Mot so bai toan hinh hoc khong gian

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’( I là tâm của đáy ABCD).. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.[r]

Cơng thức tính khoảng cách

14 Cho điểm A(0,0,-3), B(1;-2;1), C(1;2;-5) mặt cầu (S) có phương trình 2 2 6 8 0

x y z  x y  Viết phương trình mp (  song song với mp (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S)

15.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-2;4;3) mp (P) có phương trình 2x 3y6z19 0 Viết phương trình mp (Q) chứa điểm A song song với mp (P) tính khoảng cách hai mp (P), (Q)

16 Cho tứ diện ABCD biết tọa độ đỉnh A(-1;-2-4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A

17 Tìm trục Oz điểm M cách điểm A(2,3,4) mp (2x3y z 1 0 18.Tìm trục Oy điểm M cách hai mp   x y z  1 ( )  v  x y z  1 0 19 Tìm tập hợp điểm M cách hai mp

  4x y  2z ( )  v  x y  2z 0

20 Lập phương trình mp phân giác góc nhị diện tạo 2mp   4x y  2z ( )  v  x y  2z 0

21 Lập phương trình mp (  qua điểm A(2;-1;0), B(5,1,1) khoảng cách từ điểm

0;0; M 

  đến mp   .

22 cho điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) với a, b, c ba số dương thay đổi thỏa mãn a2b2c2 3 Xác định a, b, c cho khoảng cách từ điểm O(0,0,0) đến mp (ABC) ngắn

Phương trình đường thẳng A.Tóm tắt lý thuyết

1 Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng. Đường thẳng qua điểm M(x0;y0;z0) với vectơ phương   

, ,

u a b c u có

phương trình tham số

0 0 x x at y y bt z z ct

 

 

 



  

 (1) khử t ta phương trình tham số

0 0

x x y y z z

a b c

  

 

( phương trình tắc đường thẳng) điều kiện 2 0

a b c 

Bài toán 1: Cho hai mp   Ax By Cz D   0và  ' A x B y C z D'  '  '  ' 0

a Với điều kiện hai mp    ' cắt

b Gọi d giao tuyến hai mp    ' Hãy tìm tọa độ điểm thuộc d xác định vec tơ phương d

b Tọa độ điểm thuộc d nghiệm hệ phương trình

' ' ' '

Ax By Cz D A x B y C z D

   

 

   

 vectơ phương đường thẳng d un n; '

  

với  , ,  ,  ', ', '

n A B C n A B C

 

c phương trình trình đường thẳng d hoàn toàn xác định ta biết vtcp tọa độ điểm M

2.Vị trí tương đối hai đường thẳng.

Vị trí tương đối đường thẳng d ( qua M0 có vtcp u 

) đường thẳng d’ (đi qua M0’ có vtcp u'

 )

 d d’ nằm mp  u u M M,  '0 0  

 

 d d ' u u, ' u M M, '0 0 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

    

 0

, ' // '

,

u u d d

u M M       

  

 

 

 

 

 d d’ cắt

0

, ' '

, ' u u M M u u

  

   

  

  

    

 d d’ chéo  u u M M; '  '0 0   

Chú ý: Nếu biết phương trình hai đường thẳng d d’ ta xét vị trí tương đối chúng cách giải hệ gồm phương trình xác định d d’ để tìm giao điểm

 hệ phương trình có nghiệm d d’ cặt  Nếu hệ phương trình có vơ số nghiệm d d’ trùng

 Nếu hệ phương trình vơ nghiệm d d’ song song chéo nhau, song song hai vec tơ phương chúng phương, chéo hai vec tơ khơng phương

3 Một số tốn tính khoảng cách

Bài tốn 1: Tính khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng d qua điểm M0 có

vtcp u  . Cách giải. Cách 1:

 Viết phương trình mp   qua điểm M0 vng góc với đường thẳng d

M I

Cách 2:

d O y

x

z

M

M0

U

Gọi U điểm cho M U0 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nếu Md diện tích S hình bình hành có hai cạnh M0M M0U

0 , 0 ,

S M M M U M M u

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Vì khoảng cách h cần tìm chiều cao hình bình hành ứng với cạnh M0U nên ta có

0 , M M u h

u

 

 



                           



Nếu Md h = cơng thức đúng. Bài tốn 2:

Tính khoảng cách h hai đường thẳng chéo d1 d2 biết d1 qua M1 có vec

tơ phương u1 

; d2 qua M2 có vtcp u2



d2 M1

U1

M2

U2

Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:

 2 2 , ,

; ' u u M M d d d

u u

 

 



 

 

    

Bài toán 3: Cho hai đường thẳng d d1, 2 chéo Viết phương trình đường vng góc

M2 M1

Cách 1:

Bước 1: Gọi d đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d d1, 2 Khi

một vtcpu 

d thỏa mãn

1

1 2

; u u

u u u u u

 

  

 

  

  

 

    

Bước 2: Gọi (P1) mp chứa d v dà (P1)

  1

1

1

1

qua M qua M

; u

d d

P vtpt n u u

vtcp u v

 

 

 

 

 

 

 

   

  

 

Bước 3: Giả sử dd1 B suy  P1 d1  B  tọa độ điểm B.

Bước 4: Khi phương trình đường thẳng (d) cho bởi:

: qua B d

vtcp u     



Cách 2:

Bước 1: Giả sử A,B theo thứ tự chân đường vng góc chung của d v d1 suy tọa độ A,B theo thứ tự phương trình tham số d v d1

Bước 2: Từ điều kiện

1 1

2 2 2

d d AB u AB u t

d d AB u AB u t

 

  

   

   

   

  

   

   

   

(t1,t2 tham

số)

 tọa độ A B

Bước 3: phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo

nhau d v d1 2là

qua B d

vtcp AB 

   



Bài tốn 3 : Lập phương trình mp (P) chứa hai đường thẳng d1 d2 cắt tại I

Cách 1:

Bước 1: xác định vtcp u u1,  

d1 d2

I B

A

Bước 2: Mặt phẳng (P) cho

   

1

1, ,

qua I qua I

P P

vtpt n u u cap vtcp u u

 

 



 

 

 

   

    

Cách2:

Bước 1: lấy hai điểm Ad1, Bd2 với A, BI Bước 2: lập phương trình mp qua ba điểm A,B,I

Bài tốn 4:Lập phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mp (P).

( Tùy thuộc vào vị trí tương đối d (P) ta có phương pháp giải cụ thể)

 Nếu d  P ta có hình chiếu vng góc d lên (P) tọa độ giao điểm d (P)

 Nếu d // (P) ta thực theo bước:

Bước 1: Lấy điểm A d Từ xác định tọa độ điểm HA hình chiếu vng

góc A lên (P)

d

d' A

H

Bước 2: Phương trình đường thẳng d’ hình chiếu d lên mp (P) ' :

'//

A

qua H d

d d   

 Nếu d cắt P ta thực theo bước

Bước 1: xác định tọa độ giao điểm I (d) (P)

I

A

H

Bước 2: lấy điểm Adtừ xác định tọa độ HA hình chiếu vng góc A lên (P)

Bước 3: Phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d lên mp(P)

cho

' A

A

qua H d

vtcp IH 

   



Bài tốn 5:Viết phương trình đường thẳng d qua A(x0 ; y0; z0) cắt hai đường thẳng

d d1

d2

C

B A

Bước 1: đưa phương trình đường thẳng d1và d2 dạng tham số:

Bước 2: Gọi B C tọa độ giao điểm đường thẳng d với d1và d2.(tọa độ B,

C có chứa tham số t t’)

Bước 3: A,B,C thẳng hàng  AB AC,  

phương Giải hệ phương trình

,

AB AC

  

 

 

Tìm t t’

Bước 4: Đường thẳng AB đường thẳng d

Bài tốn 6:Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d1, đồng thời

cắt hai đường thẳng d2 d3

d d3

d2 d1

A B

Bước 1: Đường thẳng d1 có vtcp u1



Đường thẳng d cắt đường thẳng d2, d3

điểm A B

Bước 2: Vectơ AB u,

                           

phương  t t, ' Bước 3: Phương trình đường thẳng d AB Bài tập:

1 Viết phương trình tắc phương trình tham số có đường thẳng

sau đây:

a Đi qua điểm M(2;0;-1) có vtcp u  1;3;5 

b Đi qua điểm N(-2;1;2) có vtcp u0;0; 3 



c Đường thẳng qua N(3;2;1) vng góc với mp  P 2x 5y 4

d Đường thẳng qua hai điểm P(2;3;-1) Q(1;2;4)

e Các trục tọa độ Ox, Oy, OZ

f Các đường thẳng qua điểm M0(x0 ; y0 ;z0) Với (x0 ; y0; z0 0)

g Đi qua A(-2;1;0) vuông góc với mặt phẳng   x2y 2z 1 h Đi qua A(2;-1;1) vng góc với hai đường thẳng có vtcp

   

1 1;1; ; 1; 2;0 u    u  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Lập phương trình tắc đường thẳng d qua điểm M(1;1;2) song song

với đường thẳng d giao tuyến hai mp   : 3x y 2z 0;   x3y 2z 3

3 Cho đường thẳng d có phương trình

2

3

x y z

 

4 Viết phương trình tham số đường thẳng d, biết :

a  

3

:

2

x y z

d     

 

b  

3 1

:

2

x y z

d     

5 viết phương trình tắc đường thẳng d biết

a 2 z t y t z t            b x t y t z t           

6 Cho đường thẳng d có phương trình tham số

2 2 x t y t z t         

 điểm A(4;-3;2) Tìm khoảng cách ngắn từ A đến d tìm tọa độ hình chiếu vng góc A lên d

7 Viết phương trình hình chiếu đường thẳng d

1 2 3 x t y t z t          

 mổi mp sau : mp(Oxy), mp(Oxz), mp(Oyz), mp   :x y z   0

8 Xét vị trí tương đối mổi căp đường thẳng cho trường hợp sau:

a

1

: ' :

2

x y z x y z

d      d     



b

1

: ' :

2 2

x y z x y z

d     d    

 

c

2

: ' :

4 12

x y z x y z

d     d    

  

d

1

: ' :

9 6

x y z x y z

d      d     

e

9

:

3 x t

d y t

z t        

 d’ giao tuyến hai mp   : 2x 3y 3z 0;   :x 2y z  3

9 Xét vị trí tương đối đường thẳng d mp   cho phương trình sau:

a  

12

:

4

x y z

x y z 

  

     

10 viết phương trình đường thẳng qua A(1;-1;1) cắt hai đường thẳng sau đây:

 

1

x t

d y t

z t          

 ' x t

d y t

11 viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 cắt hai đường

thẳng d2, d3, biết phương trình đường thẳng d1, d2, d3

 1  2  3

1 '

1 2

2 '

1

1 '

x x t

x y z

d y t d d y t

z t z t

  

 

  

 

     

 

    

 

12 Cho hai đường thẳng:

 1  2

8

3 1

5

7

8

x t

x y z

d y t d

z t

  

  



   

    

a Chứng tỏ hai đường thẳng chéo

b Viết phương trình mp qua gốc tọa độ O, song song với d1 d2

c Tính khoảng cách hai đường thẳng d1 d2

d Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng d1 d2

13 Cho mp (P) đường thẳng (d) có phương trình:

  d  3

2 x

P x y z   v     y z a Tìm tọa độ giao điểm d (P)

b Tính góc (d) (P)

c Viết phương trình hình chiếu vng góc (d) lên (P)

d Viết phương trình đường thẳng   ,nằm mp (P) qua giao điểm (d) (P) vng góc với d

14 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng và ',  giao tuyến của hai mp:

   

   

: :

: 3 ' :

x y x y z

x y z x y

 

 

      

      

a Chứng minh và 'cắt nhau.

b Viết phương trình tắc đường phân giác góc tạo và '

15 cho đường thẳng d qua điểm M(0;0;1) có vtcp u1;1;3



mp   có phương trình 2x y z   5 Chứng minh d song song với mp   Tính khoảng cách (d)  

Góc hai đường thẳng góc đường thẳng mp. Cho hai đường thẳng d, d’ có vtcp u u, '



 

Góc  hai đường thẳng xác định theo công thức

' os

' u u c

u u  

   

Cho đường thẳng d có vtcpu 

mp   có vtpt n 

' sin

' u u u u  

   

16 Tính góc mổi cặp đường thẳng sau:

a

 

1 2

1 ( ')

3 4

x t x t

d y t d y t

z t z t

   

 

 

   

 

     

 

b  

1 2

3

x y z

d     

(d’) giao tuyến hai mp   :x2y z  1 ( ') 2 x3z 0

17 Tính góc đường thẳng (d) mp  

a

   

1

: : 2

2

x t

d y t x y z

z t

  

 

     

    

b    

2

:

4

x y z

d       x y z    

c    

3

:

2 1

x y z

d       x y z  

18 a Tìm tọa độ hình chiếu điểm M0(1;-1;2) mp   : 2x y z  12 0

b Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1),C(1;5;5), D(1;1;1) Tìm tọa độ hình chiếu D mp (ABC)

c Cho ba điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) Tìm tọa độ hình chiếu gốc O mp (ABC)

19 a Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm M0(2;-3;1) qua mp   :x3y z  2

b Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm A(0;0;1) qua mp   : 6x3y2z 0

Tìm điểm M  cho

 MA + MB ngắn nhất

 |MA – MB | dài nhất

▪ Vị trí tương đối của hai điểm A, B đối với mp  

Gọi I giao điểm của đường thẳng AB với mp  

- Nếu IAv IBà

 

ngược hướng  A B ở hai phía đối với mp  

- Nếu IAv IBà

 

ngược hướng  A B ở hai phía đối với mp  

Bài toán: Cho sẵn mp   hai điểm A, B Tìm điểm M   cho

a MA + MB ngắn nhất

b |MA – MB | dài nhất

thẳng xác định theo công thức '

os

' u u c

u u  

   

Cho đường thẳng d có vtcpu 

mp   có vtpt n 

Gọi  đường thẳng d với mp    xác định theo cơng thức:

' sin

' u u u u  

   

20 Tính góc mổi cặp đường thẳng sau:

a

 

1 2

1 ( ')

3 4

x t x t

d y t d y t

z t z t

   

 

 

   

 

     

 

b  

1 2

3

x y z

d     

(d’) giao tuyến hai mp   :x2y z  1 ( ') 2 x3z 0

21 Tính góc đường thẳng (d) mp  

d

   

1

: : 2

2

x t

d y t x y z

z t

  

 

     

    

e    

2

:

4

x y z

d       x y z    

f    

3

:

2 1

x y z

d       x y z  

22 a Tìm tọa độ hình chiếu điểm M0(1;-1;2) mp   : 2x y z  12 0

d Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1),C(1;5;5), D(1;1;1) Tìm tọa độ hình chiếu D mp (ABC)

e Cho ba điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) Tìm tọa độ hình chiếu gốc O mp (ABC)

23 a Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm M0(2;-3;1) qua mp   :x3y z  2

c Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm A(0;0;1) qua mp   : 6x3y2z 0

Tìm điểm M  cho

 MA + MB ngắn nhất

 |MA – MB | dài nhất

Gọi I giao điểm của đường thẳng AB với mp  

- Nếu IAv IBà

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ngược hướng  A B ở hai phía đối với mp  

- Nếu IAv IBà

 

ngược hướng  A B ở hai phía đối với mp  

Bài toán: Cho sẵn mp   hai điểm A, B Tìm điểm M   cho

a MA + MB ngắn nhất

b |MA – MB | dài nhất

Cách giải

Bước 1: Xác định vị trí tương đối A B với mp   Bước 2: Trường hợp 1:

24 Trong không gian Oxyz, cho mp   : 2x y  3z 5 hai điểm A(0;0;3), 9;15;12

B Tìm điểm M thuộc mp   cho.

a MA + MB ngắn b MA – MB dài

6B Trong không gian Oxyz cho mp   :x + 3y – z – 19 = 0 hai điểm A(-2,0,1), B(-7,-5,3) Tìm điểm M   cho

b MA + MB ngắn b MA – MB dài

25 Cho ba điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4) Tìm tọa độ hình chiếu H điểm A đường thẳng BC

26 Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M0(2;-1;1) qua đường thẳng

 

1 2

x t

d y t

z t    

  

  

27 Tìm tọa độ điểm đối xứng M0(-3;1;-1) qua đường thẳng (d) giao tuyến

hai mp   : 4x 3y13 0  ' :y 2z 5

28 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M, N, P trung điểm cạnh B’B, CD, A’D’

a Tính khoảng cách cặp đường thẳng A’B, B’D cặp đường thẳng PI, AC’( I tâm đáy ABCD)

b Tính góc hai đường thẳng MP C’N c Tính góc hai mp (PAI) DCC’D’ Mặt cầu

29 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3;-2;1), B(-1;-3;-2),C(0;-6;2), D(2;-2;-2)

a Chứng minh ABCD tứ diện

b Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

30 Cho tứ diện ABCD với A(1;-4;3), B(1,0,5), C(0,3,-2), D(-6,-1,-2)

a Lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng AB CD Từ tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD

b Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

31 Lập phương trình mặt cầu có bán kính R = tiếp xúc với mp (P) có phương trình

32 Cho mp (P) có phương trình 2x + y + z = 0 Lập phương trình mặt cầu qua ba

diểm A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,3,2) cắt mp (P) theo thiết diện đường trịn có bán kính

33 Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu (S) mp   có phương trình 2 8 8 14 17 0

x y z  x y z  2x y 3z 0 . a Chứng minh mp  cắt mặt cầu (S)

b Xác định tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu (S) mp   .

34 Cho đường thẳng (d) giao tuyến hai mp

  :x y z   1 và  ' :x y z  1 0

và cho hai mp

 P1 :x2y2z 3 0, ( ) :P2 x2y2z 7 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d tiếp xúc với hai mp (P1), (P2)

35 Trong khơng gian Oxyz lập phương trình mặt cầu (S) có tâm đường thẳng

giao tuyến hai mp   : 2x y z   1 và  ' : x y  2z 0 tiếp xúc với hai mp Q1:x 2y 2z 5 và Q2: 3x 2y6z13 0

Cách giải

Bước 1: Xác định vị trí tương đối A B với mp   Bước 2: Trường hợp 1:

36 Trong không gian Oxyz, cho mp   : 2x y  3z 5 hai điểm A(0;0;3), 9;15;12

B

Tìm điểm M thuộc mp   cho

c MA + MB ngắn b MA – MB dài

37 Cho ba điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4) Tìm tọa độ hình chiếu H điểm A

trên đường thẳng BC

38 Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M0(2;-1;1) qua đường thẳng

 

1 2

x t

d y t

z t    

  

  

39 Tìm tọa độ điểm đối xứng M0(-3;1;-1) qua đường thẳng (d) giao tuyến

hai mp   : 4x 3y13 0  ' :y 2z 5

40 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M, N, P

trung điểm cạnh B’B, CD, A’D’

d Tính khoảng cách cặp đường thẳng A’B, B’D cặp đường thẳng PI, AC’( I tâm đáy ABCD)

e Tính góc hai đường thẳng MP C’N f Tính góc hai mp (PAI) DCC’D’

Mặt cầu

41 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3;-2;1), B(-1;-3;-2),C(0;-6;2), D(2;-2;-2)

d Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

42 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) mp   có phương trình

2 2 8 8 14 17 0

x y z  x y z  2x y 3z 0 . c Chứng minh mp  cắt mặt cầu (S)

d Xác định tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu (S) mp  

43 Cho đường thẳng (d) giao tuyến hai mp

  :x y z   1 và  ' :x y z  1 0

và cho hai mp

 P1 :x2y2z 3 0, ( ) :P2 x2y2z 7 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d tiếp xúc với hai mp (P1), (P2)