Cuc tri Hinh Khong Gian bai 5

[r]

MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ

(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmơn Tốn ) BÀI TỐN 5

Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: y z

1 x

    

mặt phẳng (P):x+2y-z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ

Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học:

Gọi d’= (P)(Q) A=d (P) A d’.Lấy K d,kẻ KH (P) HI d’thì :

 



) Q , P (

KIH Trong tam giác vuông KIH :tan KHHI , KH không đổi nên:

tan  nhỏ  HI lớn  I A (do HI  HA)

Khi d’ vng góc với d Vậyd’đi qua A vng góc với d nằm (P) Mặt phẳng (Q) cần tìm mặt phẳng chứa d d’

VTCP d u (2;1;1)  



; VTPT (P) n (1;2; 1)

P 

  

suy VTCP d’ u' u , nP  (3;3;3) hay u' (1;1;1)

  

  

    

      

Do VTPT mặt phẳng (Q) là: nQ u , u'  (0;3;3)hay nQ (0;1;1)

  

  

    

      

Điểm M(-1;-1;3)d  M (Q)

Maët phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = y-z+4 = Cách 2: Phương pháp giải tích

Đặt phương trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = (A2 B2 C2 0)

  

M(-1;-1;3) d ; N(1;0;4) d  M;N (Q) Ta được:

  

 

  

B 4 A 7 D

B A 2 C

Do (Q): AxBy(2A B)z7A4B0 VTPT (Q) n (A;B; 2A B)

Q   

  

Ta có VTPT mặt phẳng (P) :n P (1;2;1)

.Gọi  góc (P) (Q) thì:

AB B A

B A

6 n

n

n n cos

2 Q

P Q P

 

 

 

     

     

Ta xeùt hai trường hợp A

Trường hợp 1: A=0 Ta cos =

2 B

2 B

2 

Trường hợp 2: A 0 Ta có

             

 



A B A B

A B

6 cos

2

Xét hàm số: f(x) = ; f(x) cos ) A

B x ( x x

1 x x

9

2

  

 

 2 2 x x x ) x ( ' f   

 ; f’(x) =  x= -1.

Vaäy cos2 <

4

2 cos 

6

  

 ( Do hàm cosin x nghịch biến đọan        ; )

Trường hợp (1) (2)

6 min 

 (Trường hợp )

Khi A=0 , ta chọn B=1  C= =1 D=

Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = Cách khác: ( Dùng chùm mặt phẳng)

Ta viết phương trình d dạng:

         0 4 z y 0 1 y 2 x

Mặt phẳng (Q) chứa d nên thuộc chùm mặt phẳng : m(x-2y-1) +n(y-z+4)=0 hay mx + (-2m+n)y –nz –m + 4n =

VTPT hai mặt phẳng là: nP (1;2; 1); nQ (m; 2mn; n)

 

Gọi  góc tạo hai mặt phẳng (P) (Q)

Q P Q P n n n n cos      

6. 5m2 4mn 2n2

n m cos      

Trường hợp 1: n=0 cos  103

Trường hợp 2: )

n m x ( x x x n m n m n m cos n 2                              

Xét hàm số

4 x 10 x x ) x x ( x 18 x cos ) x ( f 2 2 2            

Tập xác định : D=R

            1 x 0 x 0 )x (' f ; 4 x8 x 10 x 36 x 36 )x (' f 2 2

Bảng biến thiên:

x -1 +

f’(x) f(x) - + 4 3 4 3

-x - 0 1

Ta coù : cos 23

3 cos

) x (

f  2  

Trường )

2 10 (

3 cos

max  



6 min

 ( cosx nghịch biến 

     

2 ;

0 ) đạt n m

x  Chọn m=0 n=1 ta (Q) : y-z+4=0