Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Phòng gd&đt đề thi học sinh giỏi năm học 2009-2010 Huyện tiền hải Môn : Tốn
********** ( Thêi gian lµm 120 phút ) Bài 1(2 điểm):
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)
x +4x−5 b)
x +4 Bµi 2(4 ®iĨm):
Cho biĨu thøc:
2 2
2 2
2 x x y y x y
A
x x xy xy xy y x xy y
− +
= − − −
+ + + +
a) Rót gọn biểu thức A
b) Tìm cặp số nguyên (x; y) cho A=1 Bài 3(4 điểm):
Giải phơng trình sau:
a) 2 2
x +3x+2+x +5x+6 =
b) x 1999 x 1986 x 1971
11 12 13
− − −
+ + =
Bài 4(3 điểm):
a) Cho a; b số thực dơng Chứng minh 1
a + b≥ a+b
b) Cho a; b số thực dơng thoả m8n a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: Q =
2
2
(a b) 2ab(a b )
+
+ Bµi 5 (6 ®iĨm):
Cho tam giác ABC Kẻ đ−ờng cao BH Trên cạnh AC BC lần l−ợt lấy điểm E D cho CE BD
CA = BC =3 Gäi giao ®iĨm cđa AD BE I; giao điểm
của CI vµ DE lµ N
a) Chøng minh DE // BH b) Chøng minh DB2 = DI.DA
c) Tính số đo góc CAN Bài 6 (1 điểm):
Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2
a b c a b c a b c
1
2ab 2ac 2bc
+ − − + − + +
+ + >
- HÕt -
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HSG (2009-2010)
Bài NỘI DUNG ðIỂM
1 a)
2 2
x +4x 5− =(x +4x+4) 9− =(x+2) −3 =(x 1)(x− +5) 1
1 b)
4 2 2
2
x (x 4x 4) 4x (x 2) (2x) (x 2x 2)(x 2x 2)
+ = + + − = + −
= + + − + 1
ðKXð: x ≠0; y ≠0, x ≠-y 0.5
2 2
2 2
2 2
2
2 x x y y x y
A
x x xy xy xy y x xy y
2 x y (x y )(x y) y x x y
=
x xy(x y) x xy y
− + = − − − + + + + − − + − + − + + + 0.75 2 2 2
2 xy(x y) (x y)(x y)
=
x xy x xy y
(x y) xy (x y)
2
=
x xy x xy y
− − − + − + + − − + − + + 0.5 2 2
2 (x y)( x xy y )
=
x xy x xy y
− − − −
−
+ +
2 x y x xy
−
= + 0.5
2 a) x y xy + = 0.25
1 x y
A x y xy
2 xy
+
= ⇔ = ⇒ + = 0.5
xy x y
⇔ − − = ⇔xy x− −y 1+ = 0.5
(x 1)(y 1)
⇔ − − = 0.25
2 b)
Lí luận để tìm ñược x = 2, y = 0.25
ðKXð: x≠ −1; x -2; x -3≠ ≠ 0.25
2
1
x +3x+2+x +5x+6= ⇔
1
(x 1)(x 2) (x 2)(x 3)+ + + + + =3 0.5
⇔ x x
(x 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2)(x 3)
+ +
+ =
+ + + + + + ⇔
2x
(x 1)(x 2)(x 3)
+
=
+ + + 0.5
1
(x 1)(x 3)
⇔ =
+ + ⇒ x
2
+4x+3=3 0.5
⇔x(x+4)=0 ⇔ x
x
(thoả m8n ĐKXĐ) (thoả m8n ĐKXĐ) = = − 0.25+0.25 3 a)
Vậy x = 0; x = -4 0.25
⇔ x 1999 x 1986 x 1971
11 12 13
− − −
− + − + − =
0.5
⇔ x 2010 x 2010 x 2010
11 12 13
− − −
+ + = ⇔ (x 2010) 1
11 12 13
− + + =
0.5
⇔x − 2010 = ⇔ x = 2010 0.25
3 b)
Vậy x = 2010 0.25
(3)2 a 2ab b 4ab
⇔ + + ≥ ⇔(a+b)2 ≥4ab 0.5
⇔ a b ab a b
+ ≥
+ (vì a, b>0)⇔
1
a+b ≥a+b (ðPCM) 0.5
4 a)
Dấu “=” xảy (a - b)2 = ⇔a = b > 0.25 Q
=
2 2 2
2 2 2 2 2
(a b) a b 2ab a b 2ab 1
2ab(a b ) 2ab(a b ) 2ab(a b ) 2ab(a b ) 2ab a b
+ + + +
= = + = +
+ + + + +
0.5
áp dụng câu a) ta có:
A= 21 2 42 2 2
2ab+a +b ≥ 2ab a+ +b = (a+b) =16=4
0.5
Dấu “=” xảy a2 + b2 = 2ab a + b = hay a = b = 0.25
4 b)
Vậy Amin =
4 a = b = 0.25
5 a)
CE CA CA CD
T : ;
CH 3 CB
CE CD
CH CB
= = =
= =
ính đợc suy
vy DE // BH (Theo ñịnh lý Talet ñảo)
2 5 b) Ch Ch DIB DI DI.DA DB
ứng minh đợc CBE= BAD (c.g.c) CBE=BAD
ứng minh đợc DBA (g.g) DB DB DA ∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = 2.5 5 c)
CBE=BAD (cmt) mà AIE=ABI+BAI (ðL)
⇒AIE=ABI+CBE=ABC =600 ⇒∆AIE ∆ACD (g.g) ⇒ AI AE
AC =AD ⇒ ∆AIC ∆AED(cgc) ⇒AIC=AED
Mà DE // BH (cmt) nên AED=AHB=900 ⇒ AIC=900 ⇒
N trực tâm của∆ADC ⇒AN ⊥DC ⇒AN ñường cao ∆ABC ⇒
AN phân giác ∆ABC Vậy CAN= 300
1.5
Xét:
2 2 2 2 2
a b c a b c a b c
1
2ab 2ac 2bc
+ − − + − + +
+ + −
2 2 2 2 2
c(a b c ) b(a b c ) a( a b c ) 2abc 2abc
+ − + − + + − + + −
=
0.25
=
3 2 2 2 2
( a a b a c) ( b b c b a) ( c c b c a) (2b c 2c b 2abc) 2abc
− + + + − − + + − − + + + −
=
2 2
(-a+b+c)(a -b -c +2bc) (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) =
2abc 2abc
0.25 6
Do a, b, c ñộ dài cạnh tam giác nên
(4)Suy ðPCM 0.25 Chó ý:
1 Trên b−ớc giải khung điểm bắt buộc cho b−ớc theo giới hạn ch−ơng trình đến tuần 32 lớp 8; u cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lí đ−ợc cơng nhận cho điểm
2 Bài phải có hình vẽ đúng phù hợp với lời giải tốn (khơng cho điểm hình vẽ giả thiết, kết luận)
3 Những cách giải khác ñúng cho ñiểm tối ña theo biểu ñiểm
(5)