Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Huỳnh Đức Khánh

A.. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn.. Đường cong trong hình dưới đây là [r]

HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC VAØ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 01

HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC I– ĐỊNH NGHĨA

1) Hàm số sin

Quy tắc đặt tương ứng với số thực x với số thực sin x

sin :

sin x

x y x

→ = ℝ ℝ

֏

được gọi hàm số sin, kí hiệu y=sin x Tập xác định hàm số sin ℝ

2) Hàm số côsin

Quy tắc đặt tương ứng với số thực x với số thực cos x

cos :

cos x

x y x

→ = ℝ ℝ

֏

được gọi hàm số sin, kí hiệu y=cos x Tập xác định hàm số cô sin ℝ

3) Hàm số tang

Hàm số tang hàm số xác định công thức sin (cos ,) cos

x

y x

x

= ≠ kí hiệu

là y=tan x

Tập xác định hàm số y=tanx D \ , k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ

4) Hàm số côtang

Hàm số côtang hàm số xác định công thức cos (sin ,)

sin x

y x

x

= ≠ kí

hiệu y=cot x

Tập xác định hàm số y=cotx D=ℝ\{kπ,k∈ℤ}

II – TÍNH TUẦN HO=N V= CHU KÌ CỦA H=M SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Định nghĩa

Hàm số y=f x( ) có tập xác định D gọi hàm số tuần hoàn, tồn

một số T ≠ cho với x∈D ta có:

● x− ∈T D x+T∈D ● f x( +T)= f x( )

CHỦ ĐỀ

Tác giả: Huỳnh Đức Khánh SĐT: 0975120189

Số dương T nhỏ thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm số tuần hồn

Người ta chứng minh hàm số y=sinx tuần hồn với chu kì T=2π; hàm số y=cosx tuần hồn với chu kì T=2π; hàm số y=tanx tuần hồn với chu kì T=π; hàm số y=cotx tuần hồn với chu kì T=π

2) Chú ý

● Hàm số y=sin(ax+b) tuần hoàn với chu kì

0

2 T

a π =

● Hàm số y=cos(ax+b) tuần hoàn với chu kì

0

2 T

a π =

● Hàm số y=tan(ax+b) tuần hoàn với chu kì

0 T

a π =

● Hàm số y=cot(ax+b) tuần hoàn với chu kì

0 T

a π =

● Hàm số ( )

1

y= f x tuần hồn với chu kì T1 hàm số y= f2( )x tuần hồn với chu

kì T2 hàm số y= f1( )x ±f2( )x tuần hồn với chu kì T0 bội chung nhỏ

T T2

III – SỰ BIẾN THIÊN V= ĐỒ THỊ CỦA H=M SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Hàm số y=sinx

● Tập xác định D =ℝ, có nghĩa xác định với x∈ ℝ ; ● Tập giá trị T= −[ 1;1], có nghĩa sin− ≤ x≤ 1;

● Là hàm số tuần hồn với chu kì ,π có nghĩa sin(x+k2π)=sinx với k ∈ ℤ ● Hàm số đồng biến khoảng ;

2 k k

π π

π π

 

− + + 

 

  nghịch biến khoảng ;3

2 k k

π π

π π

 

 + + 

 

 , k ∈ ℤ

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

2) Hàm số y=cosx

● Tập xác định D =ℝ, có nghĩa xác định với x∈ ℝ ; ● Tập giá trị T= −[ 1;1], có nghĩa cos− ≤ x≤ 1;

● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

3) Hàm số y=tanx

● Tập xác định D \ , ;

2 k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

 

ℝ ℤ

● Tập giá trị T= ℝ;

● Là hàm số tuần hồn với chu kì ,π có nghĩa tan(x+kπ)=tanx với k ∈ ℤ ● Hàm số đồng biến khoảng ; , ;

2 k k k

π π

π π

 

− + +  ∈

 

  ℤ

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

x

2

π

−

π

−

y

2

π O

3

π

− π

2

π

4) Hàm số y=cotx

● Tập xác định D=ℝ\{kπ,k∈ℤ}; ● Tập giá trị T= ℝ;

● Là hàm số tuần hồn với chu kì ,π có nghĩa tan(x+kπ)=tanx với k ∈ ℤ ● Hàm số đồng biến khoảng (kπ π; +kπ), k∈ℤ;

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

x

2

π

−

π

−

y

2

π O

3

π

− π

2

π

2π

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TẬP XÁC ĐỊNH Câu Tìm tập xác định D hàm số 2017

sin y

x =

A D=ℝ B. D=ℝ\ { }

C. D=ℝ\{kπ,k∈ℤ} D D \ ,

2 k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ

Lời giải Hàm số xác định sinx≠ ⇔0 x≠kπ, k∈ ℤ Vật tập xác định D=ℝ\{kπ,k∈ℤ} Chọn C.

Câu Tìm tập xác định D hàm số sin cos

x y

x − =

−

A D=ℝ B D \ ,

2 k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ

C. D=ℝ\{kπ,k∈ℤ} D. D=ℝ\{k2 ,πk∈ℤ}

Lời giải Hàm số xác định cosx− ≠ ⇔1 cosx≠ ⇔1 x≠k2 , π k∈ ℤ Vậy tập xác định D=ℝ\{k2 ,πk∈ℤ} Chọn D.

Câu Tìm tập xác định D hàm số sin

2 y

x π

=

   − 

 

 

A D \ ,

2 kπ k

 

 

 

=  ∈ 

 

 

 

ℝ Z B. D=ℝ\{kπ,k∈Z} C. D \ 1( ) ,

2 k π k

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ Z D. D=ℝ\ 1{( +2k)π,k∈Z}

Lời giải Hàm số xác định sin ,

2 2

x π x π kπ x π kπ k

  

⇔  − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ + ∈

 ℤ

Vậy tập xác định D \ , k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ Chọn C

Câu Tìm tập xác định D hàm số sin cos y

x x

= −

A D= ℝ B D \ ,

4 k k π

π

 

 

 

= − + ∈ 

 

 

 

ℝ ℤ

C D \ ,

4 k k

π π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ D D \ ,

4 k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ

Lời giải Hàm số xác định sin cos tan ,

4

x x x x π kπ k

⇔ − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈ ℤ

Vậy tập xác định D \ , k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

Câu Hàm số tan cot 1 sin cos

y x x

x x

= + + + không xác định khoảng khoảng sau đây?

A ;

2 k π π k π

 

 + 

 

  với k∈ ℤ B

3

2 ;

2

k π k

π π π

 

 + + 

 

  với k∈ ℤ

C ;

2 k k

π

π π π

 

 + + 

 

  với k∈ ℤ D. (π+k2 ;2π π+k2π) với k∈ ℤ

Lời giải Hàm số xác định sin sin 2 ,

cos

x k

x x k x k

x π π  ≠  ⇔ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈  ≠  ℤ

Ta chọn 3

2

k= → ≠x π điểm

2π thuộc khoảng ( k2 ;2 k2 ) π+ π π+ π Vậy hàm số không xác định khoảng (π+k2 ;2π π+k2π) Chọn D.

Câu Tìm tập xác định D hàm số cot sin

y=  x−π+ x

A D \ ,

4 k k π π       =  + ∈     

ℝ ℤ B D= ∅

C D \ ,

8 k2 k

π π       =  + ∈     

ℝ ℤ D D= ℝ

Lời giải Hàm số xác định sin 2 ,

4

k

x π x π kπ x π π k

 

 − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ + ∈

 

  ℤ

Vậy tập xác định D \ , k2 k

π π       =  + ∈     

ℝ ℤ Chọn C

Câu Tìm tập xác định D hàm số 3 tan2 .

2 x y=  − π

A. D \ ,

2 k k

π π       =  + ∈     

ℝ ℤ B D \ ,

2 k k

π π       =  + ∈      ℝ ℤ

C. D \ ,

2 k k π π       =  + ∈     

ℝ ℤ D D \ ,

2 k k π π       =  + ∈      ℝ ℤ

Lời giải Hàm số xác định cos2 0 2 , .

2 4 2

x x

k x k k

π π π π

π π

  

⇔  − ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + ∈ℤ Vậy tập xác định D \ ,

2 k k

π π       =  + ∈     

ℝ ℤ Chọn A

Câu Hàm số cos tan

x y

x =

+ không xác định khoảng khoảng sau đây?

A ;3

2 k k

π π

π π

 

 + + 

 

  với k∈ ℤ B k2 ;2 k2

π π

π π

 

− + + 

 

  với k∈ ℤ C ;3

4 k k

π π

π π

 

 + + 

 

  với k∈ ℤ D

3

2 ;

2

k π k

π π π

 

 + + 

 

  với k∈ ℤ Lời giải Hàm số xác định tan+ x≠ tan x xác định 0

tan 4

Ta chọn x k

x π π   ≠ −  = →

 ≠  

điểm π

− thuộc khoảng ;

2 k k

π π

π π

 

− + + 

 

 

Vậy hàm số không xác định khoảng ;

2 k k

π π

π π

 

− + + 

 

  Chọn B

Câu Tìm tập xác định D hàm số tan 2 sin

x y

x − =

−

A D \ ,

2 k k

π π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ B D \ ,

2 k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ

C D=ℝ\{π+kπ,k∈ℤ } D D= ℝ Lời giải Hàm số xác định 1 sin2 0

x

− ≠ tan x xác định

2

sin

cos ,

2 cos

x

x x k k

x

π π

 ≠



⇔ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈

≠ 

ℤ

Vậy tập xác định D \ , k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ Chọn B

Câu 10 Tìm tập xác định D hàm số y= sinx+2

A D= ℝ B D= − +∞ [ 2; ) C D=[0;2π] D D= ∅ Lời giải Ta có sin− ≤ x≤ 1 → ≤1 sinx+ ≤2 3,∀ ∈ ℝ x

Do ln tồn bậc hai sinx+ với x∈ ℝ Vậy tập xác định D= ℝ Chọn A

Câu 11 Tìm tập xác định D hàm số y= sinx−2

A D= ℝ B ℝ\{kπ,k∈ℤ } C D= −[ 1;1 ] D D= ∅ Lời giải Ta có sin− ≤ x≤ 1 →− ≤3 sinx− ≤ −2 1, ∀ ∈ ℝ x

Do khơng tồn bậc hai sinx−2 Vậy tập xác định D= ∅ Chọn D

Câu 12 Tìm tập xác định D hàm số sin y

x =

−

A D=ℝ\{kπ,k∈ℤ } B D \ , k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ

C D \ ,

2 k k

π π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ D D= ∅

Lời giải Hàm số xác định sin− x> ⇔0 sinx<1 ( )* Mà sin− ≤ x≤ nên ( )* sin ,

2

x x π k πk

⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈ ℤ

Vậy tập xác định D \ ,

2 k k

π π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ Chọn C

Câu 13 Tìm tập xác định D hàm số y= 1−sin 2x− 1+sin x

A D= ∅ B D= ℝ

C D ;5 ,

6 k k k

π π

π π

 

 

= + + ∈

 

  ℤ D

5 13

D ; ,

6 k k k

π π

π π

 

 

= + + ∈

 

Lời giải Ta có sin 1 sin 0, sin

x

x x

x

 + ≥



− ≤ ≤ ⇒ ∀ ∈

 − ≥

 ℝ

Vậy tập xác định D= ℝ Chọn B

Câu 14 Tìm tập xác định D hàm số 5 2 cot2 sin cot .

2 y= + x− x+ π+ x

A D \ ,

2 k

k π

 

 

 

=  ∈ 

 

 

ℝ ℤ B D \ ,

2 k k π

π

 

 

 

= − + ∈ 

 

 

ℝ ℤ

C D= ℝ D. D=ℝ\{kπ,k∈ℤ}

Lời giải Hàm số xác định điều kiện sau thỏa mãn đồng thời

5+2 cot x−sinx≥ , cot0 x π    + 

 

  xác định cot x xác định Ta có

2

2 cot

5 cot sin 0, sin sin

x

x x x

x x

 ≥

 → + − ≥ ∀ ∈



− ≤ ≤ → − ≥

 ℝ

cot x π    +   

  xác định sin x x k x k , k

π π π

π π

  

⇔  + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠ − + ∈ℤ cot x xác định ⇔sinx≠ ⇔0 x≠kπ, k∈ ℤ

Do hàm số xác định ,

2

x k k

x k

x k π

π π

π 

 ≠ − + 

⇔ ⇔ ≠ ∈

 ≠ 

ℤ

Vậy tập xác định D \ ,

k k π

 

 

 

=  ∈ 

 

 

ℝ ℤ Chọn A

Câu 15 Tìm tập xác định D hàm số tan cos y= π x

A. D \ ,

2 k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ B. D \ ,

2 k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ

C. D=ℝ D. D=ℝ\{kπ,k∈ℤ }

Lời giải Hàm số xác định cos cos

2 x k x k

π π

π

≠ + ⇔ ≠ + ( )*

Do k ∈ ℤ nên ( )* ⇔cosx≠ ± ⇔1 sinx≠ ⇔0 x≠kπ,k∈ℤ

Vấn đề TÍNH CHẴN LẺ Câu 16 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn?

A. y=sin x B. y=cos x C. y=tan x D. y=cot x Lời giải Nhắc lại kiến thức bản:

Hàm số y=sinx hàm số lẻ Hàm số y=cosx hàm số chẵn Hàm số y=tanx hàm số lẻ Hàm số y=cotx hàm số lẻ Vậy B đáp án đúng. Chọn B

Câu 17 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? A. y= −sin x B. y=cosx−sin x C cos sin2 .

y= x+ x D. y=cos sin x x

Lời giải Tất các hàm số có TXĐ: D=ℝ Do ∀ ∈x D⇒ − ∈x D Bây ta kiểm tra f(−x)= f x( ) f(−x)= −f x( )

Với y= f x( )= −sinx Ta có f(−x)= −sin(−x)=sinx= − −( sinx)

( ) ( )

f x f x

→ − = − Suy hàm số y= −sinx hàm số lẻ

Với y= f x( )=cosx−sin x Ta có f(−x)=cos(− −x) sin(−x)=cosx+sinx

( ) { ( ) ( ), }

f x f x f x

→ − ≠ − Suy hàm số y=cosx−sinx không chẵn không lẻ

Với ( )

cos sin

y= f x = x+ x Ta có ( ) ( ) 2( )

cos sin f −x = −x + −x

( ) ( )2 [ ]2

cos x sin x  cosx sinx cosx sin x

= − + −  = + − = +

( ) ( )

f x f x

→ − = Suy hàm số cos sin2

y= x+ x hàm số chẵn Chọn C Với y= f x( )=cos sin x x Ta có f(−x)=cos(−x).sin(−x)= −cos sinx x

( ) ( )

f x f x

→ − = − Suy hàm số y=cos sinx x hàm số lẻ Câu 18 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn?

A. y=sin x B. y=xcos x C. y=cos cot x x D tan sin

x y

x = Lời giải

Xét hàm số y= f x( )=sin x TXĐ: D=ℝ Do ∀ ∈x D⇒ − ∈x D

Ta có f(−x)=sin(−2x)= −sin 2x= −f x( ) →f x( ) hàm số lẻ

Xét hàm số y= f x( )=xcos x TXĐ: D=ℝ Do ∀ ∈x D⇒ − ∈x D

Ta có f(−x) (= −x).cos(−x)= −xcosx= −f x( )→f x( ) hàm số lẻ

Xét hàm số y= f x( )=cos cot x x

TXĐ: D=ℝ\{kπ (k∈ℤ)} Do ∀ ∈x D⇒ − ∈x D

Xét hàm số ( ) tan sin

x y f x

x

= =

TXĐ: D \ ( )

2 kπ k

 

 

 

=  ∈ 

 

 

ℝ ℤ Do ∀ ∈x D⇒ − ∈x D Ta có ( ) ( )

( ) ( )

tan tan tan

sin sin sin

x x x

f x f x

x x x

− −

− = = = =

− − →f x( ) hàm số chẵn Chọn D. Câu 19 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn?

A. y= sinx B. 2sin

y=x x C.

cos x y

x

= D. y= +x sin x Lời giải Ta kiểm tra A hàm số chẵn, đáp án B, C, D hàm số lẻ Chọn A

Câu 20 Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua trục tung? A. y=sin cos x x B.

sin cos y= x x− π C tan2

tan x y

x =

+ D.

3

cos sin

y= x x

Lời giải Ta dễ dàng kiểm tra A, C, D hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O

Xét đáp án B, ta có ( ) 3

sin cos sin sin sin

y=f x = x x−π= x x= x Kiểm tra hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung Chọn B

Câu 21 Trong hàm số sau, hàm số hàm số lẻ? A cos sin2 .

y= x+ x B y=sinx+cos x C. y= −cos x D. y=sin cos x x

Lời giải Ta kiểm tra đáp án A C hàm số chẵn Đáp án B hàm số không chẵn, không lẻ Đáp án D hàm số lẻ Chọn D

Câu 22 Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? A. y=cot x B. sin

cos x y

x +

= C. tan2 .

y= x D. y=cotx

Lời giải Ta kiểm tra đáp án A hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ Chọn A

Đáp án B hàm số không chẵn, không lẻ Đáp án C D hàm số chẵn Câu 23 Trong hàm số sau, hàm số hàm số lẻ?

A. sin

2 y= π− x

 B.

2

sin

y= x C. cot

cos x y

x

= D. tan

sin x y

x =

Lời giải Viết lại đáp án A sin cos

y= π−x= x

Ta kiểm tra đáp án A, B D hàm số chẵn Đáp án C hàm số lẻ Chọn C

Câu 24 Trong hàm số sau, hàm số hàm số lẻ? A 1 sin2 .

y= − x B cot .sin2 .

y= x x

C. 2tan 2 cot

Lời giải Ta kiểm tra đáp án A, B D hàm số chẵn Đáp án C hàm số lẻ Chọn C

Câu 25 Cho hàm số f x( )=sin 2x ( ) tan

g x = x Chọn mệnh đề A f x( ) hàm số chẵn, g x( ) hàm số lẻ

B f x( ) hàm số lẻ, g x( ) hàm số chẵn C f x( ) hàm số chẵn, g x( ) hàm số chẵn D f x( ) g x( ) hàm số lẻ

Lời giải

Xét hàm số

( ) sin

f x = x

TXĐ: D=ℝ Do ∀ ∈x D⇒ − ∈x D

Ta có f(−x)=sin(−2x)= −sin 2x= −f x( ) →f x( ) hàm số lẻ

Xét hàm số

( ) tan2 .

g x = x

TXĐ: D \ ( )

2 k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ Do ∀ ∈x D⇒ − ∈x D Ta có ( ) tan( )2 ( tan )2 tan2 ( )

g −x = −x  = − x = x=g x →f x( ) hàm số chẵn

Chọn B

Câu 26 Cho hai hàm số ( ) cos sin

x f x

x =

+ ( )

sin cos tan

x x

g x

x − =

+ Mệnh đề

sau đúng?

A f x( ) lẻ g x( ) chẵn B f x( ) g x( ) chẵn C f x( ) chẵn, g x( ) lẻ D f x( ) g x( ) lẻ Lời giải

Xét hàm số

( )

cos sin

x f x

x =

+

TXĐ: D=ℝ Do ∀ ∈x D⇒ − ∈x D

Ta có ( ) ( )

( ) ( )

2

cos cos

1 sin sin

x x

f x f x

x x

−

− = = =

+ − + →f x( ) hàm số chẵn

Xét hàm số

( )

sin cos tan

x x

g x

x − =

+

TXĐ: D \ ( )

2 k k π

π

 

 

 

=  + ∈ 

 

 

ℝ ℤ Do ∀ ∈x D⇒ − ∈x D

Ta có ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

sin cos sin cos

2 tan tan

x x x x

g x g x

x x

− − − −

− = = =

+ − + →g x( ) hàm số chẵn

Vậy f x( ) g x( ) chẵn Chọn B

Câu 27 Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? A 13

sin y

x

= B sin

4

y= x+ π C cos

y= x− π D y= sin x Lời giải Viết lại đáp án B sin (sin cos )

4

y= x+π= x+ x Viết lại đáp án C cos sin cos

4

y= x−π= x+ x

Ta kiểm tra đáp án B C hàm số không chẵn, không lẻ Xét đáp án D

Hàm số xác định sin 2 [ ; ] ;

x x k π π k π x kπ π kπ

 

 

⇔ ≥ ⇔ ∈ + ⇔ ∈ +

 

 

( )

;

2

D kπ π kπ k

→ = + ∈

 

  ℤ

Chọn D

4

x=π∈ D

4

x π

− = − ∉ Vậy y= sin 2x không chẵn, không lẻ Câu 28 Mệnh đề sau sai?

A Đồ thị hàm số y= sinx đối xứng qua gốc tọa độ O B Đồ thị hàm số y=cosx đối xứng qua trục Oy C Đồ thị hàm số y= tanx đối xứng qua trục Oy D Đồ thị hàm số y=tanx đối xứng qua gốc tọa độ O

Lời giải Ta kiểm tra hàm số y= sinx hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy Do đáp án A sai Chọn A

Câu 29 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? A. cos sin( )

2

y= x+π+ π− x 

  B. y sin x sin x

π π

   

 

=  − +  + 

C. sin sin

4

y= x+π− x D. y= sinx+ cos x

Lời giải Viết lại đáp án A cos sin( ) sin sin

y= x+π+ π− x = − x+ x 

 

Viết lại đáp án B sin sin sin cos sin

4 4

y= x−π+ x+π= x π= x Viết lại đáp án C sin sin sin cos sin cos

4

y= x+π− x= x+ x− x= x

Ta kiểm tra đáp án A B hàm số lẻ Đáp án C hàm số chẵn Chọn C Xét đáp án D

Hàm số xác định sin D ; ( )

cos

x

k k k

x

π

π π

 ≥  

  

⇔ → = +  ∈

≥  

 ℤ

Chọn D

4

x=π∈ D

4

x π

− = − ∉ Vậyy= sinx+ cosx không chẵn, không lẻ Câu 30 Trong hàm số sau, hàm số hàm số lẻ ?

A. cos .

3

y=x + x− π B. y x2017 cos x 2 π    = +  −  C 2015 cos sin2018 .

y= + x+ x D. tan2017 sin2018 .

y= x+ x

Lời giải Viết lại đáp án B 2017 cos 2017 sin

2

y=x + x−π=y=x + x

Vấn đề TÍNH TUẦN HO=N

Câu 31 Mệnh đề sau sai?

A Hàm số y=sinx tuần hoàn với chu kì π B Hàm số y=cosx tuần hồn với chu kì π C Hàm số y=tanx tuần hồn với chu kì π D Hàm số y=cotx tuần hồn với chu kì π

Lời giải Chọn C Vì hàm số y=tanx tuần hồn với chu kì π Câu 32 Trong hàm số sau đây, hàm số hàm số tuần hoàn?

A y=sinx B y= +x sinx C y=xcos x D y sinx x = Lời giải Chọn A

Hàm số y= +x sinx khơng tuần hồn Thật vậy: Tập xác định D = ℝ

Giả sử f x( +T)= f x( ), ∀ ∈x D

(x T) sin(x T) x sin , x x D

⇔ + + + = + ∀ ∈

( )

sin sin , D

T x T x x

⇔ + + = ∀ ∈ ( )*

Cho x= x0 =π, ta

( )

sin sin 0

sin sin

T x

T π T π

 + = =

 

 + + = =



( )

2T sinT sin π T T

→ + + + = ⇔ = Điều trái với định nghĩa T> Vậy hàm số y= +x sinx hàm số tuần hoàn

Tương tự chứng minh cho hàm số y=xcosx y sin x x

= khơng tuần hồn Câu 33 Trong hàm số sau đây, hàm số khơng tuần hồn?

A. y=cos x B. y=cos x C 2cos

y=x x D.

sin y

x = Lời giải Chọn C

Câu 34 Tìm chu kì T hàm số sin y=  x− π

A.

5

T= π B.

2

T= π C.

2

T=π D.

8 T =π Lời giải Hàm số y=sin(ax+b) tuần hồn với chu kìT

a π =

Áp dụng: Hàm số sin

y=  x− π tuần hồn với chu kì T =25π. Chọn A Câu 35 Tìm chu kì T hàm số cos 2016

2 x

y=  + 

Lời giải Hàm số y=cos(ax+b) tuần hồn với chu kìT a

π =

Áp dụng: Hàm số cos 2016 x

y=  +  tuần hồn với chu kì T =4 π Chọn A Câu 36 Tìm chu kì T hàm số 1sin 100( 50 )

2

y= − πx+ π

A.

50

T= B.

100

T= C.

50

T= π D. 200 2.

T = π

Lời giải Hàm số 1sin 100( 50 )

2

y= − πx+ π tuần hoàn với chu kì 100 50

T π

π

= =

Chọn A

Câu 37 Tìm chu kì T hàm số cos sin x

y= x+

A. T=4 π B.T=π C.T=2 π D.

2 T =π Lời giải Hàm số y=cos 2x tuần hoàn với chu kì

2 T = π=π Hàm số sin

2 x

y= tuần hồn với chu kì

2 T = π= π

Suy hàm số cos sin x

y= x+ tuần hoàn với chu kì T =4 π Chọn A Nhận xét T bội chung nhỏ T1 T2

Câu 38 Tìm chu kì T hàm số y=cos 3x+cos x

A. T=π B.T=3 π C.T=2 π D.T =5 π Lời giải Hàm số y=cos 3x tuần hồn với chu kì 1

3 T = π Hàm số y=cos 5x tuần hoàn với chu kì

2

T = π

Suy hàm số y=cos 3x+cos 5x tuần hồn với chu kì T =2 π Chọn C Câu 39 Tìm chu kì T hàm số cos 2( 1) sin

2 x y= x+ −  − 

A. T=2 π B.T=4π C.T=6π D.T =π Lời giải Hàm số y=3 cos 2( x+1) tuần hồn với chu kì

2 T = π=π Hàm số sin

2 x y= −  − 

 tuần hồn với chu kì

2 T = π= π

Suy hàm số cos 2( 1) sin x

y= x+ −  −  tuần hồn với chu kì T =4 π Chọn B Câu 40 Tìm chu kì T hàm số sin 2 cos

3

y=  x+π+  x−π

A. T=2 π B.T=π C.T=3 π D.T =4 π Lời giải Hàm số sin

3

y=  x+ π tuần hồn với chu kì

Hàm số cos

y=  x− π tuần hồn với chu kì

2

T = π

Suy hàm số sin 2 cos

3

y=  x+π+  x−π tuần hồn với chu kì T =2 π Chọn A Câu 41 Tìm chu kì T hàm số y=tan 3πx

A.

3

T=π B.

3

T = C.

3

T= π D.

3 T = Lời giải Hàm số y=tan(ax+b) tuần hồn với chu kì T

a π =

Áp dụng: Hàm số y=tan 3πx tuần hoàn với chu kì

T= Chọn D Câu 42 Tìm chu kì T hàm số y=tan 3x+cot x

A. T=4 π B.T =π C.T=3 π D.

3 T =π Lời giải Hàm số y=cot(ax+b) tuần hồn với chu kì T

a π =

Áp dụng: Hàm số y=tan 3x tuần hoàn với chu kì

3 T =π Hàm số y=cotx tuần hồn với chu kì T2=π

Suy hàm số y=tan 3x+cotx tuần hồn với chu kì T =π Chọn B Nhận xét T bội chung nhỏ T1 T2

Câu 43 Tìm chu kì T hàm số cot sin

x

y= + x

A. T=4 π B.T =π C.T=3 π D.

3 T =π Lời giải Hàm số cot

3 x

y= tuần hồn với chu kì T1=3 π

Hàm số y=sin 2x tuần hoàn với chu kì T2=π

Suy hàm số cot sin x

y= + x tuần hoàn với chu kì T=3 π Chọn C. Câu 44 Tìm chu kì T hàm số sin tan

2

x

y= −  x+ π

A. T=4 π B.T =π C.T=3 π D.T =2 π Lời giải Hàm số sin

2 x

y= tuần hồn với chu kì T1=4 π

Hàm số tan

y= −  x+ π tuần hồn với chu kì

2 T =π Suy hàm số sin tan

2

x

y= −  x+ π tuần hồn với chu kì T=4 π Chọn A Câu 45 Tìm chu kì T hàm số 2 cos2 2017.

y= x+

A. T=3 π B.T =2 π C.T=π D.T =4 π Lời giải Ta có 2 cos2 2017 cos 2 2018.

y= x+ = x+

Câu 46 Tìm chu kì T hàm số 2 sin2 3 cos 2

y= x+ x

A. T=π B.T =2 π C.T=3 π D.

3 T =π Lời giải Ta có 2.1 cos 3.1 cos 1(3 cos cos )

2 2

x x

y= − + + = x− x+

Hàm số y=3 cos 6x tuần hồn với chu kì

2

6

T = π=π Hàm số y= −2 cos 2x tuần hồn với chu kì T2=π

Suy hàm số cho tuần hoàn với chu kì T=π Chọn A Câu 47 Tìm chu kì T hàm số tan 3 cos 2

y= x− x

A. T=π B.

3

T =π C

2

T=π D.T =2 π

Lời giải Ta có tan cos 1(2 tan cos )

2

x

y= x− + = x− x−

Hàm số y=2 tan 3x tuần hồn với chu kì

3 T =π Hàm số y= −cos 4x tuần hoàn với chu kì

2

4

T = π=π Suy hàm số cho tuần hoàn với chu kì T=π Chọn C Câu 48 Hàm số sau có chu kì khác π ?

A. sin

3

y= π− x B. y cos x 4 π    =  +  C. y=tan(−2x+1 ) D. y=cos sin x x Lời giải Chọn C Vì y=tan(−2x+1) có chu kì

2

T= π =π − Nhận xét Hàm số cos sin 1sin

2

y= x x= x có chu kỳ π Câu 49 Hàm số sau có chu kì khác 2π ?

A. cos3 .

y= x B. sin cos

2

x x

y= C. sin2( 2 )

y= x+ D. cos2 1

2 x y=  +  Lời giải Hàm số cos3 1(cos 3 3 cos )

4

y= x= x+ x có chu kì π Hàm số sin cos 1sin

2 2

x x

y= = x có chu kì π Hàm số sin2( 2) 1cos 2( 4)

2

y= x+ = − x+ có chu kì π Chọn C

Hàm số 1 ( )

cos cos

2 2

x

y=  + = + x+ có chu kì π Câu 50 Hai hàm số sau có chu kì khác nhau?

A. y=cosx cot x

y= B. y=sinx y=tan x C. sin

2 x

y= cos

2 x

y= D. y=tan 2x y=cot x Lời giải Hai hàm số y=cosx cot

2 x

Hai hàm số y=sinx có chu kì 2π , hàm số y=tan 2x có chu kì π

Chọn B Hai hàm số sin

2 x

y= cos

2 x

y= có chu kì π Hai hàm số y=tan 2x y=cot 2x có chu kì

2 π

Vấn đề TÍNH ĐƠN ĐIỆU Câu 51 Cho hàm số y=sinx Mệnh đề sau đúng?

A Hàm số đồng biến khoảng ; π

π  

 

 

 , nghịch biến khoảng ;

2 π π  

 

 

  B Hàm số đồng biến khoảng ;

2

π π

 

− − 

 

 , nghịch biến khoảng 2; π π

 

− 

 

  C Hàm số đồng biến khoảng 0;

2 π      

 , nghịch biến khoảng 2;0 π   − 

 

  D Hàm số đồng biến khoảng ;

2 π π

 

− 

 

 , nghịch biến khoảng ; 2

π π

 

 

 

  Lời giải Ta hiểu '' Hàm số y=sinx đồng biến góc x thuộc gốc phần tư thứ IV thứ I; nghịch biến góc x thuộc gốc phần tư thứ II thứ III '' Chọn D

Câu 52 Với 31 ;33

4

x∈ π π, mệnh đề sau đúng?

A Hàm số y=cotx nghịch biến B Hàm số y=tanx nghịch biến C Hàm số y=sinx đồng biến D Hàm số y=cosx nghịch biến Lời giải Ta có 31 ;33 ;

4 4

π π π π

π π

   

 = − + + 

   

 

    thuộc gốc phần tư thứ I II Chọn C Câu 53 Với 0;

4

x∈ π, mệnh đề sau đúng?

A Cả hai hàm số y= −sin 2x y= − +1 cos 2xđều nghịch biến B Cả hai hàm số y= −sin 2xvà y= − +1 cos 2x đồng biến C Hàm số y= −sin 2xnghịch biến, hàm số y= − +1 cos 2xđồng biến D Hàm số y= −sin 2xđồng biến, hàm số y= − +1 cos 2xnghịch biến Lời giải Ta có 0; 0;

4

x∈ π→ x∈ π thuộc góc phần tư thứ I Do sin

y= x đồng biến → = −y sin 2x nghịch biến cos

y= x nghịch biến → = − +y cos 2x nghịch biến Chọn A

Câu 54 Hàm số y=sin 2x đồng biến khoảng khoảng sau? A 0;

4 π      

  B 2; π

π  

 

 

  C

3 ;

2 π π  

 

 

  D

3 ;2

π π

 

 

 

Lời giải Xét A Ta có 0; 0;

4

x∈ π→ x∈ π thuộc gốc phần tư thứ I nên hàm số sin

y= x đồng biến khoảng Chọn A

Câu 55 Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng ; π π

 

− 

 

 ? A. tan

6

y=  x+ π B. cot y=  x+ π C. sin

6

y=  x+ π D. y=cos 2 x+ π6

Lời giải Với ; 2 ; ;

3 3 2

x∈ − π π→ x∈ − π π→ x+π∈ − π π thuộc góc phần tư thứ IV thứ nên hàm số sin

6

y=  x+ π đồng biến khoảng 3 6; π π

 

− 

 

  Chọn C

Vấn đề ĐỒ THỊ CỦA H=M SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 56 Đồ thị hàm số cos

2

y= x− π suy từ đồ thị ( )C hàm số y=cosx cách:

A Tịnh tiến ( )C qua trái đoạn có độ dài π B Tịnh tiến ( )C qua phải đoạn có độ dài

2 π C Tịnh tiến ( )C lên đoạn có độ dài π D Tịnh tiến ( )C xuống đoạn có độ dài

2 π Lời giải Nhắc lại lý thuyết

Cho ( )C đồ thị hàm số y= f x( ) p> , ta có:

+ Tịnh tiến ( )C lên p đơn vị đồ thị hàm số y= f x( )+ p + Tịnh tiến ( )C xuống p đơn vị đồ thị hàm số y= f x( )− p + Tịnh tiến ( )C sang trái p đơn vị đồ thị hàm số y= f x( +p)

+ Tịnh tiến ( )C sang phải p đơn vị đồ thị hàm số y=f x( −p)

Vậy đồ thị hàm số cos

y= x− π suy từ đồ thị hàm số y=cosx cách tịnh tiến sang phải

2

π đơn vị Chọn B

Câu 57 Đồ thị hàm số y=sinx suy từ đồ thị ( )C hàm số y=cosx cách:

B Tịnh tiến ( )C qua phải đoạn có độ dài π C Tịnh tiến ( )C lên đoạn có độ dài π D Tịnh tiến ( )C xuống đoạn có độ dài

2 π

Lời giải Ta có sin cos cos

2

y= x= π−x= x−π Chọn B

Câu 58 Đồ thị hàm số y=sinx suy từ đồ thị ( )C hàm số y=cosx+ cách:

A Tịnh tiến ( )C qua trái đoạn có độ dài

π lên đơn vị B Tịnh tiến ( )C qua phải đoạn có độ dài

2

π lên đơn vị C Tịnh tiến ( )C qua trái đoạn có độ dài

2

π xuống đơn vị D Tịnh tiến ( )C qua phải đoạn có độ dài

2

π xuống đơn vị

Lời giải Ta có sin cos cos

2

y= x= π−x= x−π Tịnh tiến đồ thị y=cosx+ sang phải

2

π đơn vị ta đồ thị hàm số

cos

2 y= x−π+

Tiếp theo tịnh tiến đồ thị cos

y= x−π+ xuống đơn vị ta đồ thị hàm

số cos

2

y= x− π Chọn D

Câu 59 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số hàm số nào?

A y= +1 sin x B y=cos x C y= −sin x D y= −cos x Lời giải Ta thấy x= y= Do loại đáp án C D

Tại

Câu 60 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số hàm số nào? A. sin

2 x

y= B. cos

2 x

y= C. cos

4 x

y= − D. sin

2 x y= −  Lời giải Ta thấy:

Tại x= y= Do loại B C

Tại x=π y= − Thay vào hai đáp án lại có D thỏa Chọn D 1

Câu 61 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số hàm số nào? A. cos2

3 x

y= B. sin2

3 x

y= C. cos3

2 x

y= D. sin3

2 x y= Lời giải Ta thấy:

Tại x= y= Do ta loại đáp án B D

Hỏi hàm số hàm số nào?

A. sin

4

y= x− π B. cos

4 y= x+ π

C. sin

4

y= x+ π D. y cos x 4 π    =  − 

Lời giải Ta thấy hàm số có GTLN GTNN 1− Do loại đáp án C Tại x=

2

y= − Do loại đáp án D Tại

4

x= π y= Thay vào hai đáp án cịn lại có A thỏa mãn Chọn A 1

Câu 63 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số hàm số nào?

A. sin

4

y= x− π B. y cos x 4 π    =  − 

C. sin

4

y= x+ π D. cos y= x+ π

Lời giải Ta thấy hàm số có GTLN GTNN − Do lại A B Tại

4

x= π y= − Thay vào hai đáp án C D thỉ có D thỏa mãn Chọn D Câu 64 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số hàm số nào?

A. y=sin x B. y= sinx C. y=sin x D. y= −sin x Lời giải Ta thấy x= y= Cả đáp án thỏa

Tại

Câu 65 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số hàm số nào?

A y=cos x B y= −cosx C y=cosx D y=cosx Lời giải Ta thấy x= y= −1 Do có đáp án B thỏa mãn Chọn B Câu 66 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số hàm số nào?

A y= sinx B y=sin x C y=cosx D y=cosx Lời giải Ta thấy hàm số có GTNN Do có A D thỏa mãn

Ta thấy x= y= Thay vào hai đáp án A D có A thỏa mãn Chọn A

Câu 67 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số hàm số nào?

Hàm số xác định x=π x=π y= Do có C thỏa mãn Chọn C 0 Câu 68 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số hàm số nào?

A. sin

2 y= x−π−

 B. y sin x

π    =  − 



C. sin

2

y= − x−π− D. sin y= x+π+

Lời giải Ta thấy hàm số có GTLN , GTNN 2.− Do ta loại đán án B sin [ 2;2 ]

2 y= x−π∈ −

Tại x= y= − Thử vào đáp án cịn lại có A thỏa mãn Chọn A 2

Câu 69 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số hàm số nào?

A y= +1 sinx B y=sinx C. y= +1 cosx D. y= +1 sinx Lời giải Ta có y= +1 cosx ≥ y= +1 sinx ≥ nên loại C D

Ta thấy x= y= Thay vào hai đáp án A B có A thỏa Chọn A 1 Câu 70 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D

A y= +1 sinx B y=sinx C. y= +1 cosx D. y= +1 sinx Lời giải Ta có y= +1 cosx ≥ y= +1 sinx ≥ nên loại C D

Ta thấy x=π y= Thay vào hai đáp án A B có B thỏa Chọn B 0

Vấn đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Câu 71 Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y=3 sinx−2

A. M =1, m= −5 B. M =3, m=1 C. M =2, m= −2 D. M =0, m= −2

Lời giải Ta có sin− ≤ x≤ 1 →− ≤3 sinx≤ 3 →− ≤5 sinx− ≤ 1

5

5 M y

m

 =

 →− ≤ ≤ →

 = − 

Chọn A

Câu 72 Tìm tập giá trị T hàm số y=3 cos 2x+5

A. T= −[ 1;1 ] B.T = −[ 1;11 ] C.T=[2;8 ] D.T =[5;8 ]

Lời giải Ta có cos 2− ≤ x≤ 1 →− ≤3 cos 2x≤ 3 → ≤2 cos 2x+ ≤5

[ ]

2 y T 2;8

→ ≤ ≤ → = Chọn C.

Câu 73 Tìm tập giá trị T hàm số y= −5 sin x

A. T= −[ 1;1 ] B.T = −[ 3;3 ] C.T=[2;8 ] D.T =[5;8 ]

Lời giải Ta có sin− ≤ x≤ 1 → ≥ −1 sinx≥ − 1 → ≥ −3 sinx≥ −

[ ]

8 sinx 2 y T 2;8

→ ≥ − ≥ → ≤ ≤ → = Chọn C.

Câu 74 Cho hàm số sin

y= − x+π+ Mệnh đề sau đúng? A. y≥ −4, ∀ ∈ ℝx B. y≥4, ∀ ∈ ℝx

C. y≥0, ∀ ∈ ℝx D. y≥2, ∀ ∈ ℝx

Lời giải Ta có sin 2 sin

3

x π x π

   

 

− ≤  + ≤ → ≥ −  + ≥ −

4 sin

3

x π y

  

→ ≥ −  + + ≥ → ≥ ≥

 Chọn C

Câu 75 Hàm số y= +5 sin cos 2x x có tất giá trị nguyên?

A 3. B 4. C 5. D 6.

Lời giải Ta có y= +5 sin cos 2x x= +5 sin 4x

Mà sin 4− ≤ x≤ 1 →− ≤2 sin 4x≤ 2 → ≤ +3 sin 4x≤7

{ }

3 y y∈ y 3; 4;5;6;7

→ ≤ ≤ ℤ→ ∈ nên y có giá trị nguyên Chọn C Câu 76 Tìm giá trị nhỏ m hàm số y= − sin 2016( x+2017)

Câu 77 Tìm giá trị nhỏ m hàm số cos y

x =

+ A

2

m= B

2

m= C m=1 D m=

Lời giải Ta có cos− ≤ x≤ Ta có

cosx+1 nhỏ chi cos x lớn ⇔cosx=

Khi cos 1

cos

x y

x

= → = =

+ Chọn A

Câu 78 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sin cos

y= x+ x Tính P=M−m

A P=4. B P=2 2. C P= 2. D P=2 Lời giải Ta có sin cos sin

4 y= x+ x= x+ π

Mà sin 2 sin

4

x π x π

   

 

− ≤  + ≤ →− ≤  + ≤

2 2

M

P M m

m  = 

→ → = − =

 = − 

Chọn B

Câu 79 Tập giá trị T hàm số y=sin 2017x−cos 2017 x

A T= −[ 2;2 ] B T = −[ 4034; 4034 ] C T= − 2;  D T = 0;  Lời giải Ta có sin 2017 cos 2017 sin 2017

4 y= x− x=  x− π

Mà sin 2017 2 sin 2017

4

x π x π

   

 

− ≤  − ≤ →− ≤  − ≤ y T  2; 

→− ≤ ≤ → = − 

  Chọn C

Câu 80 Hàm số sin sin

y= x+π− x có tất giá trị nguyên? A B C D Lời giải Áp dụng công thức sin sin cos sin

2

a b a b

a− b= + − , ta có

sin sin cos sin cos

3 6

x π x x π π x π

     

 + − =  +  =  + 

     

  

     

Ta có cos 1 { 1;0;1 }

6

y

x π y ∈ y

  

− ≤  + ≤ →− ≤ ≤ ℤ→ ∈ − Chọn C Câu 81 Hàm số sin4 cos4

y= x− x đạt giá trị nhỏ x=x0 Mệnh đề sau

đây đúng?

A x0=k2 ,π k∈ℤ B

0 ,

x =kπ k∈ℤ C x0= +π k2 ,π k∈ℤ D

0 ,

2

x =π+kπ k∈ℤ

Lời giải Ta có sin4 cos4 (sin2 cos2 )(sin2 cos2 ) cos

y= x− x= x+ x x− x = − x

Đẳng thức xảy ⇔cos 2x= ⇔1 2x=k2π⇔x=kπ (k∈ℤ Chọn B.)

Câu 82 Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y= −1 cos x A. M =3, m= −1 B. M =1, m= −1

C. M =2, m= −2 D. M =0, m= −2

Lời giải Ta có − ≤1 cos 3x≤ 1 → ≤0 cos 3x ≤ 1 → ≥ −0 cos 3x ≥ −2

1 cos 1

1 M

x y

m  =  → ≥ − ≥ − → ≥ ≥ − →

 = − 

Chọn B

Câu 83 Tìm giá trị lớn M hàm số 4 sin2 2 sin 2 . y= x+  x+ π

A. M = B. M = 2−1 C. M = 2+1 D. M= 2+2 Lời giải Ta có 4 sin2 2 sin 2 4 cos sin 2 cos 2

4

x

y= x+  x+π=  − + x+ x sin cos 2 sin 2

4

x x  x π

= − + =  − +

Mà sin 2 2 sin 2 2

4

x π x π

   

 

− ≤  − ≤ →− + ≤  − + ≤ +

Vậy giá trị lớn hàm số 2+ Chọn D Câu 84 Tìm tập giá trị T hàm số 6

sin cos

y= x+ x

A. T=[0;2 ] B. 1;1 T = 

 

  C.

1 ;1 T= 

 

  D.

1 0;

4 T = 

   

Lời giải Ta có 6 6 ( 2 2 )2 2 2 ( 2 2 )

sin cos sin cos sin cos sin cos

y= x+ x= x+ x − x x x+ x

2 3 cos 3 sin cos sin cos

4 8

x

x x x − x

= − = − = − = +

Mà cos 1 3cos 1

4 8

x x y

− ≤ ≤ → ≤ + ≤ → ≤ ≤ Chọn C

Câu 85 Cho hàm số 4

cos sin

y= x+ x Mệnh đề sau đúng?

A. y≤2, ∀ ∈x ℝ B y≤1, ∀ ∈x ℝ C. y≤ 2, ∀ ∈x ℝ D. 2,

y≤ ∀ ∈x ℝ

Lời giải Ta có 4 4 ( 2 2 )2 2 2 2

cos sin sin cos sin cos sin 2

y= x+ x= x+ x − x x= − x

1 cos

1 cos

2 4

x

x −

= − = +

Mà cos 1 1cos 1

2 4

x x y

− ≤ ≤ → ≤ + ≤ → ≤ ≤ Chọn B Câu 86 Hàm số 1 2 cos2

y= + x đạt giá trị nhỏ x=x0 Mệnh đề sau

là đúng?

A x0= +π k2 ,π k∈ℤ B

0 ,

2

x =π+kπ k∈ℤ C x0=k2 ,π k∈ℤ D x0=kπ,k∈ℤ

Lời giải Ta có 1 cos 1 0 cos2 1 1 1 2 cos2 3.

x x x

− ≤ ≤ → ≤ ≤ → ≤ + ≤

Dấu ''='' xảy cos

x x π kπ

⇔ = ⇔ = + Chọn B

Câu 87 Tìm giá trị lớn M nhỏ m hàm số sin2 2 cos2 .

y= x+ x

A. M =3, m=0. B M =2, m=0 C. M =2, m=1 D. M=3, m=1 Lời giải Ta có sin2 2 cos2 (sin2 cos2 ) cos2 1 cos2

y= x+ x= x+ x + x= + x

Do 2

1 cos cos 1 cos

1 M

x x x

m  =  − ≤ ≤ → ≤ ≤ → ≤ + ≤ →

 = 

Chọn C Câu 88 Tìm giá trị lớn M hàm số 2

1 tan y

x =

+

A.

2

M = B.

3

M= C. M =1 D. M=2

Lời giải Ta có

2

2

2

2 cos

1 tan

cos

y x

x

x

= = =

+

Do 0 cos2 1 0 2 2.

x y M

≤ ≤ → ≤ ≤ → = Chọn D

Câu 89 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

2

8 sin cos

y= x+ x Tính 2 2.

P= M−m

A. P=1 B. P=2 C. P=112 D. P=130

Lời giải Ta có 2 ( )

8 sin cos sin sin sin

y= x+ x= x+ − x = x+

Mà 1 sin 1 0 sin2 1 3 2 sin2 3 5

x x x

− ≤ ≤ → ≤ ≤ → ≤ + ≤

5

3

3 M

y P M m

m  = 

→ ≤ ≤ → → = − =  =



Chọn A Câu 90 Tìm giá trị nhỏ m hàm số 2 sin2 3 sin 2

y= x+ x

A. m= −2 B. m= −1 C. m=1 D. m= − Lời giải Ta có 2 sin2 3 sin 2 1 cos 2 3 sin 2

y= x+ x= − x+ x

3

3 sin cos 2 sin cos

2

2 sin cos sin cos 2 sin

6 6

x x x x

x π π x x π

 

 



= − + =  − +



 

   

 

=  − + =  − +

Mà sin 1 sin 3

6

x π x π y

   

 

− ≤  − ≤ →− ≤ +  − ≤ →− ≤ ≤

Do giá trị nhỏ hàm số 1.− Chọn B Câu 91 Tìm tập giá trị T hàm số y=12 sinx−5 cos x

A. T= −[ 1;1 ] B.T = −[ 7;7 ] C.T= −[ 13;13 ] D.T = −[ 17;17 ]

Lời giải Ta có 12 sin cos 13 12sin cos 13 13 y= x− x=  x− x

Đặt 12 cos sin

13= α→13= α Khi y=13 sin cos( x α−sinαcosx)=13 sin(x−α)

[ ]

13 y 13 T 13;13

→− ≤ ≤ → = − Chọn C.

Câu 92 Tìm giá trị lớn M hàm số y=4 sin 2x−3 cos x

Lời giải Ta có sin cos 4sin 3cos

5

y= x− x=  x− x

Đặt cos sin

5

α α

= → = Khi y=5 cos sin 2( α x−sinαcos 2x)=5 sin 2( x−α)

5 y M

→− ≤ ≤ → = Chọn C

Câu 93 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

2

sin sin

y= x− x+ Tính 2 2. P=M− m

A P=1. B P=7. C P=8. D P=2 Lời giải Ta có sin2 4 sin 5 (sin 2)2 1.

y= x− x+ = x− +

Do − ≤1 sinx≤ 1 →− ≤3 sinx− ≤ − 2 → ≤1 (sinx−2)2≤9

( )2 10

2 sin 10 2

2 M

x P M m

m  = 

→ ≤ − + ≤ → = − =  =



Chọn D Câu 94 Hàm số cos2 cos

y= x− x có tất giá trị nguyên?

A B C D

Lời giải Ta có

2

2 1

cos cos cos y= x− x= x−  −

Mà

2

3 1

1 cos cos cos

2 2

x x  x 

− ≤ ≤ →− ≤ − ≤ → ≤ −  ≤

{ }

2

1 1

cos 2 0;1;2

4 4

y

x y ∈ y

  

→− ≤ −  − ≤ →− ≤ ≤ ℤ→ ∈ nên có giá trị thỏa

mãn Chọn C

Câu 95 Hàm số cos2 2 sin 2

y= x+ x+ đạt giá trị nhỏ x0 Mệnh đề sau

đây đúng?

A ,

2

x =π+k π k∈ℤ B

0 ,

2

x = − +π k π k∈ℤ C x0= +π k2 ,π k∈ℤ D

0 ,

x =k π k∈ℤ

Lời giải Ta có 2

cos sin sin sin y= x+ x+ = − x+ x+

( )2

2

sin x sinx sinx = − + + = − − +

Mà ( )2

1 sinx sinx 0 sinx − ≤ ≤ →− ≤ − ≤ → ≤ − ≤

( )2 ( )2

0 sinx 4 sinx → ≥ − − ≥ − → ≥ − − + ≥

Suy giá trị nhỏ hàm số

Dấu ''='' xảy sin ( )

x x π k π k

⇔ = − ⇔ = − + ∈ℤ Chọn B

Câu 96 Tìm giá trị lớn M m hàm số sin4 2 cos2 1

y= x− x+

A M =2, m= −2 B M =1, m=0 C M =4, m= − D M =2, m= −1

Lời giải Ta có 4 2 4 ( 2 ) ( 2 )2

sin cos sin sin sin

y= x− x+ = x− − x + = x+ −

Do 2 2 ( 2 )2

0≤sin x≤ 1 → ≤1 sin x+ ≤ 1 → ≤1 sin x+1 ≤4

( )2

1 sin 2

1 M x

m  =  →− ≤ + − ≤ →

 = − 

Câu 97 Tìm giá trị nhỏ m hàm số 4 sin4 cos 4

y= x− x

A m= − 3 B m= − 1 C m=3 D m= −5

Lời giải Ta có ( )

2

4 cos 2

4 sin cos 4 cos 2

x

y= x− x=  −  − x−

( )2

2

cos 2x cos 2x cos 2x 3

= − − + = − + + ≤

Mà − ≤1 cos 2x≤ 1 → ≤0 cos 2x+ ≤ 1 → ≤0 (cos 2x+1)2≤4

( )2

1 cos 2x 3 m

→− ≤ − + + ≤ → = − Chọn B

Câu 98 Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số 7 3 cos2 .

y= − x

A M = 10, m=2. B M = 7, m=2 C M = 10, m= D M =0, m=1

Lời giải Ta có

1 cosx cos x − ≤ ≤ → ≤ ≤

2

4 cos x 7 cos x

→ ≤ − ≤ → ≤ − ≤ Chọn B

Câu 99 Số có ánh sáng mặt trời thành phố A ngày thứ t năm 2017 cho hàm số sin ( 60) 10

178

y=  π t− +

 

 

với t∈ℤ 0< ≤t 365 Vào ngày năm thành phố A có nhiều có ánh sáng mặt trời nhất?

A 28 tháng B 29 tháng C 30 tháng D 31 tháng Lời giải Vì sin ( 60) sin ( 60) 10 14

178 t y 178 t

π π

   

 − ≤ → =  − + ≤

   

   

Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều 14 sin ( 60) 178

y  π t 

⇔ = ⇔ − =

 

 

( 60) 149 356

178 t k t k

π π

π

⇔ − = + ⇔ = +

Do 365 149 356 365 149 54

356 89

k

t k k ∈ k

< ≤ → < + ≤ ⇔ − < ≤ ℤ→ =

Với k= 0 → =t 149 rơi vào ngày 29 tháng (vì ta biết tháng có 31 ngày, tháng có 30 ngày, riêng năm 2017 khơng phải năm nhuận nên tháng có 28 ngày dựa vào kiện 0< ≤t 365 ta biết năm tháng có 28 ngày) Chọn B

Câu 100 Hằng ngày mực nước kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h (mét) mực nước kênh tính thời điểm t (giờ) ngày công thức cos 12

8 t

h= π +π+ Mực nước kênh cao khi:

A t=13 (giờ) B t=14 (giờ) C t=15 (giờ) D t=16 (giờ) Lời giải Mực nước kênh cao h lớn

cos

8

t t

k

π π π π

π  



⇔  + = ⇔ + = với 0< ≤t 24 k∈ ℤ Lần lượt thay đáp án, ta đáp án B thỏa mãn Chọn B

Vì với 14

8 t

Bài 02

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1) Phương trình sin x=a

Trường hợp a > 1 → phương trình vơ nghiệm, sin− ≤ x≤ với x 1 Trường hợp a ≤ 1 → phương trình có nghiệm, cụ thể:

▪ 0; 1; 2; 3;

2 2

a∈ ± ± ± ± 

 

 

Khi

2

sin sin ,  

sin

2

x k

x k

x k

x a α α π

π α π

 = + 

= ⇔ ∈

 = − + =



⇔ ℤ

▪ 0; 1; 2; 3;

2 2

a∉ ± ± ± ± 

 

 

Khi sin arcsin ,   arcsin

x a k

x a k

x a k

π

π π

 = +



= ⇔ ∈

 = − +

 ℤ

2) Phương trình cos x a=

Trường hợp a > 1 → phương trình vơ nghiệm, 1− ≤cosx≤ với x 1 Trường hợp a ≤ 1 → phương trình có nghiệm, cụ thể:

▪ 0; 1; 2; 3;

2 2

a∈ ± ± ± ± 

 

 

Khi

2

cos cos ,  

cos

2

x k

x k

x k

x a α α π

α π

 = + 

= ⇔ ∈

 = = ⇔

− +

 ℤ

▪ 0; 1; 2; 3;

2 2

a∉ ± ± ± ± 

 

 

Khi cos arc cos ,   arc cos

x a k

x a k

x a k

π π

 = +



= ⇔ ∈

 = − +



ℤ 3) Phương trình tan x=a

Điều kiện: ( )

2

x≠π+kπ k∈ ℤ ● 0; ; 1;

3

a∈ ± ± ± 

 

 

 

Khi t na x= ⇔a tanx=tanα⇔x=α+kπ,  k∈ ℤ

● 0; ; 1; 3

a∉ ± ± ± 

 

 

Khi tanx= ⇔a x=arctana+kπ,  k∈ ℤ

4) Phương trình cot x=a Điều kiện: x≠ +π kπ(k∈ℤ)

● 0; ; 1; 3

a∈ ± ± ± 

 

 

Khi cotx=a⇔cotx=cotα⇔x=α+kπ,  k∈ ℤ

● 0; ; 1; 3

a∉ ± ± ± 

 

 

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Giải phương trình sin

3 x π    − =

 

 

A x=kπ (k∈ ℤ) B ( )

3

k

x= π+ π k∈ ℤ

C ( )

3

x=π+kπ k∈ ℤ D ( )

2

k

x=π+ π k∈ ℤ Lời giải Phương trình sin 2

3 3

x x

k

π π

π

 

 − = ⇔ − =

 

 

( )

2

3 2

x k

k x k

π π π

π

⇔ = + ⇔ = + ∈ ℤ Chọn D

Câu Số nghiệm phương trình ( 0)

sin 40

x− = với 0

180 x 180

− ≤ ≤ là?

A B C D

Lời giải Phương trình ( 0) ( 0)

sin 40 sin 40 sin 60

2

x− = ⇔ x− =

0 0 0 0

0 0 0 0

2 40 60 360 100 360 50 180

40 180 60 360 160 360 80 180

x k x k x k

x k x k x k

 − = +  = +  = +

  

⇔ ⇔ ⇔

− = − + = + = +

  

  

Xét nghiệm 0

50 180

x= +k Vì 0 0 0

180 x 180 180 50 k180 180

− ≤ ≤ →− ≤ + ≤

0

1 130

23 13

18 18 50

k k x

k

k x

∈  = − → = − ⇔ − ≤ ≤ → 

= → = 

ℤ

Xét nghiệm 0

80 180

x= +k Vì 0 0 0

180 x 180 180 80 k180 180

− ≤ ≤ →− ≤ + ≤

0

1 100

13

9 80

k k x

k

k x

∈  = − → = − ⇔ − ≤ ≤ → 

= → = 

ℤ

Vậy có tất nghiệm thỏa mãn toán Chọn B

Cách (CASIO) Ta có 0 0

180 x 180 360 2x 360 − ≤ ≤ →− ≤ ≤

Chuyển máy chế độ DEG, dùng chức TABLE nhập hàm

( ) sin 2( 40)

2

f X = X− − với thiết lập Start= −360, End=360, Step=40 Quan

sát bảng giá trị f X( ) ta suy phương trình cho có nghiệm

Câu Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình sin x π    + =

 

  đường

tròn lượng giác là?

A B C D 6.

Lời giải

Phương trình ( )

2

3 12

sin sin

3

2

3

x k x k

x k

x k x k

π π π

π π

π π

π π π

π π π

 

 + = +  = − +

   



⇔  + = ⇔ ⇔ ∈

 

+ = − + = +

 



 



ℤ

Biểu diễn nghiệm

12

Biểu diễn nghiệm

x=π+kπ đường trịn lượng giác ta vị trí (hình 2)

Vậy có tất vị trí biểu diễn nghiệm nghiệm phương trình Chọn C Cách trắc nghiệm Ta đưa dạng x k2

n π α

= + → số vị trí biểu diễn đường trịn lượng giác n

Xét

12 12

x= −π +kπ⇔x= −π +k π→ có vị trí biểu diễn

Xét

4

x=π+kπ⇔x=π+k π→ có vị trí biểu diễn

Nhận xét Cách trắc nghiệm nhanh cẩn thận vị trí trùng Câu Với giá trị x giá trị hàm số y=sin 3x y=sinx nhau?

A ( )

2

4

x k

k

x k

π π

π  =



 ∈

 = + 

ℤ B ( )

4

x k

k

x k

π

π π

 = 

 ∈

 = + 

ℤ

C ( )

4

x=kπ k∈ ℤ D ( )

2

x=kπ k∈ ℤ Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm: sin 3x=sinx

( )

3

3

4

x k

x x k

k

x x k x k

π π

π π

π π

 =

 = + 

 

⇔ ⇔ ∈



= − + = +

  ℤ Chọn B

Câu Gọi x0 nghiệm dương nhỏ phương trình cos sin

x x =

− Mệnh đề

nào sau đúng? A 0 0;

4

x ∈ π B ;

4 x ∈π π

   

C 0 ;3

x ∈π π D

3 ; x ∈ π π

 

 

Lời giải Điều kiện: sin 2− x≠ ⇔0 sin 2x≠1

Phương trình ( )

( )

2

sin cos sin

2 cos

0 cos

1 sin sin

x x x

x

x

x x

+ =  =

= ⇔ = → 

−  = −

loại thỏa mãn

( )

sin 2

2

x x π k π x π kπ k

⇔ = − ⇔ = − + ⇔ = − + ∈ ℤ

Cho

4 k k

π π

− + > → > Hình

O

4 π

O

12 π − sin

cos

sin

cos

Do nghiệm dương nhỏ ứng với 3 ;

4

k x π π π

 

 

= → = ∈

 

  Chọn D

Câu Hỏi đoạn [−2017;2017], phương trình (sinx+1 sin)( x− 2)= có tất nghiệm?

A 4034 B 4035 C 641 D 642 Lời giải Phương trình

( ) ( )

sin

sin

2 sin vo nghiem

x

x x k k

x π π  = −  ⇔ ⇔ = − ⇔ = − + ∈ =  ℤ

Theo giả thiết 2017 2 2017 2017 2017

2 k k

π π π π π π − + + − ≤ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ { } xap xi

320,765 321,265 k 320; 319; ;321

k ∈ k

→− ≤ ≤ ℤ→ ∈ − −

Vậy có tất 642 giá trị nguyên k tương úng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D

Câu Tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình sin x π    − =  

  bằng: A π B π

− C

6 π D π −

Lời giải Ta có

3

3

sin sin sin

4

3 x k x x x k π π π π π π π π π π   − = +       − = ⇔  − = ⇔           − = − +   ( ) 7 36 12 .

11 11

3

12 36

k x

x k

k k

x k x

π π π π π π π π     = + = +   ⇔ ⇔ ∈   = +  = +      ℤ

TH1 Với Cho

max

7

0

7 24 36

7 17

36

0

24 36

x k k x

k x

x k k x

π

π π

π 

 > ⇔ > − ⇒ = → = 

= + →  

< ⇔ < − ⇒ = − → = − 



TH2 Với Cho

max

11 11

0

11 24 36 .

11 13

36

0

24 36

x k k x

k x

x k k x

π

π π

π 

 > ⇔ > − ⇒ = → = 

= + →  

< ⇔ < − ⇒ = − → = − 



So sánh bốn nghiệm ta nghiệm âm lớn 13

36

x= − π nghiệm dương nhỏ

nhất

36

x= π Khi tổng hai nghiệm 13 36 36

π π π

− + = − Chọn B Câu Gọi x0 nghiệm âm lớn phương trình ( 0)

cos 45

x− = Mệnh đề

nào sau đúng? A ( 0)

0 30 ;0

x ∈ − B ( 0)

0 45 ; 30

x ∈ − −

C ( 0)

0 60 ; 45

x ∈ − − D ( 0)

0 90 ; 60

Lời giải Ta có ( 0) ( 0) 0 0

0 0

5 45 30 360

3

cos 45 cos 45 cos 30

2 45 30 360

x k

x x

x k

 − = +



− = ⇔ − = ⇔ 

− = − +



( )

0 0

0 0

5 75 360 15 72

5 15 360 72

x k x k

k

x k x k

 = +  = +

 

⇔ ⇔ ∈

= + = +

 

 

ℤ

TH1 Với 0

max

5

15 72 57

24

x= +k < ⇔ < −k ⇒k = − →x= −

TH2 Với 0

max

1

3 72 69

24

x= +k < ⇔ < −k ⇒k = − ⇒ = −x

So sánh hai nghiệm ta nghiệm âm lớn phương trình

57 x= − Chọn C

Câu Hỏi đoạn ;2 π

π

 

− 

 

 

, phương trình cos 13 14

x= có nghiệm?

A B C D

Lời giải Phương trình cos 13 arccos13 ( )

14 14

x= ⇔x= ± +k π k∈ℤ

Với arccos13 14

x= +k π Vì ;2 arccos13 2

2 14

x∈ − π π→−π≤ +k π≤ π

 

 

CASIO xapxi

13

0,3105 0, 9394 arccos

14

k

k ∈ k x

→− ≤ ≤ ℤ→ = → =

Với arccos13 14

x= − +k π Vì ;2 arccos13 2

2 14

x π π π k π π

 

 

∈ − →− ≤ − + ≤

 

 

{ }

CASIO xapxi

13 13

0,1894 1,0605 0;1 arccos ; arccos

14 14

k

k ∈ k x  k π

→− ≤ ≤ → ∈ → ∈ − − + 

 

 

ℤ

Vậy có tất nghiệm thỏa mãn Chọn B

Cách (CASIO) Dùng chức TABLE nhập hàm ( ) cos 13 14

f X = X− với thiết lập Start , End , Step

2

π π

π

= − = = Ta thấy f X( ) đổi dấu lần nên có nghiệm

Cách Dùng đường tròn lượng giác

Vẽ đường tròn lượng giác biểu diễn cung từ π

− đến 2π Tiếp theo ta kẻ đường thẳng 13

14

x= Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng 13 14

x= cắt cung lượng giác vừa vẽ điểm

O

sin 13

14 x=

Câu 10 Gọi X tập nghiệm phương trình

cos 15 sin x x    + =  

  Mệnh đề sau đúng?

A

290 ∈X B

20 ∈X C

220 ∈X D

240 ∈X

Lời giải Ta có 0 ( )

cos 15 sin cos 15 cos 90

2 x x x x      + = ⇔  + = −           ( ) ( )

0 0

0

0

0 0

15 90 360

50 240

2 .

210 720

15 90 360

2 x

x k

x k

k

x x k x k

  + = − +  = +   ⇔ ⇔ ∈  + = − − +  = −   ℤ

Nhận thấy

290 ∈X (do ứng với k= nghiệm 0

50 240

x= +k ) Chọn A Câu 11 Tính tổng T nghiệm phương trình sin 2x−cosx= [0;2 π]

A T=3 π B

T = π C T=2 π D T =π Lời giải Ta có sin 2 cos sin cos sin sin

2 x− x= ⇔ x= x⇔ x= π− x

2

2

2

2 2

2

k

x x k x

x x k x k

π π π π π π π π π    = − +  = +    ⇔   ⇔       = − − +  = +     

Vì x∈[0;2π], suy

{ }

{ }

2 11

0 0;1;2

6 4 .

1

0

0 2

4 k k k k k k π π π π π π    ≤ + ≤ − ≤ ≤ ⇒ ∈   ⇔     − ≤ ≤ ⇒ ∈ ≤ + ≤      

Từ suy nghiệm phương trình đoạn [0;2π] ;5 ;3 ; 6 2 T π π π π

π → = Chọn A

Câu 12 Trên khoảng ;2 π π      

 , phương trình cos 2x sinx π

   − =

 

  có nghiệm?

A B 4 C 5 D

Lời giải Ta có cos sin cos cos

6 x x x x

π π π        − = ⇔  − =  −                 ( )

2 2

6

2

2

6

x x k x k

k k

x x k x

π π π π π π π π π π    − = − +  = − −    ⇔ ⇔ ∈        − = − − +  = −      ℤ

Vì ;2

2

x π π

  

∈ , suy

{ }

7

2

2 12

2

2 2;

2 3 12

k

k

k k k

k k k π π π π π π π π ∈ ∈  

 < − − < − ≤ < − → = −

 

⇔

 

 

< − < − ≤ < − → = − −

 

 

 

ℤ

ℤ

Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng ;2 π π      

Câu 13 Tổng nghiệm phương trình ( 0)

tan 2x−15 =1 khoảng ( 0) 90 ;90 −

bằng: A

0 B

30

− C

30 D

60 −

Lời giải Ta có ( 0) 0 0 ( )

tan 2x−15 = ⇔1 2x−15 =45 +k180 ⇔x=30 +k90 k∈ℤ

Do ( 0) 0 0

90 ;90 90 30 90 90

3

x∈ − →− < +k < ⇔ − < <k

0 0

0

1 60

60 30 30

0 30

k k x

k x

∈  = − → = −

→ →− + = −

 = → = 

ℤ Chọn B

Câu 14 Giải phương trình cot 3( x−1)= −

A ( )

3 18

x= + π+kπ k∈ℤ B ( )

3 18

x= + π +kπ k∈ℤ

C ( )

18

x= π+kπ k∈ℤ D ( )

3

x= − +π kπ k∈ℤ Lời giải Ta có cot 3( 1) cot 3( 1) cot

6 x− = − ⇔ x− = − π

( )

1

3

6 18 3 18

k

x π kπ x π kπ k = x π

⇔ − = − + ⇔ = − + ∈ℤ → = + Chọn A Câu 15 Với giá trị x giá trị hàm số tan

4

y= π− x tan

y= x nhau?

A ( )

4

x=π+kπ k∈ℤ B ( )

12

x= π +kπ k∈ℤ

C ( )

12

x= π +kπ k∈ℤ D 1; ,

12

m

x= π +kπ k≠ + k m∈ ℤ

Lời giải Điều kiện: cos .

4

4 cos

4

x m

x

x m

x m

x

π

π π

π π

π π



   

   ≠ − −

  − ≠   

   ⇔ ⇔ ≠ +

 

 

  ≠ +

 ≠ 

 

Xét phương trình hồnh độ giao điểm: tan tan x= π− x

( )

2

4 12

x π x kπ x π kπ k

⇔ = − + ⇔ = + ∈ ℤ

Đối chiếu điều kiện, ta cần có ( , )

12 2

m

k m k k m

π π π π +

+ ≠ + ⇔ ≠ ∈ ℤ

Vậy phương trình có nghiệm 1; ,

12

m

x= π +kπ k≠ + k m∈ ℤ Chọn D Câu 16 Số nghiệm phương trình tan tan3

11

x= π khoảng ;2 π

π         là?

A B C D

Lời giải Ta có tan tan3 ( )

11 11

x= π⇔x= π+kπ k∈ ℤ

Do CASIO { }

xap xi

;2 0,027 1,72 0;1

4 11

k

x π π π π kπ π k ∈ k

  

Câu 17 Tổng nghiệm phương trình tan 5x−tanx= nửa khoảng [0;π)

bằng:

A π B 3

π

. C 2π. D 5

2 π

Lời giải Ta có tan tan tan tan ( )

4 k

x− x= ⇔ x= x⇔ x= +x kπ⇔x= π k∈ ℤ Vì x∈[0;π), suy 0 {0;1;2;3}

4

k

k

k k

π

π ∈

≤ < ⇔ ≤ < ℤ→ =

Suy nghiệm phương trình [0;π) 0; ; ;3 4 π π π

 

 

 

 

 

 

 

Suy 3

4

π π π π

+ + + = Chọn B

Câu 18 Giải phương trình tan cot 2x x=1

A ( )

2

x=kπ k∈ ℤ B ( )

4 x= − +π kπ k∈ ℤ C x=kπ (k∈ ℤ) D Vô nghiệm

Lời giải Điều kiện: cos ( ) sin

2

x k

x

k x

x k

π π

π 

 ≠ + 

 ≠

 

 ⇔ ∈

 

 ≠ 

  ≠

 

ℤ

Phương trình tan tan tan ( )

cot

x x x x x k x k k

x π π

⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ∈ ℤ

Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x=kπ không thỏa mãn x≠kπ Vậy phương trình cho vơ nghiệm Chọn D

Câu 19 Cho tan

x π    + − =  

  Tính sin 2x π    − 

 

  A sin

6

x π    − = −

 

  B

3

sin

6 x π    − =

 

  C sin

6

x π    − = −

 

  D

1 sin

6 x π    − =

 

  Lời giải Phương trình tan tan

2

x π x π

   

 + − = ⇔  + =

   

 

   

( )

2 4

x π π kπ x π kπ k

⇔ + = + ⇔ = − + ∈ ℤ

Suy 2 2 ( )

2

x= − +π k π→ x−π= − π+k π k∈ ℤ

Do sin sin 2 sin

6 3

x π π k π π

       − = − + = −  = −

     

  

      Chọn C

Câu 20 Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình tanx= ?

A sin 2

x= B cos 2

x= C cotx= 1 D

cot x= 1

Lời giải Ta có tan ( )

4

Xét đáp án C, ta có cot ( )

x= ⇔x=π+kπ k∈ ℤ Chọn C Cách Ta có đẳng thức cot

tan x

x

= Kết hợp với giả thiết tanx= , ta cotx= Vậy hai phương trình tan1 x= cot1 x= tương đương

Câu 21 Giải phương trình cos tanx x=0

A ( )

2

x=kπ k∈ ℤ B x k (k )

x k π

π π 

 = +

 ∈

 = 

ℤ

C x k2 (k ) x k

π π

π 

 = +

 ∈

 = 

ℤ D ( )

2

x=π+kπ k∈ ℤ

Lời giải Điều kiện: cos ( )

x≠ ⇔x≠π+kπ k∈ ℤ Phương trình cos tan cos

tan x

x x

x

 =

 = ⇔

= 

( )

( )

( )

2

2 x k

x k

k x k

x k

π π

π π

π π

 

 = +  = + 



⇔ ⇔ ∈

 

 = =

 

ℤ

thỏa mãn thỏa mãn

Chọn C

Câu 22 Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình sin x m= có nghiệm

A m≤1. B m≥ − 1 C 1− ≤m≤1. D m≤ − 1 Lời giải Với x∈ ℝ ta có sin, − ≤ x≤

Do đó, phương trình sin x=m có nghiệm 1− ≤m≤1 Chọn C

Câu 23 Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình cosx−m= vơ nghiệm

A m∈ −∞ − ∪( ; 1) (1;+∞). B m∈(1;+∞) C m∈ −[ 1;1 ] D m∈ −∞ −( ; )

Lời giải Áp dụng điều kiện có nghiệm phương trình cos x a= Phương trình có nghiệm a ≤1

Phương trình vơ nghiệm a >1

Phương trình cosx−m= ⇔0 cosx=m

Do đó, phương trình cos x=m vơ nghiệm 1 m m

m  < −  ⇔ > ⇔

 > 

Chọn A

Câu 24 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình cosx=m+ có nghiệm?

A B C D Vô số

Lời giải Áp dụng điều kiện có nghiệm phương trình cos x a= Phương trình có nghiệm a ≤1

Phương trình vơ nghiệm a >1

{ }

1 1 m 2; 1;0

m m ∈ m

⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ ℤ→ ∈ − − Chọn C

Câu 25 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình

cos 2

3

x π m

   − − =

 

  có nghiệm Tính tổng T phần tử S A T=6 B T =3 C T= −2 D T = −6

Lời giải Phương trình cos 2 cos 2

3

x π m x π m

   

 − − = ⇔  − = +

   

 

   

Phương trình có nghiệm ⇔ − ≤1 m+ ≤ ⇔ − ≤2 m≤ −1

{ 3; 2; 1} ( 3) ( 2) ( 1)

m

S T

∈

Baøi 03

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1) Phương trình bậc hàm số lượng giác

Định nghĩa Phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng

0

at+ =b

trong , a b số (a≠0) t hàm số lượng giác

Cách giải Chuyển vế chia hai vế phương trình cho a , ta đưa phương trình lượng giác

2) Phương trình bậc sin x cos x

Định nghĩa Phương trình bậc sin x cos x phương trình có dạng

sin cos

a x+b x=c

Cách giải Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2

a +b ≥c Chia hai vế phương trình cho 2

a +b , ta đựợc

2 sin 2 cos 2

a b c

x x

a +b + a +b = a +b

Do

2

2 2

a b

a b a b

   

   

  +  =

   

   

 +   + 

nên đặt

2 cos 2 sin

a b

a b a b

α α

= → =

+ +

Khi phương trình trở thành

( )

2 2

cos sinx sin cosx c   sin x c

a b a b

α + α = ⇔ +α =

+ +

3) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác

Định nghĩa Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng

2 0

at +bt+ =c

trong , , a b c số (a≠0) t hàm số lượng giác

Cách giải Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) giải phương trình theo ẩn phụ Cuối cùng, ta đưa việc giải phương trình lượng giác

4) Phương trình bậc hai sin x cos x

Định nghĩa Phương trình bậc hai sin x cos x phương trình có dạng

2

sin sin cos cos 0

a x+b x x+c x=

Cách giải

● Kiểm tra cosx= có nghiệm phương trình

2

tan tan

a x+b x+ =c

Đây phương trình bậc hai tanx mà ta biết cách giải

Đặc biệt Phương trình dạng 2

sin sin cos cos

a x+b x x+c x=d ta làm sau:

Phương trình 2

sin sin cos cos

a x b x x c x d

⇔ + + =

( )

( ) ( )

2 2

2

sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos

a x b x x c x d x x

a d x b x x c d x

⇔ + + = +

⇔ − + + − =

5) Phương trình chứa sinx±cosx sin cosx x Định nghĩa Phương trình chứa sinx±cosx sin cosx x

(sin cos ) sin cos 0

a x± x +b x x+ =c

Cách giải Đặt t=sinx±cosx (điều kiện − 2≤ ≤t 2) Biểu diễn sin cosx x theo t ta phương trình

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT H@M SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu Gọi S tập nghiệm phương trình 2 cosx− 3= Khẳng định sau

đây đúng? A 5

6 S π

∈ B 11

6 S

π

∈ C 13

6 S

π

∉ D 13

6 S

π

− ∉

Lời giải Ta có ( )

2

2 cos cos cos

6

2

x k

x x k

x k

π π π

π π 

 = + 

− = ⇔ = ⇔ ∈



= − + 



ℤ

Nhận thấy với nghiệm 11

2

6

k

x= − +π k π→ == x π∈S Chọn B Câu Hỏi

3

x= π nghiệm phương trình sau đây? A sinx− 3=0 B 2sinx+ 3=0 C 2cosx− 3=0 D 2cosx+ 3=0

Lời giải Với

x= π, suy

7

sin sin

2 sin

3

7 cos

cos cos

3

x

x x x

π π 

 = =

 

 − =

 ⇔

 

  − =

 

 = =



Chọn A

Cách Thử

Câu Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình 2 sin

x π    − − =

 

 

A

4

x=π B

24

x= π C

8

x=π D

12 x= π Lời giải Ta có 2 sin sin sin sin

3 3

x π x π x π π

     

 − − = ⇔  − = ⇔  − =

     

  

     

( )

4

3 .

7

4

4

6

3 24

k

x k x k x

k k

x k

x k x

π π π π π

π π

π

π π π π

π

π π

  

 − = +  = +  = +

  

⇔ ⇔ ⇔ ∈

  

= +

− = − + = +

  

 

  



ℤ

TH1 Với Cho

min

0

8 8

k k

x=π+ π→> π+ π> ⇔ > − →k k = ⇒ =x π

TH2 Với Cho

min

7 7

0

24 24 12 24

k k

x= π+ π→> π+ π> ⇔ > −k →k = ⇒ =x π So sánh hai nghiệm ta

8

x=π nghiệm dương nhỏ Chọn C

Câu Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình tan 3

x π    − + =

 

 

đường tròn lượng giác là?

A 4 B C 2 D 1

Lời giải Ta có tan tan tan tan

3 3

x π x π x π π

       

 − + = ⇔  − = − ⇔  − = − 

       

   

       

( )

2

3

k

x π π kπ x kπ x π k

⇔ − = − + ⇔ = ⇔ = ∈ℤ

Quá dễ để nhận có vị trí biểu diễn nghiệm phương trình cho đường trịn lượng giác A, B, C, D Chọn A

Cách trắc nghiệm Ta có

2

k

x= π=k π→ có vị trí biểu diễn

Câu Hỏi đoạn [0;2018π], phương trình cotx− =3 có nghiệm? A 6339 B 6340 C 2017 D 2018

Lời giải Ta có cot cot cot ( )

6

x= ⇔ x= π⇔x=π+kπ k∈ℤ Theo giả thiết, ta có xap xi

0 2018 2017,833

6 k k

π

π π

≤ + ≤ →− ≤ ≤

{ }

3 k 0;1; ;2017 k

∈ ℤ→ ∈

Vậy có tất 2018 giá trị nguyên k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D

sin

O

cos C

D

Câu Trong phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình

2 cos x= ? A sin

2

x= B 2 sinx+ 2=0. C tanx=1 D

tan x=1

Lời giải Ta có 2

2 cos cos

x= ⇔ x= Mà 2

sin cos sin x+ x= → x=

Do 2

2 sin tan cos x x x

= = Vậy 2

2 cos x= ⇔1 tan x=1 Chọn D

Câu Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình

tan x= ? A cos

2

x= − B

4 cos x=1 C cot

x= D cot

3 x= −

Lời giải Ta có 2 2

2 sin

tan 3 sin cos cos

x

x x x

x

= ⇔ = ⇔ =

2 2

1 cos x cos x cos x

⇔ − = ⇔ = Vậy 2

tan x= ⇔3 cos x= Chọn B 1 Câu Giải phương trình

4 sin x=

A ( )

2 , x k k x k π π π π   = +  ∈   = − +  

ℤ B ( )

2 , 2 x k k x k π π π π   = +  ∈   = +   ℤ

C 3 ( , )

3 k x k k π π   = +  ∈   ≠  ℓ ℤ ℓ

D ( , ) k x k k π   =  ∈   ≠  ℓ ℤ ℓ

Lời giải Ta có 2 3

4 sin sin sin

4

x= ⇔ x= ⇔ x= ±

Với ( )

2

3

sin sin sin

2

2

2

x k

x x k

x k π π π π π   = +  = ⇔ = ⇔ ∈  = +   ℤ

Với ( )

2

3

sin sin sin

4

2

2

x k

x x k

x k π π π π π   = − +     = − ⇔ = − ⇔ ∈   = +   ℤ

Nhận thấy chưa có đáp án phù hợp Ta biểu diễn nghiệm đường trịn lượng giác (hình vẽ)

Nếu tính ln hai điểm A, B có tất điểm cách nên ta gộp điểm thành họ nghiệm,

3 x=kπ

Suy nghiệm phương trình 3 ( , )

3

k

x k

x

k k

k l

π

π π

π 

 = 

  =

 

 ⇔ ∈

 

 

 ≠  ≠

 



ℓ ℤ ℓ

Chọn D

Câu Trong phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình

2

3 sin x=cos x? A sin

2

x= B cos

2

x= C

sin

4

x= D

cot x=3 Lời giải Ta có 2

3 sin x=cos x Chi hai vế phương trình cho

sin x, ta

2

cot x= Chọn D

Câu 10 Với x thuộc (0;1), hỏi phương trình 2( )

cos x

π = có nghiệm?

A B 10 C 11 D 12

Lời giải Phương trình 2( ) ( )

cos cos

4

x x

π = ⇔ π = ±

Với cos cos cos

2 6

x x π x π k

π = ⇔ π = ⇔ π = ± + π

( )

( )

{ }

{ }

1 35

0;1 0;1;2

36 12 12

1 37

0;1 1;2;3

36 12 12

k

k

k

x k k

k

x k k

∈

∈

 

 = + ∈ − < < → =

 

⇔ ⇔ →

 

= − + ∈ < < → =

 



 



ℤ

ℤ

có nghiệm

Với cos cos cos5

2 6

x x π x π k

π = − ⇔ π = ⇔ π = ± + π

( )

( )

{ }

{ }

5 31

0;1 0;1;2

36 12 12

5 41

0;1 1;2;3

36 12 12

k

k

k

x k k

k

x k k

∈

∈

 

 = + ∈ − < < → =

 

⇔ ⇔ →

 

= − + ∈ < < → =

 



 



ℤ

ℤ

có nghiệm

Vậy phương trình cho có 12 nghiệm Chọn D

Câu 11 Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cosx+m− = có nghiệm?

A B C D Vơ số

Lời giải Ta có cos cos

m x+m− = ⇔ x= −

Phương trình có nghiệm 1 1 3 {0;1;2 }

3

m

m

m ∈ m

−

⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ + ℤ→ ∈

Vậy có tất giá trị nguyên tham số m Chọn C

Câu 12 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−2108;2018] để

phương trình cosm x+ = có nghiệm?

Lời giải Ta có mcosx cosx m

+ = ⇔ = −

Phương trình có nghiệm 1 m m[ 2018;2018m ] m {1;2;3; ;2018} m

∈ ∈ −

⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≥ →ℤ ∈

Vậy có tất 2018 giá trị nguyên tham số m Chọn A

Câu13 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình (m−2 sin 2) x=m+ nhận

12

x= π làm nghiệm

A m≠2 B 2( 1)

m= +

− C m= − 4 D m= − 1 Lời giải Vì

12

x= π nghiệm phương trình (m−2 sin 2) x=m+1 nên ta có:

( sin) 2 2

12

m

m− π=m+ ⇔ − =m+ ⇔m− = m+ ⇔m= −

Vậy m= −4 giá trị cần tìm Chọn C

Câu 14 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình (m+1 sin) x+ −2 m=0

có nghiệm

A m≤ − 1 B

m≥ C 1

2 m

− < ≤ D m> − 1 Lời giải Phương trình ( sin) ( sin) sin

1 m

m x m m x m x

m −

+ + − = ⇔ + = − ⇔ =

+

Để phương trình có nghiệm 1 m m

− ⇔ − ≤ ≤

+

1

2

0

2

1

1

2

1 0

1 1

m m

m

m m

m m

m

m m m



 −  − 

  

 ≤ +  ≥  ≥

  

 +  + 

  

⇔ ⇔ ⇔ < − ⇔ ≥

− 

 − ≤ − ≤ 

  

 +  +  > −

  

  

giá trị cần tìm Chọn B

Câu 15 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình (m−2 sin 2) x=m+ vô nghiệm

A 1;2 m∈ 

 

  B ( )

1

; 2;

2

m∈ −∞ ∪ +∞ C 1;2 (2; )

2

m∈ ∪ +∞ D 1;

2 m∈ +∞

Lời giải TH1 Với m= , phương trình (m−2 sin 2) x=m+ ⇔ = : vơ lý Suy m= phương trình cho vơ nghiệm

TH2 Với m≠ , phương trình ( sin 2) sin 2 m

m x m x

m +

− = + ⇔ =

−

Để phương trình ( )∗ vơ nghiệm [ ]

1

2

1

1;1 1

1

2

1 2

2 m

m

m m

m

m m

m

 + 

 > > 

+  − 

⇔ ∉ − ⇔ ⇔

  +

−  < <

< −

 

 −  Kết hợp hai trường hợp, ta

2

Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x cos x Câu 16 Gọi S tập nghiệm phương trình cos 2x−sin 2x= Khẳng định sau đúng?

A

4 S π

∈ B

2 S π

∈ C 3

4 S π

∈ D 5

4 S π

∈ Lời giải Phương trình cos cos

4

x π x π

   

 

⇔  + = ⇔  + =

2

4

cos cos ,

4

2 4

4 x k x k x k x k x k π π π π π π π π π π π   =  + = +       ⇔  + = ⇔ ⇔ ∈  = − +  + = − +    ℤ Xét nghiệm

x= − +π kπ, với k= ta

x= π Chọn C

Câu 17 Số nghiệm phương trình sin 2x+ cos 2x= khoảng 0; π         là?

A B C D

Lời giải Phương trình 1sin 3cos sin

2 x x x

π    ⇔ + = ⇔  + = 2 3

sin sin ,

3

2 6

3 x k x k x k x k x k π π π π π π π π π π π π   =  + = +       ⇔  + = ⇔ ⇔ ∈  = +  + = − +    ℤ 0 2 k

kπ π k ∈

< < ⇔ < < ℤ→

giá trị k thỏa mãn

1

0

6 6

k

k k k x

π π π

π ∈

< + < ⇔ − < < ℤ→ = → = Chọn A

Câu 18 Tính tổng T nghiệm phương trình 2

cos x−sin 2x= 2+sin x khoảng (0;2π)

A

T= π B 21

8

T = π C 11

4

T= π D

4 T = π Lời giải Phương trình 2

cos x sin x sin 2x cos 2x sin 2x

⇔ − − = ⇔ − =

( )

cos 2

4

x π x π k π x π kπ k

   ⇔  + = ⇔ + = ⇔ = − + ∈ℤ Do

1 17

0 2

15

8 8

2

8

k

k x

x k k

k x π π π π π π ∈   = → = 

< < → < − + < ⇔ < < →  

= → =

 

ℤ

7 15 11

8

T π π π

→ = + = Chọn C

Câu 19 Tìm nghiệm dương nhỏ x0 sin 3x− cos 9x= +1 sin 3 x A 0

2

x =π B

18

x = π C

24

x = π D

Lời giải Phương trình

3 sin 3x sin 3x cos 9x sin 9x cos 9x

⇔ − − = ⇔ − =

1 1

sin cos sin

2 x x x

π    ⇔ − = ⇔  − =

3 18

sin sin

7

3

9

3 54

k

x k x

x

k

x k x

π π π π π π π π π π π π π    − = +  = +      ⇔  − = ⇔ ⇔   − = − + = +       Cho 0

18 18 .

7 7

0

54 12 54

k

k

k

k k x

k

k k x

π π π π π π ∈ > ∈ 

 + > ⇔ > − → = → = 

→  

+ > ⇔ > − → = → = 



ℤ

ℤ

So sánh hai nghiệm ta nghiệm dương nhỏ 18

x= π Chọn B

Cách trắc nghiệm Thử nghiệm đáp án vào phương trình so sánh nghiệm thỏa mãn phương trình đồng thời nhỏ ta chọn

Câu 20 Số nghiệm phương trình sin 5x+ cos 5x=2 sin 7x khoảng 0; π         là?

A B C D

Lời giải Phương trình 1sin 3cos sin sin sin

2 x x x x x

π

 



⇔ + = ⇔  + =

( )

7

3

sin sin

3

7

3 18

x x k x k

x x k

k

x x k x

π π π π π π π π π π    = + +  = +       ⇔ =  + ⇔   ⇔ ∈    = − + +  = +      ℤ 1

0

6 6

k

k k k x

π π π

π ∈

< + < ⇔ − < < ℤ→ = → =

0

18

1

0

18 3

7

18

k

k x

k k k x

k x π π π π π π ∈   = → =   

< + < ⇔ − < < → = → =    = → =   ℤ

Vậy có nghiệm thỏa mãn Chọn D

Câu 21 Giải phương trình cos sin sin

2

x π x π x

     + +  − =           A , 18 x k k x k π π π π   = +  ∈   = +  

ℤ B

7 , 18 x k k x k π π π π   = +  ∈   = − +   ℤ C , x k k x k π π π π   = +  ∈   = +  

ℤ D

Lời giải Ta có cos sin

x π x

   + = −  

  sin x cosx π

   − = −  

 

Do phương trình ⇔ − sinx−cosx=2 sin 2x⇔ sinx+cosx= −2 sin 2x

( )

3

sin cos sin sin sin sin sin

2 x x x x x x x

π π       ⇔ + = − ⇔  + = − ⇔  + = − ( ) 2

6 18

2 2

6

x x k x k

k

x x k x k

π π π π π π π π π    + = − +  = − +   ⇔ ⇔ ∈   + = + + = − −       ℤ

Xét nghiệm '

, '

5

2 '

6

k k k k

x π k π =− − x π k π

∈ ∈

= − − ℤ ℤ→ = +

Vậy phương trình có nghiệm , ' ( , ' )

18

x= −π +k π x= π+k π k k ∈ ℤ Chọn B Câu 22 Gọi x0 nghiệm âm lớn sin 9x+ cos 7x=sin 7x+ cos 9x

Mệnh đề sau đúng? A ;0

12

x ∈ − π  B ; 12 x ∈ − π −π

 

  C x0 3;

π π

  

∈ − − 

 

 D x0 2;

π π    ∈ − −     Lời giải Phương trình ⇔sin 9x− cos 9x=sin 7x− cos 7x

9

3

sin sin

3

9 48 8

3

x x k x k

x x k

x

x x k

π π π π π π π π π π π π   − = − +  =           ⇔  − =  − ⇔   ⇔ = +    − = − − +      max Cho max

0

5

0

48 48

k

k

k k k x

k

k k x

π π

π π π

∈ <

∈

 < ⇔ < → = − → = − 

 →

 + < ⇔ < − → = − → = − 

ℤ

ℤ So sánh hai nghiệm ta

được nghiệm âm lớn phương trình ;0 48 12

x= −π ∈ − π  Chọn A

Câu 23 Biến đổi phương trình cos 3x−sinx= cos( x−sin 3x) dạng

( ) ( )

sin ax+b =sin cx+d với b , d thuộc khoảng ; 2 π π   − 

 

  Tính b d+

A

12

b+ =d π B

4

b+ =d π C

3

b+ = −d π D b+ =d π Lời giải Phương trình ⇔ sin 3x+cos 3x=sinx+ cosx

3 1

sin cos sin cos sin sin

2 x x x x x x

π π

   

 

⇔ + = + ⇔  + =  + 

Suy

6

b+ =d π+π=π Chọn D

Câu 24 Giải phương trình cos sin sin x x x − = −

A ,

6

x=π+kπ k∈ ℤ B ,

x=π+k π k∈ ℤ C ,

6

x= π+k π k∈ ℤ D ,

6

Lời giải Điều kiện ( )

2

1

sin sin sin sin

5

2

2

x k

x x x k

x k

π π π

π π 

 ≠ + 

− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ∈

 ≠ + 



ℤ

Điều kiện tốn tương đương với bỏ vị trí hai điểm đường trịn lượng giác (Hình 1)

Phương trình ⇔cosx− sinx= ⇔0 cosx= sinx

( )

cot cot cot

6

x x π x π lπ l

⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ

Biểu diễn nghiệm

6

x=π+lπ đường tròn lượng giác ta vị trí Hình Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm

6

x=π+k π Do phương trình có nghiệm

( )

7

2

6

x= π+ lπ l∈ ℤ Chọn C Câu 25 Hàm số sin cos

sin cos

x x

y

x x

+ =

− + có tất giá trị nguyên?

A B C D

Lời giải Ta có sin cos ( sin 2) ( cos 2) sin cos

x x

y y x y x y

x x

+

= ⇔ − − + = −

− +

Điều kiện để phương trình có nghiệm ( )2 ( )2 ( )2

2

y y y y y

⇔ − + + ≥ − ⇔ + − ≤

{ }

5

1 1;0

7

y

y ∈ y

⇔ − ≤ ≤ ℤ→ ∈ −

nên có giá trị nguyên Chọn B O

sin

cos π

6 π

Hình

O sin

cos π

Câu 26 Gọi x0 nghiệm dương nhỏ cos 2x+ sin 2x+ sinx−cosx=2

Mệnh đề sau đúng? A 0;

12

x ∈ π B ;

12 x ∈π π

 

  C x0 3; π π

 

 

∈   D ;

3 x ∈ π π



 

Lời giải Phương trình 1cos 3sin 3sin 1cos

2 x x x x

⇔ + + − =

sin sin

6 x x

π π

   

 

⇔  + +  − =

Đặt 2 2

6 6

t= −x π→ = +x t π→ x= t+π→ x+π= t+π Phương trình trở thành sin sin cos sin

2

t π t t t

  

⇔  + + = ⇔ + =

( )

2

2 sin t sint sint sint

⇔ − = ⇔ − =

min

1

sin 0

6 6

k

t= ⇔ =t kπ→ =x π+kπ> ⇔ > − k ∈ℤ→k = →x=π

min

min

1

2 0

1 6

sin

5

2

2 0

6

k

k

t k x k k k x

t

t k x k k k x

π π π

π π

π

π π π π

∈

∈



 = + → = + > ⇔ > − → = → = 

= ⇔  

= + → = + > ⇔ > − → = → = 



ℤ

ℤ

Suy nghiệm dương nhỏ phương trình ; 12 x=π∈π π

 

  Chọn B

Câu 27 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−10;10] để phương

trình sin cos

3

x π x π m

   

 − −  − =

   

 

    vô nghiệm

A 21 B 20 C 18 D

Lời giải Phương trình vơ nghiệm ( )2 ( )2

1 4

1 m

m m

m  < − 

⇔ + − < ⇔ − > ⇔

 > 

[ 10;10] { 10; 9; 8; ; 2;2; ;8;9;10} m

m m

∈ ∈ −

→ℤ ∈ − − − − →

có 18 giá trị Chọn C

Câu 28 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình

( )

cosx+sinx= m +1 vô nghiệm

A m∈ −∞ − ∪( ; 1) (1;+∞ ) B m∈ −[ 1;1 ]

C m∈ −∞ +∞ ( ; ) D m∈ −∞( ;0) (∪ 0;+∞ ) Lời giải Phương trình vơ nghiệm ( )2

2 2

1  m 1 ⇔ + < + 

( )

4 2 2

2 0

m m m m m m

⇔ + > ⇔ + > ⇔ > ⇔ ≠ Chọn D

Câu 29 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−10;10] để phương

trình (m+1 sin) x−mcosx= −1 m có nghiệm

A 21 B 20 C 18 D 11

Lời giải Phương trình có nghiệm ( )2 ( )2

1

4 m

m m m m m

m  ≥ 

⇔ + + ≥ − ⇔ + ≥ ⇔

 ≤ − 

[ 10;10] { 10; 9; 8; ; 4;0;1;2; ;8;9;10} m

m m

∈ ∈ −

→ℤ ∈ − − − − →

Câu 30 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−2018;2018] để

phương trình ( )

1 sin sin cos

m+ x− x+ x= có nghiệm

A 4037 B 4036 C 2019 D 2020 Lời giải Phương trình ( 1)1 cos sin cos

2 x

m − x x

⇔ + − + =

( )

2 sin 2x m cos 2x m

⇔ − + − = − −

Phương trình có nghiệm ( )2 ( )2 ( )2

2 m m 4m m ⇔ − + − ≥ − − ⇔ ≤ ⇔ ≤

[ 2018;2018] { 2018; 2017; ;0;1} m

m m

∈ ∈ −

→ℤ ∈ − − →

có 2020 giá trị Chọn D

Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT H@M SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 31 Hỏi 0;

2 π       

, phương trình

2 sin x−3sinx+ =1 có nghiệm?

A B C D

Lời giải Phương trình

1 sin sin sin

sin x

x x

x   = 

− + = ⇔

 = 

( )

2 sin sin

2

6 sin

2

x k

x

x k k

x

x k

π π π

π π π

π 

 = + 

 

 = 



⇔ ⇔ = + ∈

 

 = 

 

= + 



ℤ

Theo giả thiết

1

0

6 12 6

5

0

2 12 12

1

0

0

4

2

k

k

k

k k k x

x k k k

k k

k

π π π

π

π π π

π

π π

π

∈

∈

∈

 

 ≤ + < − < < → = → =

 

 

 

≤ < ⇔ ≤ + < ⇔ − < < − → ∈ ∅

 

 

 − < < → ∈ ∅ ≤ + <

 

 

 

ℤ

ℤ

ℤ

Vậy phương trình có nghiệm 0; π       

Chọn A Câu 32 Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình

2 cos x+5 cosx+ = đường tròn lượng giác là?

A B C D

Lời giải Phương trình

( )

2

cos cos cos 3

cos x

x x

x  = − 



⇔ + + = ⇔

 = −

 loại

( )

cosx x π k2π k ⇔ = − ⇔ = + ∈ ℤ

Câu 33 Cho phương trình

cot 3x−3 cot 3x+ =2 Đặt t=cotx, ta phương trình sau đây?

A

3 t − t+ = B

3t −9t+ =2 0. C

9

t − t+ = D

6 t − t+ = Lời giải Chọn A

Câu 34 Số nghiệm phương trình ( )

4 sin 2x−2 1+ sin 2x+ 2=0 (0;π)

là?

A B C D

Lời giải Phương trình ( )

2 sin

2 sin 2 sin 2

1 sin 2 x x x x   =   − + + = ⇔   =  ( ) ( ) 0; 0; 2

2 8

sin sin

3 3

2

2

4 8

x k x

x k

x

x k x k x

π π π π π π π π π π π π π     = + = + → =   = = ⇔ ⇔    = +  = + → =      ( ) ( ) 0; 0; 2

1 12 12

sin sin

5 5

2

2

6 12 12

x k x k x

x

x k x k x

π π π π π π π π π π π π π    = +  = + → =   = = ⇔ ⇔   = + = + → =      

Vậy có tất nghiệm thỏa mãn Chọn B Câu 35 Số nghiệm phương trình

sin 2x−cos 2x+ =1 đoạn [−π; 4π] là?

A B C D

Lời giải Phương trình 2

sin 2x−cos 2x+ = ⇔ −1 cos 2x−cos 2x+ =

( )

cos

cos 2 ,

cos 2 x

x x k x k k

x π π

 =  ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ = −  ℤ loại

Do [ ;4 ] 4 k { 1;0;1;2;3;4 }

x∈ −π π →− ≤π kπ≤ π⇔ − ≤ ≤ k ∈ → ∈ −k ℤ

Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn Chọn C

Câu 36 Tính tổng T tất nghiệm phương trình sin2 3cos

4

x x

− =

đoạn [0;8 π]

A T=0 B T=8 π C T=16 π D T=4 π

Lời giải Phương trình 2

2 sin cos cos cos

4 4

x x  x x

− = ⇔  − − = ( ) cos

2 cos cos cos cos cos

4 4

cos x

x x x x

x π   =  ⇔ − − + = ⇔ ⇔ = ⇔ =  = −   loại [ ] [ ] 0;8 0;8 4 20

4 3 8

4 20 3

2

4 3

x

x

x

k x k x

T x

k x k x

Câu 37 Số nghiệm phương trình 12 ( cot) ( 1)

sin x− − x− + = (0;π) là?

A B C D

Lời giải Điều kiện: sinx≠ ⇔0 x≠kπ (k∈ℤ)

Phương trình ( ) ( ) ( ) ( )

1 cot x cotx cot x cotx

⇔ + − − − + = ⇔ − − − =

( )

( )

( )

( )

0;

0;

3 cot cot

cot 4 4 4

cot

cot cot

6

6

x

x

x x k x

x

x x k x

x

π

π

π π π

π

π π

π

π ∈

∈    

 = −   = − + → =  = −    

 

⇔ ⇔ ⇔ 

 

=

  =  = + → =

 

thỏa mãn

thỏa mãn

Vậy phương trình cho có nghiệm thỏa mãn Chọn B

Câu 38 Tính tổng T tất nghiệm phương trình cos 2x+2 cosx− 2=0

trên đoạn [0;3π]

A 17

T= π B T=2 π C T=4 π D T=6 π

Lời giải Phương trình ( )

2 cos 2x+2 cosx− 2= ⇔0 2 cos x− +1 cosx− 2=0

( )

2

2 cos

2

4 cos cos 2 cos

2

cos

2 x

x x x

x   =  

⇔ + − − = ⇔ ⇔ =

 +

 = − 

 loại

[ ]

[ ]

0;3

0;3

9

2 ;

9 17

4 4 .

7 4 4

2

4

x

x

x k x x

T

x k x

π

π

π π π

π

π π π π

π π

π ∈

∈ 

 = + → = = 

⇔ → = + + =



= − + → = 



Chọn A

Câu 39 Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình cos 2x+3 sinx+ = đường trịn lượng giác là?

A B C D

Lời giải Phương trình ( )

1 sin x sinx sin x sinx

⇔ − + + = ⇔ − + + =

( ) ( )

sin

sin

5

2 sin

2 x

x x k k

x

π π  = −

 

⇔ ⇔ = − ⇔ = − + ∈

 = 

ℤ

loại

Suy có vị trí đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm Chọn A Câu 40 Cho phương trình cos cos

2 x

x+ + = Nếu đặt cos x

t= , ta phương

trình sau đây? A

2t + =t B

2t t

− + + = C

2t + − =t D

2t t

− + =

Lời giải Ta có cos cos

2 x

x= −

Do phương trình 2

2 cos cos cos cos

2 2

x x x x

 



⇔ − + + = ⇔ + =

Đặt cos x

t= , phương trình trở thành

Câu 41 Số nghiệm phương trình cos cos

3

x π π x

     + +  − =

   

 

    thuộc [0;2π] là?

A B C D

Lời giải Ta có 2

cos 2 sin cos

3

x π x π π x

     

 + = −  + = −  − 

     

  

     

Do phương trình

2 cos cos

6 x x

π π

   

 

⇔ −  − +  − − =

( )

1

cos 2

6 cos 2 ,

6

3

2 cos

2

6

x x k

x x k k

x k

x

π π

π

π π π

π

π π

π

   

  − =  = − +

     



⇔   ⇔  − = ⇔ − = ± + ⇔ ∈ 

  − =  = +

   



ℤ loại

Ta có [0;2 ] 11

2

6

x

x π k π x π

π ∈

= − + → = ; [0;2 ]

2

x

x π k π x π

π ∈

= + → =

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn Chọn B

Câu 42 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình tanx+mcotx= có nghiệm

A m>16 B m<16 C m≥16 D m≤16

Lời giải Phương trình

tan cot tan tan tan tan

m

x m x x x x m

x

+ = ⇔ + = ⇔ − + =

Để phương trình cho có nghiệm ∆ = −′ ( 4)2−m≥ ⇔0 m≤16 Chọn D

Câu 43 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình

( )

cos 2x− 2m+1 cosx+m+ =1 có nghiệm khoảng ;3 2

π π

       

A 1− ≤m≤ B 10 − ≤m< C 1− <m< D 1 m − ≤ <

Lời giải Phương trình ( )

1 cos cos cos

cos x

x m x m

x m

  = 

⇔ − + + = ⇔

 = 

Nhận thấy phương trình cos

x= khơng có nghiệm khoảng ;3 2

π π

     

  (Hình vẽ)

Do u cầu tốn ⇔cos x=m có nghiệm thuộc khoảng ;3

2 m

π π

 

 ⇔ − ≤ <  

 

Chọn B

cos sin

O

Câu 44 Biết m=m0 phương trình ( )

2

2 sin x− 5m+1 sinx+2m +2m=0

có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3 π

π   − 

 

  Mệnh đề sau đúng? A m= − B

2

m= C

3 ; 10 m ∈  



  D

3 ; 5 m ∈ − −  Lời giải Đặt t=sin x (− ≤ ≤1 t 1)

Phương trình trở thành ( )

2t − 5m+ +1 2m +2m=0 ( )*

Yêu cầu tốn tương đương với:

TH1: Phương trình ( )* có nghiệm t1= −1 (có nghiệm x ) nghiệm

0<t <1 (có bốn nghiệm x ) (Hình 1)

Do

1

c

t t m m

a

= − → = − = − −

Thay t1= −1 vào phương trình ( )* , ta

( )( )

( )( )

2

2

3 0;1

1

0;1

2

m t

m t

 = − → = − ∉ 



 = − → = ∈ 



loại thỏa TH2: Phương trình ( )* cĩ nghiệm t1=1 (cĩ hai nghiệm x ) nghiệm

2 t

− < ≤ (có ba nghiệm x ) (Hình 2)

Do

1

c

t t m m

a

= → = = +

Thay t1=1 vào phương trình ( )* , ta

( ]( )

( ]( )

2

2

1 1;0

1

1;0

2

m t

m t

 = → = ∉ − 



 = → = ∉ − 



loại loại

Vậy

2

m= − thỏa mãn yêu cầu toán Do 3; 5

m= − ∈ − −  Chọn D

Câu 45 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình

( )

2

2 cos 3x+ 3−2m cos 3x+m− =2 có nghiệm thuộc khoảng ; π π   − 

 

  A 1− ≤m≤1 B 1<m≤2 C 1≤m≤2 D 1≤m<2 Lời giải Đặt t=cos x (− ≤ ≤1 t 1) Phương trình trở thành ( )

2t + 3−2m t+m− =2

Ta có ( )2 2m

∆ = − Suy phương trình có hai nghiệm

1

2 t

t m

  =  

= − 

O cos

sin

O

Hình Hình

2 t

sin

cos

Ta thấy ứng với nghiệm 1

t = cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng ; π π   − 

 

 

Do u cầu tốn − <1 t2≤ ⇔ − <0 m− ≤ ⇔ <2 m≤2 Chọn B Cách Yêu cầu toán tương đươn với phương trình ( )

2t + 3−2m t+m− =2 có

hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn ( )

( )

2

0

1

P

t t a f

a f  ≤  

− < ≤ < < ⇔ > 

 − > 

Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x cos x

Câu 46 Giải phương trình ( )

sin x− 3+1 sin cosx x+ cos x=0

A ( )

3

x=π+k π k∈ℤ B ( )

4

x=π+kπ k∈ℤ

C ( )

2

4

x k

k

x k

π π π

π 

 = + 

∈ 



= + 



ℤ D ( ).

4

x k

k

x k

π π π

π 

 = + 

∈ 



= + 



ℤ

Lời giải Phương trình ( ) t

tan tan   an tanx

x x  x=

⇔ − + =

= + ⇔ 



( )

4

x k

k

x k

π π π

π 

 = + 

⇔ ∈



= + 



ℤ Chọn D

Câu 47 Gọi S tập nghiệm phương trình 2

2 sin x+3 sin cosx x−cos x=2

Khẳng định sau đúng?

A ;

3 S

π π       ⊂      

  B 2; S π π       ⊂      

  C

;

4 12 S

π π

 

 

  ⊂

 

 

 

  D

;

2 S

π π

 

 

  ⊂

 

 

 

 

Lời giải Phương trình 2 ( 2 )

2 sin x 3 sin cosx x cos x sin x cos x

⇔ + − = +

( )

2

3 sin cosx x cos x cosx sinx cosx

⇔ − = ⇔ − =

sin

O

cos

2 t

( )

cos

2

k

x= ⇔x=π+kπ k∈ℤ =→ =x π sinx−cosx= ⇔0 sinx=cosx

( )

1

tan tan tan

6 6

3

k

x x π x π kπ k = x π

⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ℤ → =

Vậy tập nghiệm phương trình chứa nghiệm

6 π

2

π Chọn B

Câu 48 Trong phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình

( )

2

sin x− 3+1 sin cosx x+  cos x=

A sinx= B sin

2 x π    + =     C (cos tan)

1 x−  x− + =



 −

  D ( )( )

2

tanx+ +2 cos x−1 =0

Lời giải Phương trình ( ) ( 2 )

sin x sin cosx x  cos x sin x cos x

⇔ − + + = +

( ) ( ) ( ) ( )

1 sin x sin cosx x sinx1 sinx cosx

⇔ − − + = ⇔  − − + =

 

2

sinx= ⇔0 cos x= ⇔1 cos x− =1

(1− sin) x−( 3+1 cos) x= ⇔0 (1− sin) x=( 3+1 cos) x

tan tan tan

1

x + x x

⇔ = ⇔ = − − ⇔ + + =

−

Vậy phương trình cho tương đương với ( )( )

tanx+ +2 cos x−1 =0 Chọn D Câu 49 Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình

sin x+  sin cosx x=1?

A ( )

cosx cot x−3 =0 B sin tan

2

x π  x π 

   

 +    + − − =

   

   

     

C ( )

cos tan

x π x

   

  + −  − =    

 

D (sinx−1 cot)( x− 3)=0

Lời giải Phương trình 2

sin x  sin cosx x sin x cos x

⇔ + = +

( )

2

3  sin cosx x cos x cosx 3 sinx cosx

⇔ − = ⇔ − =

cos sin x= ⇔ x+π=

1  sin cos tan

3 x− x= ⇔ x=

Ta có

1 tan tan

3

tan tan

1

4

1 tan tan 1

4

x

x x

x π

π π

π

+ +

   

 + = = = + ⇔  + − − =

   

 

  − −  

Vậy phương trình cho tương đương vớisin tan

2

x π  x π 

   

 +    + − − =

   

   

Câu 50 Cho phương trình

cos x−3 sin cosx x+ = Mệnh đề sau sai? A x=kπ không nghiệm phương trình

B Nếu chia hai vế phương trình cho

cos x ta phương trình

2

tan x−3 tanx+ =

C Nếu chia vế phương trình cho

sin x ta phương trình

2

2 cot x+3 cotx+ =

D Phương trình cho tương đương với cos 2x−3 sin 2x+ = 3 Lời giải

Với

2

sin sin

cos cos

x x

x k

x x

π



 =  =

 

= → ⇔

= ± =

 

Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy A

Phương trình 2

cos x sin cosx x sin x cos x

⇔ − + + =

2 2

sin x sin cosx x cos x tan x tanx

⇔ − + = ⇔ − + = Vậy B

Phương trình 2

cos x sin cosx x sin x cos x

⇔ − + + =

2 2

2 cos x sin cosx x sin x cot x cotx

⇔ − + = ⇔ − + = Vậy C sai Chọn C

Phương trình

1 cos sin

3 cos sin

2

x x

x x

+

⇔ − + = ⇔ − + = Vậy D

Câu 51 Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình 2

sin x−4 sin cosx x+4 cos x= đường tròn lượng giác là?

A 4 B C 2 D 1

Lời giải Phương trình 2 ( 2 )

sin x sin cosx x cos x sin x cos x

⇔ − + = +

( )2

2

4 sin x sin cosx x cos x sinx cosx sinx cosx

⇔ − − − = ⇔ + = ⇔ + =

1 tan

2 x

⇔ = − → có vị trí biểu diễn nghiệm đường trịn lượng gác Chọn C

Câu 52 Số nghiệm phương trình 2

cos x−3 sin cosx x+2 sin x= (−2 ;2π π)?

A 2 B 4 C D

Lời giải Phương trình

tan

4

1 tan tan 1

1 tan

arctan

2

x x k

x x

x

x k

π π

π 

 =  = +

 



⇔ − + = ⇔ ⇔ 

 = 

  = +

 

Vì ( ;2 ) 2 { 2; 1;0;1}

4 4

k

x∈ − π π →− π<π+kπ< π→ − < <k ∈ℤ→ ∈ − −k Vì ( ;2 ) arctan1

2

x∈ − π π →− π< +kπ< π

{ }

CASIO

xapxi 28,565 24,565 28; 27; 26; 25

k

k ∈ k

→− < < − ℤ→ ∈ − − − −

Vậy có tất nghiệm Chọn D

Câu 53 Nghiệm dương nhỏ phương trình 2 sin x+3 sin 2x−2 cos x=4

là: A

12 π

B

6

π C

4

π D

3 π

Lời giải Phương trình 2 ( 2 )

4 sin x 3 sin 2x cos x sin x cos x

( )

2

cos 3 sin cos cos sin cos

tan x

x x x x x

x  =  

⇔ − = ⇔ − = ⇔

 =  Cho

min

0

2 2

0

6 6

k

k

x k k k k x

x k k k k x

π π π

π π

π π π

π π

∈ >

∈

 

 = +  + > ⇔ > − → = → =

 

⇔ →

 

= + + > ⇔ > − → = → =

 

 

 

ℤ

ℤ

So sánh hai nghiệm ta

6

x=π nghiệm dương nhỏ Chọn B Câu 54 Cho phương trình ( ) ( )

2−1 sin x+sin 2x+ 2+1 cos x− 2=0 Trong

mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A

8

x= π nghiệm phương trình B Nếu chia hai vế phương trình cho

cos x ta phương trình

2

tan x−2 tanx− =

C Nếu chia hai vế phương trình cho

sin x ta phương trình

2

cot x+2 cotx− =

D Phương trình cho tương đương với cos 2x−sin 2x= Lời giải Chọn D

Câu 55 Giải phương trình ( ) ( )

2 sin x+ −1 sin cosx x+ −1  cos x=1 A

6 π

− B π

− C

3 π

− D

12 π −

Lời giải Phương trình ( ) ( ) 2

2 sin x sin cosx x  cos x sin x cos x

⇔ + − + − = +

( )

2

sin x sin cosx x 3 cos x

⇔ + − − =

( )

2 tan

tan an

tan

3 t

x k

x

x x

x

x k

π π π

π 

 = − +  = − 

 ⇔ 

 = 

  = +



⇔ + − − = ⇔

max Cho

max

0

4 4 .

1

0

3 3

k

k

k k k x

k k k x

π π

π

π π

π

∈ <

∈ 

− + < ⇔ < → = → = − 

→  

+ < ⇔ < − → = − → = − 



ℤ

ℤ

So sánh hai nghiệm ta

4

x= −π nghiệm âm lớn Chọn B

Câu 56 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−10;10] để phương

trình ( )

11sin x+ m−2 sin 2x+3 cos x=2 có nghiệm?

A 16 B 21 C 15 D

Lời giải Phương trình ( )

9 sin x m sin 2x cos x

⇔ + − + =

( ) ( )

1 cos cos

9 sin 2 sin cos

2

x x

m x m x x

− +

⇔ + − + = ⇔ − − = −

Phương trình có nghiệm ( 2)2 16 25 ( 2)2 m

m m

m  ≥ 

⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ ⇔

[ 10;10] { 10; 9; ; 1;5;6; ;10} m

m m

∈ ∈ −

→ℤ ∈ − − − →

có 16 giá trị nguyên Chọn A

Câu 57 Có giá trị nguyên tham số m thuộc để phương trình

( ) ( )

2

sin x−2 m−1 sin cosx x− m−1 cos x=m có nghiệm?

A B C D Vô số

Lời giải Phương trình ( ) ( ) ( )

1 m sin x m sin cosx x 2m cos x

⇔ − − − − − =

(1 ).1 cos ( sin 2) (2 )1 cos

2

x x

m − m x m +

⇔ − − − − − =

( )

2 m sin 2x mcos 2x m

⇔ − + = −

Phương trình có nghiệm ( )2 ( )2

4 m−1 +m ≥ 2−3m ⇔4m −4m≤ ⇔ ≤0 m≤1

{0;1}

m

m ∈

ℤ→ ∈ →

có giá trị nguyên Chọn A

Câu 58 Tìm điều kiện để phương trình 2

sin sin cos cos

a x+a x x+b x= với a≠ có nghiệm

A a≥4b B a≤ −4b C 4b

a ≤ D

4 b a ≤ Lời giải Phương trình

tan tan

a x+a x+ = b

Phương trình có nghiệm ( )

4

a ab a a b

⇔ ∆ = − ≥ ⇔ − ≥

(4 ) 4b a 4b

a b a

a a

−

⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ Chọn C

Câu 59 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình

2 sin x+msin 2x=2m vơ nghiệm

A 0

3 m

≤ ≤ B m< ,

3

m> C 0 m

< < D

m< − , m> Lời giải Phương trình 2.1 cos sin 2 sin cos 2

2 x

m x m m x x m

−

⇔ + = ⇔ − = −

Phương trình vơ nghiệm ( )2

0

1 4

3 m

m m m m

m  <   ⇔ + < − ⇔ − > ⇔

 > 

Chọn B Câu 60 Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−3;3] để

phương trình ( )

2 cos sin

m + x− m x+ = có nghiệm

A B 7 C D 4

Lời giải Phương trình ( )1 cos

2 sin 2

x

m + m x

⇔ + − + =

( )

4msin 2x m cos 2x m

⇔ − + = +

Phương trình có nghiệm 2 ( 2 )2 ( 2 )2 2 2

16m m m 12m 12 m m

⇔ + + ≥ + ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

[ 3;3] { 3; 2; 1;1;2;3} m

m m

∈ ∈ −

ℤ → ∈ − − − →

Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH CHỨA sinx±cosx sin cos x x

Câu 61 Giải phương trìnhsin cosx x+2 sin( x+cosx)=2 A x k , k

x k π

π π 

 = +

 ∈

 = 

ℤ B 2 , .

2

x k

k x k

π π π 

 = +

 ∈

 = 

ℤ

C 2 ,

2

x k

k x k

π π π 

 = − +

 ∈

 = 

ℤ D x 2 k , k .

x k π

π π 

 = − +

 ∈

 = 

ℤ

Lời giải Đặt sin cos sin

t= x+ x= x+ π Vì sin [ 1;1] 2;

x π t

   

 + ∈ − ⇒ ∈ −

   

  

 

Ta có ( )2 2

sin cos sin cos sin cos sin cos t

t = x+ x = x+ x+ x x⇒ x x= −

Khi đó, phương trình cho trở thành

( )

2

2

1

2

5

t t

t t t

t  =

− 

+ = ⇔ + − = ⇔  = −  loại

Với t= , ta sin cos sin sin sin

4 4

x+ x= ⇔ x+π= ⇔ x+π= π

4

2

4

x k

x k

π π

π

π π

π π



 + = + 

⇔  

+ = − + 



2 , 2 x k

k

x k

π π

π  =

 

⇔ ∈

 = + 

ℤ Chọn B

Câu 62 Cho phương trình 3 sin( x+cosx)+2 sin 2x+ =4 Đặt t=sinx+cosx, ta phương trình đây?

A

2t +3 2t+ =2 B

4t +3 2t+ =4 0. C

2t +3 2t− =2 0. D

4t +3 2t− =4

Lời giải Đặt

sin cos sin

t= x+ x→ x=t −

Phương trình cho trở thành ( )

3 2t+2 t − + = ⇔1 2t +3 2t+ =2 Chọn A Câu 63 Cho phương trình 5sin 2x+sinx+cosx+ = Trong phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình cho?

A sin

4 x π    + =  

  B

3

cos

4 x π    − =  

 

C tanx=1 D

1+tan x=0 Lời giải Đặt sin cos sin

4

t= x+ x= x+ π Điều kiện − 2≤ ≤t

Ta có ( )2 2

sin cos sin cos 2.sin cos sin

t = x+ x = x+ x+ x x⇒ x=t −

Khi đó, phương trình cho trở thành ( )

5 t − + + = ⇔1 t 5t + + =t 0: vô nghiệm

Nhận thấy đáp án A, B, C, D phương trình đáp án D vơ nghiệm Vậy phương trình cho tương đương với phương trình

Câu 64 Nghiệm âm lớn phương trình sin cos 1sin 2

x+ x= − x là: A

2 π

− B −π C

2 π

− D −2 π Lời giải Đặt sin cos sin

4

t= x+ x= x+ π Điều kiện − 2≤ ≤t

Ta có ( )2 2

sin cos sin cos sin cos sin

t = x+ x = x+ x+ x x⇒ x=t −

Phương trình cho trở thành

( )

2

2

1

1

3

t t

t t t

t  =

− 

= − ⇔ + − = ⇔  = −  loại

Với t= , ta sin sin sin sin

4 4

x π x π x π π

     

 + = ⇔  + = ⇔  + =

     

  

     

2

4 ,

2

2 2

4

x k

x k

k

x k

x k

π π

π π

π

π π π

π π



 =  + = +

 



⇔ ⇔ ∈



  = +

+ = − +

 



ℤ

TH1 Với 0 k max

x=k π< ⇔ <k ∈ℤ→k = − →x= − π

TH2 Với max

1

2

2

k

x=π+k π< ⇔ < −k ∈ →k = − →x= − π ℤ

Vậy nghiệm âm lớn phương trình

2

x= − π Chọn C

Câu 65 Cho x thỏa mãn phương trình sin 2x+sinx−cosx= Tính sin x π    −     

A sin

4 x π    − =  

  sin x π    − =  

  B sin x π    − =  

 

2 sin

4 x π    − =    

C sin

4

x π    − = −  

  D sin x

π    − =  

 

2 sin

4

x π    − = −  

  Lời giải Đặt sin cos sin

4

t= x− x= x− π Điều kiện − 2≤ ≤t

Ta có ( )2 2

sin cos sin cos sin cos sin

t = x− x = x+ x− x x⇒ x= −t

Phương trình cho trở thành 2

1

1 t

t t t t

t  =  − + = ⇔ − = ⇔

 = 

Với t= , ta sin sin

4

x π x π

     − = ⇔  − =

   

 

   

Với t= , ta sin sin

4

x π x π

     − = ⇔  − =

   

 

   

Câu 66 Từ phương trình 5 sin 2x−16 sin( x−cosx)+16=0, ta tìm sin x π    +      có

giá trị bằng: A

2 B

2

− C D

2 ± Lời giải Đặt sin cos sin

4

t= x− x= x− π Điều kiện − 2≤ ≤t

Ta có ( )2 2

sin cos sin cos 2.sin cos sin

t = x− x = x+ x− x x⇒ x= −t

Phương trình cho trở thành ( )

( )

2

1

5 16 16 21

5 t

t t

t  =   − − + = ⇔

 = −

 loại

Với t= ⇒1 sinx−cosx=1 ( )∗

Mặt khác (sinx+cosx)2+(sinx−cosx)2=2, kết hợp với ( )∗ suy

(sin cos )2 sin cos sin

4

x+ x + = ⇔ x+ x= ± ⇔ x+π= ± Chọn D Câu 67 Cho x thỏa mãn 6 sin( x−cosx)+sin cosx x+ =6 Tính cos

4 x π    +     

A cos

4 x π    + = −  

  B cos x

π    + =    

C cos

4

x π    + =  

  D

1

cos

4

x π    + = −     Lời giải Đặt sin cos sin

4

t= x− x= x− π Điều kiện − 2≤ ≤t

Ta có ( )2 2

sin cos sin cos sin cos sin cos

t

t = x− x = x+ x− x x⇒ x x= −

Phương trình cho trở thành

( )

2 1

1

6

13

t t

t

t  = −

− 

+ + = ⇔  =  loại

1

2 sin sin sin

4 4

x π x π π x

     

  

⇒  − = − ⇔  − = − ⇔  − =

1

cos cos

2 x x

π π π

    

 

⇒  − − = ⇔  + =

 

Chọn C

Câu 68 Từ phương trình (1+ cos)( x+sinx)−2 sin cosx x− 3− =1 0, ta đặt

cos sin

t= x+ x giá trị t nhận là:

A t= t= B t= t=

C t= D t=

Lời giải Đặt sin cos ( 2) sin cos 2

t

t= x− x − ≤ ≤t → x x= −

Phương trình trở thành ( ) ( )

1+ t− t − −1 3− =1

( )

( )

2

1 3

3 t

t t t

t  = 

⇔ − + + = ⇔ ⇔ =

 =

 loại

Câu 69 Nếu (1+ sin)( x−cosx)+sin 2x− −1 5=0 sin x bao nhiêu? A sin

2

x= B sin

2

x= sin 2 x= − C sinx= − sin1 x= D sinx= sin0 x=

Lời giải Đặt sin cos ( 2) sin cos 2

t

t= x− x − ≤ ≤t → x x= −

Phương trình trở thành ( )

1+ t+ −1 t − −1 5=0

( ) ( )

2

1 5

5 t

t t

t  =  ⇔ − + + = ⇔ 

=

 loại

sinx cosx cosx sinx

⇒ − = ⇔ = −

Mặt khác 2 ( )2 sin

sin cos sin sin 1 sin

x

x x x x

x  = 

+ = ⇒ + − = ⇔

 = 

Chọn D Câu 70 Nếu (1+sinx)(1+cosx)=2 cos

4 x π    −   

  bao nhiêu?

A 1.− B C

2 D

2 − Lời giải Ta có (1+sinx)(1+cosx)= ⇔ +2 sinx+cosx+sin cosx x=2

( )

sinx cosx sin cosx x sinx cosx 2.sin cosx x

⇔ + + = ⇔ + + = ( )∗

Đặt sin cos ( 2) sin cos 2 t

t= x+ x − ≤ ≤t → x x= −

Khi ( )∗ trở thành

( )

2

2 2

3 t

t t t t

t  =  + − = ⇔ + − = ⇔ 

= −  loại

sinx cosx

⇒ + =

Ta có cos cos cos sin sin 2(cos sin )

4 4 2

x π x π x π x x

 

 − = + = + =

 

  Chọn C

Câu 71 Cho x thỏa mãn 2 sin 2x−3 sinx+cosx + =8 Tính sin x A sin

2

x= − B sin 2

x= − C sin 2

x= D sin 2 x= Lời giải Đặt sin cos sin

4

t= x+ x = x+ π Vì sin [ 1;1] 0;

x π t

   

 + ∈ − ⇒ ∈

   

  

 

Ta có ( )2 2

sin cos sin cos sin cos sin

t = x+ x = x+ x+ x x⇒ x=t −

Phương trình cho trở thành ( )

( )

2

6

2

6 t

t t

t   = 

− − + = ⇔ 

 =

 loại

2

sin

2

x=t − = Chọn C

Câu 72 Hỏi đoạn [0;2018π], phương trình ins x−cosx +4 sin 2x=1 có nghiệm?

A 4037 B 4036 C 2018 D 2019 Lời giải Đặt sin cos sin

4

t= x− x = x− π Vì sin [ 1;1] 0;

x π t

   

 − ∈ − ⇒ ∈

   

  

Ta có ( )2 2

sin cos sin cos sin cos sin

t = x− x = x+ x− x x⇒ x= −t

Phương trình cho trở thành ( )

( )

2

1

4 1

4 t

t t

t  =  

+ − = ⇔

 = −  loại Với t= , ta sin 21 ,

2 k

x= ⇔ x=kπ⇔x= π k∈ ℤ Theo giả thiết [0;2018 ] 2018 4046

2 k

x∈ π → ≤ π≤ π⇔ ≤ ≤k

{0;1;2;3; ; 4036}

k

k ∈

ℤ→ ∈ →

có 4037 giá trị k nê có 4037 nghiệm Chọn A Câu 73 Từ phương trình sin( x+cosx)=tanx+cotx, ta tìm cos x có giá trị bằng:

A 1. B.

2

− C.

2 D 1.−

Lời giải Điều kiện sin sin cos

x

x x

 ≠

 ⇔ ≠



 ≠



Ta có sin( cos ) tan cot sin( cos ) sin cos

cos sin

x x

x x x x x x

x x

+ = + ⇔ + = +

( ) ( )

2

sin cos

2 sin cos sin cos sin cos

sin cos

x x

x x x x x x

x x

+

⇔ + = ⇔ + =

Đặt sin cos ( 2) sin cos 2 t

t= x+ x − ≤ ≤t → x x= −

Phương trình trở thành ( )

2t t t t t

⇔ − = ⇔ − − = ⇔ =

sinx cosx sinx cos x

⇒ + = ⇔ = −

Mà 2 ( )2

sin x+cos x= ⇒1 cos x+ 2−cosx = ⇔1 cos x−2 cosx+ =1

( cos 1)2 cos

x x

⇔ − = ⇔ = Chọn C

Câu 74 Từ phương trình 3

1 sin cos sin 2

x x x

+ + = , ta tìm cos

4

x π

   + 

 

  có giá trị bằng:

A 1. B.

2

− C.

2 D.

2 ± Lời giải Phương trình (sin cos )(1 sin co ) 3sin

2 s

x x x x x

+ + =

⇔ −

( )( )

2 sinx cosx sin 2x sin x

⇔ + + − =

Đặt sin cos ( 2) sin cos 2 t

t= x+ x − ≤ ≤t → x x= −

Phương trình trở thành ( ) ( )

2+t 2−t +1 =3 t −1

( )

3

3

1

t

t t t

t  = − 

⇔ + − − = ⇔ 

= − ±

 loại

Với t= − , ta sin cos sin

4

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc 1

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS

lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt ở kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho

học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn

phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Khoá Học Nâng Cao HSG