[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ
(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmơn Tốn )
BÀI TỐN 5
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: y z
1 x
mặt phẳng (P):x+2y-z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ
Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học:
Gọi d’= (P)
(Q) A=d
(P) A
d’.Lấy K
d,kẻ KH (P) HI d’thì :
) Q , P (
KIH Trong tam giác vuông KIH :tan KHHI , KH không đổi nên:
tan
nhỏ HI lớn I A (do HI HA)
Khi d’ vng góc với d Vậyd’đi qua A vng góc với d nằm (P) Mặt phẳng (Q) cần tìm mặt phẳng chứa d d’
VTCP d u (2;1;1)
; VTPT (P) n (1;2; 1)
P
suy VTCP d’ u' u , nP (3;3;3) hay u' (1;1;1)
Do VTPT mặt phẳng (Q) là: nQ u , u' (0;3;3)hay nQ (0;1;1)
Điểm M(-1;-1;3)
d M
(Q)Maët phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = y-z+4 = Cách 2: Phương pháp giải tích
Đặt phương trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = (A2 B2 C2 0)
M(-1;-1;3)
d ; N(1;0;4)
d M;N
(Q) Ta được:
B
4
A
7
D
B
A
2
C
Do (Q): AxBy(2A B)z7A4B0 VTPT (Q) n (A;B; 2A B)
Q
Ta có VTPT mặt phẳng (P) :n P (1;2;1)
.Gọi
góc (P) (Q) thì:AB B A
B A
6 n
n
n n cos
2 Q
P Q P
Ta xeùt hai trường hợp A
Trường hợp 1: A=0 Ta cos
=2 B
2 B
2
Trường hợp 2: A 0 Ta có
A B A B
A B
6 cos
2
Xét hàm số: f(x) = ; f(x) cos ) A
B x ( x x
1 x x
9
2
(2)
2
2 x x x ) x ( ' f ; f’(x) = x= -1.
Vaäy cos2
<4
2 cos
6
( Do hàm cosin x nghịch biến đọan ; )
Trường hợp (1) (2)
6 min
(Trường hợp )
Khi A=0 , ta chọn B=1 C= =1 D=
Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = Cách khác: ( Dùng chùm mặt phẳng)
Ta viết phương trình d dạng:
0
4
z
y
0
1
y
2
x
Mặt phẳng (Q) chứa d nên thuộc chùm mặt phẳng : m(x-2y-1) +n(y-z+4)=0 hay mx + (-2m+n)y –nz –m + 4n =
VTPT hai mặt phẳng là: nP (1;2; 1); nQ (m; 2mn; n)
Gọi
góc tạo hai mặt phẳng (P) (Q)Q P Q P n n n n cos
6. 5m2 4mn 2n2
n m cos
Trường hợp 1: n=0 cos 103
Trường hợp 2: )
n m x ( x x x n m n m n m cos n 2
Xét hàm số
4 x 10 x x ) x x ( x 18 x cos ) x ( f 2 2 2
Tập xác định : D=R
1
x
0
x
0
)x
('
f
;
4
x8
x
10
x
36
x
36
)x
('
f
2 2Bảng biến thiên:
x -1
+
f’(x) f(x)
-
+
4
3
4
3
-x
-
0 1 (3)Ta coù : cos 23
3 cos
) x (
f 2
Trường )
2 10 (
3 cos
max
6 min
( cosx nghịch biến
2 ;
0 ) đạt n m
x Chọn m=0 n=1 ta (Q) : y-z+4=0