1. Trang chủ
  2. » Ngoại Ngữ

Chuyen de chung minh THCS

13 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 13
Dung lượng 292 KB

Nội dung

Có thể nói phương pháp chứng minh đẳng thức rất đa dạng và là tổng hợp các phương pháp lập luận, biến đổi để chứng minh đề nào dược một vấn đề nào đó của cấp học.. Trong chuyên đề chứn[r]

(1)

CHUYÊN ĐỀ

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.

A, Trong chương trình tốn THCS bồi dưỡng học sinh giỏi

cấp II, chứng minh đẳng thức chuyên đề quan trọng Thơng qua chứng minh đẳng thức ta ơn lại cho học sinh nhiều kiến thức tính toán, biến đổi, rút gọn tập hợp Q

Chứng minh đẳng thức, học sinh việc rèn luyện kĩ tính tốn, biến đổi, học sinh cịn nâng cao mặt tư lơgic, lập luận vấn đề chặt chẽ, rèn luyện khả sáng tạo Có thể nói phương pháp chứng minh đẳng thức đa dạng tổng hợp phương pháp lập luận, biến đổi để chứng minh đề dược vấn đề cấp học

Trong chuyên đề chứng minh đẳng thức, xin nêu số dạng chứng minh số phương pháp giải gần gũi với học sinh cấp II Cơng cụ tốn học chưng minh đẳng thức phù hợp với đối tượng học sinh cấp II Cái quan trọng yêu cầu học sinh phải có lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ khía cạnh, trường hợp cụ thể vấn đề Đặc biệt sáng tạo chứng minh đẳng thức, biết đặc biệt hoá, tổng quát hoá vấn đề cần thiết

Trong tài liệu khơng sâu vào lí thuyết mà chủ yếu đưa loại tập qua ví dụ cụ thể từ hình thành kĩ năng, phương pháp chứng minh

(2)

I Các phương pháp chứng minh:

1 Chứng minh cách biến đổi đồng

2 Chứng minh cách sử dụng đẳng thức Chứng minh dựa vào dãy tỉ số

4 Chứng minh phương pháp quy nạp

II Một số ví dụ tập.

1.Chứng minh cách biến đổi đồng

Bài 1: Cho phân số ba Chứng minh có ba yxba  

xyba

Chứng minh: Ta có : ba yxba

 

 (a – x ).b = (b – y ) a

 ab – x b = ab – a y

 bx = ay hay yxba

Bài 2: Cho ab – ac + bc – c2 = - với a,b,c  Z

Chứng minh : a + b =

Chứng minh: Ta có : ab – ac + bc – c2 = -

(ab – ac ) + (bc – c2) = -

a(b – c )+ c(b – c ) = -1 (b – c )(a + c) = -1

Vì a, b, c nguyên nên:

  

  

 

1 1

c b

c a

  

 

  

1 1

c b

c a

(3)

Bài 3: Cho  1

a b c d

(1) Chứng minh rằng: ba.dcbadc

Chứng minh: Ta có :

bd bc ad d c b

a

 (2)

Từ (1)   1

ac bc ad

 ad – bc = ac (3)

Thay (3) vào (2) :badcbdac =

d c b a

(ĐPCM)

Bài 4: Cho số a, b, c, x , y , z thoả mãn điều kiện axbycz

Chứng minh : bzacycxbazaycbx

Chứng minh: Đặt

c z b y a x

 = k x = ak ; y = bk ; z = ck

0

 

 

a bck bck a

cy bz

(1)

0

   

b ack ack b

bay cz

(2)

0

 

 

c bak bak c

bx ay

(3)

Từ (1),(2),(3) 

c bx ay b

az cx a

cy

bz

   

Chứng minh cách hốn vị vịng quanh:

Sử dụng phương pháp với chứa nhiều biến số mà hốn vị vịng quanh biến số khơng làm thay đổi biểu thức

(4)

) )( ( ) )( ( ) )(

( b c b a

a c c a b a c b b c a c b a            = a c c b b

a    

2

2

Nhận xét: Ta thay a b ; b c; c a

Ta cần biến đổi thành phần biểu thức kết tập khác suy từ phép biến đổi vịng quanh

Ta có:

) )( (c a c b

b a

 

= (a(cca))(c(cbb)) =

c b + a c (1) Thay a = b; b =c ; c = a vào thành phần cịn lại ta có:

) )( (a b a c

c b

 

= a b

1

+ a c

1

(2)

) )( (b c b a

a c

 

= a b

1

+ b c

1

(3)

Cộng vế đẳng thức (1), (2),(3)

 VT =

a c c b b

a    

2

2

= VP (ĐPCM) Bài tập :

1)Chứng minh ;

n m n m mn   

= mnmn

2) Cho x, y hai số khác , thoả mãn điều kiện:

9x(x – y ) – 10 (y – x )2 = Chứng minh rằng: x = 10 y

2 Chứng minh cách sử dụng đẳng thức: Kiến thức bản:

Các đẳng thức đáng nhớ: 1, (a + b )2 = a2 + 2ab + b2.

(5)

3, (a – b )(a + b) = a2 – b2

4, (a + b)3 = a3 + a2b + ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)

5, (a – b )3 = a3 – 3a2b + ab2 – b3

(a – b )3 = a3 – b3 – 3ab (a – b )

6, (a – b )(a2 + ab + b2) = a3 – b3

7, (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

Ta có : (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.

Tổng quát đẳng thức 7, ta có đẳng thức: 8, an – bn = (a – b )(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ abn-2 + bn-1 )

với số nguyên dương n

Tổng quát đẳng thức 6, ta có đẳng thức

9,an + bn = (a + b )(an-1 – an-2b + an-3b2 – … – abn-2 + bn-1 ) với số lẻ n.

Tổng quát đẳng thức 1,2,4,5 ta có công thức Niu-tơn (a + b )n = an + c

1an-1b + c2an-2b2 + c3an-3b3 + .+ cn-1abn-1 + bn

Trong đa thức vế phải đa thức có n + hạng tử, bậc hạng tử tập hợp biến a, b n

Bài 1: Cho : a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca (1)

Chứng minh rằng: a = b = c Chứng minh:

Nhân hai vế biểu thức (1) với số ta có: 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca

 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ac = 0

(6)

Vì (a – b )2

0; (b – c )2 0 ; (c – a)2 0

Nên từ (1)  a – b = b – c = c – a =

Hay a = b = c

Bài 2: Cho a + b + c = 2p Chứng minh : a , a2 + b2 – c 2 + 2bc = (p – b )(p – c )

b , p2 + (p – a )2 + (p – b )2 + (p – c )2 = a2 + b2 +c2

Chứng minh:

a, Ta có : VT = a2 + b2 – c2 + 2bc = a2 – ( b2 + c2 – 2bc ) = a2 – (b – c )2

= (a – b + c)(a+ b – c ) = (2p – 2b )(2p – 2c) = (p – b )(p – c )= VP b, Ta có: VT = p2 + (p – a )2 + (p – b )2 + (p – c )2

= p2 + (p2 – 2ap + a2) + (p2 – 2pb + b2 ) + (p2 – 2pc + c2)

= 4p2 + a2 + b2 + c2 – 2p(a + b + c)

= 4p2 + a2 + b2 + c2 – 2p 2p

= a2 + b2 + c2 = VP. Bài 3: Cho a + b + c = ; a2

+ b2 + c2 =

Chứng minh : a4

+ b4 + c4 = 2

Chứng minh:

* Bình phương hai vế a2

+ b2 + c2 = ta :

a4

+ b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + a2c2 ) =

* Bình phương hai vế a + b + c = ta :

a2

+ b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) =

 ab + bc + ca =

2

( a2

+ b2 + c2 = )

(7)

a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2abc(a + b + c) =

 a2b2 + b2c2 + a2c2 =

4

(vì a + b + c = )

Vậy a4

+ b4 + c4 + 4

=  a4 + b4 + c4 =

2

Bài 4: Chứng minh rằng:

(x +y + z)3 – [ (x+y – z )3 +(x – y + z )3 + ( – x +y + z )3 ] = 24xyz

Chứng minh: Đặt : A = x+y – z

B = x – y + z C = – x +y + z

 A + B + C = x +y + z

Biến đổi vế trái:

VT = (A + B + C )3 – ( A3 + B3+ C3)

= (A + B + C )3 – A3 – B3 – C3

= 3(A2B + B2C + C2A + B2A + C2B + A2C + 2ABC)

= [ (A2B +B2A ) +(B2C + ABC ) + (C2A + C2B) + (A2C + ABC )]

= [ AB(A +B ) + BC(B + A ) +C2 (A + B) + AC(A + B)]

= (A +B )(AB + BC +C2 + AC )

= (A +B )(A + C)(B + C)

= 24 xyz = VP (Đpcm)

Bài 5: Giả sử x, y, z, a, b, c 0 axbycz =

c z b

y a x

 =1

22 22 22

c z b y a x

 =

(8)

Ta có: 22 22 22 c z b y a x

 +

ab xy

+ 2acxz + 2bcyz =

 2 2 2 c z b y a x

 + 2(

ab xy

+ acxz + bcyz) = (1)

Mặt khác: axbycz =

Hay ayzbxzxyzcyz =

 axy + bxz + cyz = (2)

(1)  2

2 2 2 c z b y a x

 + 

       abc ayz bxz cxy

= (3)

Thế (2) vào (3) ta có 22 22 22

c z b y a x

 = (Đpcm)

Bài tập:

1) Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = abc

2)Cho (a + b )2 = (a2 +b2)

Chứng minh : a = b

3 Chứng minh dựa vào dãy tỉ số

Bài 1: Cho số a, b , c , d thoả mãn điều kiện: 3ab 3bc 3cd 3da a + b +c +d 

Chứng tỏ rằng: a= b = c = d Chứng minh:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

a d d c c b b a 3

3    =3(b c d a)

d c b a      

(9)

b a

3 =

 a = b (1) c b

3 =

 c = b (2)

d c

3 =

 c = d (3) a d

3 =

 a = d (4)

Từ (1), (2), (3), (4)  a = b= c = d (Đpcm)

Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu badcqp

eq nd mb ep nc ma    

= badcqp

Chứng minh: Ta có : badcqp

eq ep nd nc mb ma   = q p d c b a  

mbma ndnc epeq  

 

= badcqp (theo dãy tỉ số nhau)

Bài 3: Chứng minh rằng: aa bb cc aa

    

 a2 = bc

Chứng minh: Ta có :

b a b a   = a c a c   = k

 a + b = k (a – b )

c + a = k (c – a )

 a( – k ) = – b (1 + k)

a( – k ) = – a (1 + k)

 ) ( ) ( k c k a  

=  ab((11kk))  a b c a

  a2 = bc (Đpcm)

Bài 4: Chứng minh : 

          c b a b a c a c b          

a b

c a c b c b a

= Nếu a + b + c =

Chứng minh: Biến đổi vế trái:

VT = 

          c b a b a c a c b          

a b

(10)

= + ba((bc ac)) + ab((bc ca)) + cb((ca ab)) +ac((ba cb))+bc((ac ab))

* ba((bc ca)) + cb((ca ab))=    

 

 

c b a a

c b

a c

b

= b(bc acc(2c aa2) ab)

   

= b(caca(c)(bca) a)

= b(bacca) =

ac b2

2

* ba((bc ca)) + ac((ba cb)) =

bc a2

2

* ac((ba cb)) + bc((ca ab)) =

ab c2

2

VT = + 

  

 

 

ab c ac b bc

a2 2

= +

abc c b a3

 

= +

abc

abc abc c

b

a3 3 2 3

= +

abc

ca bc ab c b a c b

a )( )

( 2

     

= (Vì a + b + c = 0) = VP

4.Chứng minh phương pháp quy nạp toán học (truy tốn) Lí thuyết bản:

Bước 1: Thử với số trường hợp đơn giản Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k

Bước 3: Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k +

B i 1:à Chứng minh rằng:

Sn = + + + … + (2n-1) = n2

Chứng minh:

(11)

S2 = 1+3 = 22

S3 = + + = 32

……

Giả sử đẳng thức với n = k (k 1)

Tức Sk = k2 (2)

Ta cần chứng minh : Sk+1 = ( k +1 ) ( 3) ThËt vËy céng vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã : + +5 + …+ (2k – ) + (2k + 1) = k2 + (2k +1)

Vì k2 + (2k + 1) = (k + 1)2

Nên 1+ + + …+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k +1)2

Theo ngun lí quy nạp tốn chứng minh Bài tập:

Chứng minh toán sau phương pháp quy nạp 1) + + + + … + n = (n21)n

2) 12 + 22 + …+ n2 =

6

) )( (nn

n

3, 13+23 + + n3 =

2

2 ) (

   

 n n

4, 15 + 25 + …n5 = 121 n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – )

Một số sai lầm tronh chứng minh quy nạp toán học: Thiếu bước chứng minh:

(12)

LỜI CẢM ƠN

Trên chuyên đề chứng minh đẳng thức THCS Mặc dù tác giả cố gắng khơng thể khơng có thiếu sót ( q trình chọn cách giải )

Kính mong độc giả đón đọc đóng góp ý kiến để chuyên đề sau tác giả viết tốt

Địa gmail: loannhuthi.@gmail Com Địa : Nhữ Thị Loan

(13)

Ngày đăng: 02/05/2021, 16:40

w