Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
19
Dung lượng
1,04 MB
Nội dung
DẠNG TỐN 17: TÍCH PHÂN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: F′( x) = f ( x) Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K với x thuộc K Nguyên hàm số hàm số thường gặp 1) 2) ∫ 0dx = C, ∫ dx = ∫1dx = x + C; α ∫ x dx = xα + C ( α ≠ −1) ; α +1 3) 4) ∫ x dx = ln x + C; Với k số khác cos kx sin kxdx = − + C; ∫ k a) ∫ cos kxdx = b) c) d) kx ∫ e dx = e kx + C; k x ∫ a dx = ax +C ln a 5) sin kx + C; k ∫ a) cos x ∫ b) sin x ( < a ≠ 1) ; dx = tan x + C; dx = − cot x + C Khái niệm tích phân Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f b K hiệu số F ( b) − F ( a) gọi tích phân f từ a đến b kí hiệu ∫ f ( x ) dx a b Trong trường hợp a < b, ta gọi Người ta cịn dùng kí hiệu b ∫ f ( x ) dx a F ( x) ∫ f ( x ) dx = F ( x ) [ a; b] tích phân f đoạn b a để hiệu số F ( b) − F ( a ) Như F nguyên hàm b a f K a Tính chất tích phân Giả sử hàm số f , g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang a 1) 2) ∫ f ( x ) dx = 0; a b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx; b 3) 4) 5) ∫ a c c b a f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx; b b b a a a ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx; b b a a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k ∈ ¡ II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tích phân hàm đa thức Tích phân hàm lượng giác Tích phân hàm mũ, hàm logarit Tích phân phương pháp đổi biến số Tích phân phần … BÀI TẬP MẪU ∫ x dx (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Tích phân 15 17 A B C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính tích phân hàm đa thức HƯỚNG GIẢI: 15 D f ( x) B1: Tìm nguyên hàm hàm số B2: Thay cận vào để tính kết tích phân Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D x 16 15 ∫ x dx = = − = Ta có Bài tập tương tự phát triển: Mức độ Câu Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1; 2] thỏa mãn f ( 1) = 1, f ( ) = Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx A I = −1 B I = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C I = Lời giải D I= Trang Chọn B Ta có Câu 2 1 I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f ( 1) = Hàm số A f ( x ) = x3 F ( x) F ( 2) − F ( 0) Giá trị biểu thức C D 16 Lời giải có nguyên hàm B Chọn B Ta có Câu 2 0 F ( ) − F ( ) = ∫ f ( x ) d x = ∫ x dx = Tích phân x4 = dx ∫ 3x − A ln ln C Lời giải B ln ln D Chọn D dx ∫1 3x − = ln 3x − Ta có = 1 ( ln − ln1) = ln 3 Câu dx 1− 2x I =∫ Tính tích phân A I = − ln B I = − ln C I = ln Lời giải D I = ln Chọn B dx ∫1 − x = − ln − x Ta có =− 1 ( ln − ln1) = − ln = − ln 2 2020 I= Câu Tính tích phân A I= ∫ x dx 2020 − ln 2020 B I = − ln I= C Lời giải 2021 −7 2021 2019 D I = 2020.7 Chọn A 2020 I= Ta có ∫ 7x dx = ln x 2020 2020 = − ln ln Câu Tích phân ∫e 2x dx e −1 A B e − e2 − C Lời giải D ( e − 1) Chọn C Ta có 2x ∫ e dx = e2 x = e2 − TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang π Câu ∫ cos x dx Tích phân π C Lời giải B A −1 D Chọn D π Ta có π =1 d x = tan x ∫0 cos x Câu Biết ∫e dx = m ( e p − e q ) x −1 A vi m, p, q Ô v phân số tối giản Tổng m + p + q B 22 D C 10 Lời giải Chọn D ∫e Ta có e3 x −1 dx = 3 x −1 1 e5 − e m = = ⇒ 3 p = 5, q = π I = ∫ cos xdx = a + b Câu π Biết P= A vi a, b Ô Tớnh P = a − 4b P= P= 2 B C Lời giải D P = Chọn D π I = ∫ cos xdx = sin x π Ta có π π a = 1 =1− = + − ÷ ⇒ ⇒ P = a − 4b = b = − 2 π π Câu 10 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) + 2sin x dx, A I = biết B I = ∫ f ( x ) dx = I = 5+ C Lời giải π D I = + π Chọn B Ta có π π π π 0 I = ∫ f ( x ) + 2sin x dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ sin x dx = ∫ f ( x ) dx − cos x π = − ( − 1) = Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu Cho tích phân A −3 ∫ 4 f ( x ) − x dx = 1 Khi B −1 ∫ f ( x ) dx D C Lời giải Chọn C Ta có 2 1 ∫ 4 f ( x ) − x dx = ⇔ 4∫ f ( x ) dx − 2∫ xdx = ⇔ 4∫ f ( x ) dx − Câu x2 2 f ( x) Cho hàm số 2 1 = ⇔ 4∫ f ( x ) dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx = [ 1;ln 3] có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn f ( 1) = e , ln ∫ f ′ ( x ) dx = − e A f ( ln 3) = −9 f ( ln 3) Tính giá trị f ( ln 3) = f ( ln 3) = 2e − f ( ln 3) = − 2e B C D Lời giải Chọn B ln Ta có ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) ln = f ( ln 3) − f ( 1) ln Theo giả thiết ∫ f ′ ( x ) dx = − e ( ) ⇔ f ( ln 3) − f ( 1) = − e → f ( ln 3) = f =e2 Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục nhận giá trị dương ( ) I = ∫ e1+ ln f ( x ) + dx giá trị tích phân A 3e + 14 B 14e + [ 0;3] , thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = Khi C + 12e Lời giải D 12 + 4e Chọn D Ta có e1+ln f ( x ) = e f ( x ) nên 3 0 I = ∫ ( e f ( x ) + ) dx = e ∫ f ( x ) dx + ∫ dx = 4e + 12 Câu I = ∫ − ÷dx = a ln + b ln x +1 x + 0 Biết đúng? A a + b = −2 B a + b = với a, b số nguyên Mệnh đề C a − 2b = Lời giải D a + 2b = Chọn D Ta có 1 I = ∫ − d x = ln x + − ln x + ÷ x + x + 0 = ln − ln Suy a = 2, b = −1 Vậy a + 2b = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang m Câu ∫ cos xdx = với m tham số Khẳng định sau đúng? m = kπ ( k ∈ ¢ ) B Biết tích phân m = k 2π ( k ∈ ¢ ) A π m = k ( k ∈¢) C m = ( 2k + 1) π ( k ∈ ¢ ) D Lời giải Chọn C m m = ∫ cos xdx = sin x Ta có = sin 2m ⇒ sin 2m = ⇔ 2m = kπ ⇔ m = Câu ∫ f ( x ) dx = 16 Cho A I = 32 kπ ( k ∈¢) Tính I = ∫ f ( x ) dx B I = C I = 16 Lời giải D I = Chọn B Đặt t = x ⇒ dt = 2dx Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 4 1 I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 20 20 Câu Cho tích phân I = ∫ f ( x ) dx = A Tính tích phân K = ∫ xf ( x ) dx C Lời giải B D − Chọn C Đặt t = x ⇒ xdx = dt Khi 1 1 K = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 20 20 e Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ A ∫ f ( x ) dx = ∫ 1 B ∫ f ( x ) dx = e f ( ln x ) dx = e x Mệnh đề sau đúng? e ∫ f ( x ) dx = C Lời giải e D ∫ f ( x ) dx = e Chọn B 1 e = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx dt = dx 0 x Suy Đặt t = ln x ta Câu Tính tích phân A I = ln 4e I = ∫ ln xdx B I = ln ( − e ) C I = ln + Lời giải D I = ln − log10 Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang dx u = ln x du = ⇒ x dv = d x v = x + C Đặt chọn v = x 2 2 1 1 I = x ln x − ∫ dx = x ln x − x Khi = ln − = ln − log10 e Câu 10 Tính tích phân A I = ∫ x ln xdx 1 I= B I= e2 − 2 I= e2 − I= ln − ln 2 C Lời giải D I= e2 + I= ln + ln 2 Chọn D dx d u = u = ln x x ⇒ dv = xdx v = x + C Đặt chọn C = e Khi e x ln x e2 x I= − xdx = − 2 ∫1 e e2 + = I = ∫ x.2 x dx Câu 11 Tính tích phân ln − I= ln A B I= ln + ln C Lời giải D Chọn C du = dx u = x ⇒ 2x x d v = d x v = +C ln Đặt chọn C = Khi x.2 x I= ln 1 x.2 x x − dx = ln ∫0 ln 1 − 2x ln 2 = ln − ln 2 Mức độ Câu Cho hàm số f ( x) thỏa ∫ 3 f ( x ) + g ( x ) dx = 1 ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = −3 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I =− B I= C I = Lời giải D I = Chọn A Ta có 2 1 ∫ 3 f ( x ) + g ( x ) dx = ⇔ 3∫ f ( x ) dx + 2∫ g ( x ) dx = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 2 1 ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = −3 ⇔ 2∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = −3 Đặt ∫ u=− 3u + 2v = ⇔ u − v = − 11 f ( x ) dx = u v= ∫ g ( x ) dx = v , ta có hệ phương trình I = ∫ f ( x ) dx = u = − Vậy f ( x) Câu f ( x) Cho hàm số A f ( ) = −1 thỏa mãn B ∫ t dt = x cos ( π x ) , ∀x ∈ ¡ Tính f ( 4) = C Lời giải f ( ) = 12 f ( 4) D f ( 4) = Chọn C f ( x) ∫ Ta có t dt = t3 f ( x) = f ( x ) = x cos ( π x ) 3 f ( ) = cos 4π ⇒ f ( ) = 12 Cho x = 4, ta Câu I =∫ dx = a ln + b ln + c ln x +x Biết A S = −2 B S = với a, b, c số nguyên Tính S = a + b + c C S = D S = Lời giải Chọn C Ta có 1 1 = = − x + x x ( x + 1) x x + 4 dx 1 I =∫ = − ÷dx = ln x − ln ( x + 1) x + x ∫3 x x + 3 Khi đó: Suy a = 4, b = −1, c = −1 nên S = Câu I =∫ Biết A −2 xdx ( x + 2) x ( x + 2) Khi = a + b ln + c ln B −1 Chọn B Ta có 2 = = ln − ln − ln với a, b, c số hữu tỷ Giá trị 3a + b + c C D Lời giải ( x + 2) − = − x + ( x + 2) ( x + 2) dx 2dx I =∫ −∫ = ln ( x + ) x + ( x + 2) + x+2 = ln − ln + − = − − ln + ln 3 a = − , b = −1, c = Suy nên 3a + b + c = −1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu 1 ¡ \ , f ′( x) = , f ( x) thỏa x − f ( ) = f ( 1) = Giá trị Cho hàm số xác định biểu thức A ln15 f ( −1) + f ( 3) B + ln15 C + ln15 Lời giải D + ln15 Chọn C Từ giả thiết suy ln ( − x ) + C1 ; x < f ( x) = ∫ dx = ln x − + C = x −1 ln ( x − 1) + C ; x > • f ( ) = ⇒ ln ( − 2.0 ) + C1 = ⇒ C1 = • f ( 1) = ⇒ ln ( 2.1 − 1) + C2 = ⇒ C2 = ln ( − x ) + x < f ( −1) = ln + f ( x) = ⇒ ln ( x − 1) + x > f ( 3) = ln + Do Câu Cho hàm số f ( e ) = f ( x) xác định ( 0; +∞ ) \ { e} , thỏa mãn f ′( x) = , f ÷ = ln x ( ln x − 1) e 1 f ÷+ f ( e ) Giá trị biểu thức e B ln + A ln C 3ln + Lời giải D ( ln + 1) Chọn D Từ giả thiết suy f ( x) = ∫ ln ( − ln x ) + C1 x ∈ ( 0; e ) d ( ln x − 1) dx = ∫ = ln ln x − + C = x ( ln x − 1) ( ln x − 1) ln ( ln x − 1) + C2 x ∈ ( e; +∞ ) 1 1 f ÷ = ln ⇒ ln − ln ÷+ C1 = ln ⇒ C1 = ln e • e • f ( e ) = ⇒ ln ( ln e − 1) + C2 = ⇒ C2 = f ln ( − ln x ) + ln x ∈ ( 0; e ) f ( x) = ⇒ ln ( ln x − 1) + x ∈ ( e; +∞ ) f Do 1 ÷ = ln + ln e ( e ) = ln + 3 Câu Cho hàm số π2 +4 A 16 f ( x) I = ∫ f ( x ) dx f ′ ( x ) = cos x + 1, ∀x ∈ ¡ Biết Khi 2 π + 14π π + 16π + π + 16π + 16 16 16 16 B C D Lời giải f ( 0) = Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( cos x + 1) dx = ∫ ( + cos x ) dx = x + sin x + C Có f ( x ) = x + sin x + f ( ) = → C = Theo giả thiết Suy π π cos x π + 16π + I = ∫ x + sin x + ÷dx = x − + 4x ÷ = 16 Khi I= Câu 2019π ∫ Tính tích phân − cos xdx A I = B I = 2 C I = 2019 Lời giải D I = 4038 Chọn D Vì hàm số y = − cos x tuần hoàn với chu kì π nên π π π 0 I = 2019 ∫ − cos xdx = 2019 ∫ sin x dx = 2019 ∫ sin xdx = 4038 x Câu ∫ sin Biết tích phân x = k 2π ( k ∈ ¢ ) A π x=k ( k Â) C t ữdt = 2 với x tham số Khẳng định sau đúng? x = kπ ( k ∈ ¢ ) B x = ( 2k + 1) π ( k ∈ ¢ ) D Lời giải Chọn C x x x x 1 1 − cos 2t ∫0 sin t − ÷dt = ∫0 − ÷dt = − ∫0 cos 2tdt = − sin 2t = − sin x Ta có x Theo giả thiết ∫ sin 1 π t − ÷dt = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k 2 ( k ∈¢) Câu 10 Tính tích phân I= A I = ∫ ( 1, x ) dx I= B I = C Lời giải D I =− Chọn C x ∈ [ 0;1] ⇒ ( 1, x ) = x x ∈ [ 1; 2] ⇒ ( 1, x ) = Ta có Do x3 I = ∫ ( 1, x ) dx + ∫ ( 1, x ) dx = ∫ x dx + ∫ 1.dx = 1 2 +x = Câu 11 Tích tích phân I = ∫ max { e x , e1− x } dx TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 A I = e − B I= ( ) e− e 1 1 I = e − ÷ 2 e D C I = e − e Lời giải Chọn B Ta có x ≥ 1− 2x ⇔ x ≥ Do e1−2 x I = ∫ e1−2 x dx + ∫ e x dx = − 1 + ex = ( ) e− e ∫ ln ( − x ) dx = a ln + b ln + c Câu 12 Biết A P = 13 B P = 18 P= a +b +c với a, b, c ∈ ¢ Tính C P = 26 D P = 34 Lời giải Chọn A −2 x u = ln ( − x ) dx du = ⇒ − x2 v = x + C dv = dx Đặt chọn C = Khi I = ( x + 3) ln ( − x 2 ) x ( x + 3) + 2∫ dx = 5ln − ln + ∫ −1 + ÷dx 9− x 3− x 1 = 5ln − 12 ln + ( − x − 3ln − x ) a = = 5ln − ln − → b = −6 → P = 13 c = −2 Câu 13 Biết I = ∫ x ln ( + x ) dx = a ln + b ln + c A B vi a, b, c Ô Tng a + b + c C D Lời giải Chọn A 2x du = dx u = ln ( + x ) + x2 ⇒ dv = xdx v = x + C Đặt chọn C = I= Khi + x2 ln ( + x ) x2 − ∫ xdx = ln − ln − 2 0 1 = ln − ln − 2 a = , b = −1, c = − ⇒ a + b + c = 2 Suy y = f ( x) y = g ( x) Câu 14 Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn f ( 1) g ( 1) = 1, f ( ) g ( ) = A I = −4 ∫ g ( x ) f ′ ( x ) dx = B I = −2 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Tính C I = Lời giải [ 1; 2] Biết I = ∫ f ( x ) g ′ ( x ) dx D I = Trang 11 Chọn B Xét I = ∫ f ( x ) g ′ ( x ) dx I = f ( x ) g ( x ) Khi = − − = −2 u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx ⇒ ′ d v = g x d x v = g x + C ( ) ( ) Đặt chọn C = 2 1 − ∫ g ( x ) f ′ ( x ) dx = f ( ) g ( ) − f ( 1) g ( 1) − ∫ g ( x ) f ′ ( x ) dx Câu 15 Cho hàm số A I = −12 f ( x) thỏa f ( 1) − f ( ) = B I = −8 ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 C I = Lời giải Tính I = ∫ f ( x ) dx D I = Chọn B u = x + du = dx ⇒ ′ d v = f x d x v = f x ( ) ( ) Đặt Xét ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 Khi 10 = ( x + 1) f ( x ) 1 0 − ∫ f ( x ) dx = f ( 1) − f ( ) − ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = −10 + = −8 Mức độ x Câu Đạo hàm hàm số F ( x ) = ∫ + t dt A + x B x 1+ x 2 C + x Lời giải D (x + 1) + x Chọn A Gọi H ( t) Khi H ′( t ) = 1+ t2 nguyên hàm + t , suy x x 1 F ( x ) = ∫ + t dt = H ( t ) = H ( x ) − H ( 1) ⇒ F ′ ( x ) = H ( x ) − H ( 1) ′ = H ′ ( x ) = + x Câu Đạo hàm hàm số A sin x F ( x) = x ∫ sin t dt ( x > ) B sin x 2sin x x C sin x D x Lời giải Chọn D H ( t) H ′ ( t ) = sin t Gọi nguyên hàm sin t , suy F ( x) = Khi x ∫ sin t dt = H ( t ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA x =H ( x ) − H ( 1) Trang 12 ⇒ F ′( x) = H ′ x − H ( 1) = H ( ) Câu I =∫ Cho tích phân dx − x π A I = ∫ dt ( ) ′ H′ x sin x x = = x x ( ) x = 2sin t , t ∈ ( −π π ; ) 2 Mệnh đề sau đúng? π B π π I = ∫ dt I = ∫ t dt C Lời giải D I =∫ dt t Chọn B dx = cos tdt x = 2sin t ⇒ 2 − x = − 4sin t = cos t = cos t Với π π π x = → t = 6 cos t cos t π I = d t = d t = x =1→ t = ∫0 cos t ∫0 cos t ∫0 dt Đổi cận: Vậy I= Câu Cho tích phân ∫x dx +3 π I = ∫ dt π A I= B x = tan t , t ∈ ( π 3 dt π∫ −π π ; ) 2 Mệnh đề sau đúng? I= C Lời giải π 3 tdt π∫ I= D π 3 dt π∫ t Chọn B Với x = tan t ⇒ dx = ( + tan t ) dt π π π x = → t = + tan t d t ( ) = 3 dt I = ∫ tan t + x = → t = π π∫ π 4 Đổi cận: Khi I= Câu Tính tích phân x 2020 ∫−2 e x + dx A I = B I= 22021 2020 I= C Lời giải 22021 2021 D I= 22022 2022 Chọn C I= Ta có x 2020 x 2020 x 2020 d x = d x + ∫ e x + −∫2 e x + ∫0 e x + dx = A + B −2 A= Tính x 2020 ∫ e x + dx −2 Đặt x = −t ⇒ dx = −dt Đổi cận: Khi A = −∫ ( −t ) 2020 x = −2 → t = x = → t = t 2020 et x 2020 e x dt = ∫ t dt = ∫ x dx e−t + e +1 e +1 0 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 13 2 Vậy 2 ∫ I= Câu x 2020 e x x 2020 22021 I = A+ B = ∫ x dx + ∫ x dx = ∫ x 2020 dx = e +1 e +1 2021 0 Biết − A x x − + x2 + B − dx = a ln + b ln với a, b số hữu tỷ Tổng a + b C D 3 Lời giải Chọn B 2tdt = xdx tdt = xdx t = x2 + ⇒ t = x2 + ⇒ 2 ⇒ 2 x = t − x = t −1 Đặt Đổi cận: x = ⇒ t = x = 2 ⇒ t = 3 Khi t t dt = ∫ dt t −2+t t − 1) ( t + ) 2 ( I =∫ = ∫ + dt = ( ln t − + ln t + ) t −1 t + Câu I =∫ Biết đúng? a=− A dx x + x3 = a ln + b ln B b= ( a = = ln − ln ⇒ b = −1 ) −1 + c với a, b, c thuc Ô Mnh no sau c=− C Lời giải D a + b + c = Chọn A I =∫ Viết lại dx x + x3 =∫ x dx x3 + x3 x3 = t − t = + x t = + x3 ⇒ ⇒ 2 2tdt = x dx x dx = tdt Đặt Đổi cận: I= 3 tdt ∫ ( t − 1) t = 3 t −1 ∫ t − − t + ÷ dt = ln t + Suy 1 1 = − ln − ln − 2 = − ln − ln 3 3 a = − ; b = − ; c = 3 Suy ( Câu I =∫ ( Biết A P = 12 x + 1) ) ( ) x = ⇒ t = x = ⇒ t = 1 −1 = ln − ln ÷ 3 2 +1÷ 2 − = − ln − ln 3 ( ) −1 dx = a − b −c x + x x +1 B P = 18 + với a, b, c thuộc ¢ Tính P = a + b + c C P = 24 D P = 46 Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 I =∫ Ta có Đặt x ( x + 1) ( dx x +1 + x ) x + x +1 =∫ x ( x + 1) ( x + x +1 t = x + + x ⇒ dt = + ÷dx ⇔ 2dt = x +1 x x = → t = + I= x = → t = + Đổi cận: Khi 2+ ∫ 1+ ) dx x +1 + x x ( x + 1) dx 2+ d t = − ÷ t2 t 1+ = −2 + − = 32 − 12 − ⇒ P = a + b + c = 32 + 12 + = 46 Câu f ( x) Cho hàm số I = ∫ f 0 liên tục ¡ f ( x ) dx = 1, ∫ ∫ f ( x ) dx = Tính giá trị biểu thức x ÷+ f ( 3x ) dx 3 B I = − A I = −9 D I = C I = Lời giải Chọn C Từ giả thiết ta có I = ∫f Ta có • Xét ∫ • Xét ∫ ∫ 9 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = + = 3 x ÷+ f ( 3x ) dx = ∫ 3 x x f ÷dx + ∫ f ( x ) dx 3 t= x f ÷dx → 3∫ f ( t ) dt = 3∫ f ( x ) dx = 3.1 = 3 0 u =3 x f ( 3x ) dx → 9 1 f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx = = ∫ 30 30 Vậy I = + = Câu 10 Cho f ( x) hàm số lẻ, liên tục đoạn A I = −10 Biết ∫ f ( − x ) dx = −2 ∫ f ( − x ) dx = [ − 4; ] I = ∫ f ( x ) dx Tính tích phân B I = − C I = Lời giải D I = 10 Chọn B f ( x) f ( −x) = − f ( x) Do hàm lẻ nên • Xét • Xét 2 → − ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( − x ) dx = t =− x −2 2 1 u =2 x = ∫ f ( −2 x ) dx = − ∫ f ( x ) dx →4 = − TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 4 f ( u ) du ⇒ ∫ f ( x ) dx = −8 ∫2 Trang 15 4 0 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = + ( −8 ) = −6 Vậy f ( x) Câu 11 Cho hàm số chẵn, liên tục đoạn ∫ f ( −2 x ) dx = A I = [ −1;6] Biết ∫ f ( x ) dx = −1 I= Tính tích phân B I = ∫ f ( x ) dx −1 C I = 11 Lời giải D I = 14 Chọn D Vì f ( x) hàm số chẵn nên Xét K = ∫ f ( x ) dx = Khi I= Vậy 1 ∫ f ( −2 x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 6 1 f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx → ∫ f ( x ) dx = K = ∫ 22 22 6 −1 −1 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = + = 14 Câu 12 Cho hàm số f ( x) thỏa Tính x = → t = x = → t = t = x → d t = 2d x Đặt Đổi cận: K= ∫ I = ∫ f ( x − ) dx − A I = 15 f ( x ) dx = 5, ∫ f ( x ) dx = 20 ln ∫ f (e )e 2x 2x dx B I = 25 I= C Lời giải D I= 15 Chọn D ln • Xét ∫ • Xét ∫ 2x t = x −3 f ( x − 3) dx → I= Vậy u =e f ( e x ) e2 x dx → f ( u ) du = ∫ 21 f ( t ) dt = ∫1 1 25 f t d t + f ( t ) dt ÷ = ( + 20 ) = ( ) ∫ ∫ 4 4 25 15 − = 4 π Câu 13 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ ∫ x2 f ( x ) dx = f ( tan x ) dx = 4, ∫ x +1 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = Lời giải D I = Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 π ∫ f ( tan x ) dx = → ∫ t Xét 1 0 f ( x) f ( x ) dx = A I = 20 +1 dt = f ( x) x f ( x) d x + ∫0 x + dx = + = x +1 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ Câu 14 Cho hàm số ∫ Từ suy f ( t) t = tan x [ 3;7] , liên tục thỏa mãn f ( x ) = f ( 10 − x ) với x ∈ [ 3;7 ] I = ∫ x f ( x ) dx Tính tích phân B I = 40 C I = 60 Lời giải D I = 80 Chọn A x = → t = x = → t = x = 10 − t ⇒ d x = − d t Đặt Đổi cận: 7 3 I = − ∫ ( 10 − t ) f ( 10 − t ) dt = ∫ ( 10 − t ) f ( 10 − t ) dt = ∫ ( 10 − x ) f ( 10 − x ) dx Khi f ( x ) = f ( 10 − x ) 7 7 3 ∫ ( 10 − x ) f ( x ) dx = 10 ∫ f ( x ) dx − ∫ x f ( x ) dx = 10∫ f ( x ) dx − I = Suy I = 10 ∫ f ( x ) dx = 10.4 = 40 → I = 20 Câu 15 Cho hàm số f ( x) f ( x ) + f ( − x ) = + cos x liên tục ¡ thỏa mãn với x ∈ ¡ 3π I= − ∫π f ( x ) d x Tính A I = −6 B I = −2 C I = Lời giải D I = Chọn D I= Xét 3π − = 3π 3π → − ∫ f ( −t ) d t = I ⇔ ∫ f ( −t ) d t = I ∫π f ( x ) d x π π x =− t I+I = Suy − − 3π 3π 3π 3π − − − − ∫π f ( x ) d x + ∫π f ( − x ) dx = ∫π f ( x ) + f ( − x ) d t = ∫π + cos 2t dt 3π − ∫π cos t dt = 12 ⇒ I = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 Câu 16 Cho hàm f ( x) số xác định liên tục 1 ; , đoạn thỏa mãn f ( x) I =∫ dx 1 f ( x ) + f ÷ = x + + x +1 x x Tính tích phân I= I= 2 A B I = C D I = Lời giải Chọn A 1 2 f ÷ x= f ( x) t t I =∫ dx → I = ∫ 2 dt x +1 t +1 2 Xét 1 1 +2 2 f f ( x) + f x + ÷ ÷ f ( x) x x x I = ∫ dx + ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx x2 + x2 + 1 x +1 x +1 1 2 2 Suy 2 =∫ 2 x2 + 1 1 d x = + d x = x − →I = ÷ = 2 ÷ ∫ x x x 2 1 f ( x) Câu 17 Cho hàm số f ′ ( x ) + f ( x ) = A f ( −1) = e −2 có đạo hàm liên tục đoạn [ −1;1] , f ( 1) = 1, f ( −1) Biết tính f ( −1) = e3 f ( −1) = e B C Lời giải Chọn C Vì f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ nên ta có f ′( x) + f ( x) = ⇔ Lấy tích phân cận từ −1 đến hai vế, ta ⇔ ln f ( x ) −1 = −2 x ⇔ ln f ( x ) −1 −1 = −2 x ∫ −1 f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ thỏa mãn D f ( −1) = f ′( x) = −2 f ( x) f ′( x) dx = ∫ ( −2 ) dx f ( x) −1 −1 (do f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ ) ⇔ ln f ( 1) − ln f ( −1) = −4 ⇔ ln1 − ln f ( −1) = −4 ⇔ ln f ( −1) = → f ( −1) = e Câu 18 Cho hàm số f ( x) [ 1; 2] Biết f ( ) = −20 A ∫ có đạo hàm liên tục đoạn f ′ ( x ) dx = 10 B ∫ [ 1; 2] , thỏa mãn f ( x) > với x thuộc f ′( x) dx = ln f ( x) f ( ) = −10 f ( 2) Tính f ( ) = 10 C Lời giải D f ( ) = 20 Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 Ta có f ′ ( x ) dx = 10 ⇔ f ( x ) ∫ Lại có ∫ f ′( x) dx = ln ⇔ ln f ( x ) f ( x) ⇔ ln f ( ) − ln f ( 1) = ln ⇔ ln Từ ( 1) = 10 ⇔ f ( ) − f ( 1) = 10 ( 2) , Câu 19 Cho hàm số suy f ( x) = ln ⇔ ln f ( x ) ( 1) = ln (do f ( 2) f ( 2) = ln ⇔ = f ( 1) f ( 1) f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 1; 2] ) ( 2) f ( ) = 20 f ( 2) = − , f ′ ( x ) = x3 f ( x ) , ∀x ∈ ¡ 25 tính giá trị thỏa mãn Biết f ( 1) A f ( 1) = − 10 f ( 1) = − B 40 C Lời giải f ( 1) = − 41 400 D f ( 1) = − 391 400 Chọn A ′ = 4x ⇔ = −4 x f ( x ) ( *) f ( x) Từ giả thiết suy ( *) với cận từ đến 2, ta Lấy tích phân hai vế 2 ′ 1 d x = − x d x ⇔ = − x ⇔ − = −15 ⇔ f ( 1) = − ∫1 f ( x ) ∫1 f ( x) f ( ) f ( 1) 10 f ′( x) Câu 20 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] , thỏa mãn x2 f ( x ) + f ( − x ) = 2x − x4 với x thuộc I = ∫ f ( x ) dx [ 0;1] Tính tích phân A I= B I= I= C Lời giải D I= Chọn B Từ giả thiết, thay x − x ta ( 1− x) f ( 1− x) + f ( x) = 2( 1− x) − ( 1− x) x f ( x ) + f ( − x ) = x − x ( − x ) f ( − x ) + f ( x ) = ( − x ) − ( − x ) ta f ( x ) = − x Giải hệ x3 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( − x ) dx = x − ÷ = 30 0 Vậy 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 19 ... dx với k ∈ ¡ II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tích phân hàm đa thức Tích phân hàm lượng giác Tích phân hàm mũ, hàm logarit Tích phân phương pháp đổi biến số Tích phân phần … BÀI TẬP MẪU... 2020-2021) Tích phân 15 17 A B C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính tích phân hàm đa thức HƯỚNG GIẢI: 15 D f ( x) B1: Tìm nguyên hàm hàm số B2: Thay cận vào để tính kết tích phân. .. f ( x ) d x = ∫ x dx = Tích phân x4 = dx ∫ 3x − A ln ln C Lời giải B ln ln D Chọn D dx ∫1 3x − = ln 3x − Ta có = 1 ( ln − ln1) = ln 3 Câu dx 1− 2x I =∫ Tính tích phân A I = − ln B I = −