Chứng minh rằng các ñường thẳng của họ A(m) ñều tiếp xúc với một ñường coníc cố ñịnh.. Tìm tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' MN.. Tiếp tuyến tại mỗi giao ñiểm của chúng vuô[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 Năm học 1999 - 2000
(ðề thức) Mơn thi: Tốn
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2000 Bài (5ñiểm) Cho hàm số
x x
y
2 −
= có đồ thị đường cong (C) hàm số y =x2 −2x+6 có đồ thị (P)
a) Viết phương trình tiếp tuyến chung (C) (P)
b) Chứng minh đường (C) (P) có tiếp tuyến chung Bài ( ñiểm)
a) Cho a,b,c số thực thoả mãn a + b + c≥3 Chứng minh rằng:
3 4
c b a c b
a + + ≥ + +
b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4−x2 −mx+m=2 Bài ( điểm)
a) Giải phương trình: log2 x+log3(x+1)=log4(x+2)+log5(x+3)
b) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c diện tích S
thoả mãn:
2 sin
sin
sinC bc A ac B S
ab + + =
Chứng minh tam giác ABC ñều Bài (6 ñiểm)
a) Tính tích phân sau: ∫
− + −
= 2
3( 1)2 2
x x x
dx x
I
b) Cho Elíp: 2 2
= +
b y a x
Gọi PQ, MN hai đường kính Elíp thoả mãn đường kính chia đơi dây cung song song với đường kính
Chứng minh rằng: 2 4( 2) b a MN
PQ + = +
(2)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 Năm học 2000 - 2001
(ðề thức) Mơn thi: Tốn
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2001 Bài (3 ñiểm)
Cho hàm số: 2
)
(x x m
y= + + với x∈[−2;2] Tìm m để giá trị nhỏ hàm số: y = Bài 2( ñiểm)
Giải bất phương trình ( ẩn x): ∫ < ∫
+ x
e x
x t
dt t dt
4
ln
ln
Bài (5 ñiểm)
a) Cho n số nguyên dương lẻ (n>2) Chứng minh với số thực
x≠0 ta ln có: )
! !
3 !
)( ! !
3 !
(
3
2
< − + − + − +
+ + + +
n x x
x x n
x x
x x
n n
L
L
b) Cho số a,b,c thoả mãn: 0< a, b, c<1 ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 2 2
1
1 c
c b
b a
a P
− + − + −
=
Bài (3 ñiểm)
Cho góc α , dãy{ }un xác định sau: sin
0
1 ∑−
= +
= n
k
k k
n
u α với n∈N
Tìm giới hạn:
n LimU
n→+∞ Bài (6 điểm)
a) Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O tam diện vng Tìm tập hợp điểm M khơng gian thoả mãn ñiều kiện:
2
2
3MO MC
MB
MA + + =
b) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho họ ñường thẳng: A(m): (4 - m2)x - 6my + 3(4 + m2) =
Chứng minh ñường thẳng họ A(m) ñều tiếp xúc với đường coníc cố định
(3)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 Năm học 2001 - 2002
(ðề thức) Mơn thi: Tốn
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2002 Bài 1( ñiểm) Cho hàm số
1
− + − =
x mx x y
1) Tìm giá trị m để hàm số có cực trị 2) Gọi (C) ñồ thị hàm số m =
a) Tìm điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho ñoạn MN ngắn b) Viết phương trình đường cong (C,) đối xứng với (C) qua ñiểm I(0;1)
Bài (2 ñiểm)
a) Tìm m ñể: mx3 +(1−m)x ≤1 Với ∀x∈[−1;1]
b) Chứng minh với a,b,c ñộ dài cạnh tam giác, ta ln có:
) (
2 + + ≥ + + +
a b b c c a a c c b b a
Bài (2 ñiểm)
a) Giải hệ phương trình sau:
= − + −
= − + −
= − + −
0 12
0 12
0 12
2
2
2
z z
x
y y
z
x x
y
b) Biện luận theo a số nghiệm phương trình: 1
cos sin
2−x2 x+ +x2 x= a+ + a− Bài (2 ñiểm)
a) Cho a≥4;b≥5;c≥6 a2 +b2 +c2 =90 Hãy tìm giá trị nhỏ của: P = a + b + c
b) Tính tích phân sau: J = ∫ +tgx dx
0
) ln(
π
Bài (2 ñiểm)
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D', mặt cầu (C) nội tiếp hình lập phương Mặt phẳng (P) quay quanh điểm A, tiếp xúc với mặt cầu (C) cắt hai cạnh A'B' , A'D' M, N Tìm tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA'MN
(4)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 Năm học 2003 - 2004
(ðề thức) Mơn thi: Toán
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2004 Bài 1(5 ñiểm) Cho hàm số y =x3 +mx2 −m
với m tham số
a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lớn 2004
b) Tìm m cho x ≤1 y ≤1 Bài (5 điểm)
a) Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức
C B
A
C B
A
T 2 2 2
2
2
cos cos
cos
sin sin
sin
+ +
+ +
=
b) Cho hàm số f(x) liên tục ñoạn [−2π;2π] thoả mãn: x
x f x
f( )+ (− )= 2−2cos3 Tính ∫ − = π
π
2
2 ) ( dxx f
I
Bài (4 ñiểm) Trên mặt phẳng toạ ñộ với hệ trục toạ độ vng góc Oxy cho Elíp
(E): 2
2 2
= +
b y a x
Hypebol (H): 2 2
= −
n y m
x
cắt Tiếp tuyến giao điểm chúng vng góc với
a) Viết phương trình đường trịn qua giao điểm (E) (H) b) Chứng minh (E) (H) có hai tiêu ñiểm
Bài (4 ñiểm)
a) Các góc tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
cosA+cosB+cosC =2(cosAcossB+cosBcossC+cosCcossA) Chứng minh tam giác ABC ñều
b) Cho số thực x,y,z≥0 thoả mãn: x2004 + y2004 +z2004 ≤3 Tìm giá trị lớn biểu thức T =x2 +y2 +z2
Bài (2 ñiểm) Giải phương trình: x2 −x−2004 1+16032x =2004
(5)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 Năm học 2004 - 2005
(ðề thức) Mơn thi: Tốn
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2005 Bài 1( ñiểm).Cho hàm số: ( 1) (2 1) ( 3)
3
1 + − + + + +
= m x m x m x
y ( m làtham số)
1) (2ñiểm) Xác ñịnh m ñể hàm số ñồng biến [2;+∞)
2) (2 ñiểm) Cho m = viết phương trình tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(1; 4) với ñồ thị hàm số thu ñược
Bài (4 ñiểm) 1) (2 điểm) Giải hệ phương trình:
= −
= +
7 ) (
9 ) (
3
2 x y x
y x x
2) (2 ñiểm) Cho tam giác ABC thoả mãn: A < B < C
Chứng minh phương trình: x−sinC + x−sinB = x−sinA có nghiệm Bài (4 ñiểm)
1) (2 ñiểm) Cho số a, b, c, d > thoả mãn:
2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) +(abc + abd + acd + bcd) = 16 Chứng minh rằng: 3(a +b + c + d)≥2(ab+ac+ad+bc+bd +cd) 2) (2 ñiểm) Cho tam giác ABC có góc A, B, C thoả mãn:
2 3
sin
sin
sin =
+ +
+ +
+ C A
CA C
B BC B
A AB
Chứng minh tam giác ABC ñều Bài (6 ñiểm)
1) (4 điểm) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có
1
A(2;-1;5), A(2;-1;3), B(2;1;3), D(4;-1;3) đường thẳng ∆có phương trình:
+ =
= + =
pt z
nt y
mt x
4
với
m, n, p, t ∈R, m2 +n2 + p2 ≠0
Gọi khoảng cách từ ñỉnh hình lập phương tới đường thẳng ∆ h1,h2,L,h8 Chứng minh tổng S =h12 +h22 +h32 +h42 +h52 +h62 +h72 +h82
số không phụ thuộc vào m, n, p Tính S
2) (2 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vương góc
Tìm ñiểm M không gian cho f(M)=MA 3+MB+MC+MDlà nhỏ
Bài (2 ñiểm) Cho f(x)=a1sinb1x+a2sinb2x+a3sinb3 +L+ansinbnx Thoả mãn f(x) ≤1 với x∈[−1;1] Chứng minh a1b1+a2b2 +L+anbn ≤1
(6)
SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 Năm học 2005 - 2006
(ðề thức) Mơn thi: Tốn
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 2006 Bài 1( ñiểm)
1) Cho hàm số
1
2 2
2
+ + +
=
x
m x m x
y , với m tham số Xác ñịnh m ñể ñồ thị
hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc toạ ñộ
2) Tìm tất nghiệm dương phương trình ln2
log( 1) =
+
− +
x e x
Bài 2( điểm)
1) Giải phương trình: x−2 =2(x−3)+ x+6
2) Xác ñịnh m ñể bất phương trình sau nghiệm với x∈R:
) ( log
1
1 + > +
m x
m Bài 3(4 điểm)
1) Cho tam giác ABC có góc A, B, C thoả mãn: sin2 A+sin2B+sin2C =2 3sinAsinBsinC
Chứng minh tam giác ABC tam giác ñều
2) Tính =∫ +
0 cos
1
π
dx x x tg
I
Bài 4( 5điểm) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phưong ABCDA'B'C'D' Trong )
1 ; ; ( ), ; ; ( ), ; ; ( ), ; ;
( ' '
'
C D
B C
Trên ñoạn thẳng BD AD, lấy hai ñiểm M, N cho
DM = AN = x (0≤x≤ 2) Chứng minh MN ln song song với mặt phẳng cố định Gọi (P) mặt phẳng chứa CD, cịn α góc (P) mặt phẳng (BB'D'D) Hãy tìm giá trị nhỏ α
Bài 5(2 ñiểm) Cho a,d số không âm; b, c số dương thoả mãn:
b + c ≥ a + d a + b ≥ c + d Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức : `
b a
c d c
b P
+ + + =
(7)
Sở giáo dục ñào tạo bắc giang
ðề thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009
Mơn thi: Tốn, lớp 12 THPT
Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (5 ñiểm) Cho hàm số
2
(2 1)
(1),
m x m
y
x
− −
=
− với m tham số
1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với ñường thẳng y = x
2 Khi m = 2, tìm ñồ thị (C) hàm số (1) hai ñiểm phân biệt ñối xứng với qua ñường thẳng d: y = 2x +1
4 Câu II (4 điểm)
Giải phương trình
6 1
x+ + x− =x − (x ∈ )
Giải phương trình | cot | tan sin
x x
x
= + (x ∈ )
Câu III (5 ñiểm)
Trong hệ trục tọa ñộ Oxy, cho ñiểm A(1; 1) Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng d: y = C thuộc Ox cho tam giác ABC ñều
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = b, SA ⊥ (ABCD) SA = a
a) Gọi E trung điểm CD Tính khoảng cách từ S ñến BE theo a, b
b) Gọi α, β, γ góc mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (SAB), (SAD) (ABD) Chứng minh cos α + cos β + cos γ ≤
Câu IV (4 điểm)
Tính tích phân I =
2
cos sin
x x
dx x π
π −
+ −
∫
Tìm giá trị x khai triển Niutơn ( 2log(10 )− x +52(x−2)log 3) ,n biết số hạng thứ sáu khai triển 21 C1n+Cn3 =2Cn2
Câu V (2 ñiểm)
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh 2 12 2 1 30
x +y +z + xy+ yz+zx ≥
Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm
(8)SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: Toán-lớp 12
Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010
Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Câu I (5,0 ñiểm)
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + (m tham số) (1) 1. Tìm m để hàm số (1) ñạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 =
2. Tìm m đểđường thẳng y = cắt ñồ thị hàm số (1) tại ba ñiểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) tại B C vng góc với
Câu II (4,0 ñiểm)
1. Giải hệ phương trình: 8 5.
x x y x y y
x y
− = +
− =
(x, y ∈ R) 2. Giải phương trình: sin 4 cos 4 4 sin ( ) 1
4
x+ x= x+π − (x ∈ R)
Câu III.(2,0 ñiểm)
Cho phương trình: log(x2+10x+m)=2 log(2x+1) (với m tham số) (2)
Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt
Câu IV (2,0 điểm)
Tính tích phân:
4
2
tan cos 1 cos
xdx
x x
π
+
∫
Câu V (4,0 ñiểm)
1.Trong hệ tọa ñộ Oxy, cho ñiểm A(3; 2), ñường thẳng ∆1: x + y – = ñường
thẳng ∆2: x + y – = Tìm tọa độ điểm B thuộc ∆1 ñiểm C thuộc ∆2 cho tam giác
ABC vuông cân tại A
2.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai ñiểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) mặt phẳng (P): x + y + z - =
Tìm tọa độđiểm M mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2ñạt giá trị nhỏ nhất
Câu VI (2,0 ñiểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Góc giữa mặt phẳng (SBC) (SCD) bằng 600
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Câu VII (1,0 ñiểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng:
3 3
2 2
3
3 3 3 4
a b c
b + +c + +a + ≥ (Cán bộ coi thi khơng giải thích thêm)
Họ tên thí sinh:……….SBD:………