[r]
(1)BÀI TỐN
***************************************
Bài tập :Trong không gian Oxyz, cho hai điểm : A(1;4;2) , B(-1;2;4) đường thẳng
(d):x 11y12 2z
Tìm toạ độ điểm M (d) cho: 1/
MB
MA nhỏ 2/(MA2MB2)nhỏ 3/ Diện tích tam giác MAB nhỏ
Lời giải tham khảo
1/
MB
MA nhoû
Cách 1: Phương pháp giải tích
Với M( 1-t ; -2+t ; 2t ) thuộc (d) thì:
) t ; t ; t ( MB ; ) t 2 ; t ; t (
MA
Do : 44
6 11 ) t ( 24 MB MA )
t ; t 10 ; t 2 ( MB
MA
Vaäy
MB
MA nhỏ 2 11 t-2=0 hay t=2
Kết : M(-1; 0; ) Cách 2: Phương pháp hình học
Với điểm M (d)
Gọi I trung điểm AB , ta có theo qui tắc cộng véctơ :
MB 2.MI MA
Do :
MB
MA = 2.MI Vaäy MA MB nhỏ MI nhỏ Điều nầy
xảy
IM vng góc với (d) , nghĩa M hình chiếu vng góc I (d) (do I cố định) Giải : Đặt M(1-t ; -2+t ; 2t) (d) Trung điểm I AB có toạ độ I(0;3;3)
Do MI (1t ;5 t ;3 2t)
.Đường thẳng (d) có véctơ phương: a (1;1; 2)
2 t ) )( t ( ) )( t ( ) )( t ( a MI )
d (
MI
Kết : M(-1;0;4)
2/ (MA2 + MB ) nhỏ nhất2 :
Cách 1: Phương pháp giải tích
M(1-t; -2+t ; 2t) (d) cho: MA2+MB2 = (t2+(6-t)2+(2-2 t)2+(-2+t)2+(4-t)2+(4-2t)2 = 12t2 – 48 t +76 = 12(t-2)2 +28 28
Vaäy (MA2+MB2) nhỏ 28 t=2 Kết quả: M(-1;0;4).
Cách 2: Phương pháp hình học:
Gọi I trung điểm AB ; ta có hệ thức độ dài trung tuyến MI tam giác MAB:
AB
MI MB
MA2 2
; AB số nên : (MA2+MB2) nhỏ MI nhỏ nhất, mà I cố định nên MI nhỏ IM vng góc với(d) hay M hình chiếu vng góc I (d)
Trang
Giải: Đặt M(1-t ; -2+t ; 2t) (d) Trung điểm I AB có toạ độ I(0;3;3) Do MI (1t ;5 t ;3 2t)
(2)a (1;1; 2)
MI(d) MI a 0 (1t)(1)(5 t)(1)(3 2t)(2)0 t2
Kết : M(-1;0;4)
3/ M thuộc (d) cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Cách 1: Phương pháp giải tích
Với M( 1-t ; -2+t ; 2t ) thuộc (d) thì: MA(t ;6 t ; 2 2t)
Mặt khác : AB (2;2;2)
Ta coù
MA,AB
2
S ABC , maø MA,AB (16 6t;42t;12 4t)
Do 56t 304t 416
2 ) t 12 ( ) t ( ) t 16 (
S 2 .
7 42 49
3 56 49
3
19 t 56
52 t 38 t 56 S
2
Từ S nhỏ )
7 38 ; ; 12 ( M
19
t
Cách 2: Phương pháp hình học
Ta có với M (d) diện tích tam giác MAB AB.MH
1
S , MH
vng góc AB Do AB số nên S nhỏ MH ngắn nhất, điều nầy xảy MH đoạn vng góc chung (AB) (d).
Giải: (d) có véctơ phương a (1;1;2)
.Đường thẳng (AB) có véctơ phương a' (1;1;1)
có phương trình tham số
't 2 z
't 4 y
't 1 x
Với M(1-t;-2+t;2t) (d) H(1+t’;4+t’;2-t’)(AB)
) t ' t ; t ' t ; t ' t (
MH
MH đoạn vng góc chung (d) AB
'a MH
a MH
7 22 't
7 19 t 10 t2't 6
4' t3t 2
Vậy điểm M cần tìm ứng với )
7 38 ; ; 12 ( M
19
(3)Trang4
Bài tập :Trong không gian Oxyz, cho hai điểm : A(9;0;9) , B(12; -6; -3) đường thẳng
t 9 z
t y
t x :)
d( Tìm toạ độ điểm M (d) cho tam giác MAB có chu vi nhỏ Lời giải tham khảo
Ta có CV(ABC)= AB+MA+MB, AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ (MA+MB) nhỏ
Đặt M(t; t ; 9-t) d, ta tính được:
0 t 9 t 3t 18t 81 t 3 18 )
t (
MA 2 2
t 6 72
3 324 t 36 t ) t ( ) t ( ) t 12 (
MB 2 2 2
Do :
MB t 18 t 72
MA 2
Vaäy (MA+MB) nhỏ f t t 32 18 t 62 72 nhỏ nhất.
Ta tìm giá trị nhỏ f(t). Cách 1:
Xét hàm số f t t 3218 t 62 72
Tập xác định : D=R f’(t)=
t 18t 6 72 18 t t 72 t t 72 t
6 t 18
3 t
3 t
2
2
2
18 3 t t 6 72 6
t 3 t
0 t 6 3 t
18 3 t t 6 72 6
t 3 t
0 18 3 t 6 t 72 6
t 3 t 0 )t (' f
2
2
2
2
3t t8 t 4 4
6 t3
2
2
Bảng biến thiên :
Ta thaáy (MA+MB)= 3min f(t) = 3.3 19 3 57 t= M( ;4 ; 5)
Caùch 2:
x f’(t) f(t)
- +
0
_ +
(4)Trong mặt phẳng Oxy, chọn ba điểm :A'3;3 2; B'6; 2 ;M'(t;0) ( M’ thay đổi
treân
Ox A’ B’nằm hai bên Ox)
Ta có f(t)= M’A’ + M’B’ nên f(t) nhỏ (M’A’+M’B’)nhỏ nhất, điều nầy xãy ba điểm A’,B’,M’ thẳng hàng hay
' B ' M & ' A '
M phương
Trang5
Điều kiện phương hai véctơ cho t 4 Đáp Số : M(4 ; ; 5)
Ghi chú: 1/ Có thể tìm điểm M phương pháp hình học sau: gïọi A1 B1 hình
chiếu vng góc A B d Điểm M cần tìm điểm chia đoạn thẳng A1B1 theo tỉ số
1
BB AA k
Ta tìm :
2 k
; ; ; B ; ;
A1 1
( Ta chứng minh cách dựng điểm M thoả đề từ tốn dựng hình đơn giản không gian)
2,/ Trường hợp đặc biệt
a) Nếu (AB) song song với d điểm M cần tìm giao điểm d với mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB
b) Nếu AB trực giao với d ( Chéo vng góc ) M giao điểm d mặt phẳng
(P) (với (P) mặt phẳng qua AB vng góc với d)