Mời các bạn cùng tham khảo Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – Bộ Giáo dục và Đào tạo (Mã đề 103) để phục vụ cho việc ôn luyện, luyện thi môn Toán, chuẩn bị chu đáo cho kì thi THPT Quốc gia.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 Bài thi: TỐN HỌC ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Mã đề 103 Câu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Vectơ vectơ pháp tuyến ( P ) ? uu r A n3 = ( − 3;1; − ) uu r ur uu r B n2 = ( 2; −3; −2 ) C n1 = ( 2; − 3;1) D n4 = ( 2;1; −2 ) Câu Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên? A y = x − 3x − B y = x − x − Câu Số cách chọn học sinh từ học sinh 2 A A6 B C6 2 C y = − x + 3x − D y = − x + x − C 26 D 62 ∫ f ( x ) dx = ∫1 g ( x ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx Câu Biết , A B − C x−1 Câu Nghiệm phương trình = A x = B x = C x = 2 Câu Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r A π r 2h B π r h C 2π r h Câu Số phức liên hợp số phức − 2i A −1 − 2i B + 2i C −2 + i Câu Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h A Bh B 3Bh C Bh 3 Câu Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: D − D x = D πr h D −1 + 2i D Bh Hàm số đã cho đạt cực đại A x = B x = −2 C x = D x = Câu 10 Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M ( 2;1; −1) trục Oy có tọa độ A ( 0;0; −1) B ( 2;0; −1) C ( 0;1;0 ) D ( 2;0;0 ) Câu 11 Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = u2 = Công sai cấp số cộng đã cho A B − C D Câu 12 Họ tất cả nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A 2x + C B x + 3x + C C x + 3x + C D x + C x + y −1 z − = = Câu 13 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : Vectơ −3 vectơ phương d ? uu r uu r ur uu r A u2 = ( 1; − 3;2 ) B u3 = ( − 2;1;3) C u1 = ( − 2;1;2 ) D u4 = ( 1;3;2 ) Câu 14 Với a số thực dương tùy ý, log a 1 A 3log a B log a C + log a 3 Câu 15 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Hàm số đã cho đồng biến khoảng đây? A ( −1;0 ) B ( −1; + ∞ ) C ( −∞; − 1) Câu 16 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: D + log a D ( 0;1) Số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = A B C D Câu 17 Cho hai số phức z1 = + i z2 = + i Trên mặt phẳng Oxy , điểm biểu diễn số phức z1 + z2 có tọa độ A ( 2;5) B ( 3;5) C ( 5; ) D ( 5;3) Câu 18 Hàm số y = x A ( x − x ) 2 x − x −1 −x có đạo hàm B ( x − 1) x −x C x − x.ln D ( x − 1) x − x.ln Câu 19 Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x − 3x đoạn [ −3;3] A 18 B C −18 D − Câu 20 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) , ∀x ∈ ¡ Số điểm cực trị hàm số đã cho A B C D Câu 21 Cho a ; b hai số thực dương thỏa mãn a b = 16 Giá trị log a + 3log b A B 16 C D Câu 22 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) SA = 2a , tam giác ABC vuông cân B AB = a Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) A 45° B 60° C 30° D 90° Câu 23 Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1,8m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự dịnh làm gần với kết quả đây? A 2,8m B 2, 6m C 2,1m D 2,3m Câu 24 Nghiệm phương trình log ( x + 1) + = log ( x − 1) A x = B x = C x = − D x = Câu 25 Cho khối lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh 2a AA′ = 3a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a C 3a D 3a 2 Câu 26 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + y − z − = Bán kính mặt cầu đã cho A B 15 C D Câu 27 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; ) B ( 6;5; −4 ) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình A x + y − 3z − 17 = B x + y − z − 26 = C x + y − 3z + 17 = D x + y + z − 11 = Câu 28 Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số đã cho A B C D Câu 29 Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = 0, x = −1, x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? A S = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx −1 C S = −1 1 −1 B S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx 1 −1 D S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 2 Câu 30 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Gái trị z1 + z2 A B C 16 D 26 Câu 31 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0;0; 2), B(2;1; 0), C (1; − 1) D(2;0; −2) Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng ( BCD ) có phương trình x = + 3t x = x = + 3t x = 3t A y = −2 + 2t B y = C y = + 2t D y = 2t z = 1− t z = −1 + 2t z = 1− t z = + t Câu 32 Cho số phức z thỏa (2 + i ) z − 4( z − i ) = −8 + 19i Môđun z A 13 B C 13 Câu 33 Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu f ′ ( x ) sau: D Hàm số y = f ( − x ) đồng biến khoảng đây? B ( 2;3) C ( −∞ ; − 3) D ( 0; ) 2x +1 Câu 34 Họ tất cả nguyên hàm hàm số f ( x ) = khoảng ( −2; +∞ ) là: ( x + 2) A ( 3; ) A ln ( x + ) + ln ( x + ) + 1 + C B ln ( x + ) − + C C ln ( x + ) − + C D x+2 x+2 x+2 +C x+2 Câu 35 Cho hàm số f ( x) Biết f ( 0) = f ′ ( x ) = 2sin x + 1, ∀x ∈ ¡ π , ∫ f ( x ) dx π + 15π π + 16π − 16 π + 16π − π2 −4 B C D 16 16 16 16 Câu 36 Cho phương trình log x − log ( x − 1) = − log3 m ( m tham số thực) Có tất cả giá trị nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm A Vơ số B C D A 2 Câu 37 Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng , thiết diện thu có diện tích 12 Diện tích xung quanh hình trụ đã cho A 10π B 34π C 10π D 34π Câu 38 Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f ( x ) < x + m ( m tham số thực) nghiệm với x ∈ ( 0; ) A m > f ( ) B m > f ( ) − C m ≥ f ( ) D m ≥ f ( ) − Câu 39 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SAC ) a 21 a 21 a a 21 B C D 14 28 Câu 40 Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 21 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn A 11 221 10 B C D 21 441 21 2 Câu 41 Cho đường thẳng y = 3x parabol y = x + a ( a tham số thực dương) Gọi S1 S diện tích hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1 = S a thuộc khoảng đây? A 4 4 9 9 A ; ÷ B 0; ÷ C 1; ÷ D ;1 ÷ 10 5 8 10 Câu 42 Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0;3; −2 ) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm đây? A P ( −2;0; −2 ) B N ( 0; −2; −5 ) C Q ( 0; 2; −5 ) D M ( 0; 4; −2 ) Câu 43 Cho số phức z thỏa mãn z = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn + iz số phức w thỏa mãn w = đường trịn có bán kính 1+ z A 10 B C D 10 Câu 44 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Biết f ( ) = ∫ xf ( x ) d x = , ∫ x f ′( x) d x 107 B 34 C 24 D −36 Câu 45 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f ( x − 3x ) = A A B C D Câu 46 Cho phương trình ( log 32 x - log x - 1) x - m = (m tham số thực) Có tất cả giá trị nguyên dương m để phương trình đã cho có nghiệm phân biệt? A 123 B 125 C Vô số D 124 2 Câu 47 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z + 1) = Có tất cả điểm A ( a ; b ; c ) ( a , b , c số nguyên) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho có hai tiếp tuyến ( S ) qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? A 20 B C 12 Câu 48 Cho hàm số f ( x ) , bảng biến thiên hàm số f ′ ( x ) sau: D 16 Số điểm cực trị hàm số y = f ( x − x ) A B C D Câu 49 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M, N, P tâm mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ', BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A B 10 C D 12 x −1 x x +1 x + + + + Câu 50 Cho hai hàm số y = y = x + − x − m ( m tham số thực) có đồ x x +1 x + x + thị ( C1 ) ( C2 ) Tập hợp tất cả giá trị m để ( C1 ) ( C2 ) cắt điểm phân biệt A [ −2; +∞ ) B ( −∞ : −2 ) C ( −2 : +∞ ) D ( −∞; −2] HẾT ĐÁP ÁN 1.C 11.D 21.C 31.C 41.A 2.B 12.B 22.A 32.C 42.C 3.B 13.A 23.C 33.A 43.D 4.D 14.A 24.A 34.D 44.D 5.B 15.A 25.D 35.C 45.A 6.D 16.C 26.D 36.A 46.A 7.B 17.D 27.A 37.A 47.A 8.D 18.D 28.C 38.C 48.C 9.D 19.A 29.C 39.D 49.A 10.C 20.C 30.A 40.C 50.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Vectơ vectơ pháp tuyến ( P ) ? uu r uu r A n3 = ( − 3;1; − ) B n2 = ( 2; −3; −2 ) ur C n1 = ( 2; − 3;1) Lời giải uu r D n4 = ( 2;1; −2 ) Đáp án C ur Ta có mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = suy vectơ pháp tuyến mặt phẳng n1 = ( 2; −3;1) Câu 2: Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên? A y = x − 3x − B y = x − x − Ta dựa vào đồ thị chọn a > C y = − x + 3x − Lời giải D y = − x + x − Đáp án B Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ âm nên c < Do đồ thị hàm số có cực trị nên b < Câu 3: Số cách chọn học sinh từ học sinh 2 A A6 B C6 C 26 Lời giải D 62 Đáp án B Câu 4: Biết A ∫ f ( x ) dx = 2 ∫ g ( x ) dx = B − , ∫ f ( x ) − g ( x ) dx C Lời giải D − Đáp án D ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = − = −4 Câu 5: Nghiệm phương trình 2 x−1 = A x = B x = C x = D x = Lời giải Đáp án B Ta có 2 x−1 = ⇔ 22 x −1 = ⇔ x − = ⇔ x = Câu 6: Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r A π r 2h B π r h C 2π r 2h Lời giải D πr h Đáp án D Thể tích hình nón có chiều cao h bán kính đáy r V = π r h − 2i Câu 7: Số phức liên hợp số phức A −1 − 2i B + 2i C −2 + i Lời giải Số phức liên hợp số phức − 2i số phức + 2i Câu 8: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h A Bh B 3Bh C Bh 3 Lời giải D −1 + 2i Đáp án B D Bh Đáp án D Câu 9: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Hàm số đã cho đạt cực đại A x = B x = −2 C x = Lời giải D x = Đáp án D Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại x = Chọn đáp ánD Câu 10: Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M ( 2;1; −1) trục Oy có tọa độ A ( 0;0; −1) B ( 2;0; −1) C ( 0;1;0 ) Lời giải D ( 2;0;0 ) Đáp án C Hình chiếu điểm M thuộc trục Oy , nên loại đáp án A, B, D Chọn đáp án C Câu 11: Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = u2 = Công sai cấp số cộng đã cho A B − C D Lời giải un − u1 − = =4 n −1 −1 Câu 12: Họ tất cả nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A 2x + C B x + 3x + C C x + 3x + C Lời giải Đáp án D Cơng sai: d = Ta có: ∫ ( x + 3) dx = x D x + C Đáp án B + 3x + C Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : vectơ phương d ? uu r uu r A u2 = ( 1; − 3;2 ) B u3 = ( − 2;1;3) x + y −1 z − = = Vectơ −3 ur C u1 = ( − 2;1;2 ) Lời giải uu r D u4 = ( 1;3;2 ) Đáp án A Câu 14: Với a số thực dương tùy ý, log a 1 A 3log a B log a C + log a 3 Lời giải D + log a Đáp án A Ta có log a = 3log a Câu 15: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Hàm số đã cho đồng biến khoảng đây? A ( −1;0 ) B ( −1; + ∞ ) C ( −∞; − 1) Lời giải D ( 0;1) Đáp án A Nhìn BBT ta thấy hàm số đã cho đồng biến khoảng ( −1; ) ( 1; + ∞) Đáp án A Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = A B C Lời giải D Đáp án C Ta có f ( x ) − = ⇔ f ( x ) = có ba nghiệm thực phân biệt Câu 17: Cho hai số phức z1 = + i z2 = + i Trên mặt phẳng Oxy , điểm biểu diễn số phức z1 + z2 có tọa độ A ( 2;5) B ( 3;5) C ( 5; ) D ( 5;3) Lời giải Đáp án D Ta có z1 + z2 = (1 + i ) + 2(2 + i ) = + 3i Vậy điểm biểu diễn số phức z1 + z2 có tọa độ ( 5;3) Dựa vào bảng biến thiên: Suy phương trình f ( x ) = Câu 18: Hàm số y = x x A ( x − x ) 2 − x −1 −x có đạo hàm B ( x − 1) x −x C x − x.ln Lời giải D ( x − 1) x − x.ln Đáp án D Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm số mũ ( a u ) ′ = u′.a u ln a Ta có: y ′ = ( x − x ) ′ x − x.ln = ( x − 1) x − x.ln 2 Câu 19: Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x − 3x đoạn [ −3;3] A 18 B C −18 Lời giải D − Đáp án A f ( x ) = x − 3x xác định đoạn [ −3;3] f ′ ( x ) = 3x − x = ∈ [ −3;3] Cho f ′ ( x ) = ⇔ x − = ⇔ x = −1 ∈ [ −3;3] Ta có f ( −3) = −18 ; f ( −1) = ; f ( 1) = −2 ; f ( 3) = 18 y = f ( 3) = 18 Vậy max [ −3;3] Câu 20: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) , ∀x ∈ ¡ Số điểm cực trị hàm số đã cho A B C D Lời giải Đáp án C x = Ta có f ′ ( x ) = ⇔ x ( x − 1) = ⇔ x = Bảng biến thiên hàm số f ( x ) : x −∞ f ′( x) f ( x) − 0 + +∞ + +∞ +∞ Vậy hàm số đã cho có điểm cực trị Câu 21: Cho a ; b hai số thực dương thỏa mãn a 2b = 16 Giá trị log a + 3log b A B 16 C D Lời giải Đáp án C Ta có: log a + 3log b = log a b = log 16 = Câu 22: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) SA = 2a , tam giác ABC vuông cân B AB = a Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) A 45° B 60° C 30° Lời giải D 90° Đáp án A Vì tam giác ABC vuông cân B ⇒ AC = AB + BC = a · · Ta có SC , ( ABC ) = SCA ( ) SA a · = = ⇒ SCA = 45° AC a Câu 23: Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1,8m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự dịnh làm gần với kết quả đây? A 2,8m B 2, 6m C 2,1m D 2,3m Lời giải Đáp án C Ta có: V1 = π R12 h ; V2 = π R2 h V = π R h Theo đề ta lại có: · = Mà tan SCA V = V1 + V2 ⇔ π R h = π R12 h + π R2 h ⇔ R = R12 + R2 ≈ 2, 059 ( m ) ( V , R thể tích bán kính bể nước cần tính) Câu 24: Nghiệm phương trình log ( x + 1) + = log ( x − 1) A x = B x = C x = − Lời giải D x = Đáp án A log ( x + 1) + = log ( x − 1) ( 1) 2 x + = 3x − ⇔ log 2.( x + 1) = log ( x − 1) ⇔ ⇔ x = 3 x − > Vậy ( 1) có nghiệm x = Câu 25: Cho khối lăng trụ đứng ABC A′B ′C ′ có đáy tam giác cạnh 2a AA′ = 3a (minh họa hình vẽ bên) ( 1) Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a C 3a Lời giải D 3a Đáp án D Thể tích khối lăng trụ là: V = S ABC AA′ = ( 2a ) 3a = 3a 2 Oxyz Câu 26: Trong không gian , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + y − z − = Bán kính mặt cầu đã cho A B 15 C D Lời giải Đáp án D Bán kính mặt cầu là: R = a + b + c − d = 02 + ( −1) + 12 − ( −7 ) = Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; ) B ( 6;5; −4 ) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình A x + y − 3z − 17 = B x + y − z − 26 = C x + y − 3z + 17 = D x + y + 3z − 11 = Lời giải Đáp án A Ta có mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua điểm I ( 4;3; −1) trung điểm đoạn thẳng uuur AB nhận AB = ( 4; 4; −6 ) = ( 2; 2; −3) làm véc-tơ pháp tuyến Suy phương trình x + y − z = 17 ⇔ x + y − z − 17 = Câu 28: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số đã cho A B C Lời giải D Đáp án C y = lim y = nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y = , Quan sát bảng biến thiên ta có xlim →+∞ x →−∞ y = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = Vậy đồ thị hàm số có tổng y = Mặt khác xlim → 0− cộng ba đường tiệm cận Câu 29: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = 0, x = −1, x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? A S = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx −1 C S = −1 1 ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx −1 B S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx D S = 1 −1 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Lời giải Đáp án C S= 2 −1 −1 −1 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx 2 Câu 30: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Gái trị z1 + z2 A B C 16 D 26 Lời giải Đáp án A 2 z1 + z2 = ( z1 + z2 ) − z1 z2 = 16 − 10 = Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0;0; 2), B (2;1;0), C (1; − 1) D(2;0; −2) Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng ( BCD ) có phương trình x = + 3t x = x = + 3t x = 3t A y = −2 + 2t B y = C y = + 2t D y = 2t z = 1− t z = −1 + 2t z = 1− t z = + t Lời giải Đáp án C uuur uuur Ta có BC = (−1;1; −1); BD = (0; −1; −2) Gọi ∆ đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng ( BCD) Khi ∆ có vetơ phương r uuur uuur u = BD; BC = (3; 2; −1) x = 3t ' x = + 3t ⇒ ∆ : y = 2t ' Ta có M (3; 2;1) ∈ ∆ Nên ∆ : y = + 2t z = − t ' z = 1− t Câu 32: Cho số phức z thỏa (2 + i ) z − 4( z − i) = −8 + 19i Môđun z A 13 B C 13 D Lời giải Đáp án C Gọi z = x + yi với ( x, y ∈ ¡ ) Khi đó: (2 + i) z − 4( z − i) = −8 +19i ⇔ −2 x − y + ( x + y + 4)i = −8 + 19i −2 x − y = − x = ⇔ ⇔ ⇒ z = + 2i ⇒ z = 13 x + y = 15 y = Câu 33: Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu f ′ ( x ) sau: Hàm số y = f ( − x ) đồng biến khoảng đây? B ( 2;3) A ( 3; ) C ( −∞ ; − 3) Lời giải D ( 0; ) Đáp án A Ta có: y ′ = f ′ ( − x ) = ( − x ) ′ f ′ ( − x ) = −2 f ′ ( − x ) − x = −3 x = *) y ′ = ⇔ −2 f ′ ( − x ) = ⇔ f ′ ( − x ) = ⇔ 3 − x = −1 ⇔ x = 3 − x = x = − x ≤ −3 x ≥ ⇔ *) y ′ ≥ ⇔ −2 f ′ ( − x ) ≥ ⇔ f ′ ( − x ) ≤ ⇔ −1 ≤ − x ≤ 1 ≤ x ≤ Bảng xét dấu: Hàm số y = f ( − x ) đồng biến khoảng ( 3; +∞ ) nên đồng biến khoảng ( 3; ) 2x +1 Câu 34: Họ tất cả nguyên hàm hàm số f ( x ) = khoảng ( −2; +∞ ) là: ( x + 2) A ln ( x + ) + ln ( x + ) + 1 + C B ln ( x + ) − + C C ln ( x + ) − + C D x+2 x+2 x+2 +C x+2 Lời giải Đáp án D Ta có: 2x + ∫ ( x + 2) = ln x + + dx = ∫ ( x + 2) − ( x + 2) dx = ∫ dx − ∫ dx = d ( x + ) − ( x + ) −2 d ( x + ) 2 ∫ x+2 ∫ ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) 3 + C = 2ln ( x + ) + +C x+2 x+2 Câu 35: Cho hàm số f ( x) f ( 0) = Biết f ′ ( x ) = 2sin x + 1, ∀x ∈ ¡ π , ∫ f ( x ) dx π + 15π 16 A π + 16π − 16 16 B π + 16π − 16 C D π2 −4 16 Lời giải Đáp án C f ′ ( x ) = 2sin x + = − cos x + = − cos x Suy f ( x ) = x − π sin x + C Vì f ( ) = ⇒ C = π Suy f ( x ) dx = x + cos x + x = π + 16π − ÷ ∫0 16 0 Câu 36: Cho phương trình log x − log ( x − 1) = − log m ( m tham số thực) Có tất cả giá trị nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm A Vơ số B C D Lời giải Đáp án C Điều kiện: x > , m > Phương trình tương đương với: 5x − 5x − log x − log ( x − 1) = − log m ⇔ log = log m ⇔ m = = f ( x) x x 5x − 1 1 1 ; x ∈ ; +∞ ÷; f ′ ( x ) = > 0; ∀x ∈ ; +∞ ÷ Xét f ( x ) = x x 5 5 Bảng biến thiên Để phương trình có nghiệm m ∈ ( 0;3) , suy có giá trị nguyên thỏa mãn Câu 37: Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng , thiết diện thu có diện tích 12 Diện tích xung quanh hình trụ đã cho A 10π B 34π C 10π D 34π Lời giải Đáp án A Gọi thiết diện ABCD với A, B đường tròn đáy tâm O ⇒ ABCD hình chữ nhật có h = BC = Gọi H trung điểm AB ⇒ OH ⊥ AB OH ⊥ BC nên OH ⊥ ( ABCD ) ⇒ OH = d ( O, ( ABCD ) ) = Ta có S ABCD = 12 ⇒ AB.h = 12 ⇒ AB = Mà AH = AB = R = OA = OH + AH = l = h = Vậy S xq = 2π Rl = 6π 10 Câu 38: Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f ( x ) < x + m ( m tham số thực) nghiệm với x ∈ ( 0; ) A m > f ( ) B m > f ( ) − C m ≥ f ( ) Lời giải D m ≥ f ( ) − Đáp án C Ta có f ( x ) < x + m ⇔ m > f ( x ) − x ( *) Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x ( 0; ) Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − < ∀x ∈ ( 0; ) nên hàm số g ( x ) nghịch biến ( 0; ) Do ( *) với x ∈ ( 0; ) m ≥ g ( ) = f ( ) Câu 39: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SAC ) A a 21 14 B a 21 28 C a D a 21 Lời giải Đáp án D * Gọi O = AC ∩ BD G trọng tâm tam giác ABD , I trung điểm AB ta có d ( D; ( SAC ) ) DG = = ⇒ d ( D; ( SAC ) ) = 2.d ( I ; ( SAC ) ) SI ⊥ ( ABCD ) IG d ( I ; ( SAC ) ) * Gọi K trung điểm AO , H hình chiếu I lên SK ta có IK ⊥ AC ; IH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( D; ( SAC ) ) = 2.d ( I ; ( SAC ) ) = 2.IH * Xét tam giác SIK vuông I ta có: SI = a BO a ; IK = = 2 1 16 28 a = + = + = ⇒ IH = IH SI IK 3a 2a 3a a 21 Câu 40: Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 21 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn ⇒ d ( D; ( SAC ) ) = 2.d ( I ; ( SAC ) ) = 2.IH = A 11 21 B 221 441 C 10 21 D Lời giải Đáp án C * Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = C = 210 * Gọi biến cố A=“Chọn hai số có tổng số chẵn”, 21 số nguyên dương có 11 số lẻ 10 số chẵn, để hai số chọn có tổng số chẵn điều kiện cả hai số chẵn 2 lẻ ⇒ Số phần tử biến cố A là: n ( A ) = C10 + C11 = 100 n ( A ) 10 = * Xác suất biến cố A là: P ( A ) = n ( Ω ) 21 21 Câu 41: Cho đường thẳng y = 3x parabol y = x + a ( a tham số thực dương) Gọi S1 S2 diện tích hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1 = S a thuộc khoảng đây? 4 A ; ÷ 10 4 B 0; ÷ 5 9 C 1; ÷ 8 Lời giải 9 D ;1 ÷ 10 Xét phương trình tương giao: x = x + a ⇒ x − x + a = ( 1) Đáp án A Để phương trình ( 1) có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 ( x2 > x1 > 0) ∆ = − 8a > ⇒ x1 + x2 = > ⇒ < a < a x1.x2 = > x1 x1 3 2 3 Ta có: S1 = ∫ ( x − 3x + a ) dx = x − x + ax ÷ = x1 − x1 + ax1 3 0 x2 x2 3 2 S = − ∫ ( x − 3x + a ) dx = − x3 − x + ax ÷ = − x23 − x22 + ax2 ÷+ x13 − x12 + ax1 ÷ 2 3 3 3 x1 x1 2 3 x2 − x2 + ax2 = 2 mà x2 nghiệm ( 1) nên x2 − x2 + a = ⇒ a = −2 x2 + x2 ( ) Do S1 = S ⇒ ⇒ 3 x2 − x2 + ( −2 x22 + 3x2 ) x2 = ⇔ − x23 + x22 = ⇒ x2 = ( loại nghiệm x2 = ) 3 Thay vào ( ) ⇒ a = 27 ∈ ; ÷ 32 10 Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0;3; −2 ) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm đây? A P ( −2;0; −2 ) B N ( 0; −2; −5 ) C Q ( 0; 2; −5 ) D M ( 0; 4; −2 ) Lời giải Đáp án C Ta có mơ hình minh họa cho tốn sau: Cách (cách trắc nghiệm) Ta có d ( A; d ) = d ( A; Oz ) − d ( d ; Oz ) = uur r Khi đường thẳng d qua điểm cố định ( 0; 2;0 ) d / / Oz ⇒ ud = k = ( 0;0;1) vectơ x = phương d , suy phương trình đường thẳng d có dạng: y = z = t Ta thấy điểm Q ( 0; 2; −5 ) thỏa mãn phương trình đường thẳng d Cách Do d / /Oz d ( d , Oz ) = ⇒ d đường sinh mặt trụ có trục Oz Gọi ( P ) mặt phẳng qua A vng góc Oz ⇒ ( P ) cắt mặt trụ theo giao tuyến đường tròn ( C ) tâm I bán kính Gọi B = d ∩ ( C ) ⇒ AB = d ( A, d ) d / / Oz ⇒ d ⊥ ( P ) ⇒ d ⊥ AB Do B ∈ ( C ) ⇒ AB ≥ IA − ; IA = d ( A, Oz ) = ⇒ AB ≥ Vậy ABmin = Khi B giao điểm ( C ) với đường thẳng d d qua điểm cố định ( 0; 2;0 ) uu r r d / /Oz ⇒ ud = k = ( 0;0;1) vectơ phương d , suy phương trình đường thẳng d có dạng: x = y = z = t Ta thấy điểm Q ( 0; 2; −5 ) thỏa mãn phương trình đường thẳng d Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn z = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn + iz số phức w thỏa mãn w = đường trịn có bán kính 1+ z A 10 B C D 10 Lời giải Đáp án D + iz ⇔ w ( + z ) = + iz ⇔ z ( w − i ) = − w + Ta có w = 1+ z Lấy mơ đun hai vế ta w − i = − w + 2 2 Giả sử w = x + yi , với x, y ∈ R ta có x + ( y − 1) = ( − x ) + ( − y ) ⇔ x2 + y + 4x − y − = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn có bán kính R = 10 Câu 44: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Biết f ( ) = ∫ xf ( x ) d x = , ∫ x f ′( x) d x A 107 B 34 C 24 Lời giải D −36 Đáp án D Xét tích phân I = ∫ xf ( x ) d x = 1 d t x = t 6 Khi x = t = Khi x = t = 6 1 tf ( t ) d t , Do I = ∫ tf ( t ) d t = 6 36 ∫0 Đặt t = x ⇒ d x = 6 6 tf ( t ) d t = ⇒ ∫ tf ( t ) d t = 36 ⇒ ∫ tf ( t ) d t = 36 ⇒ ∫ xf ( x ) d x = 36 suy 36 ∫0 0 Xét tích phân J = ∫ x f ′ ( x ) d x d u = x d x u = x ⇒ Đặt , ta có d v = f ′ ( x ) d x v = f ( x ) 6 J = ∫ x f ′ ( x ) d x = x f ( x ) − ∫ xf ( x ) d x = x f ( x ) − 2∫ xf ( x ) d x 0 0 = f ( ) − f ( ) − 2.36 = −36 2 Câu 45: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f x − 3x = ( A ) B C Lời giải D Đáp án A f ( x3 − 3x ) = 3 Phương trình f ( x − x ) = ⇔ f ( x3 − 3x ) = − x − x = a1 , ( −2 < a1 < ) 3 * Phương trình f ( x − 3x ) = ⇔ x − 3x = a2 , ( < a2 < ) x − x = a3 , ( a3 > ) 3 * Phương trình f x − 3x = − ⇔ x − x = a4 , ( a4 < −2 ) Đồ thị hàm số y = x − x có dạng hình vẽ sau: ( ) Dựa vào đồ thị ta có: - Phương trình x − x = a1 - Phương trình x − x = a2 - Phương trình x − x = a3 - Phương trình x − x = a4 có nghiệm phân biệt có nghiệm phân biệt có nghiệm có nghiệm 3 Vậy phương trình f x − 3x = có nghiệm phân biệt ( ) Câu 46: Cho phương trình ( log 32 x - log x - 1) x - m = (m tham số thực) Có tất cả giá trị nguyên dương m để phương trình đã cho có nghiệm phân biệt? A 123 B 125 C Vô số D 124 Lời giải Đáp án A ìï x > Điều kiện: ïí ïïỵ x ³ log m éx = élog x = ê ê ê ê 1 log x =Û êx = Phương trình Û ê ê ê ê ê êx = log m êx = log m ë ë TH1: Nếu m = x = log m = (loại) nên phương trình đã cho có nghiệm phân biệt TH2: Nếu m >1 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 £ log m < Û Ê m