NW359 360 DẠNG 41 TÍCH PHÂN hàm ẩn GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Câu 41: TÍCH PHÂN HÀM ẨN KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các tính chất tích phân: b c b a a c f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx �  b b a a với a  c  b k� f  x  dx  � kf  x  dx  k �0  b a a b f  x  dx   � f  x  dx � b  f  x  dx  F  x  � a b a  F  b  F  a b b b f  x  dx  � g  x  dx  f  x   g  x   dx  � � a a a b b b a a a f  x  dx  � f  t  dt  � f  z  dz � b f�  x  dx  f  x  a  f  b   f  a  � b a Công thức đổi biến số: f  u  x   u� f  u  du , u  u  x   x  dx  � � b u b a u a  f  u  x   u�  x  dx  � �f  u  du, u  u  x  Phương pháp đổi biến số thường sử dụng theo hai cách sau đây: b  Giả sử cần tính b u b a u a g  x  dx  � �f  u  du g  x  dx � a Nếu ta viết g  x dạng f  u  x   u�  x u b Vậy tốn quy tính �f  u  du u a , nhiều trường hợp tích phân đơn giản   Giả sử cần tính f  x  dx �  Đặt x  x t  b b  a a thỏa mãn f  x  dx  � f  x  t   x� g  t  dt  t  dt  � �   x  a ,   x  b , g  t   f  x  t   x�  t BÀI TẬP MẪU TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ �x  f ( x)  � �x  x  (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số x �2 x  Tích phân  f (2sin x  1) cos x  dx � bằng: 23 A 23 B 17 17 C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm giá trị tích phân hàm số HƯỚNG GIẢI: B1: Dựa vào biểu thức bên dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý toán b c b f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx, c � a; b  � a c B2: Sử dụng tính chất a   B3: Lựa chọn hàm f x thích hợp để tính giá trị tích phân Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B  Xét I� f (2sin x  1) cos x  dx t  2sin x  � dt  cos xdx Đặt x  �t 1 Đổi cận: I x  �t 3 3 � 1 �   x  1 dx � 23 f ( t )d t  f ( x )d x  x  x  d x  � � � � � 21 21 2� � Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hàm số � e2 x f ( x)  � �x  x  x �0 x  giản) Giá trị a  b  c A B Biết tích phân �f ( x) dx  1 C Lời giải a e2 a  b c ( b phân số tối D 10 Chọn C I e2 2x   f ( x )dx  x  x  d x  e d x   � � � 1 1 Ta có: Vậy a  b  c  Câu �x   x  � f ( x)  � � �x  Cho hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA x �3 x  e4 Tích phân f (ln x)  �x e dx bằng: Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 40  ln A 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 95  ln B 189  ln C 189  ln D Lời giải Chọn D e4 I Xét Đặt f (ln x )  dx �x e2 t  ln x � dt  dx x x  e2 � t  Đổi cận: x  e � t  4 189 I � f (t )dt  � f ( x)dx  � dx  � x   x  dx   ln x4 2 Câu �1 � f ( x)  �x � �x  Cho hàm số m  2n bằng: A x �1 x  B Tích phân �f (  x )dx  2 C Lời giải m m n ( n phân số tối giản), D Chọn A I Xét �f (  x )dx 7 Đặt t   x � 3t dt  dx x  7 � t  Đổi cận: x  � t  2 � � 25   I   3� t f (t )dt  3� x f ( x)dx  � x x  d x  xdx � � � 0 � � 12 Câu Cho hàm số A I  f  x liên tục � B I  f  x  dx  � f  x  dx  � , C I  Lời giải I Tính �f  x   dx 1 D I  Chọn B �d x  du Đặt u  x  Khi x  1 u  1 Khi x  u  3 � 1� f  u  du  � f  u  du� I � f  u  d u  �� �1 1 � Nên � 1�  �� f  u  d u  � f  u du � �1 � Xét f  x d x  � Đặt x  u � d x   d u TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Khi x  u  Khi x  u  1 Nên 1 0 4� f  x d x   � f  u  d u  Ta có �f  u  d u 1 f  x d x  � � f  u du  � � 1� I  �� f  u  d u  � f  u  d u �     �1 � Nên F  x f  x  1 x  1 x Cho nguyên hàm hàm số tập � thỏa mãn 0 Câu F  1  Tính tổng A F    F    F  3 B 12 D 10 C 14 Lời giải: Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: Ta có: f  x  dx  F    F  1  F    �  mà f  x  dx  F  1  F     F   � mà �f  x  dx  F    F  1   F  1 1 f  x  dx  � xdx  x � mà �f  x  dx  F  1  F  3   F  3 F    F    F  3     14 nên F  2  1 nên 0 F  0  xdx  x �f  x  dx  � 1 mà 3 Vậy 1 1  f  x  dx  � 2dx  �  2 1  1 nên 1 1 1 3 3 2dx  4 �f  x  dx  � nên F  1  F  3   x  1 I � dx   a ln  b ln x Biết với a, b �� Tính S  a  b A S  B S  11 C S  3 D S  Lời giải: Chọn D �x  x �2 x2  �  x x �2 � Ta có Câu x  1 x  1 I � dx  � dx x x Do 5   x 1  x  2  �5 � � 3� � dx  � dx  �  �dx �  �dx  � � x x x x� � 1� 2� TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU   5ln x  x  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ   x  3ln x    8ln  3ln a 8 � � b  3 � S  a  b  �� Câu f  x Cho hàm số f  x3  x  1  x  có đạo hàm liên tục � thỏa mãn , với x ��.Tích phân A  xf �  x  dx � 17 B 31 Chọn C Từ giả thiết ta có f  x  3x  1  3x  Suy Đặt 33 C Lời giải nên suy 5 1 f  1  I � xf � f  x  dx  23  � f  x  dx  x  dx  xf  x   � x  t  3t  � dx   3t  3 dt 49 D , f  5  Với x  � t  0; x  � t  Do Câu f  x  dx  � f t � I  23  Vậy 59 33  4 Cho hàm số y  f  x  3t  1  3t  3 dt  �  3t    3t  3 dt  59 f  x  x  3  x  1, x �� � xác định liên tục thoả Tích phân �f  x  dx 2 32 C Lời giải B 10 A D 72 Chọn B Đặt x  t  4t  � dx   5t   dt �x  2 � t  1 � Đổi cận: �x  � t  Khi �f  x  dx  2 �f  t  4t  3  5t   dt  1  2t  1  5t � 1   dt  10  f ( x )   f ( x)   x Cho hàm số y  f ( x) xác định liên tục � thỏa mãn với Câu 10 x �� Tính A I  I� f ( x)dx B I  C I  D I  Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn B Đặt t  f ( x) � 2t  3t   x � dx  (6t  3)dt x  � 2t  3t   � t  x  10 � 2t  3t   10 � t  Vậy 10 I� f ( x)dx  � t (6t  3)dt  �1 � �\ � �, � f x  , f  0    f  x f  1  2 � x  Câu 10 Cho hàm số xác định thỏa Giá trị f  1  f  3 biểu thức A ln15 B  ln15 C  ln15 Lời giải D  ln15 Chọn C Ta có f�  x  2x 1 � ln   x   C1 � � � f  x  � dx  ln x   C  � 2x 1 � ln  x  1  C2 � f    � C1  f  1  � C2  ;x  ;x  � ln   x   ; x  � � �f  1  ln  �� f  x  � � f  3  ln  � � ln  x  1  ; x  � Do � f  1  f  3   ln15  � 3x  x x �0 I � cos xf  sin x  dx f ( x)  �   5 x x  Khi � Câu 11 Cho hàm số 15 17 A B 15 C D Lời giải: Chọn A  � x   � t  1 � � � �x   � t  Đặt t  sin x � dt  cos xdx Đổi cận � �I  �f  t  dt  �f  x  dx 1 1 � 3x  x f ( x)  � 5 x � Do x �0 x  TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 1 �I  �   x  dx  �  3x  x  dx  �x  x  f ( x)  � �x  Câu 12 Cho hàm số 41 A B 21 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 15 x �2 I � f   x  dx x  Khi 41 C 12 41 D 21 Lời giải Chọn C t   x � dt  2dx � dx   dt Đổi cận Đặt 3 1 �I  � f  t  dt  � f  x  dx 21 21 �x  x  x �2 f ( x)  � k hi x  �x  Do � 41 1� � I  �� x  x  3 dx �  x  1 dx  �  �1 � 12 �x  � t  � �x  � t  �2 x  x x � �  � f ( x)  � �x  I  sin xf  cos x  1 dx x  � � Câu 13 Cho hàm số Khi 35 19 10 A 12 B C D Lời giải: Chọn A �x  � t  � �  �x  � t  Đặt t  cos x  � dt   sin xdx Đổi cận � 2 1 �I � f  t  dt  � f  x  dx x � x  �2 x  2x � � f ( x)  � �x  � Do 2 �I �  x   dx  �  x2  x  dx  �x  x f ( x)  � �x Câu 14 Cho hàm số 35 12 x �0 x  Khi TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA I  cos xf  sin x  dx �   Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ C  B 1 D  Lời giải: Chọn A  � x   � t  1 � � �  �x  � t  Đặt t  sin x � dt  cos xdx Đổi cận � �I  �f  t  dt  1 �x  x f ( x)  � �x Do 1 �f  x  dx 1 x �0 x  �I  � xdx  �  x2  x  dx   �x  x  x �3 f ( x)  � I � xf  x  1 dx x  Khi �2 x  Câu 15 Cho hàm số 73 74 A 24 B C D 25 Lời giải: Chọn B �x  � t  1 � t  x  � dt  xdx � xdx  dt Đặt Đổi cận �x  � t  �I  1 f  t  dt  � f  x  dx � 21 21 �x  x  x �3 f ( x)  � x  �2 x  Do � 73 1� � I  �� x  x  1 dx �  x  1 dx  �  �1 � � x  x  �  � f ( x)  � �x  x �1 f  sin x  cos xdx � � Tính tích phân Câu 16 Cho hàm số 17 13 21 A B C D Lời giải: Chọn B  I� f  sin x  cos xdx Xét Đặt sin x  t � cos xdx  dt Với x  � t  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU x 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  � t 1 1 0 1 I � f  t  dt  � f  x  dx  � f ( x )dx  � f ( x)dx  �  3x  3 dx  �  x   dx  � 2 � x2  x �0 f ( x)  � 2 x  x  x  � Câu 17 Cho hàm số Tính tích phân 33 15 A B 23 C 12 17  f  3cos x   sin xdx � 19 D 24 Lời giải: Chọn D  Xét I� f  3cos x   sin xdx 3sin xdx  dt � sin xdx   dt Đặt 3cos x   t � Với x  � t  1  t x � 1 1 1 I � f  t  dt  � f  x  dx  � f ( x )dx  � f ( x )dx 3 30    � 2 1 19  � x  x  1 dx  � x  1 dx    30 24   � f  5sin x  1 cos xdx  x x �1 � f ( x)  �   x  x  � Câu 18 Cho hàm số Tính tích phân 11 43 31 31 A 10 B 31 C 30 D 10 Lời giải: Chọn C I Xét  f  5sin x  1 cos xdx �   Đặt 5sin x   t � Với x x 10 cos xdx  dt � cos xdx  dt 10  � t  1  �t4 4 1 1 �I  f  t  dt  f  x  dx  f ( x)dx  � f ( x)dx � � � 10 1 10 1 10 1 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 1 31  x  dx  �  x   dx   � 10 1 10 30 � x  x  x �2 f ( x)  � 11  x x  � Câu 19 Cho hàm số Tính tích phân 69 25 A B 12 C e f   ln x  dx � x e D 30 Lời giải: Chọn A e Xét I � f   ln x  1 dx x dx  dt Đặt  ln x  t � x x e � t 1 Với xe �t 3 � 3 3 1 2 I � f  t  dt  � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  �  11  x  dx  �  2x3  x  5 dx  69 ln �  x x �3 f ( x)  � f  3e x  1 e x dx �  x x  � Câu 20 Cho hàm số Tính tích phân 13 102 94 25   A 15 B 33 C D Lời giải: Chọn C ln I Xét �f  3e x  1 e x dx 3e x dx  dt � e x dx  dt Đặt 3e   t � Với x  � t  x  ln � t  x � I 5 1 1 94 f  t  dt  � f  x  dx  � f  x  dx  �  x  dx  � (7  x)dx    � 32 32 33 32 33  Mức độ  Câu Giá trị tích phân A max  sin x, cos x dx � B C Lời giải D Chọn C �� 0; � x   � Ta có phương trình sin x  cos x  có nghiệm đoạn � �là TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Bảng xét dấu Suy   0   max  sin x, cos x dx  � cos xdx  � sin xdx �   sin x    cos x      I � max x , x dx Tính tích phân A 4 Câu   17 B 19 C Lời giải: 11 D Chọn B f  x   x3  x Đặt ta có bảng xét dấu sau: Dựa vào bảng xét dấu ta có  �Σ� x   0;1 �� , f  x  x3 x x3 x γ� x  1; �۳� 2 , f  x  x3 x x3 x Ta có: Câu      I � max x , x dx  � max x , x dx  � max x , x dx Nên    max  x , x max x , x   1 I � max x3 , x dx  � xdx  � x3dx  x x3 2 17 x  x4  4 �f  1  2 ln � �f    a  b ln 3; a, b �� � x  x  1 f � y  f  x �\  0;  1  x   f  x   x2  x Cho hàm số liên tục thỏa mãn � 2 Tính a  b 25 A B C 13 D Lời giải Chọn B x x  1 f �  x   f  x   x2  x Ta có  Chia vế biểu thức (1) cho TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  x  1 (1) ta x x f � f  x   x  x 1 x 1  x  1 Trang 11 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � x �x � x x f x    f  x   � dx � �  x �� \ 0;    � x  , với � �x  x 1 � x 1 x x 1 f  x   x  ln x   C f  x   x  ln x   C  � x 1 � x f  2 ln �   ln  C   2 ln � C  1 Mặt khác,   x 1 f  x   x  ln x   1 x Do Với x  Vậy Câu a  b2  f  x  3 3 a b   ln 3   ln 2 2 Suy �  0  �f    f � � f  x  y   f  x   f  y   xy  x  y   y  f  x Cho hàm số có đạo hàm � thỏa mãn � , với x, y �� Tính A f  x  1 dx � C B  D Lời giải Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f�  x  y  f �  y   x  xy , x �� y 0� f�  x  f �    x2 � f �  x    3x Cho f�  x  dx  x  x  C mà f    � C  Do f  x   x  x  � f  x  � Vậy f  x   dx  � 0 �f  x  dx  1 x � 1  x  1 dx  Câu Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục 1 x f  x  dx  � thỏa mãn f  1  , A  0;1 �  x � �f � �dx  � Tích phân �f  x  dx C B D Lời giải Chọn A 1 �x � x3 x f  x  dx  � f  x  �  � f �  x  dx � 3 � � 0 Ta có Suy Hơn ta dễ dàng tính x TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA x3 f�  x  dx   � 3 �9 dx  63 Trang 12 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 1 Do 0 x3 x � � � � � � f x � d x  2.21 f x d x  21 d x  � f x  x   �  � � �3   �9 � � �dx  Suy f�  x   7 x3 Vậy Câu 7 f  x    x4  C C  f    4 , Vì nên 7 f  x  dx   � x  1 dx   � 40 Xét hàm số f  x f  1  f  2  có đạo hàm liên tục � thỏa mãn điều kiện �f �  x    f  x   �dx J � � � x x2 � � Tính A J   ln B J   ln C Lời giải J  ln  D J  ln Chọn D 2 �f �  x    f  x   �dx f � x f  x  �2 � J � dx  � d x  � dx � � � � 2� x x x x x x � � 1� 1 1� Ta có � � u du   dx � � x �� � x � dv  f � v  f  x  x  dx � � Đặt � 2 2 x  f  x 1 � �f �  f  x f  x �2 � J �  d x  f x  d x  d x  dx   � � � 2� 2 � � � x x x x x x x � � 1� 1 1� 1� �  f    f  1  � ln x  �   ln x� � Câu �\  2;1 Cho hàm số f ( x) xác định thỏa mãn 1 f� , f  3  f  3  0, f     x  x  x2 Giá trị biểu thức f  4   f  1  f   1 1 ln 20  ln  ln  3 A B C ln 80  D Lời giải Chọn B 1�1 � f�  �   x  � x  x  �x  x  � Ta có: �1 ln   x   ln   x   � � � C1 ; x � �; 2  �3 � � �1 � x 1 �1 f  x  �  dx  ln C  � � ln   x   ln  x   � � � � � C2 ; x � 2;1 �x  x  � x  �3 �1 ln  x  1  ln  x   � � � C3 ; x � 1; � �3 � � 1 1 f  0  � � ln     ln    �  C2  � C2  ln  � � 3 3 Với TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 13 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 1 f  3  f  3  � C1  C3  ln 10 Với 1 1 f  4   f  1  f    ln  ln  ln  C2  C1  C3  ln  3 3 Nên Câu Cho hàm f  x số xác định liên tục � đồng thời thỏa mãn � �f  x   0, x �� �  x   e x f  x  , x �� �f � � �f    � Tính giá trị A f  ln   f  ln  B f  ln   C f  ln   ln  1 f  ln   ln 2  D Lời giải Chọn B f�  x   e f x Ta có �  x f�  x   e x f  x ( f  x  ) f�  x  dx  e x dx �   e x  C � f x  � �2   x � f  x f  x e C Mà f  0  � f  x  Câu 1 �  � C  1 e C 1 � f  ln   ln  e 1 e 1 x Cho hai hàm f  x g  x có đạo hàm  1; 4 , thỏa mãn �f  1  g  1  �  x �g  x    xf � �f  x    xg �  x � với x � 1; 4 Tính tích phân A 3ln I � � �f  x   g  x  � �dx C ln B ln D 8ln Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có f  x   g  x    x f �  x   x.g �  x � x.g  x  � � �� g  x   x.g � x f  x  �  x �  x � �f  x   x f � � � � � � � � � � � � C � x f  x   x.g  x   C � f  x   g  x   x Mà 4 1 f  1  g  1  � C  � I  � � dx  8ln �f  x   g  x  � �dx  � x  1; 2 thỏa mãn f (1)  g (1)  Câu 10 Cho hai hàm f ( x ) g ( x) có đạo hàm TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � x g ( x)  2017 x  ( x  1) f � ( x) � �( x  1) , x � 1; 2 � x � g� ( x)  f ( x)  2018 x � x  � x 1 �x � I � dx �x  g ( x)  x f ( x) � � � Tính tích phân I A B I  C Lời giải I D I  Chọn A x 1 � g ( x)  f� ( x)  2017 � x �( x  1) , x � 1; 2 � x � g� ( x)  f ( x)  2018 � x  x � Từ giả thiết ta có: Suy ra: � �x  � � � �x  x � �x � � � � g ( x )  g ( x )  f ( x )  f ( x )  � g ( x )  f ( x ) 1 � � � � � � � ( x  1) x 1 x2 � �x  � � �x � � � �x � x x 1 g ( x)  f ( x)  x  C x 1 x 2 x 1 �x � I � g ( x )  f ( x ) dx  ( x  1) dx  � � � x  x f (1)  g (1)  � C   � � � 1 Mà �x  x  x  f ( x)  � x �1 �x  Câu 11 Cho hàm số Tính tích phân 21 13 20 A B C  f  3sin � x  1 sin xdx D Lời giải: Chọn A  Xét I � f  3sin x  1 sin xdx 3sin x   t � 3sin xdx  dt � sin xdx  dt Đặt Với x  � t  1  x �t2 �I   2 1 1 f  t  dt  � f  x  dx  � f ( x)dx  � f ( x)dx � 1 1 1 31 1 21 x  x   dx  �  x  3 dx   � 1 31 x  x �1 � f ( x)  �2 x  �x Câu 12 Cho hàm số Tính tích phân TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA 13 �f   x   dx Trang 15 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A  231 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 97 B 16 C 113 D Lời giải: Chọn B 13   I� f x   dx Xét Đặt x    t � x   t  � x   (t  2) � dx  2(t  2)dt Với x  � t  x  13 � t  2 2 0 � I  2� (t  2) f  t  dt  � ( x  2) f  x  dx  2� ( x  2) f  x  dx  � ( x  2) f  x  dx  2� ( x  2) x 2dx  � (2 x  1)( x  2)dx  97    f  cos x sin xdx x  x �2 � � f ( x)  �   x x  Tính tích phân  � Câu 13 Cho hàm số 21 A B C D 12 Lời giải: Chọn A I  f   cos x  sin xdx �   Xét  cos x  t � sin xdx  dt Đặt  x � t 1 Với  x �t 3 �I   1 1 f  t  dt  � f  x  dx  � f ( x )dx  � f ( x )dx � 41 41 41 42 1   x  dx  �  x   dx  � 31 32 �x  x  x  f ( x)  � 3 x x �1 � Câu 14 Cho hàm số 16 A B 17 e4 Tính tích phân 11 C �f   ln x  1x dx D 11 Lời giải: Chọn C e4 Xét  I� f  ln x  1x dx TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  ln x  t �  ln x  t � dx  2tdt x Đặt Với x  � t  x  e4 � t  2 0 � I  2� t f  t  dt  � x f  x  dx  � x f ( x)dx  � x f ( x)dx  2� x  x  x  1 dx  � x   x  dx  11 � x  x  � f ( x)  �x  �x �2 �  x x  � Câu 15 Cho hàm số 201 A 77 34 B 103  �f   tan x  cos Tính tích phân 155 C   x dx 109 D 21 Lời giải: Chọn D I Với f   tan x  � cos   Xét Đặt  x dx  tan x  t � x 1 dx   dt cos x  �t 9  � t  5 9 1 1 �I  � f  t  dt  � f  x  dx  � f ( x)dx  � f ( x)dx  � f ( x)dx 5 5 5 70 72 x  1 109 x  1 dx  �  x  1 dx  �   x  dx   � 5 70 72 21  2 �x  x x �0 f ( x)  � I  2� cos xf  sin x  dx  � f   x  dx x x  � 0 Câu 16 Cho hàm số Khi 10 A B C D Lời giải: Chọn D Ta có:  2 0 I  2� cos xf  sin x  dx  � f   x  dx  I1  I �x  � t  � �  �x  � t  Đặt t  sin x � dt  cos xdx Đổi cận � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU � I1  2� f  t  dt  1 1 1 �f  t  dt  �f  x  dx �x  x f ( x)  � �x Do 1 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x �0 x  � I1  � xdx  �  x  x  dx   t   x � dt  2dx � dx   dt Đổi cận Đặt � I2  �x  � t  � �x  � t  1 �f  t  dt  �f  x  dx 1 1 �x  x x �0 f ( x)  � x  �x Do �0 � � I  �� xdx  �  x  x  dx � �1 � Vậy I  I1  I  10 x  x �2 Tính tích phân �4 x f ( x)  � �2 x  12 Câu 17 Cho hàm số I x f �  x2 1 x 1  dx  ln3 e f   e  dx � 2x 2x ln A 84 B 83 C 48 D 84 Lời giải: Chọn A I Ta có: x f �  x2  x 1  dx  ln e f   e  dx  I � 2x 2x  I2 ln 2 2 Đặt t  x  � t  x  � 2tdt  xdx � xdx  tdt Đổi cận 2 1 �x  � t  � �x  � t  � I1  � f  t  dt  � f  t  dt  � f  x  dx �4 x f ( x)  � �2 x  12 Do x  x �2 � I1  �  2 x  12  dx  t   e x � dt  2e2 x dx � e2 x dx  dt Đổi cận Đặt 10 10 1 � I2  � f  t  dt  � f  x  dx 25 25 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA �x  ln � t  � �x  ln � t  10 Trang 18 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x  �4 x f ( x)  � �2 x  12 Do 10 � I2  � x  75 25 Vậy I  I1  I  84 x �2 �2 x  x f ( x)  � �3 x  Câu 18 Cho hàm số x �1 x   f  tan x  I  � dx   cos x Biết e 1  x f ln  x  1 � x 1  dx  a b a với b phân số tối giản Giá trị tổng a  b A 69 B 68 C 67 D 66 Lời giải: Chọn A  f  tan x  I  � dx   cos x e 1 �  x f ln  x  1 x 1  dx  I  I �  x  �t 1 � � � �x   � t  t  tan x � dt  dx cos x Đổi cận � Đặt � I1  �f  t  dt  �f  x  dx �x  � t  � � 2x x 1 x e 1 � t  t  ln x  � dt  dx � dx  dt � x 1 x 1 Đổi cận � Đặt  � I2   2 1 f  t  dt  � f  x  dx � 20 20 �2 x3  x f ( x)  � �3x  Do x �1 x  � I  I1  I   2x �  x  dx  53  3x   dx  � a  53, b  16 � 20 16 Vậy a  b  69 Câu 19 Cho hàm số �1 � x2 f ( x )  �2 � x  � �x