[r]
(1)PHÒNG GD – ĐT ĐỨC CƠ
TRƯỜNG THCS NGUYỄN HIỀN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn.
Năm học: 2009 – 2010
(Thời gian: 150 phút không kể thời gian chép đề) Bài 1: (3,0 ®iĨm) Rút gọn biểu thức sau:
1 1
1 2 3 2009 2010
A
Bài 2: (4,0 ®iĨm) Cho biểu thức:
1
B
x x x x x
a) Tìm điều kiện x để biểu thức B có nghĩa b) Rút gọn B
c) Tính giá trị B biết x 4 4
Bài 3: (3,0 ®iĨm) Cho hƯ phơng trình:
(I)
2
( 1)
mx my m x m y
(Víi m hằng sè)
a Tìm giá trị m để hệ phơng trình (I) có nghiệm
b Chứng tỏ m thay đổi hệ phơng trình (I) có nghiệm (x; y) điểm M(x;y) thuộc đờng thẳng cố định
Bài 4: (3,0 ®iĨm)
Cho ba số a, b, c thoả a + b+ c = CMR: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0
Bi 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, ph©n gi¸c AD
a) Chøng minh hƯ thøc AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Tính độ dài phân giác AD ?
Bài 6: (3,0 điểm) Cho điểm I nằm đờng tròn (O; 50 cm); OI = 14 cm Có dây đờng trịn qua I mà độ dài số tự nhiên ?
Híng dÉn chÊm
(2)Môn: Toán Năm học: 2009 -2010
Bài 1: (2,0 ®iĨm) Rút gọn biểu thức sau:
1 1
1 2 3 2009 2010
A
Ta có:
1 2
2
1
1
(0,5 ®iĨm)
1 3
3
2
2
(0,5 ®iĨm)
1 3 =
3 4
4
4
Tương tự ta có
1 1
1 2 3 2009 2010
A
= 1 3 2 4 2010 2009 (0,5 ®iĨm) = 1 2010 2010 1 (0,5 ®iÓm)
Bài 2: (5,0 ®iÓm) Cho biểu thức:
1
B
x x x x x
a) x0 (1,0 ®iĨm)
b)
1
B
x x x x x
= 3
1 2( 1)
( ) ( ) ( )
x x x
x x x
(0,5 ®iĨm)
=
1 2( 1) ( )
x x x
x
(0,5 ®iĨm)
=( 1)( 1) x x x x x
(0,5 ®iĨm)
=
( 1)
( 1)( 1)
x x x x x
=
x
x x (0,5 ®iÓm)
Vậy B =
x
x x (0,5 ®iĨm)
c) x 4 4 2=
2(4 7) 2(4 7)
2
(0,5 ®iĨm)
=
2
( 1) ( 1)
2
(3)=
7
2 2
2
(0,5 ®iĨm) Suy x = 0
Vậy giá trị B = Bài 3: (3,0 điểm)
b Ta có: (I)
2
( 1)
mx my m x m y
2 ( 1)
2
2 ( 1) ( 1)
m m y my m mx my m
x m y x m y
(0,5 ®iĨm)
2 ( 1) 2 ( 1)
.( 1) (1) ( 1)
m m y my m x m y
m m y m
x m y
(0,5 điểm)
Hệ phơng trình (I) có nghiệm Phơng trình (1) có nghiÖm nhÊt tức m(m – 1) 0
0
m m
(*) ( 0,5 ®iĨm)
b Khi
0
m m
ta cã hÖ (I) cã nghiÖm nhÊt (x; y) =
(1-1
m;
1
m) (0,5 ®iĨm)
Ta thÊy y = - x + (0,5 ®iĨm)
=> Khi m thay đổi M(x; y) ln nằm đờng thẳng cố định y = - x +
( 0,5 ®iĨm)
Bài 4: (3,0 ®iĨm)
Cho ba số a, b, c thoả a + b+ c = CMR: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0
a3 + a2c – abc + b2c + b3
= a3 + b3 + c(a2 + b2) – abc (0,5 ®iĨm)
= (a + b)(a2 – ab + b2) + c(a2 + b2) – abc (0,5 ®iĨm)
= (a + b)( a2 + b2) + c(a2 + b2) – ab(a + b) – abc (0,5 ®iĨm)
= (a + b + c)(a2 + b2) – ab(a + b) – abc (0,5 ®iĨm)
= (a + b + c)(a2 + b2) – ab(a + b + c) + abc – abc (0,5 ®iĨm)
= (a + b + c)(a2 + b2 + ab) = 0.(a2 + b2 + ab) =0 pcm (0,5 điểm)
Bài 5:(4 điểm)
Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp Δ ABC Gọi E giao điểm AD (O)
a) Ta cã : Δ ABD ~ Δ CED (g –g) (0,5 ®iĨm)
⇒ BD
ED= AD
CD ⇒ AD.ED = BD.CD
⇒ AD(AE – AD) = BD.CD
⇒ AD2 = AD.AE – BD.CD (1) (0,5 điểm)
Lại có: Δ ABD ~ Δ AEC (g –g)
⇒ AB
AE= AD
AC ⇒ AB.AC = AD.AE (2) (0,5 ®iĨm)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC (0,5 điểm)
b) Vì AD phân giác DB
DC= BA
CA (0,5 ®iĨm) A
B C
(4)⇒ DBc =DC
b =¿
DB+DC
c+b =
a
b+c (0,5 ®iĨm)
⇒ DB = ac
b+c vµ DC = ab
b+c (0,5 ®iĨm)
⇒ AD2 = bc -
b+c¿2
¿
a2bc
¿
(0,5 điểm)
Bài 6:(3 điểm)
Gọi AB dây qua I Ta cã:
AB 2.R = 2.50 = 100 (1) (0,5 điểm)
Kẻ dây MN OI I.
Chỉ đợc:
AB MN (0,5 ®iĨm)
Mµ MN = ON2 IO2 502142 48
VËy AB 48 cm (2) (0,5 ®iĨm)
Tõ (1) vµ (2) ta cã: 48 AB 100 (0,5 ®iĨm)
Mà độ dài AB số tự nhiên => AB = 48; 49; 50; … 100 (0,5 điểm)
Lại dây có dây đối xứng với qua OI (Trừ dây qua O dây vng góc với OI)
Vậy có tất 51.2 + = 104 dây có độ dài số tự nhiên (0,5 điểm)
………
Ghi chú: Học sinh làm theo cách khác kết cho điểm tối đa
A
B N
M