- Biết được cách giải, công thức tổng quát của một số bài toán về dãy số nguyên viết theo quy luật; Phân tích dạng toán, tìm tòi phương pháp giải mới và lựa chọn phương pháp phù hợp vớ[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT I
MỤC TIÊU: 1, Kiến thức
- Biết cách giải, công thức tổng quát số toán dãy số ngun viết theo quy luật; Phân tích dạng tốn, tìm tịi phương pháp giải lựa chọn phương pháp phù hợp với trình độ học sinh
2, Kĩ năng:
- Vận dụng vào giải tốn liên quan nhanh chóng thuận tiện hơn; - Giúp cho học sinh có kiến thức vững vàng, có ý thức tự học tìm tịi sáng tạo q trình học tập Tìm tịi phát nhiều cách giải cho toán tạo hứng thú học toán cho em có lực học tập mơn tốn thêm u thích mơn
II NỘI DUNG
DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU. 1.Bài tốn 1.1:
a) Tính A = + 6+ 7+ + 2013 + 2014
b) Viết cơng thức tổng qt tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách đều. * Cách giải 1
-Nhận xét:
+ Số hạng đầu là: số hạng cuối là: 2014 + Khoảng cách hai số hạng là:
+Tổng A có số số hạng là: ( 2014 – ): + = 2010 +Xét cặp (5+2014) = ( 6+2013) = = 2019
- Ta tính tổng A sau: A = + 6+ 7+ + 2013 + 2014
A = (5+2014) + ( 6+2013) + + ( 1009+1010)
A = 2019 + 2019 + + 2019 tổng A có 2010 số hạng nên có 1005 số 2019 Vậy A = 2019.1005 = (5+2014).2010:2 = 2029095
* Mội số lưu ý làm tốn dạng tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách đều này:
- Bài toán 1.1 tổng số hạng dãy số tự nhiên liên tiếp dài, khơng thể tính tốn theo quy tắc thông thường được, nên phải vận dụng phương pháp giải khơng mẫu mực đó:
- HS cần biết cách tính tổng số hạng tổng cho cách: Số số hạng = ( số hạng cuối– số hạng đầu) :khoảng cách + 1
Nhưng nhiều trường hợp hs thường mắc sai lầm xác định không đúng cho khoảng cách số hạng, thiếu cộng với (số hạng đầu tiên)
- Ở cách giải 1, ta thực phép toán giao hoán để viết tổng
A = (5+2014) + ( 6+2013) + ta có cặp vậy, cặp có giá trị bao nhiêu? Hs trả lời cặp cuối tổng số nào? Thì lại vướng mắc nên GV cần định hướng phân tích cho hs rõ chỗ này.
(2)mỗi cặp có số hạng 1005 cặp vừa đủ Giả sử tổng sau: B =1 + + + + 2014 + 2015
- Ở tốn tính tổng B theo cách hs thường bị lúng túng: tổng B gồm 2015 số hạng, ta chia số hạng thành cặp cặp có số hạng 1007 cặp dư số hạng, cặp thứ 1007 gồm số hạng nào? Số hạng dư bao nhiêu? đến học sinh bị vướng mắc Cần phải hướng dẫn hs đưa toán 1.1 để tính Có thể làm sau:
B = + + + + 2014 + 2015 cách đưa tính theo cách giải như sau:
B = (1 + + + + 2014) + 2015
(tính tổng ngoặc đơn trước, cộng với hạng tử cịn lại)
- Trong chương trình học lớp em biết đến toán Gauss nên ngồi cách tính tổng A, tổng B nói ta tính tổng A sau:
* Cách giải 2:
A = + + + + 2013 + 2014 + A = 2014 + 2013 + 2012 + + +
2A = 2019 + 2019 + 2019 + + 2019 + 2019 (có 2010 số hạng) Ta có: 2A = 2019.2010 A = 2019.1005 = (5+2014).2010:2 = 2029095
b) Đặt vấn đề: Ở toán cách giải bước cuối ta thấy kêt toán viết thành: A = 2019.1005 = 2029095 hay A = ( + 2014) 2010 :
Khi ta có A = (số hạng đầu + số hạng cuối) số số hạng :
(Đối với GV ta chứng minh tốn tổng quát theo phương pháp quy nạp; đối với HS lớp cần biết vận dụng công thức tổng quát cho toán loại này)
Chứng minh: Tổng quát: An= + + +…+ (n – 1) + n = n.(n+1) : (n n)
- Khi n = ta có: : a = ( + 1) : = - Giả sử toán với n = k > 1, nghĩa là: Ak = + + + …+ (k – 1) + k + (k + 1)
- Ta xét: Ak + = + + + …+ (k – 1) + k + (k + 1)
= Ak + (k + 1) = k ( k+ 1) : + (k + 1)
= (k + 1) ( k
2+1)=(k+1)
(k+1)+1
2
Nên Ak+ = (k + 1)
(k+1)+1
2 Tức toán với n = k + 1.
Vậy: Với số tự nhiên n khác 0, ta có:
An= + + + …+ (n – 1) + n = n.(n + 1) :
(Ghi chú: Ở toán toán tổng quát sau ta lấy k N)
Cách giải 3:
Xét A = + + + + 2013 + 2014
Ta có số số hạng tổng là: (2014 – 5):1 + = 2010
Áp dụng công thức tổng quát: A = (số hạng đầu + số hạng cuối) số số hạng : 2
Khi đó: A = ( + 2014) 2010 : = 2029095
(3)nhiên liên tiếp khơng cịn khó khăn học sinh, ta đặt vấn đề khai thác, phát triển sang tập tương tự cách tính tổng số nguyên cách cách tiện lợi Tơi xin đề cập đến tốn có thể khai thác từ toán sau:
2 Bài tốn 1.2 Tìm số hạng thứ n dãy số tự nhiên cách đều
* Kiến thức cần ý:
+/ Số số hạng tính cách:
Số số hạng = ( sốhạng cuối– số hạng đầu) :khoảng cách + 1
+/ Tìm số hạng thứ n dãy số
Số hạng thứ n = (số số hạng-1) khoảng cách + số hạng đầu
Lưu ý: Số hạng thứ n cần tìm ta hiểu số hạng cuối cơng thức tìm số số hạng
* VD: Tính tổng: S = + + 11 + +97+ 99 a) Tính tổng S
b) Tìm số hạng thứ 33 tổng Bài giải
a) - Nhận xét:
+ Số hạng đầu là: số hạng cuối là: 99 + Khoảng cách hai số hạng là:
+S có số số hạng tính cách: ( 99 – ): + = 47 -Ta tính tổng S sau:
Cách :
S = + + 11 + + 97 + 99 ( có 47 số hạng) S = + ( + 11 + + 97 + 99)
Ta có: S = + (9+99) + (11+97) + … + (53+55)
S = + 108 + 108 + …+ 108 ( có 23 số hạng 108) S = + 108.23 = 2491
Cách : theo cách tích tổng Gauss S = + + 11 + + 97 + 99
S = 99 + 97 + 95 + +
2S = 106 47
S = 106.47 : = 2491
Cách : Áp dụng Tổng S tính cách:
Tổng S = ( số hạng cuối+ số hạng đầu ).Số số hạng : Nên : Tổng S có giá trị : S = (99 + 7) 47 : = 2491
b) Xét tổng S = + + 11 + +97+ 99
- Áp dụng cơng thức tìm số hạng dãy số
Số cuối = (số số hạng - 1) khoảng cách + số đầu
(số cuối số hạng cần tìm tổng dãy số tự nhiên cách đều) - Số hạng thứ 33 tổng : ( 33 – ).2 + = 71
* Một số lưu ý giải toán loại này:
- Hs phải biết phân biệt rõ ràng số hạng đầu, số hạng cuối tổng.
(4)- Hs hiểu số số hạng trường hợp số hạng thứ n cần tìm. ( số số hạng 33)
- Hs dễ bị nhầm số hạng thứ 33 dãy thành số hạng có giá trị 33 tổng. 3 Bài toán vận dụng
Từ toán hs biết vận dụng làm nhanh biết công thức tổng quát của toán sau:
Bài 1:
a Tính tổng dãy số lẻ liên tiếp
Tính tổng A1 = + + + + ….+ 2015
( Các cách giải tương tự toán 1.1)
* Tổng quát: An= + + + +… + (2n – 1) = n2 (n N*)
( hình thành tương tự tốn 1.1)
Chứng minh: Tổng quát: An= + + + +… + (2n – 1) = n2 (n N*)
- Khi n = ta có: An = = 12 (đúng)
- Giả sử toán với n = k > 1, nghĩa là: Ak = + + +… + (2k – 1) = k2
- Ta xét: Ak+ = + + + …+ (2k – 1) = (2k + 1)
= Ak + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2
Hay Ak+ = (k + 1)2 Tức toán với n = k +
Vậy: Với số tự nhiên n khác 0, ta có: An = + + + +…+ (2n – 1) = n2
b Tính tổng dãy số chẵn liên tiếp
Tính tổng A2 = + + + +…+ 2014 + 2016
( Các cách giải tương tự toán 1.1)
* Tổng quát: An = + + + + …+ 2n = n (n + 1) (n N*)
( hình thành tương tự tốn 1.1)
Chứng minh Tổng quát: An = + + + + …+ 2n = n (n + 1) (n N*)
- Khi n = ta có: an = 1.(1 + 1) = (đúng)
- Giả sử toán với n = k > 1, nghĩa là: Ak = + + + … + 2k = k.(k + 1)
Ta xét: Ak + = + + +…+ 2k + (k + 1) = Ak + 2(k + 1)
= k.(k + 1) + (k + 1) = (k + 1) (k + 1) + 1
Hay Ak + = (k + 1) (k + 1) + 1 Tức toán với n = k +
Vậy: Với số tự nhiên n khác 0, ta có: An = + + + + … + 2n = n (n + 1)
c: Tính tổng dãy số lẻ liên tiếp có đan dấu “+” “ - ” Tính tổng A3 = -1 + – + – +…+ 2015
( Các cách giải tương tự toán 1.1)
*Tổng quát:An = -1 + – + – + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n n (n N*)
( hình thành tương tự tốn 1.1)
Chứng minh Tổng quát:An = -1 + – + – + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n n (n N*)
- Khi n = ta có; An = -1 = (-1)1
(5)Ak = -1 + – + – + …+ (-1)k (2k – 1) = (-1k)k.k
Ta xét: Ak+ = -1 + – + – +….+ (-1)k(2k – 1) + (-1)k + (2k + 1)
= Ak + (-1)k +1 (2k + 1)
= (-1)k k + (-1)k (-1).(2k + 1)
= (-1)k.(k - 2k – 1) = 9-10k(-k – 1) = (-1)k(-1) (k + 1)
Hay Ak + = (-1)k + 1(k + 1) Tức toán với n = k +
Kết luận: Với số tự nhiên n khác 0, ta có:
An = -1 + – + – + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n n
(Đối với GV ta chứng minh tốn tổng quát theo phương pháp quy nạp; đối với HS lớp cần biết vận dụng công thức tổng quát cho toán loại này để làm tốn thuận tiện hơn)
d Tính tổng dãy số chẵn liên tiếp có đan dấu “+” “ - ” A4 = – + – +…+ 2010 – 2012 + 2014 - 2016
A5 = – - + + 10 - 12 – 14 + 16 +….+ 98 – 100 – 102 + 104
Bài 2:
1 Bạn Bình đánh số trang chẵn sách dãy số chẵn số 2, biết sách bạn Bình có 284 trang chẵn đánh số chữ số giây Hỏi:
a) Bạn Bình cần phút để đánh hết số trang sách b) Trang chẵn thứ 25 đánh số ?
2 Bạn An đánh số trang lẻ sách dãy số lẻ số 1, biết rằng sách bạn An có 283 trang lẻ đánh số chữ số giây Hỏi
a) Bạn An cần phút để đánh hết số trang sách b) Trang lẻ thứ 52 đánh số ?
( Ở yêu cầu hs tư vận dụng toán 1.1 1.2 để giải)
Khi giải toán dạng ta khơng thấy có vướng mắc lớn, bởi tồn tốn mà học sinh không gặp khó khăn tiếp thu Tuy nhiên sở để từ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu dạng toán mức độ cao hơn, phức tạp hơn một chút.
DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
I Tính tổng dãy số số có số theo số mũ tăng dần. Bài toán: Tính tổng
a) B = 20 + 21 + 22 + 23 + … + 210
b) B1 = + 20141 + 20142 + 20143 + ….+ 20142014 + 20142015 c) Viết cơng thức tổng qt cách tính tổng trên.
Bài làm
a) B = 20 + 21 + 22 + 23 + … + 210 Cách giải 1:
B = 20 + 21 + 22 + 23 + … + 210
= + + + + … + 1024 = 2047
(6)1) nên ta cần tìm hiểu cách giải khác.
Cách giải 2: (Cách giải tốn khơng mẫu mực, khơng tn thủ theo quy tắc thông thường)
HD:
- Ta thấy biểu thức cần tính tổng dãy số số hạng có cơ số, số mũ dãy số cách tăng dần Vấn đề đặt nhân hai vế biểu thức đó với số để trừ cho biểu thức ban đầu loạt lũy thừa bị triệt tiêu?
- Ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với số của lũy thừa biểu thức thực phép trừ biểu thức cho biểu thức ban đầu ta tìm tổng.
- Hs nhận biết cần nhân vế biểu thức với số để biểu thức thực phép trừ biểu thức ban đầu.
Ta có 2B = 21 + 22 + 23 + …… + 210 + 211
Mà B = 20 + 21 + 22 + 23 + …+210
Vậy 2B – B = 211 - 20 =
11
2
B = 211 – = 2047
b) B1 = + 20141 + 20142 + 20143 + ….+ 20142014 + 20142015
Tương tự toán 1a) theo cách giải ta khơng tính trực tiếp được, mà phải vận dụng cách giải Ta xét:
2014.B1 = 20141 + 20142 + 20143 + 20144+ … +20142015 + 20142016
Mà B1 = + 20141 + 20142 + 20143 + …+ 20142014 + 20142015
Nên 2014.B1 – B1 = 20142016 -
Tính được: B1 =
2016 2016 2014 2014
2014 2013
c) Ta có cơng thức tổng qt cho tốn sau: Sn = a0 + a1 + a2 + a3 +… + an =
an+1 −1
a−1 (n ¿ N; a ¿ 1; a ¿ 0)
CM tổng quát: Sn = a0 + a1 + a2 + a3 +… + an = an+1
−1
a−1 (n ¿ N; a ¿ 1; a ¿ 0)
Thật vậy: Khi a = ta có Sn = n +
Khi a ¿ thì: a.Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an + an + a.Sn – Sn = a n + – Sn (a – 1) = an + –
Vậy tổng Sn có giá trị là: Sn = an+1
−1 a−1
Kết luận: Sn = a0 + a1 + a2 + a3+ …+ an+1
−1
a−1 (n ¿ N; a ¿ 1; a ¿ 0) Từ toán tổng quát ta vận dụng để giải tốn tương tự tổng có nhều số hạng nhanh chóng thuận tiện toán liên quan khác * Một số lưu ý dạy toán dạng này:
(7)số, số mũ dãy số cách tăng dần Vấn đề đặt nhân hai vế biểu thức đó với số để trừ cho biểu thức ban đầu loạt lũy thừa bị triệt tiêu?
- Trong toán ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với số lũy thừa biểu thức thực phép trừ biểu thức cho biểu thức ban đầu ta tìm tổng (có thể để dạng 1 biểu thức) câu a; câu b;
- Đối với tập dạng Hs nhận biết cần nhân vế biểu thức với chính số
2 Bài tập vận dụng
a) Cho B2 = + 32 + 33 + 34 + …+3100
Tìm số tự nhiên n biết 2B2 + = 3n
HD: Tương tự tính B3 =
3101−3
2
Khi đó: 3101 – + = 3n 3101 = 3n n = 101
b) Cho B4 = + 32 + 33 + 34 + …+3n Tìm số n cho B4 = 3280
Giải: Ta có B4 =
2
1 3 3n
(1)
B4 =
2
3 3n 3n
(2)
Trừ vế biểu thức (2) cho biểu thức (1) ta được:
1
2 B 3n
=> 3 1 : 2
n
B
Mà B4 = 3280 nên
1
3n : 3280
=>3n1 6561 3
Lập luận để tính n =7
c)Tính tổng B5= – 32 + 33 – 34 + …+32013 – 32014+ 32015 - 32016 Ta có: 3.B5 = 32 – 33 + 34 – 35 +… + 32014 – 32015 + 32016 – 32017
Nên 3B5+ B5 = - 32017 Vậy B5 =
2017 3
4
Hs vận dụng cách làm tốn để giải tốn khơng gặp khó khăn.
II Tính tổng tích cặp số nguyên cách đều
1 Bài toán 2.1:
a) Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 b) Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + 3.4 +….+ 99.100 + 100.101
c) Hãy viết công thức tổng quát cho tổng trên?
( Đây số đề kiểm tra học kỳ I – toán năm học 2013– 2014 của PGD)
Bài làm
a) Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 Lời giải 1:
Hs dễ dàng thực phép giải thông thường
(8)= + + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 +90 = 330
Nhưng cách giải áp dụng cho câu b) nên ta cần tìm hiểu cách giải khác
Lời giải 2:
3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + … + 8.9.(10 - 7) + 9.10 (11 - 8)
= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 9.10.(10+1)
Vậy A = 9.10.(10+1) : = 990 : = 330
Nhận xét: - Trong tổng hạng tử tích số tự nhiên liên tiếp, các hạng tử viết theo quy luật, khoảng cách hai thừa số tích 1, ta nhân hai vế A với lần khoảng cách hai thừa số Nhân phá ngoặc để tính kết cần tìm
- Một cách khác Trong toán 2.1a) ta nhân vế A với 3(để tích của 3số liên tiếp số hạng đầu tiên) ta tách thành hạng tử mà có thể triệt tiêu hàng loạt, để có kết tốn cần tìm.
- Kết tốn tích hạng tử cuối với số liền sau của thừa số lớn.
ĐVĐ: Ta giải tốn cách khác sau: Lời giải :
Ta có 3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2)
= (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3
= (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 990 = 9.10.11
Vậy A = 9.10.(10+1) : = 990 : = 330
Nhận xét: Trong cách giải số ta nhân vào vế thừa? Đúng là vậy, ta nhân hai vế với để kết cuối đưa cơng thức tính tổng qt mà ta cần tìm.
b) Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + 3.4 +….+ 99.100 + 100.101 Tương tự cách giải ta làm câu b thật dễ dàng
Ta xét: 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +… + 99.100.3 + 100.101.3 3B = 1.2 (3 – 0) + 2.3.(4 – 1) + 3.4 (5 – 2) +
+ 99.100.(101 - 98) + 100.101.(102 - 99) = 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + …
+ 99.100.101 – 98.99.100 + 100.101.102 – 99.100.101 = 100.101.102 Vậy B = 100.101.102 : = 100.101.34 = 343400
Nhận xét: Trong câu b này, giải theo cách giải được, gặp khó khăn chỗ việc tính tổng bình phương dãy số cách gặp khó khăn, bài tốn giải phần tiếp theo.
- Kết tốn tích hạng tử cuối với số liền sau thừa số lớn.
(9)An = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n (n + 1) =
( 1)( 2) n n n
(nN*) Chứng minh tổng quát: Bn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n (n + 1) =
n(n+1(n+2)
3 (nN*)
Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh
Bước 1. Với n = Vế trái = 1.2 = Vế phải = 1.(1 + 1)(1+2) : = Suy vế trái vế phải Vậy toán với n =
Bước 2. Giả thiết toán với n = k ( k > 1) tức ta có: Bk = 1.2 + 2.3 +….+ (k + 1) (k + 2) =
k(k+1)(k+2)
3
Bước 3: Ta phải chứng minh toán với n = k + tức chứng minh Bk+1 = 1.2 + 2.3+…+ (k + 1)(k+2) =
(k+1)(k+2)(k+3)
3
Thật vậy: Bk+1 = Bk + (k + 1)(k + 2) =
k(k+1)(k+2)
3 + (k + 1)(k + 2)
Bk + = (k + 1)(k + 2) ( k
3+1)=
(k+10(k+2)(l+3)
3
Kết luận: Bn = 1.2 + 2.3 + 3.4+…+ n(n + 1) =
n(n+1)(n+2)
3 (n N*)
Bài tốn 2.2:
a) Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 b) Hãy viết công thức tổng quát toán
Lời giải :
a)Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải 1:
Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = + 24 + 60 + 120 + 210 + 336 + 504 + 720 = 1980 Lời giải :
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4 4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)]
4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11
A = 8.9.10.11 : = 1980
Nhận xét: - Tương tự toán 2.1a hạng tử tích số tự nhiên liên tiếp, hạng tử viết theo quy luật, khoảng cách hai thừa số tích 1, ta nhân hai vế A với lần khoảng cách hai thừa số.Nhân phá ngoặc để tính kết cần tìm )
- Một cách khác: toán ta nhân vế A với ( để tích số liên tiếp số hạng đầu tiên) để ta tách thành hạng tử mà triệt tiêu hàng loạt, để có kết tốn cần tìm.
- Vậy cách giải toán 2.1a; 2.2a ta nhân vế biểu thức với số xác định là: (số thừa số tích+ 1) Khoảng cách hai thừa số.
(10)thừa số lớn.
ĐVĐ: Ta giải toán cách khác sau: b) Quan sát kết tốn ta có cơng thức tổng quát
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2) : - Bài toán tổng qt 2.1b); 2.2b) giúp hs có cách tìm kết nhanh chóng toán dạng mà số hạng tử tổng nhiều 3 Bài tốn 2.3 Tính tổng bình phương dãy số cách đều.
a) Tính tổng C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102
b) Tính tổng C2 = 12 + 22 + 32+…+992 + 1002
c) Viết cơng thức tổng qt tốn trên.
Bài làm
a) Tính tổng C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102
Cách 1.Giải theo quy tắc thực thứ tự phép tính C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102
C1 = + + + … + 81 + 100 = 385
Cách (giải tốn khơng mẫu mực). C1 = 12 + 22 + 32+…+ 92 + 102
C1 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + … + 9.9 + 10.10
C1 = (2 - 1) + 2(3 – 1) + (4 – 1) +…+ 9(10 – 1) + 10 (11 – 1)
= 1.2 – + 2.3 – + 3.4 – +…+ 9.10 – + 10.11 – 10
= (1.2 + 2.3 + 3.4+…+ 9.10 + 10.11) – (1 + + + +…+ + 10) Ta thấy:
1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ 9.10 + 10.11 = 10.11.12: = 440 ( vận dụng toán 3.1 dạng 2)
+ + +….+ 10 = (10+1).10 : = 55 ( vận dụng tốn dạng 1) Do C1 = 440 – 55 = 385 =
10.11.(10.2 1)
Nhận xét: - Bài toán 2.3 thực toán vận dụng( trường hợp đặc biệt của bài tốn 2.1 hạng tử tích thừa số giống nhau;
- Dùng biện pháp tách số hạng để sử dụng kết toán
- Kết toán liên quan chặt chẽ với số hạng tử cuối cùng. Cách Dùng kiến thức lớp để giải toán
Khai thác theo hướng sử dụng đẳng thức: (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Với x = ta có 23 = 13 + 3.12 + 3.1 + 1.
Với x = ta có 33 = 23 + 3.22 + 3.2 + 1.
Với x = ta có 43 = 33 + 3.32 + 3.3 + 1.
……
Với x = ta có 103 = 93 + 3.92 + 3.9 + 1.
Với x = 10 ta có 113 = 103 + 3.102 + 3.10 + 1
Cộng vế với vế 10 đẳng thức ta được: 23 + 33 + … + 93 + 103 + 113
= 13 + 23 + 33 +…+ 93 +103 + 3(12 + 22 + 32+…+ 92 + 102) + (1 + + + +….
(11) 113 = 13 + 3.C1 + 3.55 + 10
1331 = 3.C1 + 176
3.C1 = 1331 – 176 = 1155
C1 = 385 =
10.11.(10.2 1)
b) Tính tổng C2 = 12 + 22 + 32+…+992 + 1002
Dùng biện pháp tách số hạng để sử dụng kết toán toán ta tiến hành sau:
C2 = 12 + 22 + 32+…+992 + 1002
C2 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + … + 99.99 + 100.100
C2 = (2 - 1) + 2(3 – 1) + (4 – 1) +…+ 99(100 – 1) + 100 (101 – 1)
= 1.2 – + 2.3 – + 3.4 – +…+ 99.100 – 99 + 100.101 – 100
= (1.2 + 2.3 + 3.4+…+ 99.100 + 100.101) – (1 + + + +…+ 99 + 100) Ta thấy:
1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ 99.100 + 100.101 = 100.101.102: = 343400 (bài toán 3.1dạng 2)
+ + +….+ 100 = 101.50 = 5050 ( tốn dạng 1) Do C2 = 343400 – 5050 = 338350 =
100.101.(100.2 1)
c) Ta có cơng thức tổng qt: En = 12 + 22 + 32 + …+n2 =
( 1)(2 1) n n n ( ∀ n N*)
Ch ng minh t ng quát: ứ ổ En = 12 + 22 + 32 + …+n2 =
n(n+10(2n+1)
6
( ∀ n N*)
Chứng minh tương tự cách
Với x = n ta có (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + = (n3 + 1) + (3n2 + 3n)
Cộng n đẳng thức rút gọn hạng tử hai vế, ta có: (n + 1)3 = n + + 3E
n + 1 + + +…+ (n – 1) + n
Ta có + + + …+ (n – 1) + n = n (n + 1) : Suy 3En = (n + 1)3 – (n + 1) -
3n(n+1)
2 =(n+1)[(n+1)
−1−3n
2 ]
= (n + 1) (
2n2+4n+2−2−3n
2 )=
n(n+1)(2n+1)
2
Vậy En =
n(n+1)(2n+1)
6
Nghĩa là: 12 + 22 + 32+…+ n2 =
n(n+1)(2n+1)
6 ( ∀ n N*)
Ta dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh toán tổng quát trên.
Bước 1. Với n = toán
(12)12 + 22 + 32 +….+ k2 =
k(k+1)(2k+1)
6
Bước 3: Ta phải chứng minh toán nới n = k + nghĩa là: 12 + 22 + 32 + … + k2 + (k + 1)2 =
(k+1((k+2)(2k+3)
6
Thật vậy: VT =
k(k+1)(2k+1)
6 + (k + 1). (
k(2k+1
6 +k+1)
= (k+1)
2k2+k+6k+6
6 =(k+1)
2k(k+2)+3(k+2)
6
=
(k+1)(l+2)(2k+3)
6 =VP
Kết luận: 12 + 22 + 32 +…+ n2 =
n(n+1)(2n+1)
6 ( ∀ n N*)
* Một số lưu ý giải toán dạng theo cách giải không mẫu mực:
- Trong toán 2.3a; 2.3b tốn tổng bình phương dãy số tự nhiên cách đêù ta viết thành tích để ta tách thừa số hạng tử thành hiệu để ta nhân hạng tử mà triệt tiêu hàng loạt giống như toán 2.2
- Bài toán tổng quát 2.3c) giúp hs có cách tìm kết nhanh chóng nhất.
4 Bài tập vận dụng Bài 1:
a Tính tổng A = 1.100 + 2.99 + 3.98 +…+99.2 + 100.1
Ta biến đổi số từ 99 đến thành hiệu 100 với số từ đến 99 C = 1.100 + 2.(100-1) + 3(100-2) + …+ 99.(100-98)+ 100.(100 – 99) = 1.100 + 2.100 – 2.1 + 3.100 – 3.2 +…+99.100 – 98.99 + 100.100 – 99.100 = 100 (1 + + +…+99 + 100) – (1.2 + 2.3 +…+ 98.99 + 99.100) = (100.5050) – (99.100.101) : 3
= 50.100 101 – 100 101 33
= 100 101 (50-33) = 10100.17 = 171700
b Tính tổng B = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 +…+99.101 + 100.102
Ta cần tách số hạng thành tổng hai số tự nhiên để áp dụng bài tốn tốn Gaux (tính tổng 100 số tự nhiên khác đầu tiên)
S = (2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) +…+ 99(100 + 1) + 100 (101 + 1) = 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + 3+…+ 99.100 + 99 + 100.101 + 100
= (1.2 + 2.3 + 3.4+…+ 99.100 + 100.101) + (1 + + + + 99 + 100) = 343400 + 5050
= 348450
c Tính tổng : C = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99
Nhận xét : Khoảng cách hai thừa số số hạng , nhân hai vế của C với lần khoảng cách ta :
6C = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6
(13)= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = + 97.99.101
1 97.33.101
C
2 = 161 651
d Tính tổng : D = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 D = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99
Giải :
8D = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8
= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99
= 15 + 95.97.99.101
D= (15 + 95.97.99.101) : = 11 517 600
Trong ta nhân D với (4 lần khoảng cách) hạng tử D có 3 thừa số
Bài 2:
a Biết 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh tổng
S = 22 + 42 + 62 + … + 202
Lời giải
Ta có: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2
= 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102
= 22.(12 + 22 + 32 + … + 102)
= (12 + 22 + 32 + … + 102) = 4.385 = 1540.
b Cho A = + + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28 Hãy so sánh A B
Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + + + + + + + 1).26
= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26
= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25
(Vì 26 = 2.25) Vậy rõ ràng ta thấy B > A
Cách 2: Áp dụng cách làm tập ta thấy đơn giản hơn, thật vậy: A = + + 22 + 23 + … + 29 (1)
2A = + 22 + 23 + … + 29 + 210 (2)
Trừ vế (2) cho (1) ta có:
2A - A = (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + + 22 + 23 + … + 29)
= 210 - hay A = 210 - 1
Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28
(14)* Ta tìm giá trị biểu thức A, từ học sinh so sánh A với B mà khơng gặp khó khăn
c Cho tổng sau:
1) A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 Chứng minh A 8 Hướng dẫn: 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102
A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100
Ta có: 32A – A = 3102 – Hay A( 32 – 1) = 3102 – Vậy A = ( 3102 – 1) 8
2) B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 Chứng minh B 48 Tương tự ta nhân hai vế B với 72 trừ cho B , ta :
72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101
B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799
72B – B = 7101 – , hay B( 72 – 1) = 7101 – Vậy B = ( 7101 – 7) : 48
Tương tự ta suy 7101 – chia hết cho 48 ; 7100- chia hết cho 48