Trong chương trình giải tích lớp 12, để vẽ đồ thị của hàm số chúng ta trước hết phải khảo sát sự biến thiên và các tính chất của nó rồi mới vẽ đồ thị. Tuy nhiên khi có các dạng đồ thị của hàm số rồi nhưng học sinh chúng ta không biết vận dụng chiều ngược lại để nghiên cứu các tính chất của nó. Cũng trong chương trình giải tích lớp 12, ta gặp rất nhiều bài toán liên quan đến khảo sát hàm số như về tính đơn điệu, tính cực trị của hàm số, để giải các bài toán loại này...
Mở đầu Trong chương trình giải tích lớp 12, để vẽ đồ thị hàm số trước hết phải khảo sát biến thiên tính chất vẽ đồ thị Tuy nhiên có dạng đồ thị hàm số học sinh vận dụng chiều ngược lại để nghiên cứu tính chất Cũng chương trình giải tích lớp 12, ta gặp nhiều toán liên quan đến khảo sát hàm số tính đơn điệu, tính cực trị hàm số, để giải toán loại rõ ràng phải sử dụng đến công cụ đạo hàm Tuy nhiên có nhiều tốn dạng biết phương pháp để giải thực tính tốn phức tạp Trong q trình dạy học phần hàm số bậc hai bậc rút đôi điều kinh nghiệm việc dùng đồ thị hàm số để giải ngắn gọn số tốn liên quan đến tính đồng biến nghịch biến cực trị hàm số loại Dù kinh nghiệm cịn tơi coi đề tài sáng kiến kinh nghiệm với tên gọi "Khơng dùng đạo hàm để giải toán liên quan đến khảo sát hàm số" với đề tài nhỏ tơi trình bày trước tổ chun mơn triển khai dạy học sinh lớp 12 phụ trách, nhiều đem lại hiệu Nội dung I Giải toán tổng quát: Bài toán: Cho hàm số phân thức bậc hai bậc (có chứa tham số) ax bx c y F ( x ) dx e (ad 0) (1) Tìm điều kiện để: Hàm số (1) đồng biến (hay nghịch biến) khoảng xác định Hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm hai phía khác trục hồnh Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm phía trục hồnh Sơ lược cách giải: Với tốn quen biết đường lối (phương pháp) giải rõ ràng Để giải ý phải tính đạo hàm y ' F ' ( x) Ở ý điều kiện là: F'(x) > x e e ( hay F'(x) < x ) d d Ở ý điều kiện phương trình F'(x) = có nghiệm phân biệt Ở ý điều kiện phương trình F'(x) = có nghiệm phân biệt yCĐ yCT Ở ý điều kiện phương trình F'(x) = có nghiệm phân biệt yCĐ yCT Nhận xét: Khi giải theo phương pháp truyền thống với hai ý khơng có khó khăn Tuy nhiên với hai ý nói chung gặp nhiều khó khăn tính yCĐ yCT (tính tốn dài cồng kềnh) chí khơng kiên trì khơng đến kết Liệu có phương pháp khác dễ để giải toán ? Ở viết qua kinh nghiệm thân, đưa phương pháp giải ngắn gọn hơn, khơng phải tính đạo hàm khơng gặp khó khăn Trước giải tốn trên, ta nói qua sở khoa học phương pháp giải *) Xét hàm số ax bx c y F ( x ) dx e (1) Với điều kiện (ad 0) f ( x0 ) 0 (với f ( x) ax bx c ; x0 e ) d Trong chương trình giải tích lớp 12 ta khảo sát hàm số (1) đồ thị hàm số (1) dạng sau: (tùy theo kiện a, b, c, d, e) Đồ thị có dạng hình a.d > y' = có hai nghiệm phân biệt Đồ thị có dạng hình a.d < y' = có hai nghiệm phân biệt Đồ thị có dạng hình a.d > y' = vơ nghiệm Đồ thị có dạng hình a.d < y' = vơ nghiệm Các hình minh họa đồ thị hàm số có điểm cự đại điểm cực tiểu Các hình minh họa hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng xác định y y O x x0 x x0 O Hình Hình y y O x x0 Hình O x0 x Hình (Chú ý: Ở tùy theo số a, b, c, d, e mà hệ trục Oxy tịnh tiến lên xuống hay sang trái sang phải) Từ dạng đồ thị hàm số (1) ta có nhận xét sau: a) Trường hợp hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến khoảng xác định (hình 3, 4) đồ thị cắt trục hồnh hai điểm phân biệt nằm hai phía khác tiệm cận đứng x = x0 tức phương trình F(x) = hay phương trình f(x) = ax2 + bx + c = có hai nghiêm phân biệt x1 , x2 cho x1 < x0 < x2 Vậy trường hợp xảy af(x0) > b) Trường hợp hàm số (1) có cực đại cực tiểu (hình 1, 2) đồ thị khơng cắt trục hồnh cắt trục hồnh hai điểm (có thể hai điểm khơng phân biệt) nằm bên trái bên phải đường thẳng tiệm cận đứng x = x0 tức phương trình phương trình F(x)=0 hay phương trình f(x)= ax2 + bx + c = vơ nghiệm có hai nghiêm x1 , x2 lớn nhỏ x0 Vậy trường hợp xảy af(x0) > c) Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm hai phía trục hồnh phương trình F(x)=0 hay phương trình f(x) = ax2 + bx + c = vơ nghiệm (hình 1, 2) d) Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm phía trục hồnh đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt nằm bên trái hay nằm bên phải đường thẳng tiệm cận đứng x = x0 tức phương trình F(x)=0 hay phương trình f(x) = ax2 + bx + c = có hai nghiêm x1 , x2 lớn nhỏ x0 Lưu ý: từ nhận xét ta rút kết luận Đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía khác đường thẳng có phương trình y = k đồ thị khơng cắt đường thẳng y = k hay phương trình F(x) = k vơ nghiệm tức phương trình f(x) = ax2 + bx + c = k(dx + e) vô nghiệm (hình 5, 6) y y x0 x O y=k y=k x0 Hình O x Hình Từ nhận xét ta rút phương pháp để giải tốn tổng qt ban đầu là: * Để hàm số (1) đồng biến khoảng xác định a.d điều kiện a f ( x0 ) * Để hàm số (1) nghịch biến khoảng xác định a.d điều kiện a f ( x0 ) (Trường hợp f(x0) = hàm số (1) suy biến, hàm phân thức ta xét riêng thêm, trường hợp đơn giản) Để hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu điều kiện af(x0) > Điều kiện để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm hai phía khác trục hồnh phương trình F(x) = hay phương trình f(x) = ax2 + bx + c = vô nghiệm Điều kiện để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm phía trục hồnh phương trình F(x) = hay phương trình f(x) = ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt lớn nhỏ x0 tức phải có điều kiện b 4ac af ( x0 ) II Một vài ví dụ cụ thể để minh họa Bài 1: Chứng minh với giá trị tham số m hàm số y x ( m 2) x m m (2) đồng biến khoảng x m xác định Giải: cách 1: (theo phương pháp truyền thống) Khoảng xác định hàm số (; m)(m; ) x 2mx 2m m hàm số (2)có đạo hàm y ( x m) , ta thấy g(x) = x2 - 2mx + 2m2 + m + > x (vì a=1>0 ; , m m ) suy y 0x m Vậy hàm số cho đồng biến khoảng xác định Cách 2: Ta thấy hàm số cho hàm số phân thức bậc hai bậc thật (vì x0 = m khơng nghiệm tử thức f(x) = x2 - (m + 2)x - m2 + m - với m) Theo kết phần trước ta tính: a.d = 1.1 = > af(x0) = af(m) = 1.[m2 - (m + 2)m - m2 + m - 2] = -m2 - m - < m Chứng tỏ hàm số (2)đã cho đồng biến khoảng xác định mx x Bài 2: Tìm m để hàm số y x 1 (3) Có điểm cực đại điểm cực tiểu Giải: Bằng phương pháp dùng đạo hàm ta đến kết m < m > Bây ta dùng kiến thức trình bày phần đầu để giải Đặt tử thức f(x) = mx2 + x - 2; x0 = (nghiệm mẫu thức) ta thấy hàm số (3) triệt tiêu f(-1) = hay m = Dễ thấy m = m = không thỏa mãn yêu cầu toán Xét m m hàm số (3) hàm số phân thức bậc hai bậc Để hàm số (3) có điểm cực đại điểm cực tiểu điều kiện af(x0) > hay m[m.(-1)2 + (-1) - 2] > m(m - 3) > m < m > Ta đến đáp số m < m > Bài 3: mx 3mx 2m Cho hàm số y (4) x Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (4) có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm hai phía trục hoành Giải: *) Xét trường hợp m = m 1 (m 1 hàm số suy biến) dễ thấy khơng thỏa mãn yêu cầu toán *) Xét trường hợp m m 1 hàm số (4) thực hàm phân thức bậc hai bậc nhất, điều kiện cần đủ để đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm hai phía trục Ox là: phương trình y = hay phương trình mx2 + 3mx + 2m + = vô nghiệm suy điều kiện = (3m)2 - 4m(2m + 1) < 0 hay m[m. (-1 )2 + (-1 ) - 2] > m(m - 3) > m < m > Ta đến đáp số m < m > Bài 3: mx 3mx 2m Cho hàm số y (4) x