos x liên tục ¡ thỏa mãn với x ∈ ¡ 3π I= − ∫π f ( x ) d x Tính A I = −6 B I = −2 C I = Lời giải D I = Chọn D I= Xét 3π − = 3π 3π → − ∫ f ( −t ) d t = I ⇔ ∫ f ( −t ) d t = I ∫π f ( x ) d x  π π x =− t I+I = Suy − − 3π 3π 3π 3π − − − − ∫π f ( x ) d x + ∫π f ( − x ) dx = ∫π  f ( x ) + f ( − x )  d t = ∫π + cos 2t dt 3π − ∫π cos t dt = 12 ⇒ I = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 Câu 16 Cho hàm f ( x) số xác định liên tục 1   ;  , đoạn thỏa mãn f ( x) I =∫ dx 1 f ( x ) + f  ÷ = x + + x +1 x x Tính tích phân I= I= 2 A B I = C D I = Lời giải Chọn A 1 2 f  ÷ x= f ( x) t t I =∫ dx → I = ∫ 2  dt x +1 t +1 2 Xét 1 1 +2 2 f  f ( x) + f  x + ÷ ÷ f ( x) x x   x I = ∫ dx + ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx x2 + x2 + 1 x +1 x +1 1 2 2 Suy 2 =∫ 2 x2 + 1  1   d x = + d x = x − →I =   ÷ =  2 ÷ ∫ x x  x 2  1 f ( x) Câu 17 Cho hàm số f ′ ( x ) + f ( x ) = A f ( −1) = e −2 có đạo hàm liên tục đoạn [ −1;1] , f ( 1) = 1, f ( −1) Biết tính f ( −1) = e3 f ( −1) = e B C Lời giải Chọn C Vì f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ nên ta có f ′( x) + f ( x) = ⇔ Lấy tích phân cận từ −1 đến hai vế, ta ⇔ ln f ( x ) −1 = −2 x ⇔ ln  f ( x )  −1 −1 = −2 x ∫ −1 f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ thỏa mãn D f ( −1) = f ′( x) = −2 f ( x) f ′( x) dx = ∫ ( −2 ) dx f ( x) −1 −1 (do f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ ) ⇔ ln  f ( 1)  − ln  f ( −1)  = −4 ⇔ ln1 − ln  f ( −1)  = −4 ⇔ ln  f ( −1)  =  → f ( −1) = e Câu 18 Cho hàm số f ( x) [ 1; 2] Biết f ( ) = −20 A ∫ có đạo hàm liên tục đoạn f ′ ( x ) dx = 10 B ∫ [ 1; 2] , thỏa mãn f ( x) > với x thuộc f ′( x) dx = ln f ( x) f ( ) = −10 f ( 2) Tính f ( ) = 10 C Lời giải D f ( ) = 20 Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 Ta có f ′ ( x ) dx = 10 ⇔ f ( x ) ∫ Lại có ∫ f ′( x) dx = ln ⇔ ln f ( x ) f ( x) ⇔ ln f ( ) − ln f ( 1) = ln ⇔ ln Từ ( 1) = 10 ⇔ f ( ) − f ( 1) = 10 ( 2) , Câu 19 Cho hàm số suy f ( x) = ln ⇔ ln  f ( x )  ( 1) = ln (do f ( 2) f ( 2) = ln ⇔ = f ( 1) f ( 1) f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 1; 2] ) ( 2) f ( ) = 20 f ( 2) = − , f ′ ( x ) = x3  f ( x )  , ∀x ∈ ¡ 25 tính giá trị thỏa mãn Biết f ( 1) A f ( 1) = − 10 f ( 1) = − B 40 C Lời giải f ( 1) = − 41 400 D f ( 1) = − 391 400 Chọn A  ′ = 4x ⇔   = −4 x  f ( x )  ( *)  f ( x)  Từ giả thiết suy  ( *) với cận từ đến 2, ta Lấy tích phân hai vế 2  ′ 1 d x = − x d x ⇔ = − x ⇔ − = −15 ⇔ f ( 1) = −   ∫1 f ( x ) ∫1 f ( x) f ( ) f ( 1) 10   f ′( x) Câu 20 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] , thỏa mãn x2 f ( x ) + f ( − x ) = 2x − x4 với x thuộc I = ∫ f ( x ) dx [ 0;1] Tính tích phân A I= B I= I= C Lời giải D I= Chọn B Từ giả thiết, thay x − x ta ( 1− x) f ( 1− x) + f ( x) = 2( 1− x) − ( 1− x)  x f ( x ) + f ( − x ) = x − x  ( − x ) f ( − x ) + f ( x ) = ( − x ) − ( − x ) ta f ( x ) = − x Giải hệ   x3  I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( − x ) dx =  x − ÷ = 30  0 Vậy 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 19 ... dx với k ∈ ¡ II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tích phân hàm đa thức  Tích phân hàm lượng giác  Tích phân hàm mũ, hàm logarit  Tích phân phương pháp đổi biến số  Tích phân phần … BÀI TẬP MẪU... 2020-2021) Tích phân 15 17 A B C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính tích phân hàm đa thức HƯỚNG GIẢI: 15 D f ( x) B1: Tìm nguyên hàm hàm số B2: Thay cận vào để tính kết tích phân. .. f ( x ) d x = ∫ x dx = Tích phân x4 = dx ∫ 3x − A ln ln C Lời giải B ln ln D Chọn D dx ∫1 3x − = ln 3x − Ta có = 1 ( ln − ln1) = ln 3 Câu dx 1− 2x I =∫ Tính tích phân A I = − ln B I = −