Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2017 tỉnh Quảng Trị có đáp án | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Tổ chấm chỉ chi tiết biểu điểm chấm, không làm thay đổi thang điểm chấm của từng câu.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 12 THPT Khóa ngày 03 tháng 10 năm 2017

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu (4,0 điểm)

Tìm m để đồ thị hàm số yx42(m2)x2m2 (m tham số thực) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có góc 120 0

Câu (5,0 điểm)

1 Giải phương trình

4 2(2 1) x  x x  x  x x

Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz1 Tìm giá trị lớn biểu thức A x y z x y z

y z x

 

       

 

Câu (6,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABCD Mặt phẳng ( )P qua A vng góc với SC cắt

, ,

SB SC SD B C D', ', ' Biết , ' SB AB a

SB

  C' nằm cạnh SC a) Tính diện tích tứ giác AB C D' ' '

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD B C' '

2 Cho đường tròn ( )O cắt cạnh tam giác ABC sáu điểm phân biệt , , , , ,

D E F G I H cho D E nằm BC, F G nằm CA, I H nằm AB Chứng minh đường thẳng qua D vng góc BC, qua F vng góc CA, qua H vng góc AB đồng quy đường thẳng qua E vng góc BC, qua G vng góc CA, qua I vng góc AB đồng quy

Câu (3,0 điểm)

1 Cho dãy số (xn) thỏa mãn *

1

5

5; ,

2 n n

n x

x x n

x 



   

 

Tìm số hạng tổng quát (xn) tính limxn Cho hàm số  

f x x ax bx cx d (a b c d, , , số thực) thỏa mãn

 1 100,  2 200,  3 300

f   f   f   Tính giá trị biểu thức  10  14 582 16

f f

P   

Câu (2,0 điểm)

Cho m n k, , *,mk Chứng minh 1

1 1

k k k k

m n m n m n m k n k

C C C C C C C

          -Hết -

Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay tài liệu

Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 Khóa ngày 03 tháng 10 năm 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: TỐN

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Hướng dẫn chấm trình bày phương án giải, học sinh làm theo phương án khác cho điểm tối đa theo ý câu

Tổ chấm chi tiết biểu điểm chấm, không làm thay đổi thang điểm chấm câu

Câu Đáp án Điểm

C1 4đ

3

' 4( 2) y  x  m x

2

0

'

2 x

y

x m

 

  

 



Hàm số có ba cực trị m 2

0, 25

0,75 Khi ' 0

2 x

y

x m

 

  

  



Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

(0; ), ( 2; 4), ( 2; 4) A m B  m  m C  m  m

Vì tam giác ABC cân đỉnh A nên BAC120 0 Gọi H trung điểm BC,

(0; 4) H  m

0,

0,5

0,5

Ta có 4

3

1

2 ( 2) 4( 2)

3

AB AHm  m  m m   0,5

1,0

C2 Ý1 3đ

Điều kiện:

x Đặt t 2x1, t0 0,5

Phương trình trở thành: 5

(1)

x xt t 0,5

Xét f x( )x5x f x, '( )5x4 1 0,x. Do hàm số f x( ) đồng biến . 0,5

Từ (1) ta xt 0,5

Từ ta có 2

2 x

x x x

x x

 

    

  



1,0

C2 Ý2 2đ

Ta có

2

3

x x y x

x

y y z  yz  (dox y z, , 0 xyz 1)

0,5 Tương tự y y z ,y z z x 3z

z z x xx y nên (1) x y z

x y z

y z x   0,5

Vì xy z 0, với (1) ta có:

 6 =9  32

A xyz  x yz  xy z 

C3

Ý1 4đ

B'

D'

G C'

O

B

D

C A

S ( ) / /P BD(do vng góc với AC) Suy

' '/ /

B D BDB D' ' AC' 0,5 Gọi G giao điểm AC' SO, theo định lý

Thales ta có ' SH SB

SO  SB  Nên G trọng tâm tam giác SAC Vậy tam giác SAC tam giác cạnh a

0,5

Tứ giác AB'C'D' có đường chéo vng góc nên có diện tích

2

1

' ' '

2 2 3

a a

S  AC B D  a 

1,0

2 Vì AD/ /(SBC) nên d AD B C( , ' ')d AD SBC( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))

d A SBC d O SBC h

   1,0

Tứ diện O SBC có OS OB OC, , vng góc đơi O nên

2 2 2

1 1 14

h  SO OB OC  a Vậy

42 ( , ' ')

7 a

d AD B C  h 1,0

C3 Ý2 2đ

2 Gọi đường thẳng qua D, E vng góc BC x x'; tương tự y y';

z z'. Gọi D' giao điểm thứ x

với (O)

0,

Ta có: x//x' O trung điểm D'E (vì 

' 90 EDD  )

0,5 Xét phép đối xứng tâm Đo biến D' thành

E nên biến x thành x'

Tương tự Đo biến y, z thành y',

z'

Vì x, y, z đồng quy nên x', y', z' đồng quy.

0,5

0,5

C4 Ý1 2đ

Dễ thấy *

0, n

x   n 

1 1

1 1

5 4 6( 1)

4 ; 1

2 2

n n n n

n n

n n n n

x x x x

x x

x x x x

   

   

   

       

   

0,25 0,25

1

2

1

4 4

1 6 6

n n n

n n

n n n

x x x x

x x x x

 



 

   

    

   

Do 4.6 *

,

n

n n

x    n

 

0,5

0,5 4.6

lim lim

6 n

n n

x   



0,5

C4 Ý2 1đ

Ta có h 1 h 2 h 3 0 nên số -1, -2, -3 nghiệm đa thức bậc bốn h(x);

0,25 h(x) có dạng

   1 2 3 0    1 2 3 0 100

h x  x x x xx  f x  x x x xx  x Khi  10  14 582 2017

16 f  f 

 

0,25 0,25

C5 2đ

Đếm số tất số nguyên T a a1, 2, ,am n  1k với

1

1a a  am n  k m n 1 hai cách:

- Số cách chọn m  n k phần tử m n 1phần tử

1

m n k k

m n m n

C     C  

1,0 - Với i (0 i k), cho phần tử am 1 k T nhận giá trị m i 1

Bộ T1a a1, 2, ,am k , 1a1a2  am k m i

 

2 m k 2, m k 3, , m n1 k , m k m k m n1 k T  a   a   a    m i  a   a    a    m n 

Số tất T

0

k k

m k n k i i m i n i m i n i

i i

C  C  C C 

 



  Vậy 1

0

k

k k i i

m n m i n i i

C   C C  



1,0