Cuc tri Hinh Khong gian bai 1

[r]

MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ

(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmơn Tốn )

-Bài tốn 1.

Bài tập:Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(- 1; 3;-2) ; B( -9; 4; 9), mặt phẳng (P):2x-y+z+1 = Tìm điểm M (P) cho:

1/ Tam giác MAB có chu vi nhỏ 2/ MA MB lớn 3/ MA MB

nhỏ

Lời giải tham khảo 1/ M thuộc (P) cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất:

Ta có CV(ABC) = AB + MA+ MB , AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ (MA+MB) nhỏ

P(A)=2(-1)-3-2+1= -6< P(B)= -12< nên A B nằm bên mặt phẳng (P); điểm M cần tìm giao điểm đường thẳng (A’B) mặt phẳng (P) ; với A’ điểm đối xứng A qua (P)

Thật , ta có :MA+MB = MA’+ MB = A’B ; với điểm N (P)

NA+NB= NA’+NB  A’B ( Xét tam giác A’NB) , dấu đẳng thức xãy NM (đpcm)

Giải:

Phương trình đương thẳng AA’:

    

  

 

 

t 2 z

t 3 y

t2 1 x

Hình chiếu vuông góc H M (P) giao điểm AA’ (P) : H(1; 2; -1) H trung điểm AA’ nên: A’(3;1;0)

Phương trình đường thẳng A’B:

    

  

 

t3 z

t 1 y

t 4 3 x

Điểm M giao điểm đường thẳng A’B (P) : M(-1; 2; 3)

Kết :M(-1; 2; 3) Ghi Chú: Bài tốn vơ nghiệm A B nằm hai bên mặt phẳng (P) đường thẳng AB

vuông góc với mặt phẳng (P)

2/ Tìm M thuộc (P) cho MA MB có giá trị lớn

Ta có A B nằm phía mặt phẳng (P) AB không song song với (P) nên điểm M

cần tìm giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (P)

Thật MA MB AB (cố định) nên max MA MB = AB đạt ba

điiểm

Phương trình tham số AB:              t 11 2 z t 3 y t 8 1 x

Tọa độ giao điểm M AB (P) ứng với giá trị t thỏa:2(-1-8t)-(3+t)+(-2+11t)+1=0

 t= -1 Vaäy M( 7;2;-13)

Trang1

Ghi chú:1/ Nếu đường thẳng A B song song với mặt phẳng (P) khơng tồn điểm M

2/ Nếu hai điểm A B năm hai phía mặt phẳng (P) điểm M cần tìm thực sau: Lấy điểm A’ đối xứng với A qua (P) Khi MA MB MA'MB A'B(cố định)

( A’

B lại nằm phía với (P) ) Do maxMA MB A'Bđạt ba điểm M,A’, B

thaúng

hàng, nghĩa điểm M cần tìm trường hợp nầy giao điểm đường thẳng A’B (P) 3/ Tìm M thuộc (P) cho  

MB

MA có giá trị nhỏ

Cách 1: Phương pháp giải tích

Đặt M0(x0;y0;z0) (P)  2x0-y0+z0+1=0 MA =(-1-x0 ; 3-y0 ; -2-z0) ; MB =(-9-x0 ;4-y0 ; 9-z0)

Do đó:     MB

MA (-10 –x0 ; 7-2y0 ; 9-z0 )

        2 2 2

0 2y 2z 4x y 72 z 72

x 10 MB MA                             

=  

2 2

0 y 27 z 27

x                 

Ta biến đổi :

2 7 z 7 y 10 10 x z y x

2 0 0 0   0   0   0   

) z ( ) y ( ) x (

2 0   0  0  

Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki:

                                      2 2 2 0

0 5) 1.(72 y ) 1.(z 27) 1 x 72 y z 27 x

.(

Ta được: 9 6.MAMB  MAMB  96 326

  



Vaäy : maxMAMB 326

 

đạt :

                        5 z 2 y 2 x 1 2 7 z 1 y 2 7 2 5 x 01 z y x2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Đáp số : M(-2 ; ; ) Cách 2: Phương pháp hình học:

Gọi I trung điểm AB với điểm M (P) ta có :   

Do :   

 MB 2.MI

MA .Vậy MA MB nhỏ  MI nhỏ  IM(P)

IM P

 

 phươngn

Ta có : 

  

 

 

   



2 z ; y ; x IM ) ; ; (

I 0 0 0 Ta lại có n (2; 1;1)

P  



Do :

     

  

  

   

1 2 7 z 1

2 7 y 2

5 x

0 1 z y x 2

0

0

0 0

    

    

5 z

2 y

2 x

0 0

Đáp số : M(-2 ; ; )

Hết tóan ( GV: Nguyễn ngọc Ấn Trường THPT Vĩnh Long)