Tích phân (GV Nguyễn Vũ Minh)

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 1 Chủ đề 1 : NGUYÊN HÀM ( TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ) 1) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) ………………. ⇔ 2) Họ nguyên hàm : f(x).dx F(x) C = + ∫ , với C là hằng số 3) Bảng nguyên hàm : Hàm cơ bản : Hàm chứa (ax + b) dx x C=+ ∫ α 1 α x x.dx C α 1 + =+ + ∫ () α 1 α 1(ax b) ax b dx C a α 1 + + + =+ + ∫ dx ln x C x =+ ∫ dx 1 ln ax b C ax b a = ++ + ∫ 2 dx 1 xx C=− + ∫ 2 dx 1 1 .C (ax b) a ax b = −+ ++ ∫ dx 2x C x =+ ∫ dx 2 ax b C a ax b = ++ + ∫ x x a adx C lna =+ ∫ ax b ax b 1a adx alna + + C = + ∫ xx edx e C=+ ∫ ax b ax b 1 edx e C a ++ = + ∫ sinx.dx cosx C=− + ∫ 1 sin(ax b).dx cos(ax b) C a + =− + + ∫ cosx.dx sinx C=+ ∫ 1 cos(ax b).dx sin(ax b) C a + =+ ∫ + 2 dx tanx C cos x =+ ∫ 2 dx 1 tan(ax b) C cos (ax b) a = ++ + ∫ 2 dx cotx C sin x =− + ∫ 2 dx 1 cot(ax b) C sin (ax b) a = −+ + ∫ + 22 dx 1 x a ln C xa 2axa − =+ −+ ∫ nn1 dx 1 C x(n1)x − − =+ − ∫ nn1 dx 1 1 C (ax b) a (n 1)(ax b) − = −+ +−+ ∫ GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 2 4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thương, tổng, bạ bậc, khai triển lũy thừy, chia đa thức … Căn thức thành lũy thừa : m m n mn n nn 1x xx; x; x xx mn − − === 5) Công thức thường dùng : 2 2 1 cos2u cos u 2 1cos2u sin u 2 + = − = 2 2 2 2 1 1tanu cos u 1 1cotu sin u =+ =+ 3 3 3cosu cos3u cos u 4 3sinu sin3u sin u 4 + = − = 22 2 2 sin2u 2sinu.cosu cos2u cos u sin u cos2u 2cos u 1 cos2u 1 2sin u = =− =− =− VD1 : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU: a/ ; b/ 2 f(x) (2x 1)=+ 3 2 f(x) (tan x cot x)=+ c/ 3 2 2x 5x 2 f(x) x −+ = ; d/ 2x x x e3e f(x) e1 2 − + = − GIẢI a/ , suy ra: 642 f(x) 8x 12x 6x 1=+ ++ 642 f(x) 8xdx 12xdx 6xdx 1dx=+ ++ ∫ ∫∫∫ 753 812 xx2xx 75 =+ +++C b/ 22 22 11 f(x) tan x cot x 2 1 1 2 cos x sin x ⎛⎞⎛⎞ ⎟ ⎠ = + += −+ −+ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ 22 11 cos x sin x =+ Suy ra: 22 11 f(x)dx dx dx tan x cot x C cos x sin x =+=− ∫∫ ∫ + c/ 2 52 f(x) 2x . xx =−+ suy ra: GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 3 22 12 f(x)dx 2 xdx 5 dx 2 x dx x 5ln x C xx − =− + =−−+ ∫∫∫∫ d/ 2x x x x x x xx e e 2(e 1) e (e 1) 2(e 1) f(x) e1 e1 −− − −− − == −− xx x x (e 1)(e 2) e2 e1 −− = =− − Suy ra: xx f(x)dx e dx 2dx e 2x C=−=−+ ∫∫∫ BT1 : tìm họ nguyên hàm các hàm số sau 1/ 52 1 f(x) x 3x 5 x =+ −− 2/ 543 3792 f(x) xxxx =+−+ 2 0 3/ 57 2 x4x2x87x f(x) x +−+− = 9 4/ 3 4 f(x) x x 4 x=++ 5/ f(x) ( x 1)(x x 1)=+−+ 6/ x xx 2 e f(x) e (7 3e ) cos x − − =−+ 7/ (soạn) x x 2 e f(x) e 2 sin x − ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ ( ) xx2x1 f(x) 2 3 .2 − =+ 8/ 9/ 7 f(x) 2sinx 3cosx x =−+ 2 f(x) (2tanx cotx)=+ 10/ 22 f(x) tan x 3cot x=− 22 1 f(x) sin x.cos x = 11/ 12/ Bài soạn : tìm họ nguyên hàm các hàm số sau 1/ 2/ () ( 2 5 f(x) x 3x x 1=− − ) f(x) 3sinx 7cosx = − 3/ 15 4 6 3 3x 7x 2x 8 10x f(x) x +−+− = 4/ x3 f(x) 2 x 3e 4sin x 8 / x=−+ − 5/ 22 6 f(x) sin x.cos x = 6/ xx f(x) e (5 3e ) − =+ 7/ ; 8/ ; 9/ 32 f(x) x 3x 4x 3=− ++ 2 f(x) 2x(x 3x)=+ 2 xx f(x) 4sin cos 22 = GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 4 10/ ; 11/ x f(x) 2sin x 3cos x 5e=++ 2 f(x) tan x 3 = − 12/ 2 1 f(x) (2 ) x =− 13/ 3 (x 2) f(x) x − = ; 14/ 2x 1 3x 2 f(x) 2 .3 + + = 15/ x2 f(x) (3 2)=− VD2 : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU: a/ ; b/ 3 f(x) (2x 1)=+ ( ) f(x) cos 3x 2 = − c/ 2 f(x) 7x 1 = + ; d/ x f(x) e − = e/ 10 f(x) (7 3x)=− Giải : a/ sử dụng công thức () α 1 α 1(ax b) ax b dx C a α 1 + + + =+ + ∫ 4 3 1(2x 1) f(x)dx (2x 1) dx . C 24 + =+= + ∫∫ b/ sử dụng công thức 1 cos(ax b).dx sin(ax b) C a + =+ ∫ + () () 1 f(x)dx cos 3x 2 dx .sin 3x 2 C 3 =−= − ∫∫ + c/ sử dụng công thức dx 1 ln ax b C ax b a =+ + ∫ + 2dx2 f(x)dx dx 2 .ln 3x 2 C 7x 1 7x 1 7 ===− ++ ∫∫ ∫ + d/ sử dụng công thức ax b ax b 1 edx e a ++ C = + ∫ xxx 1 f(x)dx e dx e C e C 1 −−− ==+=− − ∫∫ + ( chú ý hệ số a trong bài này là -1 ) e/ giống bài a/ 11 10 1(73x) f(x)dx (7 3x) dx . C 311 − =− = + − ∫∫ GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 5 BT2 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau ( sử dụng ……………… ) 1/ ; 2 / ; 3/ ; 4/ 2 f(x) sin x= 2 f(x) sin 7x= 2 f(x) cos 4 x= 4 f(x) cos x= 5/ ; 6/ ; 7 / 4 f(x) sin 2 x= 2 f(x) 7sin x.cos x= 2 f(x) sin 2 x.cos x= 8/ ; 9 / f(x) sin 4 x.sin 6x= f(x) cos 6x.cos 2 x = ; 10 / ( ) f(x) cosx. 3 cosx=+ 11 / ( ) f(x) cosx. sin 3x sinx=+ ; 12 / 32 x3x6x f(x) x1 5 + −+ = + ; 13/ 1 f(x) x9 x = +− ; 14/ 2 3x 6x 5 f(x) 2x 1 − + = + 14/ 2 3 f(x) π cos 2x 4 = ⎛ + ⎜⎟ ⎝⎠ ⎞ ; 15 / 6x 5 f(x) 2x 5 − + = − 16/ (HV Quan Hệ Quốc Tế - 1997) ( ) ( ) 44 66 f(x) sin x cos x . sin x cos x=+ + 17/ (ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối A) 42 2 xx f(x) xx1 1 + + = + + 18/ (ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối D) 42 2 x2x2x f(x) xx1 + ++ = ++ 19/ (ĐH Ngoại Thương – 2000 - Khối D) cos2x f(x) sinx cosx = + 20/ ; 21/ 44 f(x) cos x sin x=− 2 x1 f(x) x2 − ⎛⎞ = ⎜ + ⎝ ⎟ ⎠ 22/ f(x) cos5x.cos 2x.sinx= VD3 : a/ Tìm A, B sao cho 2 3x 7 A B x 4x3 x1x3 + =+ ++ + + ( ) x1;≠− 3 b/ Tính 2 3x 7 Id x4x3 + = ++ ∫ x GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 6 Giải :a/ ()( 2 3x 7 A B 3x 7 A x 3 B x 1 x4x3x1x3 + =+⇔+=+++ ++ + + ) () AB3 A2 3x 7 A B .x 3A B 3A B 7 B 1 + == ⎧⎧ ⇔+=+ ++⇔ ⇔ ⎨⎨ + == ⎩⎩ 2 3x 7 2 1 I dx dx 2ln x x 4x3 x1x3 + ⎛⎞ ==+= ⎜⎟ ++ + + ⎝⎠ ∫∫ 1 ln x 3 C++++ b/ BT4 : Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp ……………… ) 2 3x 4 Adx x4x5 + = +− ∫ ; 2 x7 Bd x8x9 x + = +− ∫ ; 2 1 Cd xx2 = −− ∫ x ) ( dx D xx 1 = + ∫ ; ()()() 2 x1 Ed x2x2x3 − = +−− ∫ x ; 2 x Fd xx6 − = +− ∫ x ; 2 3 Gdx x7x12 = ++ ∫ ; 2 8 Fd x10x9 − = ++ ∫ x x VD4 : Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp đổi biến số ) a/ ; b/ sinx Ae.cosxd= ∫ 2 2x 4 Bd x4x5 x + = +− ∫ c/ 5 ln x C x = ∫ dx ; d/ x x e Dd e1 = + ∫ x Giải : a/ ; đặt sinx Ae.cosxd= ∫ x t sinx dt cosxdx = ⇒= Vậy tt sinx Ae.dteCe==+=+ ∫ C b/ 2 2x 4 Bdx x4x5 + = +− ∫ Đặt ( ) 2 tx 4x5 dt 2x4dx=+−⇒= + Vậy 2 dt B lnt C lnx 4x 5 C t ==+= +−+ ∫ c/ 5 ln x Cd x = ∫ x ; đặt dx tlnx dt x =⇒= GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 7 Vậy 66 5 tlnx Ct.dt C 66 ==+=+ ∫ C d/ x x e Dd e1 = + ∫ x ; đặt xx te 1 dtedx=+⇒= x dt DlntClne1C t ==+= ++ ∫ Vậy : CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ CẦN NHỚ Dạng Tích Phân Cách Giải f(x) .d x g (x) ∫ + Nếu bậc tử bậc mẫu ta chia đa thức ≥ + Nếu bậc tử < bậc mẫu ta xem tử có phải là đạo hàm của mẫu hay ko ? nếu có đặt t = mẫu số + Nếu ko có 2 trường hợp này ta sẽ làm theo dạng khác sẽ trình bày ở phần khác n dx ∫ Đặt n t n t =⇒= sau đó lấy đạo hàm 2 vế dx f(lnx). x ∫ Đặt dx tlnxC dt x =+⇒= f(cosx).sinxdx ∫ f(sinx).cosxdx ∫ 2 dx f(tanx) cos x ∫ 2 dx f(cotx) sin x ∫ Đặt cos sintxCdt x=+⇒=−dx dx Đặt sin costxCdt x=+⇒= Đặt 2 tan cos dx txCdt x =+⇒= Đặt 2 cot sin dx txCdt x =+⇒=− xx f(e ).e dx ∫ Đặt xx te C dtedx=+⇒= nn sin x cos x dx dx , ∫∫ với n chẵn Đưa về 242 2 4 2 11 1 1 1 1 . , . sin sin sin cos cos cos nn n n dx dx x xxx −− − − ∫∫ x Và Đặt 2 tan cos dx txCdt x =+⇒= GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Email : ngvuminh249@yahoo.com 8 n sin xdx ∫ hay n cos xdx ∫ với n chẵn Dùng công thức hạ bậc 22 1 cos2u 1 cos2u cos u ; sin u 22 + − == n sin xdx ∫ hay n cos xdx ∫ với n lẽ Tách , đặt t = cosx nn1 sin xdx sin x.sinxdx − = ∫∫ nn1 cos xdx cos x.cosxdx − = ∫∫ , đặt t = sinx 2 Ax B dx ax bx c + ++ ∫ 2 + Nếu mẫu có 2 nghiệm , ta đưa về 1 x, x 12 Ax B dx a(x x )(x x ) + −− ∫ Sau đó dùng pp hệ số bất định + Nếu mẫu có nghiệm kép , 0 x ta đưa về 2 0 Ax B dx a(x x ) + − ∫ + Nếu mẫu vô nghiệm ,đưa về 22 Ax B dx XD + + ∫ và đặt X = D.tant t; 22 π π ⎛⎞ ∈− ⎜⎟ ⎝⎠ 1/ 2 R(x, x )a − thì đặt x = sint 2/ 2 R(x, x )a + thì đặt x = atant Đt : 0914.449.230 BT5: Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp ………………… ) 212 Ax(2x)d=− ∫ x 2 xdx B x1 = ∫ + C14sinx.cosx.d=+ ∫ x 2 Dx.x1.d=+x ∫ 3 4 Ex.1x.d=− ∫ x dx F 2x. 2 ln x = + ∫ GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 9 x x e.dx G 1e = + ∫ 2 11x Hln 1x 1x + ⎛⎞ = ⎜⎟ −− ⎝⎠ ∫ .dx x1 I 3x 1 + = + ∫ dx 2 3 xdx J 2x e = + ∫ 53 Kx2x.d=− ∫ x 23lnx Ld x + = ∫ x 2 cos x P sin x = ∫ dx cot x 2 e Q sin x = ∫ .dx x 74 5 R2x.(x1).d=− ∫ xdx O 2x 1 = + ∫ 3 xdx M (2x 1) = + ∫ 5 N cos xdx= ∫ tanx 2 e W cos x = ∫ dx ) ( 1 Sd x. 4lnx 7 = + ∫ x x 3 Tsinxd= ∫ 3 dx V x5 = − ∫ BT6: Tính các nguyên hàm sau : A cot x.dx= ∫ B tanx.dx= ∫ () 2 2 C 2 sin x .sin2x.dx=− ∫ () 4 2 sin2x D 3cosx = + ∫ .dx ; sinx cosx E sinx cosx − = + ∫ .dx ( ) 44 F cos x sin x .cos 2x.dx=+ ∫ () 66 G 4 cos x sin x .cos 2x.dx=+ ∫ 5 1 H. tan x = ∫ dx x 1 K. e1 = + ∫ dx 5 7 sin x L. cos x = ∫ dx GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 10 3 2 sin x M.dx cos x = ∫∫ 22 4 3sin2 N .d x cos x 5sin x x = + ∫ BT7: Tính các nguyên hàm sau : 10 x A x1 = + ∫ .dx (HV CNBCVT – 1999) x dx B e4e − = − ∫ x (ĐHQG Hà Nội – 1999) 4 C 6sin 2x.cos xdx= ∫ (ĐH Thủy Lợi– 2001) VD5 : Tìm một nguyên hàm của hàm số , biết 2 f(x) tan x= π F( ) 0 4 = Giải : 2 2 1 f(x)dx tan xdx 1 dx tan x x C F(x) cos x ⎛⎞ ==−=−+= ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫ ∫ πππ π π F( ) tan C 1 C 0 C 1 444 4 4 =−+=−+=⇔=− Vậy π F(x) tan x x 1 4 = −+ − BT8: Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau a/ 32 2 x3x3x f(x) x2x1 ++− = ++ 1 biết F(1) 1/ 3 = (TN THPT – 2003) b/ biết f(x) x sin x=+ π 22 F( ) 43 = c/ biết 2x 1 f(x) e cos 2x 3 − =+ + 3 F(0) e = d/ 2 12x f(x) x + = biết F( 1) 3−= e/ biết () f(x) cos x. 2 3tan x=− F(π)1 = [...]...GV Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Chủ đề 2 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH b ∫ f(x)dx = F(x) a = F(b) − F(a) 1) Định nghĩa : với ∫ b a là dấu tích phân ; a là ………… ; b là …………… VD : …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 2) Tính chất của tích phân : a ∫ f(x)dx = 0 1) b a b a a b b a 2) ∫... giải bình thường bằng công thức tích phân cơ bản VD6 : Tính các tích phân : 3 1 I = ∫ x 5 (1 − x 3 )6 dx 0 J= ∫ 0 π 4 4x K=∫ dx 2 x +1 0 tanxdx cos 2 x π 2 cosx.dx 1 + sin x 0 L=∫ 1 Giải : 3 3 6 2 ☺ a/ Viết lại I dưới dạng: I = ∫ x (1 − x ) x dx 0 3 2 Đặt t = 1 − x suy ra dt = −3x dx Đt : 0914.449.230 13 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh Đổi cận: TÍCH PHÂN + x = 0 thì t = 1 + x = 1 thì... 0914.449.230 3 1 = 8 2/ I = ∫ 0 6 x+2 141 dx = 3 10 x +1 3 1 =ln − 2 12 4x + 1 2 2x + 1 + 4/ I = ∫ 17 dx Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Chủ đề 3 : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN b b ∫ ∫ Bài toán đưa ra : tính I = f(x)dx = u.dv a a u = ⇒ du = ( lấy vi phân ) dv = ⇒ v = ( lấy nguyên hàm ) ta đặt b b ∫ u.dv = [u.v ] − ∫ v.du Sau đó suy ra : b a a a Phương pháp : Ta đặt u = đa thức ( P(x)... ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN 3 dx π 3 = ∫ x2 + 3 4 0 BT16: Tính các tích phân sau đây ( ………………………… ): Phương pháp : ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 1 1 π π 3 2 I = ∫ 1 − x dx = I = ∫ 4 − x 2 dx = + 1/ 2/ 4 3 2 0 0 14/ (soạn) I = Chủ đề 4 : DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG... + u Từ đó: 1 + sin x 0 1 + u 0 BT11: Tính các tích phân sau đây : 1 I1 = ∫ (1 + 3x)(1 + 2x + 3x ) dx 2 10 0 π 1 0 thì u = 1 2 = ln 2 − ln1 = ln 2 1 I 2 = ∫ x 3 1 − x 2 dx = 2 0 2 15 (ĐH Ngoại Thương – 96) 1 cos x I3 = ∫ dx (CĐ Marketing – 97) 1 + sin x 0 Đt : 0914.449.230 π I 4 = ∫ x(1 − x)19 dx 0 14 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN 1 x5 I 5 = ∫ 2 dx x +1 0 2 3 I6 = I9 = 0... 3 (ĐH KTCN – 1999) π 2 I 28 = ∫ sin 5 xdx = 8 15 (ĐHQG – 1998) 0 15 BT12: Tính các tích phân sau đây : ln 5 dx A= ∫ x e + 2e − x − 3 (B – 2006) ln3 ln 8 C= ∫ e x + 1.e 2x dx = ln3 Đt : 0914.449.230 1 e− x B=∫ dx (ĐHQG – 1996) −x 1+ e 0 1076 15 (Dự Bị D – 2004) 15 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN 3 dx = ln(e 2 + e + 1) − 2 (D – 2009) ex − 1 1 D=∫ 1 x 2 + e x + 2x 2 e x 1 1 1... 1) ; 1 − e− x 1 2 1 I2 = ∫ 0 dx 1 5e = ln 4 + ex 4 e + 4 2x e dx 2 = ln 2 + e 2 − 1 (ĐH Văn Lang – 1996) x e +1 e +1 0 I3 = ∫ Đt : 0914.449.230 16 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN BT13: Tính các tích phân sau đây : 1/ I = 2/ I = π 2 sin2x ∫ cos 2 x + 4sin 2 x 0 ∫ 4x − 1 34 3 + 10 ln (ĐH Khối D – 2011) dx = 3 5 2x + 1 + 2 ∫ x 8 dx =      (CĐ – 2011) 3 x +1 0 e 5/ I = ∫ (x 6/ +... Khoa – 1994) 3π 16 (ĐH Hùng Vương – 1997) π 3 π 3 3 3 I13 = ∫ sin 5x.cos 3xdx = I12 = ∫ sin 5x.cos xdx = (Soạn) 16 16 và π 0 6 Đt : 0914.449.230 12 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN BT10: Tính các tích phân sau đây : 2 1 I1 = ∫ I 2 = ∫ x 2 − x dx (D – 2003) x + x − 2x dx 3 2 −2 0 2 3 I3 = ∫ ( 3x + 5x + 1 − x )dx I4 = 2 −4 0 2 I5 = ∫ x 2 − 4x + 3dx = −2 4 I6 = ∫ 1 ∫ 71 3 56 3 (HVCN... π/2 ∫ π/2 π/2 D = ∫ x.lnx.dx A= a P(x) e x dx VD7 : Tính các tích phân sau : Giải : a a a a A= b b ∫ P( x).e dx ∫ P( x).sin xdx ∫ P( x).cos xdx ∫ P( x).ln xdx ∫ e cos xdx x + 0.cos 0 + sin x π/2 0 = 0 + 0 + sin π 2 − sin 0 = 1   ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  Đt : 0914.449.230 18 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN ⎧u = x ☺  B = ∫ xe dx     Đặt: ⎨ dv = e x dx ⇒ ⎩ 0 1 x... ngvuminh249@yahoo.com GV Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN π/2 π/2 ⇒ ∫ 0 2xc osxdx = 2x sin x π 2 π/2 0 − 2 ∫ sin xdx = π + 2 cos x π/2 0 =π −2 0 Vậy: ∫ x sinxdx = π − 2 2 0 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  1 ⎧ ⎧u = ln xdx ⎪du = dx x ☺ F = lnxdx Đặt: ⎨dv = dx ⇒ ⎨ ⎩ ⎪v = x 1 ⎩ e ∫ e Vậy: F = x.lnx e 1 e 1 e − ∫ x dx = elne − 1ln1 − ∫ dx = e − x 1 = e − (e − 1) = 1 x 1 1 BT14: Tính các tích phân sau đây : 1 π/2 . x=− F(π)1 = GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 11 Chủ đề 2 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH b b a a f(x)dx F(x) F(b) F(a)==− ∫ 1) Định nghĩa : với là dấu tích phân ;. GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 18 Chủ đề 3 : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN oán đưa ra : tính Bài t bb aa I f(x)dx u.dv== ∫∫ ta đặt ( lấy vi phân ) u. và π 3 13 π 6 3 I sin 5x.cos3xdx 16 == ∫ GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN Đt : 0914.449.230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 13 BT10: Tính các tích phân sau đây : 1 32 1 2 Ixx2xd − =+− ∫ x 2 2 2 0 Ix