Đáp án đề thi học sinh giỏi môn toán học lớp 9, phòng GD&ĐT huyện Tam Dương, Vĩnh Phúc 2020-2021 - Học Toàn Tập

- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Trong lời giải câu 7,8 nếu thí sinh không vẽ hình thì không cho điểm.[r]

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021

ĐỀ THI MƠN: TỐN

HƯỚNG DẪN CHẤM I LƯU Ý CHUNG:

- Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm thí sinh Khi chấm thí sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước

- Nếu thí sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Thí sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau

- Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm

- Trong lời giải câu 7,8 thí sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn

II ĐÁP ÁN:

Câu Ý Nội dung trình bày Điểm

Câu (3,0 điểm)

a)

Q xác định 1

3

1 2

x x x

x

x x

  

   

  

   

    

  

 

0.5

Với x ≥1; x ≠ ta có

1

x Q

x  

  0.25

  

  

3

1 2

x x

x x

  



    0.25

  

   2

3

1

x x

x

  



  0.25

 3 2

1

x x

x

  



  0.25

1

x

   0.25

Với x ≥1; x ≠ Q x 1 0.25

b)

Với x ≥1; x ≠ 3, ta có P   Q x x x 1

Vì x ≥1; x ≠ 3 x 1 0.25

nên P x x 1 2 1 0.25

Dấu “=” xảy x = 0.25

Vậy Pmin  1 2 x 0.25

Câu (2,0 điểm)

Ta có

0 0

6 cos 45 2 18 16sin 45 tan 60

2

6 2 18 16

2

x      

6 2 2 18

       0.25

 2

6 2 2

       0.25

6 2 3

      2 3   1 2  0.25

6 2 3 3

        0.25

 2

6 3 3

       0.25

 2

3

    0.25

Thay x = vào T, ta

T = 20.11982 + 11.111 + 2020 = 2051 0.25

Vậy T = 2051 0.25

Câu (2,0 điểm)

ĐKXĐ: 0.25

Đưa phương trình dạng (1-m)x=2 0.25 Nếu m=1 phương trình vơ nghiệm

0.25 Nếu

1 x

m 

 0.25

Để x

m 

 nghiệm phương trình x   1 m 0.25 Vậy nghiệm phương trình

1 x

m 

 với m 1 0.25

Phương trình có nghiệm dương

1

1

2

1

0

m

m m

m m

m  

      

  

     

 

  

0.25

Vậy với m1; m 1 phương trình có nghiệm dương 0.25

Câu (2,0 điểm)

Giải phương trình 2x 1 x 3 5x110

ĐKXĐ:

x 0.25

2x 1 x 3 5x110 0.25

2 2x x 5x 11

      0.25

2

9x 2x 5x 5x 11

       0.25

2

2x 5x 3 x

     0.25

2

3

2

x

x x x x

   

    

2

3

11 12

x

x x

   

  



1 12

x x

     

 0.25

Đối chiếu điều kiện ta x1 nghiệm phương trình 0.25

Câu (1,5 điểm)

Ta có,

2 An n  n 2

2 2

n n n n n

      0.25

  

2

n n n

    0.25

Do

2

n n  n , với  n N 0.25

Vậy A số nguyên tố n 2 1 2 

n n số nguyên tố 0.25

n

  đóA 13 (thỏa mãn) 0.25 Vậy n = 3, A số nguyên tố 0.25

Câu (1,5 điểm)

Ta có, với * ,

a bN a b ab a b3 ab a b3  ab a b

       

 , nên

a + b số phương

0.25 Vì 1  a b 18nên a b 1; 4;9;16 0.25 + Với a + b = ta có ab1 (loại) 0.25 + Với a + b = ta có ab8 (loại) 0.25 + Với a + b = ta có ab27 (thỏa mãn) 0.25 + Với a + b = 16 ta có ab64 (loại)

Vậy số tự nhiên cần tìm 27 0.25

Câu (2,0 điểm)

Qua D kẻ DE song song với AB, E ∈ AC 0.25 Chứng minh ∆EAD cân E Suy AE =ED 0.25 Áp dụng hệ định lý Ta-lét vào ∆ABC ta có: ED EC

AB AC 0.25

Suy ra: AE ED EC AE

ACABACCA  0.25

hay AE(1 1) AE bc

bc    b c 0.25

Trong tam giác ADE có AD < AE + ED 0.25 AD  2AE (đpcm) 0.25 AD 2bc

b c

 

 0.25

Câu (3,0 a

E

D C

B

A

điểm)

Xét tam giác ABH vng H, ta có BH = AH.cotB = AH.tanα 0.25 Xét tam giác ACH vng H, ta có CH = AH.cotα 0.25

3 cot tan

CH  BHAH  AH  0.25

1

3 tan tan 

  0.25

2

tan

3 

   0.25

0 30 

  , Vậy 30

 CH = 3BH 0.25

b Kẻ trung tuyến AM

Vì C = α < 450 nên C < B  AB < AC H nằm B M 0.25 theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng ta

có,

2

AM MBMC  BC, suy tam giác AMC cân M AMB  2 C 2

0.25

Tam giác ABC vng A, ta có sin AB; cos AC

BC BC

    0.25

Tam giác AHM vuông H, ta có sin AH (1) AM

 0.25

Ta có 2sin cos .2 (2)

AB AC AH BC AH AH BC BC BC AM AM

     0.25

Từ (1) (2) suy sin2α = 2sinαcosα 0.25

Câu (1,5 điểm)

Ta có 2 2 2

4 6

M  x  xyy y  yz z x y   xy x y 2 2

(2x y) (y z) x y 2xy 2.3x 2.3.y

           0.25

 2

2 2

2

2

(2 ) ( ) ( 3)

5

1 1 1

(3 3)

5

x y y z x y x y y + z x y

x y z

     

  

     

    

 

0.25

Theo giả thiết, ta có

3x  y z 123x    y z (3x  y z 3)2 81

Suy M 32

0.25

Dấu xảy :

3

3

x y y z y z x y

x y z    

     

     

0.25

2

3

3 12

x y z x

x z y

x y z z

   

 

 

    

     

 

0.25

Vậy Mmin 32  x y 3,z0 0.25

Câu 10 (1,5 điểm)

Gợi số cho a a a a a1, 2, 3, 4, 5 số khơng có ước số nguyên tố khác nên số có dạng 3xi yi

i

a  với xi, yi số tự

nhiên

0.25 Xét cặp số x y1; 1 ; x y2; 2 ; x y3; 3 ; x y4; 4 ; x y5; 5 cặp số nhận giá trị

một bốn trường hợp sau: (số chắn; số chẵn), (số chẵn; số lẻ), (số lẻ; số chẵn), (số lẻ; số lẻ)

0.25 Nên theo ngun lí Dirichlet có cặp số nhận dạng

giá trị 0.25

Khơng tính tổng qt giả sử x y1; 1 ; x y2; 2cùng nhận giá trị dạng (số

chẵn; số lẻ) 0.25

Khi x1x y2; 1y2 số chẵn nên 0.25

1 2 2

1 2 3

x y x y x x y y

a a     số phương Do ta có điều phải

chứng minh 0.25