THÔNG TIN TÀI LIỆU
1 Kiểm tra chất lượng học sinh giỏi năm học 2008 – 2009 Mơn Tốn lớp Thời gian 150 phút – Khơng kể thời gian giao đề Bµi (3 điểm)Tính giá trị biểu thức 1 1+ 29 4 4 A= 1 + 30 4 4 Bài (4 điểm) a/ Với số a, b, c không đồng thời nhau, hÃy chứng minh a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc b/ Cho a + b + c = 2009 chøng minh r»ng a + b3 + c3 - 3abc = 2009 a + b + c - ab - ac - bc Bµi (4 ®iĨm) Cho a 0, b ; a b thảo mÃn 2a + 3b 2a + b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = a2 2a b Bài (3 điểm) Giải toán cách lập phương trình Một ô tô từ A đến B Cùng lúc ô tô thứ hai từ B đến A vơí vËn tèc b»ng vËn tèc cđa « t« thø nhÊt Sau giê chóng gỈp Hái ô tô quÃng đường AB bao lâu? Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M, N thứ tự trung điểm BC AC Các đường trung trực BC AC cắt O Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt H a) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác nào? b) Gọi G trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? c) Chøng minh ba ®iĨm M , O , G thẳng hàng? ề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 Môn: Toán lớp Thêi gian lµm bµi 120 x5 x Bµi Cho biĨu thøc: A = x x x a) Rót gän biĨu thøc A b) T×m x để A - A c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Bài 2: a) Cho a > b > vµ 2( a2 + b2) = 5ab Tính giá trị biểu thức: P = 3a b 2a b b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng a2 + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải phương trình: a) x 1 x x 1 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = Bài ABP ACP , kẻ PH 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm tam gi¸c cho AB, PK AC Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bµi 5: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng d cắt cạnh AB, AD M K, cắt ®êng chÐo AC t¹i G Chøng minh r»ng: AB AD AC AM AK AG Líp THCS - Năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x x 2008 x 2007 x 2008 Bµi 2: (2điểm) Giải phương trình: x 3x x 2 1 1 x x x x x x x x x Bài 3: (2điểm) Căn bậc hai 64 cã thĨ viÕt díi d¹ng nh sau: 64 Hỏi có tồn hay không số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng số nguyên? HÃy toàn số T×m sè d phÐp chia cđa biĨu thøc x x x x 2008 cho ®a thøc x 10 x 21 Bµi 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H BC) Trên tia HC lÊy ®iĨm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD BC AH HC HÕt ĐÒ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2008 - 2009 Môn: Toán (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bài (4 điểm): Cho biểu thức A 4xy y x2 : 2 y xy x y x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài (4 điểm): a) Giải phương trình : x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2009 y 2009 z 2009 32010 Bài (3 điểm): Chứng minh với n N n5 n ln có chữ số tận giống Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E ECB a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD 1200 S b) Cho BMC AED 36cm Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH BC H BC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ PD Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y (với x y dấu) y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y x2 y 3 y x y x (với x 0, y ) Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn: Toán Lớp Năm học 2008 – 2009 Thêi gian lµm bµi: 150 Bµi 1: (4 ®iĨm) abc0 1, Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n , tÝnh A a b c 2 a b c 2009 2, Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n x y z Tìm giá trị lớn B xy yz zx Bµi 2: (2 ®iĨm) Cho ®a thøc f x x px q víi p Z, q Z Chøng minh r»ng tån t¹i sè nguyên k để f k f 2008 f 2009 Bµi 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên dương x, y thoả m·n 3xy x 15y 44 2, Cho sè tù nhiªn a 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) Cho phương trình 2x m x , tìm m để phương trình có nghiệm dương x2 x2 Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC F, CE cắt O Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính EOF Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lần BE BF AB lượt lấy điểm E vµ F cho EAD FAD Chøng minh r»ng: CE CF AC Bµi 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ ®Õn 2008, ngêi ta lµm nh sau lÊy hai sè bÊt kú vµ thay b»ng hiƯu cđa chóng, cø làm đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số không? Giải thích HÕt ThÝ sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: 6 ĐỊ thi häc sinh giỏi lớp Năm học 2008-2009 Môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu (5 điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 sè nguyªn tè n 3n 2n 6n b) B= có giá trị số nguyên n2 c) D=n5-n+2 số phương (n 2) Câu 2: (5 ®iĨm) Chøng minh r»ng : a) a b c biÕt abc=1 ab a bc b ac c b) Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 c) a2 b2 c2 c b a b2 c2 a2 b a c Câu 3: (5 điểm) Giải phương trình sau: a) x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dương Câu 4: (5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E, cát BC F a) Chøng minh r»ng : diƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b) Chøng minh : 1 AB CD EF c) Gäi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng dường thẳng đI qua K chia đôi diện tích tam gi¸c DEF -hÕt ề thi phát học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn: toán (120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu rhứ sau luôn dương (hoặc âm) với giá trị chử đà cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau: x 8x Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phương số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC CAD Tính AD chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số dư phép chia cđa biĨu thøc : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bµi 9: (3 ®) Cho biĨu thøc : 2x 2x : 1 x 1 x x x x C= a) Tìm điều kiện x để biểu thức C Xác định b) Rút gọn C c) Với giá trị x biểu thức C xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC>AB) , đường cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chøng minh AE=AB b) Gäi M trung ®iĨm cña BE TÝnh gãc AHM HÕt - Hướng dẫn chấm môn toán Bài 1.1 Néi dung §iĨm abc0 Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n , tÝnh A a b c 2 a b c 2009 2,00 Ta cã a b c2 a b c ab bc ca 2 ab bc ca 0,50 2 a b c2 2009 a b b c c a ab bc ca 2abc a b c 2 2009 A a b c a b c2 a b b c2 c2 a 1.2 Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n x y z T×m giá trị lớn B xy yz zx 2 2 2 0,50 1,00 2,00 B xy z x y xy 3 x y x y xy x y x y x y xy 3x 3y y 3y 6y y 3 x x y 1 y 1 y 3 x y z 1 DÊu = x¶y x x y z 2 Vậy giá trị lớn B x = y = z = Cho ®a thøc f x x px q víi p Z, q Z Chứng minh tồn số nguyên k để 1,25 0,50 0,25 2,00 f k f 2008 f 2009 f f x x f x x p f x x q f x 2.x.f x x p.f x p.x q f x f x 2x p x px q f x x px q 2x p 1 f x x 1 p x 1 q f x f x 1 Víi x = 2008 chän k f 2008 2008 Suy f k f 2008 f 2009 3.1 Tìm số nguyên dương x, y thoả mÃn 3xy x 15y 44 1,25 0,50 0,25 2,00 3xy x 15y 44 x 3y 1 49 0,75 x, y nghuyêndương x + 5, 3y + nguyên dương lớn 0,50 Thoả mÃn yêu cầu toán x + 5, 3y + ước lớn 49 nªn cã: x5 x 3y y Vậy phương trình có nghiệm nguyên x = y = 0,75 3.2 Cho sè tù nhiªn a 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d 2,00 tổng chữ số c TÝnh d a 29 2009 23 3.2009 23 6027 10 6027 b 9.6027 54243 c 4.9 41 d 1.9 13 1 1,00 23 1mod a 1mod mµ a b c d mod d 1mod Tõ (1) vµ (2) suy d = 2 2x m x , tìm m để phương trình có nghiệm dương x2 x2 §iỊu kiƯn: x 2;x 2 2x m x x 1 m 2m 14 x2 x2 m = 1phương trình có dạng = -12 vô nghiệm 2m 14 m phương trình trở thành x m 2m 14 1 m m4 2m 14 Phương trình có nghiệm dương 2 1 m 1 m 2m 14 1 m m4 Vậy thoả mÃn yêu cầu to¸n 1 m Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm Cho phương trình 0,75 0,25 3,00 0,25 0,75 0,25 0,50 1,00 0,25 3,00 E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC F Chứng minh AEC đồng dạng CAF , EOF tính AEB đồng dạng CBF (g-g) AB AE.CF AC AE.CF E A AE AC AC CF AEC đồng dạng CAF (c-g-c) AEC đồng dạng CAF CAF mµ AEC AEC EAO ACF EAO EOF 120 180 DAC O B D C 1,00 1,00 1,00 F Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, 3,00 10 EAD FAD Chứng minh rằng: DC lấy điểm E vµ F cho BE BF AB CE CF AC A AE EH AF FK K S ABE BE EH.AB AE.AB BE AE.AB S CF FK.AC AF.AC CF AF.AC ACF D C E F B BF AF.AB T¬ng tù CE AE.AC BE BF AB (đpcm) CE CF AC Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau lÊy hai sè bÊt kú H KỴ EH AB t¹i H, FK AC t¹i K CAF; BAF CAE BAE HAE đồng dạng KAF (g-g) 1,00 1,25 0,50 0,25 2,00 vµ thay b»ng hiƯu cđa chóng, cø làm đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số không? Giải thích Khi thay hai sè a, b bëi hiƯu hiƯu hai sè th× tính chất chẵn lẻ tổng số có bảng không đổi 2008 2008 1004.2009 mod ; 1mod Mµ S 2008 bảng lại số 1,00 1,00 11 Kỳ thi chn học sinh giỏi lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án thang điểm: Nội dung Bài Câu 1.1 Điểm 2,0 (0,75 ®iÓm) x x x x x x x 1 x 1 0.5 x 1 x 1.2 0,5 (1,25 ®iĨm) x 2008 x 2007 x 2008 x x 2007 x 2007 x 2007 x x 2007 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 0,25 x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008 2 2 2.1 0,25 2,0 x x x (1) + NÕu x : (1) x 1 x (tháa m·n ®iỊu kiƯn x ) + NÕu x : (1) x x x x x 1 x 1 x 3 x 1; x (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) cã mét nghiƯm nhÊt lµ x 2.2 0,25 2 0,5 2 0,5 1 1 x x x x x (2) x x x x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 2 1 1 (2) x x x x x x x x x 0,25 1 2 x x x x 16 x x x hay x 8 x Vậy phương trình đà cho cã mét nghiƯm x 8 0,5 0,25 12 иp án hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi Năm học 2008 - 2009 Môn: Toán Bi 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x y; y (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất giá trị ngun dương A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = A + (x – y + 1)2 = A = – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với x ; y) A (0,5đ) x y x + A = 2x x y y x y;y 2 (x y 1) + A = 2x x y Từ đó, cần cặp giá trị x y, chẳng x y;y 1 x hạn: y + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài 2: (4 điểm) x 11 x 22 x 33 x 44 a) 115 104 93 82 x 11 x 22 x 33 x 44 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 0 115 104 93 82 (0,5 điểm) (1 điểm) (0,5 điểm) x 126 x 126 2 (0,5 điểm) b) x + y + z = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (0,75 điểm) 13 x y y z z x xyz x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z =3 Vậy x = y = z = (0,5 điểm) Bài (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n 10 - Chứng minh : n5 - n n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) (vì n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n – n n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) (1,25 điểm) lý luận dẫn đến tổng chia hết cho 5 - Vì ( ; ) = nên n – n 2.5 tức n – n 10 Suy n5 n có chữ số tận giống (0,75 im) Bài 4: điểm E D A M Q B P I H C Câu a: điểm * Chøng minh EA.EB = ED.EC - Chøng minh EBD đồng dạng với (1 điểm) ECA (gg) EB ED EA.EB ED.EC EC EA ECB (1 ®iĨm) * Chøng minh EAD - Tõ ®ã suy - Chøng minh EAD ®ång d¹ng víi ECB (cgc) ECB - Suy EAD Câu b: 1,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,75 ®iĨm 0,25 ®iĨm 14 = 120o AMB = 60o ABM = 30o - Tõ BMC - XÐt 0,5 ®iĨm = 30o EDB vuông D có B ED = ED EB EB 0,5 ®iĨm S EAD ED - Lý luËn cho tõ ®ã S ECB EB SECB = 144 cm2 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) - Chøng minh CM.CA = CI.BC - Chøng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi Cách 2: Cã thĨ biÕn ®ỉi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 0,5 ®iĨm 0,5 ®iĨm 0,5 ®iĨm Câu d: điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm BH BD BP BD BP BD DH DC DQ DC DQ DC 0,5 ®iĨm - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) DCQ BDP CQ PD o ma`BDP PDC 90 ®iĨm Bài 5: (2 điểm) a) x, y dấu nên xy > 0, x y 2 y x (*) x y 2xy (x y)2 (**) Bất đẳng thức (**) đúng, suy bđt (*) (đpcm) (0,75đ) x y t y x x2 y2 (0,25đ) t2 y x Biểu thức cho trở thành P = t2 – 3t + (0,25đ) P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + - Nếu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t t – ; t – > t t 1 b) Đặt P Đẳng thức xảy t = x = y (1) (0,25đ) - Nếu x; y trái dấu x y t < t – < t – < y t t 1 > P > x (2) (0,25đ) - Từ (1) (2) suy ra: Với x ; y ln có P Đẳng thức xảy x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y 15 KiĨm tra chÊt lỵng häc sinh giỏi năm học 2008 2009 Đáp án, biểu điểm, hướng dẫn chấm Môn Toán Nội dung Điểm Bài (3 ®iĨm) 1 1 Cã a + = a a a a a a 2 2 1,0 Khi cho a c¸c giá trị từ đến 30 thì: Tử thức viết thành 0,5 2 2 2 (12+1+ )(12-1+ )(32+3+ )(32-3+ ).(292+29+ )(292-29+ ) Mẫu thức viết thành 2 0,5 2 2 (22+2+ )(22-2+ )(42+4+ )(42-4+ )(302+30+ )(302-30+ ) Mặt khác (k+1)2-(k+1)+ 12 1 =………….=k2+k+ 2 0,5 0,5 Nªn A= 1861 302 30 Bài 2: điểm ý a: điểm -Có ý tưởng tách, thêm bớt thể vậyđể sử dụng bước sau -Viết dạng bình phương hiệu - Viết bình phương hiệu - Lập luận kết luận ý b: điểm Phân tích tủ thức thành nhân tử Rút gọn kết luận Bài : điểm *Từ 2a + b vµ b ≥ ta cã 2a ≤ hay a ≤ Do ®ã A=a2 - 2a - b Nên giá trị lớn A lµ a=2vµ b=0 * Tõ 2a + 3b ≤ suy b ≤ - a 2 22 22 ≥a = ( a )2 3 9 22 2 VËy A có giá trị nhỏ a = b = 3 Do ®ã A ≥ a2 2a + Bài : điểm - Chọn ẩn đạt điều kiện - Biểu thị đại lượng theo ẩn số liệu đà biết(4 đại lượng) - Lập phương trình - Giải phương trình - Đối chiếu trả lời ®óng thêi gian cđa « t« - LËp ln , tính trả lời thời gian ô tô lại Bài : điểm ý a : điểm Chứng minh 1.0 cặp góc Nêu cặp góc 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 x 0,25 0,5 0,5 0,5 A H N G O C B M 16 lại Chỉ hai tam 0,5 giác đồng dạng ý b : điểm Từ hai tam giác 0,5 đồng dạng ý a suy tỉ số cặp cạnh AH / OM Tính tỉ số cặp 0,5 cạnh AG / GM Chỉ cặp góc 0,5 Kết luận tam 0,5 giác đồng dạng ý c : điểm - Từ hai tam giác đồng dạng 0,5 câu b suy góc AGH = góc MGO (1) - Mặt khác góc MGO + Gãc 0,5 AGO = 1800(2) - Tõ (1) vµ (2) suy gãc 0,5 AGH + gãc AGO = 180 - Do H, G, O thẳng hàng 0,5 Chú ý: -Các cách giải khác chấm điểm tương tự theo bước `-Điểm làm tổng số điểm HS làm được, không làm tròn ... Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: 6 ề thi học sinh giỏi lớp Năm học 200 8- 2 009 Môn toán (150 phút không... -hÕt ĐỊ thi ph¸t hiƯn häc sinh giỏi bậc thcs năm học 200 8- 2 009 Môn: toán (120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b =7 tính giá... x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y 15 KiÓm tra chất lượng học sinh giỏi năm học 20 08 2009 Đáp án, biểu điểm, hướng dẫn chấm Môn Toán Nội dung Điểm Bài (3 điểm) 1 1 Cã a + =
Ngày đăng: 28/04/2021, 14:12
Xem thêm: