Nguyên hàm và tích phân (GV Trần Thanh Tú)

Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A. NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số ( ) y f x= xác định trên K , hàm số ( ) y F x= được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) y f x= trên K khi và chỉ khi: Kx∀ ∈ , ta có: ( ) ( ) ' =F x f x Kí hiệu: ( ) ( ) = ∫ f x dx F x . Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: 4 y x x= + Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: in2sy x= ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số ( ) y F x= là nguyên hàm của hàm số ( ) y f x= thì hàm số ( ) y F x c= + cũng là nguyên hàm của hàm số ( ) y f x= . Khi đó ta có: ( ) ( ) f x dx F x c= + ∫ với c là hằng số. ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số ( ) ( ) ,u u x v v x= = xác định trên K . Khi đó ta có: 1. ( ) u v dx udx vdx± = ± ∫ ∫ ∫ 2. kvdx k vdx= ∫ ∫ , với k là hằng số. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp Hàm số Nguyên hàm Hàm số Nguyên hàm 1 x c+ k kx c+ x α 1 1 1 x c α α + + + ( ) ax b α + ( ) ( ) 1 1 1 ax b c a α α + + + + 1 x ln x c+ 1 ax b+ 1 ln ax b c a + + 1 2 x x c+ 1 2 ax b+ 1 ax b c a + + sin x cos x c− + ( ) sin ax b+ ( ) o 1 c s a a x b c− + + cos x sin x c+ ( ) cos ax b+ ( ) 1 sin ax b c a + + 1 Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 2 1 sin x tan x c+ ( ) 2 sin 1 ax b+ ( ) n 1 ta a a x b c+ + 2 1 cos x cot x c− + ( ) 2 cos 1 ax b+ ( ) o 1 c t a a x b c− + + x e x e c+ ax b e + 1 ax b e c a + + x a 1 ln x a c a + x a α β + 1 ln x a c a α β α + + Trong đó: c là hằng số. PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ◙ PHƯƠNG PHÁP 1 : Đổi biến số. Dấu hiệu nhận biết khi dùng phương pháp đổi biến số. 1. ( ) ( ) f x g x dx ∫ , trong đó : ( ) ( ) 'g x f x= . Đặt ( ) t g x= 2. ( ) ( ) ( ) f u x v x dx ∫ , trong đó : ( ) ( ) 'u x v x= . Đặt ( ) t u x= 3. ( ) ( ) , m f x f x dx ∫ , đặt ( ) m t f x= 4. 1 ln ,f x dx x α    ÷   ∫ , đặt lnt x= 5. ( ) 2 2 ,f x a x dx− ∫ , đặt sinx ta= hoặc cosx ta= 6. ( ) 2 2 ,f x x a dx− ∫ , đặt sin a x t = 7. ( ) 2 2 ,f x x a dx+ ∫ , đặt tanx ta= ◙ PHƯƠNG PHÁP 2 : Từng phần Khi không có dấu hiệu nào của đổi biến số, ta dùng công thức từng phần. Công thức của từng phần : udv uv vdu= − ∫ ∫ Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần. 1. ( ) sin xf x xd α ∫ , đặt ( ) sin x u f x dxdv α  =   =   2. ( ) cos xf x xd α ∫ , đặt ( ) cos x u f x dxdv α  =   =   2 Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 3. ( ) x f x e dx α ∫ , đặt ( ) x u f x dv de x α  =   =   4. sin x de x x α β ∫ , đặt sin x xdx u e dv α β  =   =   5. cos x de x x α β ∫ , đặt cos x xdx u e dv α β  =   =   6. ln x dxe x α β ∫ , đặt ln x u x dv e dx β α  =   =   7. ( ) ln xf x xd α ∫ , đặt ( ) lnu x dv f dxx α  =   =   B. TÍCH PHÂN Công thức Newton – leibnizt: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ Tích phân từng phần: ( ) b b b a a a udv uv vdu= − ∫ ∫ Định lí quan trọng: ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ với a c b< < ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ C. BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI TẬP VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Các bài toán sau đòi hỏi HS phải thuộc bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào giải bài tập. Ngoài ra những kiến thức bổ trợ để giải bài tập dạng này là: công thức lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit, bảng đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit. Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ( ) 4 2 2 3x f x x + = 2. ( ) ( ) 2 2 2 1x f x x − = 3. ( ) 3 1 2 f x x x = − 3 Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 4. ( ) 2 si2 2 n x f x = 5. ( ) ( ) 2 tan cotx xf x −= 6. ( ) 2 2 cos2 sin cos f x x x x = 7. ( ) sin3 c2 os2f x x x= 8. ( ) 2 2 cos x x e f x e x −   = +  ÷   9. ( ) 2 3 x x f x a= + 10. ( ) 2 2 1 f x x = − 11. ( ) 2 5 3 2 f x x x = − + 12. ( ) sin 7 cos5 cosx xf xx = 16. ( ) ( ) 2 2 1x f x x − = 17. ( ) 3 1x f x x − = 18. ( ) 2 tanf x x= 19. ( ) 2 cosf x x= 20. ( ) 2 2 1 sin cos f x x x = 21. ( ) sin3f x x= 21. ( ) 2sin3 cos2f x x x= 22. ( ) ( ) 1 x x f x e e= − 23. ( ) 3 1x f x e + = Bài tập 2: Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) f x thỏa mãn điều kiện: 1. ( ) ( ) 2 7 2 , 2 3 f x x F= − = 2. ( ) ( ) 4 , 4 0f x x x F= − = 3. ( ) ( ) 3 2 4 3 2, 1 3f x x x F= − + − = 4. ( ) ( ) 3 2 2 3 3 1 1 , 1 2 1 3 x x x f x F x x + + − = = + + PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM  PHƯƠNG PHÁP 1: ĐỔI BIẾN SỐ Tính ( ) ( ) ( ) 'I f u x u x dx= ∫ . Đặt ( ) ( ) 't u x dt u x dx= ⇒ = , khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 'I f u x u x dx f t dt= = ∫ ∫  PHƯƠNG PHÁP 2: TỪNG PHẦN Công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 'I u x v x dx u x v x u x v x dx= = − ∫ ∫ Hay I udv uv vdu= = − ∫ ∫ Lưu ý: Dấu hiệu nhận biết cách đặt đã được nêu ở phần trên. HS cần nắm vững các dạng thường gặp để vận dụng vào việc giải bài tập. Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ( ) 7 2 2 1x xdx+ ∫ 2. ( ) 4 3 2 5x x dx+ ∫ 3. 2 1x x dx+ ∫ 4 Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 4. 2 5 x dx x + ∫ 5. 2 3 3 5 2 x dx x+ ∫ 6. 1 1 x dx e + ∫ 7. ( ) 2 1 1 dx x x+ ∫ 8. 3 ln x dx x ∫ 9. 2 1x xe dx + ∫ 10. 5 sin cos x x dx ∫ 11. cot xdx ∫ 12. 2 tan cos x dx x ∫ 13. sin dx x ∫ 14. cos dx x ∫ 15. x e dx x ∫ 16. 3 x x e dx e − ∫ 17. tan 2 cos x e dx x ∫ 18. 3 2 cos sinx xdx ∫ Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ( ) 2 si5 nx xxd+ ∫ 2. ( ) 2 co2 3 sx x dxx+ + ∫ 3. sin 2x xdx ∫ 4. cos2x xdx ∫ 5. x xe dx ∫ 6. ln xdx ∫ 7. lnx xdx ∫ 8. 2 ln xdx ∫ 9. ln x dx x ∫ 10. 2 cos x dx x ∫ 11. sin xdx ∫ 12. ( ) 2 ln 1x dx+ ∫ 13. cos x e xdx ∫ 14. 2 3 x x e dx ∫ 15. ( ) 2 ln 1x x dx+ ∫ 16. 2 x xdx ∫ 17. lgx xdx ∫ 18. ( ) 2 ln 1x x dx+ ∫ 19. ( ) 2 ln 1x dx x + ∫ 20. 2 cos2x xdx ∫ DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH TÍCH PHÂN Bước 1: Tìm nguyên hàm các hàm số dưới dấu tích phân. Bước 2: Dùng công thức newton – leibnizt tính các tích phân. Bài tập 1: Tính các tích phân sau: 5 Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 1. ( ) 1 2 0 1x x dx+ ∫ 2. ( ) 16 2 1 1x x x dx− ∫ 3. 8 2 3 1 5 3x x dx x − + ∫ 4. ( ) 3 4 1 1 x dx x x − ∫ 5. 2 1 3 5 3 dx x − ∫ 6. 4 2 2 1 1 x dx x − − ∫ 7. 5 2 4 2 5 3 x x dx x − + − ∫ 8. 5 2 4 2 3 3 2 x dx x x − − + ∫ 9. 5 2 4 1 3 2 dx x x− + ∫ 10. 4 2 3 3 3 2 x dx x x − − + ∫ 11. 5 2 4 3 6 9 dx x x− + ∫ 12. 5 2 4 2 1 6 9 x dx x x − − + ∫ 13. 2 2 1 1 3 x dx x +    ÷ −   ∫ 14. 1 3 2 0 1 x dx x + ∫ Bài tập 2: Tính các tích phân sau: 1. 2 0 cos3 cosx xdx π ∫ 2. 2 0 sin 2 sinx xdx π ∫ 3. 2 0 cos sin3x xdx π ∫ 4. 2 0 sin 2 cos5x xdx π ∫ 5. 2 4 0 cos xdx π ∫ 6. 3 2 2 6 1 sin cos dx x x π π ∫ 7. 3 2 2 6 cos2 sin cos x dx x x π π ∫ 8. 4 2 0 3 cos x x e e dx x π −   +  ÷   ∫ Bài tập 3: Tính các tích phân sau: 1. 8 3 1 x dx x+ ∫ 2. 1 15 8 0 1x x dx+ ∫ 3. 1 0 1 x dx x+ ∫ 4. ln 2 0 1 x e dx− ∫ 5. 2 2 1 1 dx x x+ ∫ 6. 3/2 2 1/2 1 dx x x− ∫ Bài tập 4: Tính các tích phân sau: 1. 2 1 2 0 x e xdx − + ∫ 2. 2 1 2sin 0 cos x e xdx π + ∫ 3. 1 0 x e x e e dx ∫ 6 Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 4. ln 1 e x e dx x ∫ 5. 2 2 0 cos tgx e dx x π ∫ Bài tập 5: Tính các tích phân sau: 1. 2 0 sin 1 2cos x dx x π + ∫ 2. 2 1 ln e e dx x x ∫ 3. 1 0 sin x x e e dx ∫ 4. 1 0 x x x e dx e e − + ∫ 5. ( ) 27 3 1 1 dx x x+ ∫ 6. 4 0 cos xdx π ∫ 7. ln 2 0 x x dx e e − + ∫ 8. /2 3 /6 cos sin x dx x π π ∫ 9. 2ln 2 ln 2 1 x dx e − ∫ 10. /2 3 3 3 0 sin sin cos x dx x x π + ∫ 11. 3 2 3 3 0 cos sin cos x dx x x π + ∫ Bài tập 6: Tính các tích phân sau: 1. /2 0 cos x e xdx π ∫ 2. /2 2 /4 sin x dx x π π ∫ 3. 2 0 sin cos x x dx x π ∫ 4. ( ) 1 2 0 ln 1x x dx+ ∫ 5. ( ) 2 0 ln e x dx ∫ 6. /2 /6 sin 1 cos x x dx x π π + + ∫ 7. /2 2 0 sinx xdx π ∫ 8. ( ) 2 1 1 ln e x dx− ∫ 9. 1/ ln e e x dx ∫ 10. /2 0 sin x e xdx π ∫ 11. ( ) 1 0 ln 1x x dx+ ∫ 12. 2 2 1 1 ln ln e e dx x x   −  ÷   ∫ Bài tập 7: Tính các tích phân sau: 1. ( ) 2 2 2 0 0 a x a x dx a− > ∫ 2. 1 2 2 2 /2 1 x dx x − ∫ 3. 2 1 4 ln e dx x x− ∫ 4. 1 2 0 2 3x x dx− + + ∫ 5. 3 2 0 1 9 dx x+ ∫ 6. 1 2 1 1 2 5 dx x x − + + ∫ 7 Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 7. 3 2 2 1 1 4 dx x x− ∫ 8. 1 2 2 0 1x x dx− ∫ 9. 2 2 2 1 1 4 dx x x+ ∫ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH 1. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( ) =y f x và hai đường thẳng ;= =x a x b được tính bởi công thức: ( ) b a S f x dx= ∫ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong ( ) ( ) ;= =y f x y g x và hai đường thẳng ;x a x b= = được tính bởi công thức: ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ 2. THỂ TÍCH VẬT THỂ Thể tích vật thể giới hạn bởi đường cong ( ) y f x= và hai đường thẳng ;x a x b= = khi quay quanh trục Ox được tính theo công thức: ( ) 2 b Ox a V f x dx π = ∫ Thể tích vật thể giới hạn bởi 2 đường cong ( ) ( ) ;y f x y g x= = và các đường thẳng ;x a x b= = khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: ( ) ( ) 2 2 b Ox a V f x g x dx π   = −   ∫ Thể tích vật thể giới hạn bởi đường cong ( ) x f y= và hai đường thẳng ;y c y d= = khi quay quanh trục Oy được tính theo công thức: ( ) 2 d Oy c V f y dy π = ∫ 8 Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 Thể tích vật thể giới hạn bởi 2 đường cong ( ) ( ) ;x f y x g y= = và các đường thẳng ;y c y d= = khi quay quanh trục Oy được tính bởi công thức: ( ) ( ) 2 2 d Oy c V f y g y dy π   = −   ∫ Bài tập 8: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau: 1. 2 2 , 1, 2,y x x x x Ox= − = − = 2. , 0, 1, 2 x y xe y x x= = = − = 3. 2 4 , 1, 3y x x x x= − − = − = − 4. , 0, , 0 3 y tgx x x y π = = = = 5. 2 ln , 0, 1, 2 x y y x x x = = = = 6. ln 1, , 0, 2 x x x e y y x = = = = 7. 2 3 1 , 0, 1, 0 1 x x y x x y x + + = = = = + 8. 2 3 sin cos , 0, 0, 2 y x x y x x π = = = = Bài tập 9: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau: 1. ( ) 5 1 , , 0, 1 x y x y e x x= + = = = 2. 2 2 1 1 , , , sin cos 6 3 y y x x x x π π = = = = 3. [ ] 2 2 sin , 1 cos , 0;y x y x x π = + = + ∈ 4. Tìm 0b > sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) 2 2 : 1 x C y x = + và các đường thẳng 1, 0,y x x b= = = bằng 4 π . Bài tập 10: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau: 1. 2 2 2 , 4y x x y x x= − = − + 2. 2 2y x x= − + và 3y x= − 3. 2 2 0y y x− + = và 0x y+ = 4. 2 5 0y x+ − = và 3 0x y+ − = 5. 2 4 3y x x= − + và 3y x= + 6. 2 4 4 x y = − và 2 4 2 x y = Bài tập 11: 9 Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 1. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: , 0, 0, 3 D y tgx y x x π   = = = = =     a) Tính diện tích hình phẳng D . b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox . 2. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: ( ) 2 : 8P y x= và 2x = . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( ) D quanh trục Ox . 3. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn bởi các đường: 2 1 1; 2; ;x x y y x x = = = = . 4. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: 2 4y x= − và 2 2y x= + . Quay D xung quanh Ox ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này. Bài tập 12: 1. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: 2 , 0, 0, 4 D y tg x y x x π   = = = = =     a) Tính diện tích hình phẳng D . b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox . 2. Tính Ox V , biết { } ln , 0, 1,D y x x y x x e= = = = = 3. Tính Ox V , biết 3 2 , 3 x D y y x   = = =     4. Tính Ox V , biết 4 4 0; 1 sin cos ; 0; 2 D y y x x x x π   = = = + + = =     5. Tính Ox V , biết { } 2 5 0; 3 0D x y x y= + = = + − = 6. Tính Ox V , biết { } 2 2 ; 2 4D y x y x= = = + 7. Tính Ox V , biết { } 2 2 4 6; 2 6D y x x y x x= = − + = − − + 8. Tính Ox V , biết { } 2 ;D y x y x= = = TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 10 [...]... đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG SAU 1 y = x e x ; Ox; x = 1; x = 2 6 y = tgx; y = 0; x = 0; x = 2 y = ln x; x = 1; x = 2; Ox π 4 7 y 2 = x3 ; y = 0; x = 1; y = sin 2 x 3 y = x 3 + 1; Ox; Oy; x = 1 8 y = 0; x = 0; x = π 4 y = 1 − x ; y = 0 2 x 9 y = xe 2 ; y = 0; x = 0; x = 1 5 y = cos x; y = 0; x = 0; x = π 10 y = − x 2 + 2 x; Ox TÍNH CÁC TÍCH... 2 xdx 0 3 7 ∫ 4 x ln xdx 1 2 ∫ ( x − 1) cos xdx π /6 3 0 e 0 e 5 ∫ x ln xdx 6 2 8 ∫ x ln ( 3 + x ) dx 9 0 1 0 11 ∫ ( 2 − x ) sin 3xdx ∫ ( 1 − x ) ln xdx 2 1 2 ∫( x 1 2 + 1) e x dx Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 π 10 ∫ x cos xdx 11 0 2 13 ln x dx x5 1 ∫ 14 22 ∫ ( x + 1) 0 e 25 2x e dx 2 dx 1/ e 28 ∫ x ln ( 1 + x ) dx 2 31 ∫ ( 2 x + 7 ) ln ( x + 1) dx 0 π... 17 ∫ x ln xdx ∫ sin xdx 0 1 cos xdx 0 e 0 π 19 ∫x 2 0 π /2 π2 16 π /2 π /2 ∫ ( x − 2) e 2x π /2 e ln x dx 29 ∫ x 1 30 ∫ ( x + cos x ) sin xdx 3 0 3 2 32 ∫ ln ( x − x ) dx 2 12 dx 0 Chuyên đề: Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 13 ... = 0; x = π 10 y = − x 2 + 2 x; Ox TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU e ln 3 x 1 ∫ 3 dx x 1 2 ∫ x ln xdx 4 ∫ x ln xdx π /2 ∫ 5 1 8 ∫ x cos xdx ∫ 0 + 1) dx 1  6 ∫  x + ÷ln xdx x 1 2 x tan 2 xdx 9 ln x ∫ x5 dx 1 π /2 1 11 2 e π /4 π /2 10 ( x + cos x ) sin xdx π /3 2 ∫ x ln ( x 0 0 1 2 7 ∫ ln ( x + x ) dx 3 1 e 2 1 e ∫ xe dx x 12 0 ∫e x cos xdx 0 TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU π /2 1 1 ∫ xe 3x dx 0 π /2 4 ∫ x sin 2 . TÍNH TÍCH PHÂN Bước 1: Tìm nguyên hàm các hàm số dưới dấu tích phân. Bước 2: Dùng công thức newton – leibnizt tính các tích phân. Bài tập 1: Tính các tích phân sau: 5 Chuyên đề: Tích Phân GV:. Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: in2sy x= ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số ( ) y F x= là nguyên hàm của hàm số ( ) y f x= thì hàm số ( ) y F x c= + cũng là nguyên hàm của hàm số ( ) y. Tích Phân GV: Trần Thanh Tú ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A. NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số ( ) y f x= xác định trên K , hàm số ( ) y F x= được gọi là nguyên