Lưu ý: Chứng minh tương tự như câu a, chúng ta sẽ có bốn điểm A, F, H, E thuộc cùng một đường tròn.. Do đó BC là đường kính của đường tròn (O) nên BC đi qua O.[r]
(1)Đề kiểm tra 15 phút lớp mơn Tốn
Bài – Chương Hình Học: Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường tròn
Đề số
Cho đường trịn đường kính BC cố định BC = 2R Lấy điểm A di động đường tròn (A khác B C)
a Chứng minh ∆ABC tam giác vuông b Chứng minh :
ABC
S R Giải:
a Ta có: OA = OB = OC (= R)
2
BC OA
Trong ∆ABC, AO đường trung tuyến
2
BC
AO nên ∆ABC vuông A b Kẻ đường cao AH tam giác ABC
Ta có: 1.2
2
ABC
S BC AH R AH R AH
Trong tam giác vng AHO, ta có:
AH ≤ AO (cạnh góc vng < cạnh huyền) hay AH ≤ R
.R R
AH
Vậy
ABC
S R
Dấu “=” xảy A trùng với đầu mút đường kính vng góc với BC Chú ý : Từ kết bạn xét tốn : “Tìm vị trí điểm A để diện tích ∆ABC lớn nhất”
Đề số
(2)a Chứng minh bốn điểm B, F, E, C thuộc đường tròn
b Kẻ đường kính AA’ đường trịn (O) Chứng minh tứ giác BHCA’ hình bình hành
2 Cho đường trịn (O), dây AB không qua tâm O Vẽ dây AC vng góc với AB A Chứng tỏ B, O, C thẳng hàng
Giải:
1 a Gọi I trung điểm BC Các tam giác vuông BFC BEC có trung tuyến IF IE nên:
1 IF IE BC hay IB IF IE IC
Chứng tỏ bốn điểm B, F, E, C thuộc đường tròn tâm I trung điểm BC
b Ta có: ∆ABA’ nội tiếp đường trịn có đường kính AA’ nên ∆ABA’ vng B hay AB ⊥ A’B
Lại có CH ⊥ AB (gt)
Do CH // A’B Chứng minh tương tự ta có: AH // A’C Vậy tứ giác BHCA’ hình bình hành
Lưu ý: Chứng minh tương tự câu a, có bốn điểm A, F, H, E thuộc đường trịn
2 Ta có: AB ⊥ AC (gt) nên ∆ABC tam giác vng nội tiếp đường trịn (O) Do BC đường kính đường trịn (O) nên BC qua O Hay ba điểm B, O, C thẳng hàng
Đề số
Cho ∆ABC có cạnh a, đường cao BD CE cắt H
(3)b Chứng minh điểm H nằm đường tròn điểm A nằm ngồi đường trịn qua bốn điểm B, E, D, C
Giải:
a Gọi O trung điểm BC, tam giác vuông BDC BEC có OD, OE đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC nên
1
1
OD OE BC
hay OD OE OB OC a
Vậy bốn điểm B, E, D, C thuộc đường tròn, tâm O trung điểm BC bán kính 1
2BC 2a
b ∆ABC nên trực tâm H đồng thời trọng tâm, AO trung tuyến nên đồng thời đường cao A, H, O thẳng hàng
Xét tam giác vng AOB, ta có:
2
AO AB OB (định lí Pi-ta-go )
2 2
2 3
2
a a a
a
Mặt khác, H trọng tâm ∆ABC nên:
1 3
3
a a
OH AO
Nhận thấy: ,
6
a a
điểm H nằm đường tròn , ;
a O
3 ,
2
a a
điểm A nằm ngồi đường trịn ;
a O
(4)Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD DA
a Chứng minh bốn điểm M, N, R, S thuộc đường tròn
b Cho AC = 24cm, BD = 18cm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác MNRS
Giải:
a Ta có: M, N trung điểm AB BC (gt) nên MN đường trung bình ∆ABC
Do : MN // AC (1)
Tương tự SR đường trung bình ∆ADC nên SR // AC (2) Từ (1) (2) ⇒ MN // RS // AC (3)
Chứng minh tương tự ta có: MS // NR // BD (4)
Từ (3) (4) ⇒ MNRS hình bình hành (các cạnh đối song song)
Mặt khác AC ⊥ BD (gt) ⇒ MN ⊥ MS nên hình bình hành MNRS hình chữ nhật Gọi O giao điểm hai đường chéo MR NS ta có:
OM = ON = OR = OS
Chứng tỏ bốn điểm M, N, R, S thuộc đường tròn tâm O b Ta có: MN đường trung bình ∆ABC (cmt), ta có:
1
.24 12
2
MN AC cm
Tương tự: 9
MS BD cm
Lại có ∆MNS vng M (cmt) ta có:
2
2
12 15
(5)Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNRS có tâm O bán kính
15 7,5
2
SN
cm
Đề số
Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AD lấy điểm N cho AM = AN Từ A kẻ AH vng góc với DM (H thuộc DM) AH cắt BC P Chứng minh năm điểm C, D, N, H, P thuộc đường trịn
Giải:
Ta có: AH ⊥ DM (gt)
nên MAH MDA (cùng phụ với AMD ) Xét hai tam giác vng ABP DAM có: AB = AD (gt)
MAH MDA (cmt)
Do đó: ∆ABP = ∆DAM (g.c.g) ⇒ BP = AM, mà AM = AN (gt) ⇒ BP = AN, mà BC = AD (gt) ⇒ PC = ND
Vậy PCDN hình chữ nhật Gọi O giao điểm hai đường chéo PD CN, ta có: OP = OC = OD = ON, chứng tỏ bốn điểm P, C, D, N thuộc đường tròn
Mặt khác: ∆PHD vng H có OH đường trung tuyến nên
2
OH PD
Vậy: OH = OP = OD = OC = ON