Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 trường THCS Phúc Xá

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).. Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của góc yOz? c.Vẽ tia phân giác On của góc x[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TRƯỜNG THCS PHÚC XÁ ĐỀ THI HSG LỚP

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số

Bài : (5 điểm) Thực phép tính sau cách hợp lý : a) (102+112 +122) (: 132+142)

b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8− −

c) ( )

2 16 13 11

3.4.2

11.2 4 −16

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374)

e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - Bài : (4 điểm) Tìm x, biết:

a) (19x+2.5 :142) =(13 8− )2 −42

b) x+(x 1+ +) (x+2)+ + (x+30)=1240 c) 11 - (-53 + x) = 97

d) -(x + 84) + 213 = -16

Bài :(2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 a+15=b Bài :(3 điểm)

a)Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y = b) So sánh M N biết :

102 103

101 1

M

101 1

+ =

+ ;

103 104

101 1

N

101 1

+ =

+

Bài : (6 điểm) Cho đoạn thẳngAB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB

a) Chứng tỏ OA < OB

b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại ?

c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

ĐÁP ÁN Bài

( 2 2) ( 2) ( ) ( )

a) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196 365 : 365 1

+ + + = + + +

= =

( )

2

(2)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

16 16 18

11

13 11 13 2 4 13 22 36

2 36 36 36

13 22 36 35 36 35

3.4.2 3.2 2 3 2

c)

11.2 4 16 11.2 2 2 11.2 2 2

3 2 3 2 3 2 3 2

2

11.2 2 2 11.2 2 2 11 2 9

= =

− − −

= = = = =

− − −

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374

= (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - =

= 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - - + 5) - (4 - - + 1) = 13 Bài

a) (19x+2.5 :142) =(13 8− )2 −42

( )

 2 2

x 14 13 8 4 2.5 :19

x 4

 

 =  − − −

 =

b) x+(x 1+ +) (x+2)+ + (x+30)=1240

( )

31 So hang

x x x 1 30 1240

30 30

31x 1240

2

31x 1240 31.15

775

x 25

31

 

 + + + + + + + =

 

+

 + =

 = −

 = =

c) 11 - (-53 + x) = 97

x 11 97 ( 53) 33

 = − − − = −

d) -(x + 84) + 213 = -16

(x 84) 16 213

(x 84) 229

x 84 229

x 229 84 145

 − + = − −

 − + = −

 + =

 = − =

Bài

Từ liệu đề cho, ta có :

+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1)

(3)

+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy :

( )

BCNN 15m; 15n 300 15.20

BCNN m; n 20 (3)

 = =

 =

+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy :

15m 15 15n

 + = 15 m 1( + =) 15n  + =m n (4)

Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4)

Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75 Bài

a) Chứng minh đẳng thức:

- (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c Biến đổi vế trái đẳng thức, ta :

VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1)

= -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - Biến đổi vế phải đẳng thức, ta : VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c

= b + (-c) + - + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - So sánh, ta thấy : VT = VP = a -

Vậy đẳng thức chứng minh

b) Với a > b S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có :

( ) ( ) ( )

S a b c c b a a b

S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b

 = − − − − + − + + − +

 = − − − + − + + − +  = − − − = +

Tính S : theo ta suy :  = +S a b

* Xét với a b dấu, ta có trường hợp sau xảy :

+ a b dương, hay a > b > 0, a + b > :  = + = +S a b a b + a b âm, hay > a > b, a + b <  − +(a b)0, nên suy :

( ) ( )

S a b a b a b

 = + = − + = − + −

* Xét với a b khác dấu :

Vì a > b, nên suy : a > b <  − b 0, ta cần xét trường hợp sau xảy : + a b,hay a > -b > 0, a+ = − − b a ( b) 0, suy ra: = + = +S a b a b + a b , hay -b > a > 0, a+ = − − b a ( b) 0, hay − +(a b)0 suy :

S a b (a b) a ( b)

(4)

Vậy, với : +S = +a b (nếu b < a < 0)

+ S = − + −a ( )b (nếu b < a < 0, b < <a  b ) Bài

a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O B, suy :

 OA < OB

b) Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB, nên :

OA OB

OM ; ON

2 2

 = =

Vì OA < OB, nên OM < ON

Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm hai điểm O N c) Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có :

OM MN ON

 + =

Suy : MN=ON OM−

Hay : MN OB OA AB

2 2

−

 = =

Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

Đề số

Câu 1(3,0 điểm): Tính giá trị biểu thức sau: a [131 (13 4) ]4 − − −

b 28.43 28.5 28.21

5 5.56 5.24 5.63

−

+ + −

Câu 2(4,0 điểm): Tìm số nguyên x biết

a

3

5 24

3 x 35

− − −

   

 

  b

3

(7x −11) = −( 3) 15 208+

c 2x −7 =20 5.( 3)+ − Câu 3(5,0 điểm):

a, Một số tự nhiên chia cho dư 5,chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? b, Học sinh khối xếp hàng; xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 vùa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6?

Câu (6,0 điểm):

b

m a n

(5)

Cho góc bẹt xOy Trên nửa mặt phẳng có bờ xy,vẽ tia Oz Ot cho

0

70 ; 55

xOz= yOt=

a Chứng tỏ tia Oz nằm hai tia Ox Ot ? b Chứng tỏ tia Ot tia phân giác góc yOz? c.Vẽ tia phân giác On góc xOz Tính góc nOt? Câu (2,0 điểm):

Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số ĐÁP ÁN

Câu

2

)16.5 (131 ) 80 50

30

a − −

= −

=

3 28 43

) ( )

5 56 24

3 28 129 35 56

.( )

5 168 168 168 28 108

5 168

3 18

5

3

b − + + −

−

= + + −

−

= +

−

= +

= Câu a)

3

)(7 11) ( 3) 15 208

(7 11) 9.15 208

(7 11)

18

7 11

7

b x x x

x x

− = − +

− = +

− =

 − =  =

(không thỏa mãn)

) 20 5.( 3)

2

2 7 5 2 12 6

[ [ [

2 7 5 2 2 1

c x x

x x x

− = + −

− =

− = = =

 − =−  =  =

(6)

Câu

a) Gọi số a

Vì a chia cho dư 5, chia cho 13 dư

9 7; 13

a a

 + + mà (7,13)=1 nên 7.13

a +

 a+9=91k  a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (kN) Vậy a chia cho 91 dư 82

b) Gọi số Hs khối a (3<a<400)

Vì xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 dư

a −3 10;12;15a− 3 BC(10,12,15) ta có BCNN(10,12,15)=60 

 

3 60;120;180; 240;300;360; 420; a − 

a 63;123;183; 243;303;363; 423; mà a 11;a 400

 a=363

Vậy số HS khối 363 học sinh Câu

a) Vì góc xOy góc bẹt nên suy nưả mặt phẳng có bờ xy có xOt tOy hai góc kề bù

 xOt+tOy =

180 xOt=1800−550xOt=1250

Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: 0

(70 125 )

xOzxOt  Tia Oz nằm hai tia Ox Ot

b) Trên nửa mặt phẳng có bờ xy ,ta có xOz

và zOy hai góc kề bù xOz+zOy=1800 hay

0 0 0

70 +zOy=180 zOy=180 −70 =110

Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: 0

(55 110 )

yOtyOz  Tia Ot nằm hai tia Oy Oz (1) nên ta có: yOt tOz+ =yOz hay 550+tOz=1100 tOz=1100−550 =550

0

( 55 ) yOt tOz

 = = (2).Từ (1) (2) suy Ot tia phân giác góc yOz

(7)

Vì On tia phân giác góc xOz nên

0

70 35

2

xOz

nOz = = = hai tia On Ox nằm mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2)

Ta lại có tia Ot tia phân giác góc yOz (theo b,)

 Hai tia Ot Oy nằm nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) Từ (1),(2), (3) suy tia On tia Ot nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Oz  tia Oz nằm hai tia On Ot nên ta có:

nOz+zOt=nOt hay nOt =350+550 =900.Vậy nOt =900 Câu

n số nguyên tố, n > nên n không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư

do n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007

= 3( m+669) chia hết cho Vậy n2 + 2006 hợp số

Đề số

Bài 1: (1,5đ) Tìm x, biết: a) 5x = 125;

b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3

Bài 2: (1,5đ) Cho a số nguyên Chứng minh rằng:

a   −   5 a

Bài 3: (1,5đ) Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a) Nếu a dương số liền sau a dương

b) Nếu a âm số liền trước a âm

c) Có thể kết luận số liền trước số dương số liền sau số âm?

Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên tổng số số dương Chứng minh tổng 31 số số dương

Bài 5: (2đ) Cho số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tuỳ ý sau đem cộng số với số thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10

Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz bắng 1200 Chứng minh rằng:

a) xOy=xOz=yOz

(8)

ĐÁP ÁN Bài (1,5đ)

a) 5x = 125  5x = 53 => x=

b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = => x =

c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53  52x = 56 => 2x = => x =

Bài Vì | a | số tự nhiên với a Z nên từ |a| < ta

=> | a |  {0 ; ; ; ; 4} Nghĩa a  {0 ; ; -1 ; ; -2 ; ; -3 ; ; -4} Biểu diễn trục số cácc số lớn -5 nhỏ -5< a <5 Bài

a) Nếu a dương số liền sau dương

Nếu a dương a > số liền sau a lớn a nên lớn nên số dương b) Nếu a âm số liền trước a âm

Nếu a âm a<0 số liền trước a nhỏ a nên nhỏ nên số âm

Bài (2đ) Trong số cho có số dương trái lại tất số âm tổng số bất kỳ chúng số âm trái với giả thiết

Tách riêng số dương cịn 30 số chi làm nhóm Theo đề tổng số nhóm số dương nên tổng nhóm số dương tổng 31 số cho số dương

Bài (2đ): Vì có 11 tổng mà có 10 chữ số tận số từ , ,2, …., nên ln tìm hai tổng có chữ số tận giống nên hiệu chúng số nguyên có tận số chia hết cho 10

Bài (1,5đ).Ta có: x Oy' =60 ,0 x Oz' =600 tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz nên

' '

120

yOz= yOx +x Oz= xOy= yOz=zOx Do tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz ' '

x Oy=x Oz nên Ox’ tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Oz

Tương tự tia Oy’ (tia đối Oy) tia Oz’ (tia đối tia Oz) phân giác góc xOz xOy Đề số

Bài (5 điểm)

1): Rút gọn biểu thức sau: M = – 32 + 33 – 34 + … + 32015 – 32016 Bài (3 điểm): Tìm số tự nhiên x biết:

1 + + + + + … + (2x – ) = 225 Bài 3: (5 điểm)

a) Cho 3a + 2b 17 (a , b  N) Chứng minh 10a + b 17 b) Tìm số x,y nguyên biết xy + x – y =

(9)

Cho 30 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành 421 đường thẳng

Bài (3 điểm)

Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư

ĐÁP ÁN Bài

M = – 32 + 33 – 34 + … + 32015 – 32016

Ta có :3M = 32 – 33 + 34 – 35 + … + 32016 – 32017

 3M + M = + (32 – 32) + (33 – 33)+ … + (32016 – 32016) – 32017 4M = + + + + – 32017

4M = – 32017  M = (3 – 32017) : Bài

Với x  N ta có 2x – số lẻ Đặt A = + + + + + … + (2x – 1)

 A tổng số lẻ liên tiếp từ đến 2x – Số số hạng A là: (2x – – 1) : + = x (Số hạng)  A = [(2x – 1) + 1] x : = x2

Mà A = 225  x2 = 225 = 152  x = 15

Vậy x = 15 Bài

a) Vì 3a + 2b 17  10(3a + 2b) 17  (30a + 20b) 17

 (30a + 3b + 17b) 17  [3(10a + b) + 17b] 17 Vì 17b 17

 3(10a + b) 17

 10a + b 17 (vì 17 nguyên tố nhau) b) xy + x – y =

x(y + 1) – y =

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10

Vì x, y số nguyên nên y + 1,x – ước Nếu x -1 = y + = x = y = Nếu x -1 = -1 y + = -3 x = y = -4 Nếu x -1 = y + = x = y = Nếu x -1 = -3 y + = -1 x = -2 y = -2

Vậy x = y = x = y = -4 x = y = x = -2 y = -2

Bài

Giả sử 20 điểm khơng có điểm thẳng hàng Gọi 20 điểm A1, A2, A3, ,A20

Vì qua điểm ta vẽ đường thẳng nên

Qua điểm A1 điểm 19 điểm lại A2, A3, ,A20 ta vẽ 19 đường thẳng Qua điểm A2 điểm 18 điểm lại A3, A4, ,A20 ta vẽ 18 đường thẳng … …

Qua điểm A19 điểm A20 ta vẽ đường thẳng

Do số đường thẳng tạo thành là: + + + + 19 + 20 = ( 1+ 20).20 : = 190 ( đường thẳng)

Với a điểm khơng có điểm thẳng hàng ta có số đường thẳng tạo thành + + + +( a – 1) = (a- 1) a:

Với a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng

Vậy 20 điểm mà có a diểm thẳng hàng sổ đưởng thẳng giảm ( a- 1).a: - = 190 – 170

( a- 1).a: - = 20 ( a- 1).a: = 21 ( a- 1).a = 42 ( a- 1).a = 6.7

Mà a-1 a số tự nhiên liên tiếp a -1 < a nên a -1 = a =7 Vậy a =

Bài

Gọi số phải tìm a  a = 2k + a = 3q + a = 5m + a = 7r + (k, q, m, r  N)

(11)

a + 11 = 3q + 12 a + 11 = 5m + 15 a + 11 = 7r + 14  a + 11  BC(2; 3; 5; 7) Mà a số tự nhiên nhỏ  a + 11 = BCNN(2; 3; 5; 7) Mà 2; 3; 5; nguyên tố  BCNN(2; 3; 5; 7) = 2.3.5.7 = 210  a + 11 = 210

a = 210 – 11 a = 199 Vậy a = 199 Đề số

Bài ( điểm )

1 Tìm chữ số tận số sau: a) 571999

b) 931999

2 Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chứng minh A chia hết cho Cho phân số

b a

( a<b) thêm m đơn vị vào tử mẫu phân số lớn hay bé

b a

? Cho số 155*710*4*16 có 12 chữ số chứng minh thay dấu * chưc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ số ln chia hết cho 396

5 chứng minh rằng: a)

3 64

1 32

1 16

1

1 − + − + − 

;

b)

16 3

100

99

4

3

2

100 99

3

2 + − + + − 

−

Bài 2: (2 điểm )

Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA = a(cm), OB = b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a

b) Xác định điểm M tia Ox cho OM =

(a+b) ĐÁP ÁN Bài 1:

(12)

Để tìm chữ số tận số cần xét chữ số tận số : a) 571999 ta xét 71999

Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499 343 Suy chữ số tận Vậy số 571999 có chữ số tận :

b) 931999 ta xét 31999

Ta có: 31999 = (34)499 33 = 81499.27

Suy chữ số tận Cho A = 9999931999 - 5555571997 chứng minh A chia hết cho

Để chứng minh A chia hết cho , ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng

Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận

Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận Vậy A có chữ số tận 0, A chia hết cho 3.(1 điểm )Theo toán cho a < b nên am < bm ( nhân hai vế với m)  ab +am < ab + bm ( cộng hai vế với ab)  a(b+m) < b( a+m)



m b

m a b a

+ +  4.(1 điểm )

Ta nhận thấy , vị trí chữ số thay ba dấu số hàng chẵn ba chữ số đơi khác nhau, lấy từ tập hợp  1;2;3 nên tổng chúng 1+2+3=6

Mặt khác 396 = 4.9.11 4;9;11 đơi nguyên tố nên ta cần chứng minh A = 155*710*4*16 chia hết cho ; 11

Thật :

+A  số tạo hai chữ số tận A 16 chia hết cho + A  tổng chữ số chia hết cho :

1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho

+ A  11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11 {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – =

Vậy A  396 5.(4 điểm )

a) Đặt A= 2 3 4 5 6

2

1

1 64

1 32

1 16

1

1− + − + − = − + − + −

 2A= 2 3 4 5

2

1

(13)

 2A+A =3A = 1-

2 2 6  − =  3A <  A <

3

b) Đặt A= 2 3 4 99 100

3 100 99 3 3

1− + − + + −

3A= 1- 2 3 3 98 99

3 100 99 3 3

2− + − + + −

 4A = 1- 2 3 98 99 100

3 100 3 3

1+ − + + − −

 4A< 1- 2 3 98 99

3 3

1+ − + + −

(1)

Đặt B= 1- 2 3 98 99

3 3

1+ − + + −

 3B= 2+ 2 97 98

3 3

1− + + −

4B = B+3B= 3- 99

1

<  B <

(2)

Từ (1)và (2)  4A < B <

 A < 16

3

Bài ( điểm )

a) (1 điểm )Vì OB <OA ( b<a) nên tia Ox điểm B nằm điểm O điểm A Do đó: OB +OA= OA

Từ suy ra: AB=a-b

b)(1 điểm ) Vì M nằm tia Ox

OM = 1(a b) a b 2b a b b a b

2 2

+ + − −

+ = = = + = OB + OA OB OB AB

2

2 = +

−  M điểm thuộc đoạn thẳng AB cho AM = BM

(14)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	544,53 KB