vuông góc với đáy.Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC Bài 20.Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB=a.Trên đường thẳng qua C và vuông[r]
(1)WWW.ToanCapBa.Net HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Quan hệ song song Hai đường thẳng song song * Hai đường thẳng gọi là song song chúng đồng phẳng và không có điểm chung * Hai đường thẳng gọi là chéo chúng không cùng nằm mặt phẳng * Định lý giao tuyến ba mặt phẳng: Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy đôi song song * Nếu hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó trùng với hai đường thẳng đó * Ba đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện tứ diện đồng quy trung điểm G đoạn Điểm G đó còn gọi là trọng tâm tứ diện * Một mặt phẳng xác định nó qua hai đường thẳng song song Đường thẳng song song với mặt phẳng * Một đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với chúng không có điểm chung * Một đường thẳng (không nằm trên mặt phẳng song song với đường thẳng nằm Q * Nếu mặt phẳng P và Q P ) song song với P và nó P P , thì giao tuyến chứa đường thẳng a , a song song với mặt phẳng (nếu có) song song với a * Hai mặt phẳng cắt cùng song song với đường thẳng thì giao tuyến chúng song song với đường thẳng đó P chứa * Cho hai đường thẳng a , b chéo Khi đó, luôn tồn mặt phẳng a , song song với P Hai mặt phẳng song song * Hai mặt phẳng gọi là song song với chúng không có điểm chung * Nếu mặt phẳng P P song song với chứa hai đường thẳng cắt và song song với mặt phẳng Q thì Q WWW.ToanCapBa.Net (2) WWW.ToanCapBa.Net * Qua điểm nằm ngoài mặt phẳng, tồn mặt phẳng song song với mặt phẳng đó * Qua điểm đường thẳng song song với mặt phẳng, tồn mặt phẳng song song với mặt phẳng đó * Cho hai mặt phẳng song song với Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cắt mặt phẳng và hai giao tuyến song song với * Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với * Định lý Ta lét: + Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì đoạn tương ứng tỉ lệ + Giả sử trên hai đường thẳng chéo a và a' lấy các điểm A , B , C và A ' , B ' , C' cho: AB BC CA A 'B ' B 'C' C' A ' Khi đó ba đường AA ' , BB ' , CC' nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với mặt phẳng II Quan hệ vuông góc Góc hai đường thẳng Hai đường thẳng vuông góc * Góc hai đường thẳng 1 và không gian là góc hai đường thẳng a1 và b1 cùng qua điểm song song trùng với 1 và u1 u * Gọi , là các véc-tơ phương 1 , Ta có u ,u neá u u1 ,u 90 , 1 180 u1 ,u neáu u1 ,u 90 * Hai đường thẳng gọi là vuông góc với góc chúng 90 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Góc đường thẳng và mặt phẳng * Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nó vuông góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng P và a vuông góc với hai đường * Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng thẳng cắt cùng thuộc P WWW.ToanCapBa.Net (3) WWW.ToanCapBa.Net P là * Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a có hình chiếu lên mặt phẳng P vuông góc với a đường thẳng a ' Khi đó, đường thẳng b nằm mặt phẳng và nó vuông góc với a ' * Góc đường thẳng và mặt phẳng là góc đường thẳng và hình chiếu nó lên mặt phẳng (nếu hình chiếu đó là điểm thì xem góc đường thẳng và mặt phẳng 90 ) Góc hai mặt phẳng Hai mặt phẳng vuông góc * Góc hai mặt phẳng định nghĩa là góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó * Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với góc hai mặt phẳng đó 90 * Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với là mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Nếu hai mặt phẳng cắt và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó Khoảng cách * Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng) P song song với a là khoảng cách từ * Khoảng cách từ đường thẳng a tới mặt phẳng P điểm nào đó a lên * Khoảng cách hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ điểm nào đó trên mặt phẳng này tới mặt phẳng * Đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo là đường thẳng cắt hai đường thẳng và vuông góc với hai đường thẳng đó +) Khi hai đường thẳng vuông góc với và chéo thì ta thường tìm đường vuông góc chung sau: Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng thứ và vuông góc với đường thẳng thứ hai điểm I Đường vuông góc chung chúng là P là vuông góc với đường thẳng thứ đường thẳng qua I nằm +) Khoảng cách hai đường thẳng chéo a và b -) Độ dài đường vuông góc chung -) Khoảng cách từ hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại WWW.ToanCapBa.Net (4) WWW.ToanCapBa.Net -) Khoảng cách hai mặt phẳng song song và chứa hai đường thẳng đó III THỂ TÍCH Công thức tính thể tích khối chóp V Bh , đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao Công thức tính thể tích khối lăng trụ V Bh , đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao Công thức tỷ số thể tích Công thức: Cho hình chóp tam giác S.ABC có A ' , B ' , C' thuộc SA , SB , SC ( A ' , B ' , C' không trùng với S ) Khi đó ta có VS.A 'B'C' SA' SB ' SC' VS.ABC SA SB SC Chú ý: Công thức nói trên áp dụng cho khối chóp tam giác Nếu khối chóp không phải là khối chóp tam giác thì cần chia khối chóp thành các khối chóp tam giác áp dụng công thức nói trên cho khối chóp tam giác WWW.ToanCapBa.Net (5) WWW.ToanCapBa.Net PHẦN II Chủ đề BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ Khối chóp có cạnh bên vuông góc đáy Bài [TN2009] Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác cạnh a , cạnh bên 120 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết BAC a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B với AC a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy góc 60 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông 2) Tính thể tích hình chóp Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a biết SA vuông góc với SBC hợp với đáy ABC góc 60 Tính thể tích hình chóp đáy ABC và Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên SCD hợp với đáy góc 60 1) Tính thể tích hình chóp S.ABCD SCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng Bài Cho hình chóp S.ABC có SB SC BC CA a Hai mặt cùng vuông góc với ABC và ASC SBC Tính thể tích hình chóp WWW.ToanCapBa.Net (6) WWW.ToanCapBa.Net Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA BC a ABC góc 30 Tính thể tích hình biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với chóp Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông A và SB vuông góc với đáy ABC SAB góc 30 và SAC hợp với ABC góc 60 biết SB a , SC hợp với 2 2 Chứng minh SC SB AB AC Tính thể tích hình chóp AD ABC Bài Cho tứ diện ABCD có biết AC AD 4 cm , AB 3 cm , BC 5 cm 1) Tính thể tích ABCD BCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng Bài Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân A với BC 2a , góc BAC 120 , biết SA ABC và mặt SBC hợp với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABC SA ABCD SC a Bài 10.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông biết , và SC hợp với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp SA ABCD Bài 11.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết , SC hợp với đáy góc 45 và AB 3a , BC 4a Tính thể tích khối chóp Bài 12.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A 60 và SA ABCD , biết khoảng cách từ A đến cạnh SC a Tính thể tích khối chop S.ABCD Bài 13.[ĐHA09] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy góc 60 o Tính thể thích khối chóp SABCD Bài 14.[ĐHA08?] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD ABC 90 , AB BC a , AD 2a , SA vuông góc với đáy và SA=2a.Gọi M,N là trung điểm SA,SD.Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCNM WWW.ToanCapBa.Net (7) WWW.ToanCapBa.Net Bài 15.Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết tam giác ABC và mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30o Tính thể tích khối chóp SABC Bài 16.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AC=a √ và SB=a √ Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Bài 17.Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt (ABC) Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, độ dài đường trung tuyến AM=a Mặt bên (SBC) tạo với đáy góc 450 và góc ^SBA=300 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 18.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, SA ACB=60 BC=a (ABC), góc SA=a √ Gọi M là trung điểm SB Cm (SAB) (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC Bài 19.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA= a √ và SA vuông góc với đáy.Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin góc hai đường thẳng SB, AC Bài 20.Cho tam giác ABC vuông cân A và AB=a.Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mp (ABC) lấy điểm D cho CD=a.Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt BD F và AD E.Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a Bài 21.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và Ab=a, AD=b,SA=c.Lấy các điểm B’,D’ theo thứ tự thuộc SB,SD cho AB’ vuông góc với SB,AD’vuông góc với SD.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Bài 22.Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc mp(ABC), SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn Bài 23.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB= 600, BC= a, SA = a √ Gọi M là trung điểm cạnh SB Chứng minh (SAB) (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC Bài 24.Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông B Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) AB = a, BC = a √3 và SA = a Một mặt phẳng qua A vuông góc SC H và cắt SB K Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a Bài 25.Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), SA=a.Gọi M là trung điểm SC a Mp qua AM và song song với BD chia khối chóp thành phần.Tính thể tích phần b Tính góc tạo mp ( ) và mp (ABCD) WWW.ToanCapBa.Net (8) WWW.ToanCapBa.Net Bài 26.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là hình chữ nhật có AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy; cạnh bên SC hợp với đáy góc và hợp với mặt bên (SAB) góc a Chứng minh SC a2 cos 2 sin b Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a, và Bài 27.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh SA vuông góc với mp(ABCD) Mặt phẳng ( ) qua AB cắt các cạnh SC, SD M, N và chia hình chóp thành hai phần có thể tích Tính tỉ số SM SC Bài 28.Đáy ABC hình chóp SABC là tam giác vuông cân (BA=BC) Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là a √ Cạnh bên SB tạo với góc 60 Tính diện tích toàn phần hình chóp Bài 29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a; AD = b; SA = b là chiều cao hình chóp M là điểm trên cạnh SA với SA = x ( < x < b); mặt phẳng (MBC) cắt SD N Tính thể tích khối đa diện ABCDMN theo a, b và x ? Bài 30.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác với AB=BC=CD=a và AD=2a.Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy Mp (SBD) tạo với mặt đáy góc 450 a Tính góc hai mp (SCD) và (ABCD) b Tính khoảng cách từ C đến mp (SBD) c Gọi M là trung điểm SB, mp (ADM) cắt SC N.Tính thể tích khối chóp SAMND Chủ đề Khối chóp Bài 31.Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a và cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp là tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất các cạnh có độ dài a a Chứng minh SABCD là chóp tứ giác b Tính thể tích khối chóp SABCD Bài 32.Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M là trung điểm DC a Tính thể tích khối tứ diện ABCD b Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Bài 33.Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60 o Tính thể tích hình chóp Bài 34.Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên là 45o a Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC b Tính thể tích hình chóp SABC WWW.ToanCapBa.Net (9) WWW.ToanCapBa.Net Bài 35.Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp SABC Bài 36.Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o Tính thể tích hình chóp Bài 37.Cho hình chóp tam giác có đường cao h và mặt bên có góc đỉnh 60 o Tính thể tích hình chóp Bài 38.Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a và góc ASB=600 a Tính tổng diện tích các mặt bên hình chóp b Tính thể tích hình chóp Bài 39.Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 60 o Tính thể tích hình chóp Bài 40.Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a Tính thể tích hình chóp Bài 41.Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60 o Tính thề tích hình chóp Bài 42.Cho hình chóp SABCD có tất các cạnh Chứng minh SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp này thể tích nó V = a3 √ Bài 43.Cho khối chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a và đường cao a/2 a Tính sin góc hợp cạnh bên SC và mặt bên (SAB ) b Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp đã cho Bài 44.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp theo a Bài 45.Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA=SB=SC=a Góc cạnh bên và đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài 46.Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên a a Tính thể tích khối chóp b Cm mp (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành phần có thể tích Bài 47.Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB=a.Cạnh bên SA,AB,SC tạo với đáy góc 600.Gọi D là giao điểm SA với mp qua BC và vuông góc với SA a Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC và S.ABC b Tính thể tích khối chóp S.DBC Bài 48.Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600.Gọi M là trung điểm SC.Mặt phẳng qua AM và song song với BD cắt SB E và cắt SD F.Tính thể tích khối chóp S.AEMF WWW.ToanCapBa.Net (10) WWW.ToanCapBa.Net Bài 49.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC 60 Chiều cao SO hình chóp a √3 , đó O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Gọi M là trung điểm AD, ( ) là mặt phẳng qua BM, song song với SA, cắt SC K Tính thể tích hình chóp K.BCDM Bài 50.Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên a Cho M , N là trung điểm các cạnh SA và SC và mặt phẳng (BMN) vuông góc với mặt phẳng (SAC) a Tính thể tích hình chóp tam giác S.ABC b Tính thể tích hình chóp SBMN Bài 51.Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân B, BC = a, SA = a √ , AS mp(ABC) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lầ lượt B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Bài 52.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên và đáy là Gọi M là trung điểm cạnh SC, mặt phẳng (MAB) cắt SD N Tính theo a và thể tích hình chóp S.ABMN Bài 53.Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Một mặt phẳng (P) qua A, B và trung điểm M cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng đó Bài 54.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc SAB = Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và Bài 55.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, góc mặt phẳng (SAB) và (SBC) là Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và Chủ đề Khối chóp có mặt bên vuông góc đáy Bài 56.Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng lập với đáy góc 450; đáy ABC là tam giác vuông cân A có AB = a a Chứng minh hình chiếu S trên mặt (ABC) là trung điểm BC b Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a ? Bài 57.Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, mặt bên SBC là tam giác cân S với SB=SC=2 a AB=a , AC=a √ , và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Bài 58.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SA=SB=2 a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 59.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông B, AB=a , BC=a √ Tam giác SAC và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC Chủ đề Khối chóp bất kì WWW.ToanCapBa.Net (11) WWW.ToanCapBa.Net Bài 60.Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a, BC=6a,CA=7a.Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy góc 600.Tính thể tích khối chóp đó Bài 61.Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB=AC=5a,BC=6a và các mặt bên tạo với đáy góc 600.Tính thể tích khối chóp đó Bài 62.Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) A lấy điểm S cho ❑ ( SAB ,SBC )=60o Gọi H, K là hình chiếu A trên SB, SC Chứng minh AHK vuông và tính VSABC? Bài 63.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 60 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.(K.A 2009) Bài 64.Cho hình chóp S.ABC M là điểm trên SA, N là điểm trên SB cho SM = MA và SN =2 Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần Tìm MB tỉ số thể tích hai phần đó Bài 65.Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi B', D’ là trung điểm SB, SD Mặt phẳng (AB'D') cắt SC C' Tìm tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB'C'D' và S.ABCD Bài 66.Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N, P là trưng điểm AB, AD và SC Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích Bài 67.Hình chóp S.ABC có các cạnh bên nghiêng với đáy góc 60 , độ dài các cạnh đáy là CB=3 ,CA =4, AB=5 Tính thể tích V hình chóp Bài 68.Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, cạnh đáy BC=a , góc BAC=α Các cạnh bên nghiêng với đáy góc Tính thể tích hình chóp Bài 69.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc SA=SC= BAD=60 a√5 , SB = SD.Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 70.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, BC = a, SA =SB = SC = a √3 và mặt bên SAB hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Chủ đề Khối lăng trụ, khối hộp Bài 71.Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất các cạnh a WWW.ToanCapBa.Net (12) WWW.ToanCapBa.Net a Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C b Mặt phẳng qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC cắt AC,BC E,F.Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE Bài 72.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,BC=2a,AA’=a.lấy M trên cạnh AD cho AM=3MD a Tính thể tích khối chóp M.AB’C b Tính khoảng cách từ M đến mp (AB’C) Bài 73.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh beân AA’= a Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC Tính theo a theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.A’B’C’ Bài 74.Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông A, AC = a, góc ACB 600 Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho Bài 75.Đáy ABC hình lăng trụ ABC.A'B'C' là tam giác cạnh a Góc cạnh bên hình lăng trụ và mặt đáy 30 Hình chiếu vuông góc đỉnh A' trên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Tính thể tích hình lăng trụ Bài 76.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vuông C và BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Bài 77.Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC là h.chóp tam giác cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b Gọi là góc hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) Tính tan và thể tích khối chóp A'.BB'C'C Bài 78.cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, điểm A’ cách điểm A,B,C và cạnh bên AA’ tạo với mp đáy góc 600 a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b Tính thể tích khối chóp A.BCC’B’ và khoảng cách từ A đấn mp (BCC’B’) c Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 79.Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi M,N là trung điểm B’C’ và C’D’.Mp (AMN) chia khối lập phương thành khối đa diện.Tính thể tích hai khối đa diện đó Bài 80.Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm BC a Tính thể tích khối tứ diện ABMN WWW.ToanCapBa.Net (13) WWW.ToanCapBa.Net b Mp (DMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó Bài 81.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác AB vuông cân có AB = AC = a Gọi E là trung điểm AB, F là hình chiếu vuông góc E trên BC Mặt phẳng (C’EF) chia lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần đó ? Bài 82.Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Các điểm E và F là trung điểm C’B’ và C'D' a Dựng thiết diện khối lập phương cắt mp(AEF) b.Tính tỉ số thể tích hai phần khối lập phương bị chia mặt phẳng (AEF) Bài 83.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có chiều cao a hai đường thẳng AB’ và BC’ vuông góc với Tính thể tích hình lăng trụ đó theo a PHẦN III HÌNH KHÔNG GIAN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài [ĐHA02] Cho hình chóp tam giác S.ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy a Gọi M , N là trung điểm các cạnh SB , SC Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng AMN vuông góc với mặt phẳng SBC Giải WWW.ToanCapBa.Net (14) WWW.ToanCapBa.Net C' D' I AC BD Đặt B' A' Ta thấy A 'BD cân A nên trung tuyến A 'I đồng thời là đường cao Như A'I BD (1) M Tương tự ta chứng minh MI BD (2) b D Từ (1), (2) suy góc hai mặt phẳng (A 'BD) và C a I A a (MBD) chính là góc hai đường thẳng A 'I và B MI [ĐHB02] Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a Bài 1) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B và B1D 2) Gọi M , N , P là các trung điểm các cạnh BB1 , CD , A1D1 Tính góc các đường thẳng MP và C N ABC ; [ĐHD02] Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng Bài AC AD 4cm ; AB 3cm ; BC 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng BCD Bài [ĐHA03] Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' Tính số đo góc phẳng nhị diện 1) B, A 'C, D Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho hình hộp chữ nhật 2) ABCD.A 'B'C' D' có A trùng với gốc hệ tọa độ, B a;0;0 , D 0;a;0 , A ' 0;0;b ( a0, a) Tính b ) thể Gọi tích M khối là tứ trung diện điểm BDA 'M CC' theo a và b a A 'BD và MBD vuông góc với b) Xác định tỷ số b để hai mặt phẳng Lời giải WWW.ToanCapBa.Net (15) WWW.ToanCapBa.Net C' D' I AC BD Đặt B' A' Ta thấy A 'BD cân A nên trung tuyến A 'I đồng thời là đường cao Như A'I BD (1) M Tương tự ta chứng minh MI BD (2) b D Từ (1), (2) suy góc hai mặt phẳng (A 'BD) và C a I A a (MBD) chính là góc hai đường thẳng A 'I và B MI Áp dụng định MI A 'I lý Pitago, ta tính được: A 'M 2a b2 , A'I a2 b2 , a2 b2 Thành thử mp(A 'BD) mp(MBD) 'IM 90 A A 'M A 'I MI a2 b2 b2 a2 a 2a b 1 b Bài [ĐHB03] Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C' D' có đáy ABCD là hình o thoi cạnh a , góc BAD 60 Gọi M là trung điểm cạnh AA ' và N là trung điểm cạnh CC' Chứng minh bốn điểm B ' , M , D , N cùng thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA ' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông Bài [ĐHD03] Cho hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau, có giao tuyến là P lấy điểm C đường thẳng Trên lấy hai điểm A , B với AB a Trong mặt phẳng , mặt phẳng Q lấy điểm D cho AC , BD cùng vuông góc với và AC BD AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng Bài BCD theo a [ĐHA04] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp tứ giác S.ABCD có A 2;0;0 B 0;1;0 S 0;0;2 đáy là hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết , , M Gọi a) Tính góc và là trung khoảng cách điểm hai WWW.ToanCapBa.Net đường SC cạnh thẳng SA và BM (16) WWW.ToanCapBa.Net b) Giả sử mặt phẳng ABM cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN [ĐHB04] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh Bài SAB và bên và mặt đáy ( 90 ) Tính tan góc tạo hai mặt phẳng ABCD Bài theo Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và [ĐHD04] Bài 10 [ĐHB05] Bài 11 [ĐHA06] Cho hình trụ các đáy là hai hình tròn tâm O và O ' , bán kính đáy chiều cao và a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O ' lấy điểm B cho AB 2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB Bài 12 [ĐHB06] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD a , SA a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N là trung điểm AD và SC , I là giao điểm BM và AC Chứng minh mặt phẳng SAC vuông góc với mặt phẳng SMB Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 13 [ĐHD06] (thể tích)Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , SA 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N là hình chiếu vuông góc A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài 14 [ĐHA07] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAD là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , N , P là trung điểm SB , BC , CD Chứng minh AM BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP Lời giải WWW.ToanCapBa.Net (17) WWW.ToanCapBa.Net Lấy P , Q là trung điểm BC , AD * Ta có: MP là đường trung bình BSC MP / /SC (1) Hơn nữa: tứ giác APCQ là hình bình hành AP / /CQ (2) Từ (1), (2) suy mp(SCQ) / /mp(MPA) (3) * SQ là trung tuyến tam giác cân SAD SQ AD Mặt khác: AD là giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc (SAD) và (ABCD) nên SQ mp(ABCD) Lại có BN mp(ABCD) Từ đó suy BN SQ (4) Lại có BCN CDQ CBN DCQ I DN CQ Đặt CIN 180 DCQ BNC 180 CBN BNC BCN 90 Ta (c.g.c) có BN CQ (5) Từ (4), (5) suy ra: BN mp(SCQ) (6) * Từ (3), (6) suy ra: BN mp(MPA) Hơn nữa: MA mp(MPA) Do đó: PN MA (ĐPCM) Bài 15 [ĐHB07] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng D qua trung điểm SA , M là trung điểm AE , N là trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN và AC Bài 16 [ĐHD07] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang, đó ABC BAD 90 , BA BC a , AD 2a Giả sử SA vuông góc với đáy và SA a Chứng minh SCD là tam giác vuông và tính (theo a ) khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD Lời giải WWW.ToanCapBa.Net (18) WWW.ToanCapBa.Net Theo giả thiết: SA mp(ABCD) , lại có CD mp(ABCD) Do đó CD SA (1) Lấy M là trung điểm AD Dễ thấy tứ giác ABCM là CM AB a AD ACM hình vuông vuông C , nói cách khác: CD AC (2) Từ (1) (2) suy CD mp(SAC) , lại có SC mp(SAC) Do đó: CD SC (ĐPCM) Bài 17 [ĐHA08] Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có độ dài các cạnh bên 2a , đáy ABC là tam giác vuông A , AB a , AC a và hình chiếu vuông góc đỉnh A ' lên mặt phẳng ABC là trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC và tính cosin góc hai đường thẳng AA ' và B'C' Bài 18 [ĐHB08] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA a , SB a và mặt phẳng SAB vuông góc với đáy Gọi M , N là trung điểm AB , BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin góc hai đường thẳng SM và DN Bài 19 [ĐHD08] Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên AA ' a Gọi M là trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C' và khoảng cách hai đường thẳng AM và B'C Bài 20 [ĐHA09] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D , AB AD 2a , CD a , góc hai mặt phẳng SBC và ABCD 60 Gọi I là SBI và SCI cùng vuông góc với mặt trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 21 [ĐHB09] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 'B 'C' có BB' a , góc đường ABC 60 ; tam giác ABC vuông C và BAC 60 thẳng BB' và mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net (19) WWW.ToanCapBa.Net ABC trùng với trọng tâm tam giác Hình chiếu vuông góc điểm B' lên mặt phẳng 9a ABC Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a ĐS: 208 Bài 22 [ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông B , AB a , AA ' 2a , A 'C 3a Gọi M là trung điểm A 'C' , I là giao điểm AM và A 'C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt 4a 2a IBC ĐS: , phẳng Bài 23 [ĐHA10] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB và AD ; H là giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH a Tính thể tích khối chóp S.CDMN và tính khoảng cách hai đường thẳng DM và SC theo a Bài 24 [ĐHB10] Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B 'C' có AB a , góc hai mặt phẳng A 'BC và ABC 60 Gọi G là trọng tâm tam giác A 'BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Bài 25 [ĐHD10] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a ; hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng AH AC ABCD là điểm H thuộc đoạn AC , Gọi CM là đường cao tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Bài 26 [ĐHA11] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B , AB BC 2a ; hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABC Gọi M là trung điểm AB ; mặt phẳng qua SM song song với BC , cắt AC N Biết góc hai mặ phẳng SAB và ABC bẳng 60 Tính thể tích khối chóp S.BCMN và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a WWW.ToanCapBa.Net (20) WWW.ToanCapBa.Net Bài 27 [ĐHB11] Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a ABCD trùng với giao , AD a Hình chiếu vuông góc điểm A1 trên mặt phẳng ADD1A1 và ABCD 60 Tính thể tích điểm AC và BD Góc hai mặt phẳng A1BD theo a khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng Lời giải Bài 28 [ĐHD11] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B , BA 3a , BC 4a ; mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC Biết SB 2a và SBC 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC theo a WWW.ToanCapBa.Net (21)