Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tam Dương

Với mong muốn giúp các bạn học sinh khối 8 đạt kết quả cao trong kì thi học sinh giỏi sắp tới, TaiLieu.VN đã sưu tầm và chia sẻ đến các bạn Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tam Dương, mời các bạn cùng tham khảo!

PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 – 2023 ĐỀ THI MƠN TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ghi chú: - Đề thi có 01 trang - Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Câu (2.0 điểm) Tìm số a, b cho đa thức P ( x ) = ax + bx + 5x − 50 chia hết cho đa thức x + 3x − 10 Câu (2.0 điểm) 3abc Hỏi Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC thỏa mãn hệ thức a + b3 + c3 = tam giác ABC tam giác gì? Câu (2.0 điểm) x −a x −b x −c 1 1 Giải phương trình + + =  + +  Biết a, b, c số khác bc ca ab a b c thỏa mãn điều kiện a + b + c ≠ Câu (2.0 điểm) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu (2.0 điểm) 35 Tìm số nguyên x, y, z cho ( x − y ) + ( y − z ) + z − x = Câu (2.0 điểm) Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh tam giác ABC G, E, F OA OB OC Chứng minh rằng: + + = AG BE CF Câu (2.0 điểm) Cho ba số nguyên x, y, z có tổng chia hết cho Chứng minh biểu thức M = ( x + y )( y + z )( z + x ) − 2xyz chia hết cho Câu (4.0 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M, N 1 a) Chứng minh + = AB CD MN b) Biết SAOB = 2022 ; SCOD = 20232 Tính SABCD Câu (2.0 điểm) Trên tờ giấy kẻ vô hạn ô vuông tô màu đỏ xanh thỏa mãn: hình chữ nhật có kích thước 2x3 có hai màu đỏ Hỏi hình chữ nhật có kích thước 2022x2023 có màu đỏ Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm! HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2.0 điểm) Tìm số a, b cho đa thức P ( x ) = ax + bx + 5x − 50 chia hết cho đa thức x + 3x − 10 Lời giải: Ta có: x + 3x − 10 = ( x − )( x + ) Vì P ( x ) chia hết cho x + 3x − 10 ⇒ P ( x ) chia hết cho x – x + (1) P ( ) = 8a + 4b − 40 = ⇔ 2a + b = 10 P ( −5 ) = −125a + 25b − 75 = ⇔ −5a + b = (2) Suy ra: Từ (1) (2) tính được: a = 1; b = Vậy: a = 1; b = Câu (2.0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC thỏa mãn hệ thức a + b + c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC tam giác gì? Lời giải: 3 3abc Ta có: a + b + c = ⇔ ( a + b ) + c3 − 3ab ( a + b ) − 3abc = ⇔ ( a + b + c ) − ( a + b ) c ( a + b + c ) − 3ab ( a + b + c ) = ⇔ ( a + b + c ) ( a + b + c ) − ( a + b ) c − 3ab  =   ⇔ ( a + b + c ) ( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca − 3ca − 3bc − 3ab ) = ⇔ ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) = Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC ⇒ a + b + c > 0 ⇒ a + b + c − ab − bc − ca = 2 ⇔ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca = 2 ⇔ (a − b) + ( b − c) + (c − a ) = ⇔a–b=b–c=c–a=0 ⇔ a = b = c Vậy tam giác ABC x −a x −b x −c 1 1 Câu (2.0 điểm) Giải phương trình + + =  + +  Biết a, b, c số bc ca ab a b c khác thỏa mãn điều kiện a + b + c ≠ Lời giải: ĐK: a + b + c ≠ a, b,c số khác x −a x −b x −c 1 1 Ta có: + + = 2 + +  bc ca ab a b c ( x − a ) a + ( x − b ) b + ( x − c ) c=  bc + ac + ab  ⇔   abc cab abc  abc bac cab  ⇔ ( a + b + c ) x − ( a + b2 + c2 ) abc ⇒ (a + b + c) x = (a + b + c) 2ab + 2bc + 2ca = abc (vì abc ≠ ) (a + b + c) ⇔x= (a + b + c) (vì a + b + c ≠ ) ⇔ x =a+b+c Vậy phương trình cho có nghiệm: x = a + b + c Câu (2.0 điểm) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải: Gọi hai số phương liên tiếp n ( n + 1) (n ∈ ) ( Ta có: n + ( n + 1) + n ( n + 1)= 2n + 2n + + n + n 2 ) = 2n + 2n + + n + 2n + n = n + 2n + 3n + 2n + = n + n3 + n + n3 + n + n + n + n + ( ) ( ) ( = n ( n + n + 1) + n ( n + n + 1) + ( n = ( n + n + 1)( n + n + 1) = ( n + n + 1) 2 2 2 ) + n + 1) 2 =  n ( n + 1) + 1 2 Do n(n + 1) chẵn ⇒ n(n + 1) + lẻ ⇒  n ( n + 1) + 1 số phương lẻ (đpcm) 35 Câu (2.0 điểm) Tìm số nguyên x, y, z cho ( x − y ) + ( y − z ) + z − x = Lời giải: 35 (*) ( x − y ) + 3( y − z ) + z − x = Đặt x – z = a; y – z = b (a, b nguyên) ⇒ x – y = a – b (*) trở thành: ( a − b ) + 3b + a = 35 số lẻ (1) +) TH1: a, b tính chẵn lẻ thì: a – b chẵn ⇒ (a – b)3 chẵn; 3b + a chẵn ⇒ ( a − b ) + 3b + a chẵn (loại) ⇒ không tồn a, b nguyên thỏa mãn (1) ⇒ không tồn x, y, z nguyên thỏa mãn (*) +) TH2: a, b khác tính chẵn lẻ thì: a – b lẻ ⇒ (a – b)3 lẻ; 3b + a lẻ ⇒ ( a − b ) + 3b + a chẵn (loại) ⇒ không tồn a, b nguyên thỏa mãn (1) ⇒ không tồn x, y, z ngun thỏa mãn (*) Tóm lại: Khơng tồn x, y, z nguyên thỏa mãn đề Câu (2.0 điểm) Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt OA OB OC cạnh tam giác ABC G, E, F Chứng minh rằng: + + = AG BE CF Lời giải: A F O B K E C G I Kẻ OI ⊥ BC (I ∈ BC); AK ⊥ BC (K ∈ BC) ∆AKG có: OI // AK (cùng ⊥ BC) OI OG = (1) AK AG BC.OI SOBC OI Lại = có: (2) = SABC BC.AK AK OG SOBC Từ (1) (2) suy ra: = AG SABC OE SOAC OF SOAB Tương tự: ; = = BE SABC CF SABC ⇒ (Hệ Ta-lét) OG OE OF SOBC SOAB SOAC SABC + + = + + = = AG BE CF SABC SABC SABC SABC AG − OA BE − OB CF − OC ⇒ + + = AG BE CF OA OB OC ⇒ 1− +1− +1− = AG BE CF OA OB OC ⇒ (đpcm) + + = AG BE CF Câu (2.0 điểm) Cho ba số nguyên x, y, z có tổng chia hết cho Chứng minh biểu thức M = ( x + y )( y + z )( z + x ) − 2xyz chia hết cho Lời giải: M = ( x + y )( y + z )( z + x ) − 2xyz Do đó: ( ) = xy + xz + y + yz ( z + x ) − 2xyz =  y ( x + y + z ) + zx  ( z + x ) − 2xyz = y ( x + y + z )( z + x ) + zx ( x + y + z ) − 3xyz = ( x + y + z )( xy + yz + zx ) − 3xyz Do x + y + z ⇒ ( x + y + z )( xy + yz + zx ) (1) Mặt khác: x + y + z nên số x, y, z có số chẵn Vì ba số lẻ x + y + z lẻ ⇒ x + y + z  Trái với giả thiết ⇒ 3xyz  (2) Từ (1) (2) suy ra: ( x + y + z )( xy + yz + zx ) − 3xyz Vậy M  Câu (4.0 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M, N 1 a) Chứng minh + = AB CD MN b) Biết SAOB = 2022 ; SCOD = 20232 Tính SABCD Lời giải: A M B O N D C a) Từ giả thiết đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M, N OM OD ON OC OD OC (Định lí Ta-lét) Ta có: = = ; = ; AB BD AB AC DB AC OM ON ⇒ = ⇒ OM = ON AB AB OM DM Xét ∆ABD có: (1) (Hệ định lí Ta-lét) = AB AD OM AM Xét ∆ADC có : (2) (Hệ định lí Ta-lét) = DC AD  AM + DM AD  Từ (1), (2) ⇒ OM  + = =1 = AD AD  AB CD    Chứng minh tương tự : ON  + =  AB CD  1 ⇒ + = AB CD MN S OB S OB b) AOB =; BOC =⇒ SAOB SDOC = SBOC SAOD SAOD OD SDOC OD SBOC ⇒ SAOB SDOC = Chứng minh được: SAOD = (SAOD ) 20222.20232 ⇒= SAOD 2022.2023 Thay số ta được: ( S= AOD ) Do : SABCD = 20222 + 2.2022.2023 + 20232 = ( 2022 + 2023) = 40452 (đvdt) Câu (2.0 điểm) Trên tờ giấy kẻ vô hạn ô vuông tô màu đỏ xanh thỏa mãn: hình chữ nhật có kích thước 2x3 có hai màu đỏ Hỏi hình chữ nhật có kích thước 2022x2023 có màu đỏ Lời giải: Ta chứng minh hình chữ nhật 1x3 có màu đỏ M Giả sử hình chữ nhật có kích thước 1x3 có số màu đỏ A N B khác ⇒ Số ô màu đỏ hình chữ nhật 1x3 Xét hình chữ nhật 1x3 ABCD (hình vẽ): D C +) Nếu ABCD khơng có màu đỏ: Do hình chữ nhật 2x3 ABFE có màu đỏ E F ⇒ hình chữ nhật 1x3 CDEF có màu đỏ Do hình chữ nhật 2x3 CDHG có màu đỏ ⇒ hình chữ nhật 1x3 EFGH khơng có màu đỏ Khi hình chữ nhật 2x3 ANPH BMQG có H G Q P màu đỏ ⇒ Trái với giả thiết +) Nếu ABCD có màu đỏ: Do hình chữ nhật 2x3 ABFE có màu đỏ ⇒ hình chữ nhật 1x3 CDEF khơng có màu đỏ Do hình chữ nhật 2x3 CDHG có màu đỏ M N B X A ⇒ hình chữ nhật 1x3 EFGH có màu đỏ Khi hình vng 3x3 ABGH có màu đỏ Do hình chữ nhật 2x3 ANPH BMQG có D C ô màu đỏ nên ô màu đỏ hình vng 3x3 ABGH phải vị trí hình vẽ E Do hình chữ nhật 2x3 XYNP có màu đỏ U F V ⇒ hình chữ nhật 1x3 BXYG khơng có màu đỏ ⇒ hình chữ nhật 2x3 MXUV có màu đỏ ⇒ Y H G Q P Trái với giả thiết Tóm lại: Hình chữ nhật 1x3 ABCD tùy ý có màu đỏ Vậy hình chữ nhật có kích thước 2022x2023 có số màu đỏ là: 674.2023 = 1363502 (ô đỏ) _