Có thể nói phương pháp chứng minh đẳng thức rất đa dạng và là tổng hợp các phương pháp lập luận, biến đổi để chứng minh đề nào dược một vấn đề nào đó của cấp học.. Trong chuyên đề chứn[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.
A, Trong chương trình tốn THCS bồi dưỡng học sinh giỏi
cấp II, chứng minh đẳng thức chuyên đề quan trọng Thơng qua chứng minh đẳng thức ta ơn lại cho học sinh nhiều kiến thức tính toán, biến đổi, rút gọn tập hợp Q
Chứng minh đẳng thức, học sinh việc rèn luyện kĩ tính tốn, biến đổi, học sinh cịn nâng cao mặt tư lơgic, lập luận vấn đề chặt chẽ, rèn luyện khả sáng tạo Có thể nói phương pháp chứng minh đẳng thức đa dạng tổng hợp phương pháp lập luận, biến đổi để chứng minh đề dược vấn đề cấp học
Trong chuyên đề chứng minh đẳng thức, xin nêu số dạng chứng minh số phương pháp giải gần gũi với học sinh cấp II Cơng cụ tốn học chưng minh đẳng thức phù hợp với đối tượng học sinh cấp II Cái quan trọng yêu cầu học sinh phải có lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ khía cạnh, trường hợp cụ thể vấn đề Đặc biệt sáng tạo chứng minh đẳng thức, biết đặc biệt hoá, tổng quát hoá vấn đề cần thiết
Trong tài liệu khơng sâu vào lí thuyết mà chủ yếu đưa loại tập qua ví dụ cụ thể từ hình thành kĩ năng, phương pháp chứng minh
(2)I Các phương pháp chứng minh:
1 Chứng minh cách biến đổi đồng
2 Chứng minh cách sử dụng đẳng thức Chứng minh dựa vào dãy tỉ số
4 Chứng minh phương pháp quy nạp
II Một số ví dụ tập.
1.Chứng minh cách biến đổi đồng
Bài 1: Cho phân số ba Chứng minh có ba yx ba
xy ba
Chứng minh: Ta có : ba yx ba
(a – x ).b = (b – y ) a
ab – x b = ab – a y
bx = ay hay yx ba
Bài 2: Cho ab – ac + bc – c2 = - với a,b,c Z
Chứng minh : a + b =
Chứng minh: Ta có : ab – ac + bc – c2 = -
(ab – ac ) + (bc – c2) = -
a(b – c )+ c(b – c ) = -1 (b – c )(a + c) = -1
Vì a, b, c nguyên nên:
1 1
c b
c a
1 1
c b
c a
(3)Bài 3: Cho 1
a b c d
(1) Chứng minh rằng: ba.dc ba dc
Chứng minh: Ta có :
bd bc ad d c b
a
(2)
Từ (1) 1
ac bc ad
ad – bc = ac (3)
Thay (3) vào (2) :ba dc bdac =
d c b a
(ĐPCM)
Bài 4: Cho số a, b, c, x , y , z thoả mãn điều kiện ax by cz
Chứng minh : bza cy cxb az aycbx
Chứng minh: Đặt
c z b y a x
= k x = ak ; y = bk ; z = ck
0
a bck bck a
cy bz
(1)
0
b ack ack b
bay cz
(2)
0
c bak bak c
bx ay
(3)
Từ (1),(2),(3)
c bx ay b
az cx a
cy
bz
Chứng minh cách hốn vị vịng quanh:
Sử dụng phương pháp với chứa nhiều biến số mà hốn vị vịng quanh biến số khơng làm thay đổi biểu thức
(4)) )( ( ) )( ( ) )(
( b c b a
a c c a b a c b b c a c b a = a c c b b
a
2
2
Nhận xét: Ta thay a b ; b c; c a
Ta cần biến đổi thành phần biểu thức kết tập khác suy từ phép biến đổi vịng quanh
Ta có:
) )( (c a c b
b a
= (a(cca))(c(cbb)) =
c b + a c (1) Thay a = b; b =c ; c = a vào thành phần cịn lại ta có:
) )( (a b a c
c b
= a b
1
+ a c
1
(2)
) )( (b c b a
a c
= a b
1
+ b c
1
(3)
Cộng vế đẳng thức (1), (2),(3)
VT =
a c c b b
a
2
2
= VP (ĐPCM) Bài tập :
1)Chứng minh ;
n m n m mn
= m n mn
2) Cho x, y hai số khác , thoả mãn điều kiện:
9x(x – y ) – 10 (y – x )2 = Chứng minh rằng: x = 10 y
2 Chứng minh cách sử dụng đẳng thức: Kiến thức bản:
Các đẳng thức đáng nhớ: 1, (a + b )2 = a2 + 2ab + b2.
(5)3, (a – b )(a + b) = a2 – b2
4, (a + b)3 = a3 + a2b + ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)
5, (a – b )3 = a3 – 3a2b + ab2 – b3
(a – b )3 = a3 – b3 – 3ab (a – b )
6, (a – b )(a2 + ab + b2) = a3 – b3
7, (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
Ta có : (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
Tổng quát đẳng thức 7, ta có đẳng thức: 8, an – bn = (a – b )(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ abn-2 + bn-1 )
với số nguyên dương n
Tổng quát đẳng thức 6, ta có đẳng thức
9,an + bn = (a + b )(an-1 – an-2b + an-3b2 – … – abn-2 + bn-1 ) với số lẻ n.
Tổng quát đẳng thức 1,2,4,5 ta có công thức Niu-tơn (a + b )n = an + c
1an-1b + c2an-2b2 + c3an-3b3 + .+ cn-1abn-1 + bn
Trong đa thức vế phải đa thức có n + hạng tử, bậc hạng tử tập hợp biến a, b n
Bài 1: Cho : a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca (1)
Chứng minh rằng: a = b = c Chứng minh:
Nhân hai vế biểu thức (1) với số ta có: 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ac = 0
(6)Vì (a – b )2
0; (b – c )2 0 ; (c – a)2 0
Nên từ (1) a – b = b – c = c – a =
Hay a = b = c
Bài 2: Cho a + b + c = 2p Chứng minh : a , a2 + b2 – c 2 + 2bc = (p – b )(p – c )
b , p2 + (p – a )2 + (p – b )2 + (p – c )2 = a2 + b2 +c2
Chứng minh:
a, Ta có : VT = a2 + b2 – c2 + 2bc = a2 – ( b2 + c2 – 2bc ) = a2 – (b – c )2
= (a – b + c)(a+ b – c ) = (2p – 2b )(2p – 2c) = (p – b )(p – c )= VP b, Ta có: VT = p2 + (p – a )2 + (p – b )2 + (p – c )2
= p2 + (p2 – 2ap + a2) + (p2 – 2pb + b2 ) + (p2 – 2pc + c2)
= 4p2 + a2 + b2 + c2 – 2p(a + b + c)
= 4p2 + a2 + b2 + c2 – 2p 2p
= a2 + b2 + c2 = VP. Bài 3: Cho a + b + c = ; a2
+ b2 + c2 =
Chứng minh : a4
+ b4 + c4 = 2
Chứng minh:
* Bình phương hai vế a2
+ b2 + c2 = ta :
a4
+ b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + a2c2 ) =
* Bình phương hai vế a + b + c = ta :
a2
+ b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) =
ab + bc + ca =
2
( a2
+ b2 + c2 = )
(7)a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2abc(a + b + c) =
a2b2 + b2c2 + a2c2 =
4
(vì a + b + c = )
Vậy a4
+ b4 + c4 + 4
= a4 + b4 + c4 =
2
Bài 4: Chứng minh rằng:
(x +y + z)3 – [ (x+y – z )3 +(x – y + z )3 + ( – x +y + z )3 ] = 24xyz
Chứng minh: Đặt : A = x+y – z
B = x – y + z C = – x +y + z
A + B + C = x +y + z
Biến đổi vế trái:
VT = (A + B + C )3 – ( A3 + B3+ C3)
= (A + B + C )3 – A3 – B3 – C3
= 3(A2B + B2C + C2A + B2A + C2B + A2C + 2ABC)
= [ (A2B +B2A ) +(B2C + ABC ) + (C2A + C2B) + (A2C + ABC )]
= [ AB(A +B ) + BC(B + A ) +C2 (A + B) + AC(A + B)]
= (A +B )(AB + BC +C2 + AC )
= (A +B )(A + C)(B + C)
= 24 xyz = VP (Đpcm)
Bài 5: Giả sử x, y, z, a, b, c 0 ax bycz =
c z b
y a x
=1
22 22 22
c z b y a x
=
(8)Ta có: 22 22 22 c z b y a x
+
ab xy
+ 2acxz + 2bcyz =
2 2 2 c z b y a x
+ 2(
ab xy
+ acxz + bcyz) = (1)
Mặt khác: axby cz =
Hay ayzbxzxyzcyz =
axy + bxz + cyz = (2)
(1) 2
2 2 2 c z b y a x
+
abc ayz bxz cxy
= (3)
Thế (2) vào (3) ta có 22 22 22
c z b y a x
= (Đpcm)
Bài tập:
1) Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = abc
2)Cho (a + b )2 = (a2 +b2)
Chứng minh : a = b
3 Chứng minh dựa vào dãy tỉ số
Bài 1: Cho số a, b , c , d thoả mãn điều kiện: 3ab 3bc 3cd 3da a + b +c +d
Chứng tỏ rằng: a= b = c = d Chứng minh:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
a d d c c b b a 3
3 =3(b c d a)
d c b a
(9)b a
3 =
a = b (1) c b
3 =
c = b (2)
d c
3 =
c = d (3) a d
3 =
a = d (4)
Từ (1), (2), (3), (4) a = b= c = d (Đpcm)
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu ba dc qp
eq nd mb ep nc ma
= ba dc qp
Chứng minh: Ta có : ba dc qp
eq ep nd nc mb ma = q p d c b a
mbma ndnc epeq
= ba dc qp (theo dãy tỉ số nhau)
Bài 3: Chứng minh rằng: aa bb cc aa
a2 = bc
Chứng minh: Ta có :
b a b a = a c a c = k
a + b = k (a – b )
c + a = k (c – a )
a( – k ) = – b (1 + k)
a( – k ) = – a (1 + k)
) ( ) ( k c k a
= ab((11kk)) a b c a
a2 = bc (Đpcm)
Bài 4: Chứng minh :
c b a b a c a c b
a b
c a c b c b a
= Nếu a + b + c =
Chứng minh: Biến đổi vế trái:
VT =
c b a b a c a c b
a b
(10)= + ba((bc ac)) + ab((bc ca)) + cb((ca ab)) +ac((ba cb))+bc((ac ab))
* ba((bc ca)) + cb((ca ab))=
c b a a
c b
a c
b
= b(bc acc(2c aa2) ab)
= b(cac a(c)(bca) a)
= b(bacc a) =
ac b2
2
* ba((bc ca)) + ac((ba cb)) =
bc a2
2
* ac((ba cb)) + bc((ca ab)) =
ab c2
2
VT = +
ab c ac b bc
a2 2
= +
abc c b a3
= +
abc
abc abc c
b
a3 3 2 3
= +
abc
ca bc ab c b a c b
a )( )
( 2
= (Vì a + b + c = 0) = VP
4.Chứng minh phương pháp quy nạp toán học (truy tốn) Lí thuyết bản:
Bước 1: Thử với số trường hợp đơn giản Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k
Bước 3: Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k +
B i 1:à Chứng minh rằng:
Sn = + + + … + (2n-1) = n2
Chứng minh:
(11)S2 = 1+3 = 22
S3 = + + = 32
……
Giả sử đẳng thức với n = k (k 1)
Tức Sk = k2 (2)
Ta cần chứng minh : Sk+1 = ( k +1 ) ( 3) ThËt vËy céng vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã : + +5 + …+ (2k – ) + (2k + 1) = k2 + (2k +1)
Vì k2 + (2k + 1) = (k + 1)2
Nên 1+ + + …+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k +1)2
Theo ngun lí quy nạp tốn chứng minh Bài tập:
Chứng minh toán sau phương pháp quy nạp 1) + + + + … + n = (n21)n
2) 12 + 22 + …+ n2 =
6
) )( (n n
n
3, 13+23 + + n3 =
2
2 ) (
n n
4, 15 + 25 + …n5 = 121 n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – )
Một số sai lầm tronh chứng minh quy nạp toán học: Thiếu bước chứng minh:
(12)LỜI CẢM ƠN
Trên chuyên đề chứng minh đẳng thức THCS Mặc dù tác giả cố gắng khơng thể khơng có thiếu sót ( q trình chọn cách giải )
Kính mong độc giả đón đọc đóng góp ý kiến để chuyên đề sau tác giả viết tốt
Địa gmail: loannhuthi.@gmail Com Địa : Nhữ Thị Loan
(13)