Chuyen de Chung minh 3 diem thang hang

Khi dạy chương II hình 7, nhiều khi muốn dạy các bài toán nâng cao hơn , nhiều khi để giảm bớt khó khăn thầy cô giáo thường đưa thêm các định lý như: Đường trung bình của tam[r]

hình   a

C B A

hình  

D

C B

A

hình   a

C B

A

hình

  y

x

O A B

CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG. ( Dành cho học sinh lớp7 học chương 2- hình học 7)

A.Đôi lời: Việc chứng minh ba điểm thẳng hàng em học sinh lớp tương đối khó khăn lí : Ở lớp năm em học có vỏn vẹn 29 tiết, lớp chương I em 16 tiết , kiến thức trang bị cho em tương đối ít, tập sách giáo khoa đưa đa số toán có hình vẽ sẵn , điều thầy cô giáo dạy không muốn khai thác thêm tốn để phát huy óc sáng tạo em, vơ tình bỏ qn em học sinh giỏi , , đối tượng mà thường đợt thi học sinh giỏi mang lại cho nhà trường vị trí cao mang lại cho thầy cô giáo niềm vui trình giảng dạy

Khi dạy chương II hình 7, nhiều muốn dạy toán nâng cao , nhiều để giảm bớt khó khăn thầy giáo thường đưa thêm định lý như: Đường trung bình tam giác,tính chất đường trung tuyến tam giác vuông, Cách giải người ta thường nói ví von : “ Giết gà dao mổ trâu”, vơ tình lại khơng phát huy trí lực em

Trong phần : “ Chuyên đề : Chứng minh ba điểm thẳng hàng ” dành cho em học sinh lớp học chương Do tốn chun đề giải kiến thức mà em có , cách giải khơng hay vừa sức với em

B Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho HSG lớp 7: Phương pháp 1: ( Hình 1)

Nếu ABD DBC 1800 ba điểm A; B; C thẳng hàng.

2 Phương pháp 2: ( Hình 2)

Nếu AB // a AC // a ba điểm A; B; C thẳng hàng

(Cơ sở phương pháp là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7) 3 Phương pháp 3: ( Hình 3)

Nếu AB  a ; AC  A ba điểm A; B; C thẳng hàng

( Cơ sở phương pháp là: Có đường thẳng

a’ qua điểm O vuông góc với đường thẳng a cho trước - tiết hình học 7)

Hoặc A; B; C thuộc đường trung trực đoạn thẳng (tiết 3- hình 7)

4 Phương pháp 4: ( Hình 4)

Nếu tia OA tia OB hai tia phân giác góc xOy ba điểm O; A; B thẳng hàng

Cơ sở phương pháp là: Mỗi góc có tia phân giác

* Hoặc : Hai tia OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , xOA xOB

ba điểm O, A, B thẳng hàng

5 Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD AC Nếu K’

Là trung điểm BD K’  K A, K, C thẳng hàng.

hình //

// N

M A

E D

C B

hình

= =

/ /

D

M C

B

A

C Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:

Phương pháp 1

Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vng góc CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB

Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng

Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh BMC CMD 1800

Do AMB BMC 1800nên cần chứng minh AMB DMC

BÀI GIẢI:

AMB CMD có:

AB = DC (gt) BAM DCM 900

MA = MC (M trung điểm AC)

Do đó: AMB = CMD (c.g.c) Suy ra: AMB DMC

Mà AMB BMC 1800 (kề bù) nên BMC CMD 1800.

Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng

Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối AB lấy điểm D mà AD = AB, tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC Gọi M; N điểm BC ED cho CM = EN

Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh CAM CAN  1800 từ suy ba điểm M; A; N thẳng hàng

BÀI GIẢI (Sơ lược) ABC = ADE (c.g.c)  C E 

ACM = AEN (c.g.c)  MAC NAE 

Mà EAN CAN 1800(vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên CAM CAN  1800

Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1

Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC, tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M, N trung điểm BE CD

Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng

Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có ABC600 Vẽ tia Cx  BC (tia Cx điểm A

phía phía bờ BC), tia Cx lấy điểm E cho CE = CA Trên tia đối tia BC lấy điểm F cho BF = BA

Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng

Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, điểm D thuộc cạnh AB Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = BD Kẻ DH EK vng góc với BC (H K thuộc đường thẳng BC) Gọi M trung điểm HK

Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng

Bài 4: Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB, kẻ Hai tia Ax By cho BAxABy.Trên Ax lấy hai điểm C E(E nằm A C),

Hình = = /

/ E

D

N M

C B

A

* *

X

X

/ /

= =

N C

M

x

O

D B

A

Bài 5.Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M cạnh BC, vẽ đường thẳng song song AB AC, đường thẳng cắt xy theo thứ tự D E Chứng minh đường thẳng AM, BD, CE qua điểm

PHƯƠNG PHÁP 2

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên Các đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC

Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2

Ta chứng minh AD // BC AE // BC

BÀI GIẢI.

BMC DMA có:

MC = MA (do M trung điểm AC)

 

BMC DMA (hai góc đối đỉnh)

MB = MD (do M trung điểm BD) Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

Suy ra: ACB DAC , hai góc vị trí so le nên BC // AD (1)

Chứng minh tương tự : BC // AE (2)

Điểm A ngồi BC có đường thẳng song song BC nên từ (1) (2) theo Tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm E, A, D thẳng hàng

Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN

Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng

Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD CN // BD từ suy M, C, N thẳng hàng BÀI GIẢI

AOD COD có:

OA = OC (vì O trung điểm AC) AOD COB (hai góc đối đỉnh)

OD = OB (vì O trung điểm BD) Vậy AOD = COB (c.g.c)

Suy ra: DAO OCB 

Do đó: AD // BC Nên DAB CBM  (ở vị trí đồng vị) hình 8

DAB CBM có :

AD = BC ( AOD = COB), DAB CBM , AB = BM ( B trung điểm AM)

Vậy DAB = CBM (c.g.c) Suy ABD BMC Do BD // CM (1)

Lập luận tương tự ta BD // CN (2)

Từ (1) (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 2

Baì Cho tam giác ABC Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB cung trịn tâm B bán kính AC Đường trịn tâm A bán kính BC cắt cung tròn tâm C tâm B E F ( E F nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa A)

/ /

= =

Hình Q

P

M C

B

A

Hình 10

= =

= = / /

y x

O D

C B

A

PHƯƠNG PHÁP 3

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AM  BC

b) Vẽ hai đườn tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng

Gợi ý: Xử dụng phương pháp giải - Chứng minh AM , PM, QM vuông góc BC

- AP, AQ tia phân giác góc BAC BÀI GIẢI

Cách 1 Xử dụng phương pháp 3.

a) Chứng minh AM  BC

ΔABM ΔACM có: AB =AC (gt)

AM chung

MB = MC (M trung điểm BC)

Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c) Suy ra: AMBAMC(hai góc tương ứng) Mà AMB AMC 1800(hai góc kề bù) nên AMB AMC 900

Do đó: AM  BC (đpcm)

b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng

Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c)

Suy ra: PMB PMC  (hai góc tương ứng), mà PMB PMC  1800 nên PMB PMC  = 900

Do đó: PM  BC

Lập luận tương tự QM  BC

Từ điểm M BC có AM  BC,PM  BC, QM  BC nên ba điểm A, P, Q

thẳng hàng (đpcm)

Cách 2 Xử dụng phương pháp 4.

Chứng minh :

ΔBPA = ΔCPA  BAP CAP Vậy AP tia phân giác BAC (1)

ΔABQ = ΔACQ  BAQ CAQ .Vậy AQ tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A; P; Q thẳng hàng

PHƯƠNG PHÁP 4

Ví dụ:Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy

Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng

Hướng dẫn: Chứng minh OD OA tia phân giác góc xOy BÀI GIẢI:

ΔBOD ΔCOD có: OB = OC (gt)

OD chung

hình 11 K' K E

F

N M

C B

A

=

=

Hình 12 E

N M

B C

A

K K'

= =

Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c) Suy : BOD COD

Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm hai tia Ox Oy Do OD tia phân giác xOy

Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác xOy

Góc xOy có tia phân giác nên hai tia OD OA trùng Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng

BAÌ TẬP THỰC HÀNH

Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Kẻ BM AC, CN  AB (MAC N, AB), H giao

điểm BM CN a) Chứng minh AM = AN

b) Gọi K trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng

Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vng góc AB, nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC Bx Cy cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng

PHƯƠNG PHÁP 5

Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN

Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Gợi ý: Xử dụng phương pháp

Cách 1: Kẻ ME  BC ; NF  BC ( E ; F  BC) BME CNF vuông E F có:

BM = CN (gt), MBE NCF ( ACB)

Do đó: BME = CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ME = NF

Gọi K’ giao điểm BC MN.

MEK’ NFK’ vng E F có: ME = NF (cmt), EMK 'FNK'( so le trong

ME // FN) Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’

Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K  K’

Do ba điểm B,K,C thẳng hàng

Cách Kẻ ME // AC (E  BC) ACB MEB (hai góc đồng vị)

Mà ACB ABC nên MBE MEB  Vậy ΔMBE cân M Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta

ME = CN

Gọi K’ giao điểm BC MN.

ΔMEK’ ΔNCK’ có:

K ME K NC '  ' (so le ME //AC)

ME = CN (chứng minh trên)

MEK 'NCK' (so le ME //AC)

Do : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g)  MK’ = NK’

Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K  K’

Do ba điểm B,K,C thẳng hàng

Hình 13 12

/ /

108

// = =

M

C B

A O

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC cân A , BAC1080, Gọi O điểm nằm tia phân giác

góc C cho CBO 120 Vẽ tam giác BOM ( M A thuộc nửa

mặt phẳng bờ BO)

Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng

Hướng dẫn: Chứng minh OCA OCM  từ suy tia CA tia CM trùng nhau.

BÀI GIẢI

Tam giác ABC cân A nên

  1800 1080 360

2

ABCACB  

(tính chất tam giác cân) Mà CO tia phân giác ACB, nên ACO BCO 180 Do BOC 1500

ΔBOM nên BOM 600.

Vậy : MOC3600 (150060 ) 1500  ΔBOC ΔMOC có:

OB = OM ( ΔBOM đều) BOC MOC 1500

OC chung

Do : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c)

Suy ra: OCB OCM  mà OCB OCA  (gt) nên OCA OCM  .

Hai tia CA CM nằm nửa mặt phẳng bờ CO OCA OCM  nên tia CA và

tia CM trùng Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng (đpcm)

Lưu ý: Trong phần chuyên đề chưa hoàn chỉnh, thầy giáo dạy tốn lớp muốn sử dụng cần viết lại từ phần đặt vấn đề bổ sung thêm tập hoàn chỉnh Chúc tất , người làm nghề “lái đị” có ngày 20//11 trọn vẹn Chào thân

Thăng Bình –Quảng Nam ngày 20/11/2009